Probeklausur - Lehrstuhl für Optik, Uni Erlangen

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Nur vom Korrektor auszufüllen!
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Note
Experimentalphysik für Naturwissenschaftler I
Universität Erlangen–Nürnberg
WS 2011/12
Probeklausur (1.2.2012)
ANMERKUNG: Name, Matrikelnummer und Studiengang müssen Sie bei der Probeklausur natürlich
nicht angeben, da diese ja nicht eingesammelt wird! Die folgenden Angaben sind nur zu Ihrer Information, damit Sie den Kopf der Klausur schon kennen!
Name (in Druckbuchstaben):
Matrikelnummer:
Studiengang:
Bitte beachten: In die Wertung der Klausur gehen nur 8 der 10 gestellten Aufgaben ein. Kennzeichnen Sie
deshalb deutlich vor Abgabe der Klausur, welche zwei Aufgaben nicht gewertet werden sollen! Sie müssen dies
entscheiden, sonst werden einfach zwei Aufgaben nach Belieben gestrichen. Mit jeder Aufgabe können 8 Punkte
erreicht werden.
Empfehlung: Sehen Sie sich am Anfang der Klausur alle Aufgaben kurz an und entscheiden dann, welche Sie in
welcher Reihenfolge bearbeiten wollen. Sollten Sie eine Teilaufgabe nicht bearbeitet haben, benötigen aber deren
Ergebnis für die nächste Teilaufgabe, so nehmen Sie den angegebenen Wert der Ersatzlösung, kennzeichnen dies
auf Ihrem Blatt und rechnen damit weiter.
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1) Karussell
Gegeben sei ein zunächst ruhendes Karussell, das aus einem homogenen Holzzylinder mit Radius R = 2 m
und Masse M = 160 kg besteht und drehbar um seine Zylinderachse gelagert ist (Trägheitsmoment JZylinder =
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M R2 ). Ein Kind der Masse m = 20 kg springt mit einer Geschwindigkeit v = 5 m/s auf den Rand dieses
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Karussells (siehe Abbildung). Das Kind, welches als punktförmig angenommen werden kann, bleibt auf dem
Rand stehen und versetzt das Karussell in eine Drehbewegung.
(a) Welchen Drehimpuls LK besitzt das Kind bezüglich des Karussell-Mittelpunktes beim Aufspringen (Ersatzlösung LK = 100 Js)?
(b) Wie groß ist das Trägheitsmoment Jges des gesamten Systems, nachdem das Kind aufgesprungen ist (Ersatzlösung Jges = 250 kg m2 )?
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(c) Mit welcher Winkelgeschwindigkeit ω rotiert das Karussell nach dem Aufspringen des Kindes (Ersatzlösung
ω = 1 s−1 )?
(d) Mit welcher Geschwindigkeit bewegen sich die Massenteilchen am Rand des rotierenden Karussells?
2) Rotierender Kegel
Ein Kegel der Masse M = 5 kg besitze eine kreisförmige Grundfläche mit Radius R = 20 cm. Der Kegel rotiere
mit einer Winkelgeschwindigkeit ω0 = 10 s−1 um seine Kegelachse. Sein Trägheitsmoment ist dabei gegeben
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durch J = 10
M R2 .
(a) Berechnen Sie die Größe des Trägheitsmoments (Ersatzlösung 0,3 kg m2 ).
(b) Der rotierende Kegel werde mit einem konstanten Drehmoment D = −0,3 Nm abgebremst. Wie lange dauert
der Abbremsvorgang bis zum Stillstand (Ersatzlösung t = 4 s)?
(c) Wie viele Umdrehungen benötigt der Kegel bis zum Stillstand?
(d) Wie groß war die ursprüngliche Rotationsenergie des rotierenden Kegels? Wie groß wäre sie, wenn der Kegel
mit der ursprünglichen Winkelgeschwindigkeit um eine a = 0,2 m radial verschobene Achse rotieren würde?
3) Monochord
Ein Monochord ist ein einfaches Musikinstrument, bestehend aus einer einzelnen Saite und einem Resonanzkörper. Die Saite ist an beiden Enden fest eingespannt, wobei die Länge l der schwingenden Saite mit Hilfe eines
beweglichen Keils variiert werden kann.
(a) Geben Sie eine Beziehung zwischen der Länge l der Saite, der Wellenlänge λ der Saitenschwingung und der
Anzahl der Schwingungsknoten n ∈ 0, 1, 2, . . . an. (Die beiden trivialen Schwingungsknoten an den beiden festen
Enden sollen dabei nicht mitgezählt werden.)
Für eine Saite der Länge l = 1 m berechnen Sie die Wellenlänge λ der Grundschwingung und des ersten Obertons.
(b) Die Frequenz der Schwingung hängt von der Ausbreitungsgeschwindigkeit cSaite = 200 m/s der Welle entlang
der Saite ab. Berechnen Sie die Frequenz der Grundschwingung und des ersten Obertons.
(c) Die Saitenlänge l soll nun so verkürzt werden, dass der Grundton, die Tonhöhe des ersten Obertons aus
Teilaufgabe (a) annimmt. Skizzieren Sie maßstabsgetreu für die beiden Fälle jeweils die Saitenlänge, die Grundschwingung und die erste Oberschwingung. Es ist hierzu keine Rechnung nötig!
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4) Beugung am Doppelspalt
Rotes Laserlicht (λ = 633 nm) trifft auf eine Blende mit zwei schmalen Spalten im Abstand von a = 1 mm. (Im
Rahmen dieser Aufgabe können die beiden Spalte als Quellen phasengleicher Kugelwellen betrachtet werden.)
Im Abstand von L = 10 m trifft das Licht auf einen Schirm. Hier werden Intensitätsminima und -maxima
beobachtet.
(a) Die Phase einer optischen Welle ist ϕ = 2π
d, wobei d die optische Weglänge ist.
λ
Auf dem Schirm überlagern sich die Lichtfelder beider Spalte. Berechnen Sie den Unterschied ∆d des optischen Wegs und den Phasenunterschied ∆ϕ als Funktion des Orts x. (Hier kann die Kleinwinkelnäherung
tan(α) ≈ sin(α) ≈ α verwendet werden.)
(b) Geben Sie den Phasenunterschied ∆ϕ im Zentrum (bei x = 0) an. Erwartet man hier ein Intensitätsminimum
oder -maximum?
(c) Für x > 0, geben Sie den Ort xmin des ersten Minimums und den Ort xmax des ersten Maximums an.
(d) Wird xmin kleiner oder größer, wenn der Versuch mit grünem Licht (λ ≈ 500 nm) wiederholt wird?
5) Kinderkarussell
Ein Kinderkarussell dreht sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω = 0,200 s−1 um die z-Achse. Der Radius
des Karussells sei mit R bezeichnet.
(a) Berechnen Sie die Periode T .
(b) Die Bahnkurve eines Kindes sei