1. Teil - TU Darmstadt/Mathematik

1. Einführung
Zahlensysteme
N Menge der natürlichen Zahlen {1, 2, 3, . . .}
N0 Menge der natürlichen Zahlen mit Null {0, 1, 2, 3, . . .}
Z Menge aller ganzen Zahlen {0, +1, −1, +2, −2, . . .}
Q Menge der rationalen Zahlen { pq : p, q ∈ Z, q 6= 0}
R Menge der reellen Zahlen, erhält man durch Intervallschachtellung mit Hilfe
rationaler Zahlen
R+ Menge der reellen Zahlen x ≥ 0
• Körperaxiome des Körpers R der reellen Zahlen mit Addition und Multiplikation
(A1) Kommutativgesetz a + b = b + a
(A2) Assoziativgesetz a + (b + c) = (a + b) + c
(A3) 0 ist Nullelement, d.h. 0 ist eine Zahl mit a + 0 = a für alle a.
(A4) Zu jeder Zahl a gibt es eine Zahl (−a), so dass a + (−a) = 0.
(A5) Kommutativgesetz a · b = b · a
(A6) Assoziativgesetz a · (b · c) = (a · b) · c
(A7) 1 ist Einselement, d.h. 1 ist eine Zahl mit a · 1 = a für alle a.
(A8) Zu jeder Zahl a 6= 0 gibt es eine Zahl a−1 mit a · a−1 = 1.
(A9) Distributivgesetz a · (b + c) = a · b + a · c
• Betrag einer reellen Zahl:

 a für a ≥ 0
|a| =
 −a für a < 0
• Regeln für den Betrag
| − a| = |a|,
√
a2 = |a|,
|ab| = |a| · |b|,
a |a|
(falls b 6= 0)
=
b
|b|
|a| = 0 genau dann, wenn a = 0.
⇐⇒
Dreiecksungleichung
|a + b| ≤ |a| + |b|,
||a| − |b|| ≤ |a + b|
• Potenzgesetze
am
= am−n
an
am an = am+n ,
(am )n = am·n
• Wurzeln:
√
m
• Summen
√
m
a = a1/m ,
m
X
an = an/m (a > 0)
ai = an + an+1 + . . . + am
i=n
• Produkte
m
Y
ai = an · an+1 · . . . · am
i=n
• einige Summen und Produkte:
n
X
c = nc,
i=1
n
X
n
X
i=1
i2 =
i=1
n
Y
i=1
i=
n(n + 1)
2
1
n(n + 1)(2n + 1)
6
n
c = c ,
n
Y
i = n!
i=1
• Binomialkoeffizienten:
n
n(n − 1) . . . (n − k + 1)
für n ∈ R, k ∈ N,
=
k!
k
n
n!
=
für n, k ∈ N0 , k ≤ n
k
k!(n − k)!
n
n
n
=
= 1,
=n
0
n
1
n
n
n+1
n
n
=
,
=
+
n−k
k
k
k−1
k
• Binomischer Lehrsatz:
n n
n n−1
n
n n
n
n−1
(a + b) =
a +
a b + ... +
ab
+
b
0
1
n−1
n
n X
n n−k k
=
a b
k
k=0
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3
2
2. Vektoren
• kartesische Einheitsvektoren des Rn :




1

 

 

 0 
 , ~e2 = 
~e1 = 

 .. 

 . 

 


0
n
0
1
0
..
.
0

 

0

 

. 


 .. 


 . . . ~en = 
 


0 

 


1
n
n
Der Vektor ~ei besitzt an der i-ten Stelle eine 1, sonst Nullen.
Nullvektor ~o = (0, 0, . . . , 0)T
• Betrag (Länge) eines Vektors
|~a| =
q
a21 + a22 + . . . + a2n
• Addition und Subtraktion zweier Vektoren



a − b1
a + b1
 1

 1



 a − b2
 a2 + b 2 
 , ~a − ~b =  2
~a + ~b = 



..
..



.
.



an − b n
an + b n
• Multiplikation eines Vektors mit einer reellen

t · a1


 t · a2
t · ~a = 
 ..
 .

t · an








Zahl t ∈ R








Rechengesetze für einfache Operationen mit Vektoren
• Rechengesetze der Addition:
a) Kommutativgesetz ~a + ~b = ~b + ~a
b) Assoziativgesetz ~a + ~b + ~c = ~a + ~b + ~c
c) ~a + ~o = ~a
Nullvektoreigenschaft
(für ~a, ~b, ~c ∈ Rn )
d) Zu jedem ~a gibt es ein negatives Element −~a mit ~a + (−~a) = ~o.
• Rechengesetze der Multiplikation mit einer Zahl:
e) Assoziativgesetz s · (t · ~a) = (s · t) · ~a = st · ~a (für s, t ∈ R)
3
f) Distributivgesetze (s + t) · ~a = s · ~a + t · ~a (für s, t ∈ R)
s · ~a + ~b = s · ~a + s · ~b
(für ~a, ~b ∈ Rn )
g) 1 · ~a = ~a
• Subtraktion
(−~b) := (−1) · ~b,
• ~a◦ =
1
~a
|~a|
~a − ~b = ~a + (−~b)
heißt der zu ~a gehörige normierte Vektor
Eigenschaften der Länge
a) |~a| ≥ 0,
|~a| = 0 genau dann, wenn ~a = ~o
b) |t · ~a| = |t| · |~a| (t ∈ R)
c) |~a + ~b| ≤ |~a| + |~b| Dreiecksungleichung
Definition: Ein Raum V heißt Vektorraum, falls
(1) zu jedem ~a, ~b ∈ V eindeutig eine Summe ~a + ~b ∈ V erklärt ist, für die die
Eigenschaften a), b), c) (Nullvektor), d) (negatives Element) gilt und
(2) zu jedem t ∈ R, ~a ∈ V eindeutig ein Produkt t · ~a ∈ V erklärt ist, für das die
Eigenschaften e), f), g) gilt.
Rechengesetze des Skalarprodukts
a) Kommutativgesetz
~a · ~b = ~b · ~a
b) Distributivgesetz
~a + ~b · ~c = ~a · ~c + ~b · ~c
(für ~a, ~b, ~c ∈ Rn )
• Projektion auf die Koordinatenachsen
~a · ~ei = ai
für i = 1 . . . n
Darstellung des Vektors mit Hilfe seiner Komponenten
~a = a1~e1 + . . . + an~en
4
Definition: Zwei Vektoren ~a und ~b ∈ Rn sind zueinander orthogonal bzw.
stehen aufeinander senkrecht, falls ~a · ~b = 0.
Vektoren im R2
Punkte A(p1 , p2 ) und B(q1 , q2 )


q1 − p 1
−→ −→ −→

~v = AB = OB − OA = 
q2 − p 2
• Skalarprodukt im R2 und im R3 :
~v · w
~ = |~v | · |w|
~ · cos α,
wobei α = ∠(~v , w)
~ der Winkel zwischen ~v und w
~ ist. Dabei ist 0 ≤ α ≤ π.
~v · ~v = ~v 2 = |~v |2
• Formel zur Bestimmung des Winkels α = ∠(~v , w)
~
cos α =
~v · w
~
= ~v ◦ · w
~◦
|~v | · |w|
~
• Geradengleichung: Ax + By = C
Hessesche Normalform:
λ := √
1
1
für C ≥ 0, λ := − √
für C < 0
A2 + B 2
A2 + B 2
(λA)x + (λB)y = λC
außerdem: cos β = λA, sin β = λB, β ist der Winkel des Lotes von O auf die
Gerade.
Abstand k eines Punktes P0 (x0 , y0 ) zur Geraden:
k = |λAx0 + λBy0 − λC|
• vektorielle Darstellung von Geraden:
~r = ~r1 + t~a (t ∈ R)
5
wobei t der Parameter, ~r1 der Vektor zu einem Punkt auf der Geraden ist und ~a der
Richtungsvektor der Geraden ist.
Vektoren im R3
Punkte A(p1 , p2 , p3 ) und B(q1 , q2 , q3 )

q1 − p 1
−→ −→ −→ 

~v = AB = OB − OA =  q2 − p2

q3 − p 3





Definition: Gegeben seien zwei Vektoren ~v , w
~ ∈ R3 . ~c = ~v × w
~ ist derjenige
Vektor aus R3 , für den gilt:
• |~c| = |~v | · |w|
~ · sin α mit α = ∠(~v , w),
~
• ~c steht senkrecht auf ~v und w,
~
• ~v , w
~ und ~c bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem.
Satz: Sei ~v = (vx , vy , vz )T , w
~ = (wx , wy , wz )T . Dann


vy wz − vz wy




~v × w
~ =  vz wx − vx wz  .


vx wy − vy wx
• Eigenschaften des Vektorprodukts (~a, ~b, ~c ∈ R3 ):
a) Antikommutativgesetz ~b × ~a = −~a × ~b
b) Distributivgesetze (t · ~a) × ~b = ~a × (t · ~b) = t · (~a × ~b) (t ∈ R)
(~a + ~b) × ~c = ~a × ~c + ~b × ~c,
~a × (~b + ~c) = ~a × ~b + ~a × ~c
c) ~a × (~b × ~c) = ~b(~a · ~c) − ~c(~a · ~b)
d) Vektorprodukt bei Basisvektoren ~i, ~j, ~k
~i × ~j = ~k
~j × ~k = ~i
~k × ~i = ~j
• ~a × ~b = ~o, falls ~a = ~o oder ~b = ~o oder ~a und ~b auf einer Geraden liegen, also linear
abhängig sind.
~a × ~a = ~o für alle ~a.
6
• Spatprodukt
~
~
~
[~ab~c] = ~a × b · ~c = b × ~c · ~a = (~c × ~a) · ~b.
• Geraden - Punktrichtungsgleichung in Parameterform
Punkt P0 , der auf der Geraden g liegt, Vektor ~a, der die Richtung der Geraden g
angibt.
g : ~r = ~r0 + t · ~a (t ∈ R).
−−→
~r ist der Vektor der zu einem beliebigen Punkt auf der Geraden zeigt, OP0 = ~r0 , t
ist der Parameter.

x


 
 
~r =  y  ,
 
z
x0





~r0 =  y0 


z0
• allgemeine Ebenengleichung (parameterfreie Darstellung)
E : Ax + By + Cz = D
Punkt P0 (x0 , y0 , z0 ) auf der Ebene E und Stellungsvektor (Normalenvektor) ~n, der
senkrecht auf der Ebene steht=⇒
E : ~n · (~r − ~r0 ) = 0
• Vektorielle Form der Ebenengleichung - Parameterdarstellung:
Punkte P1 (x1 , y1 , z1 ), P2 (x2 , y2 , z2 ), P3 (x3 , y3 , z3 ) liegen auf der Ebene E
−−→
−−→
−−→
E : ~r = OP1 + t · P1 P2 + u · P1 P3 (t, u ∈ R)
• Hessesche Normalform für Ebene:
λ := √
A2
1
1
für D ≥ 0, λ := − √
für D < 0
2
2
2
+B +C
A + B2 + C 2
λAx + λBy + λCz − λD = 0
Abstand k eines Punktes P0 (x0 , y0 , z0 ) von einer Ebene in Hessescher Normalform:
k = |λ (Ax0 + By0 + Cz0 − D)|
7
lineare Unabhängigkeit
Definition: Vektoren ~b1 , ~b2 , . . . , ~bm heißen linear unabhängig, falls
~o = λ1~b1 + λ2~b2 + . . . + λm~bm
nur dann gilt, wenn λ1 = 0 und λ2 = 0 und . . . und λm = 0, anderenfalls sind die
Vektoren linear abhängig.
Basis
Definition: Die Vektoren ~b1 , ~b2 , . . . , ~bn ∈ Rn bilden eine Basis des Rn , falls
sie linear unabhängig sind. ~b1 , ~b2 , . . . , ~bn heißen Basisvektoren.
Satz: Es sei {~b1 , ~b2 , . . . , ~bn } eine Basis des Rn . Dann läßt sich jeder Vektor ~a
∈ Rn eindeutig als Linearkombination der Basisvektoren darstellen, d.h.
~a = λ1~b1 + λ2~b2 + . . . + λn~bn
mit Konstanten λ1 , λ2 , . . . , λn , die eindeutig bestimmt sind. (λ1 , λ2 , . . . , λn )T heißt
dann Vektor der Koordinaten bezüglich der gegebenen Basis.
Spezialfall: Gegeben seien drei linear unabhängige Vektoren ~a, ~b, ~c ∈ R3 . Jeder
Vektor ~v lässt sich als Linearkombination von ~a, ~b, ~c darstellen.
~v = λ1~a + λ2~b + λ3~c.
Definition: Die Basis {~b1 , ~b2 , . . . , ~bn } heißt orthogonale Basis des Rn , falls je
zwei Basisvektoren orthogonal zueinander sind, d.h.
~bi · ~bj = 0 für i 6= j, j, i = 1 . . . n.
(*)
Die Basis heißt sogar orthonormal, falls sie orthogonal ist und die Basisvektoren den
Betrag (die Länge) 1 besitzen.
Satz: Ist ~b1 , ~b2 , . . . , ~bn ∈ Rn eine orthonormale Basis, dann gilt für alle Vektoren ~a ∈ Rn
~a = λ1~b1 + λ2~b2 + . . . + λn~bn mit λi = ~a · ~bi (i = 1 . . . n).
8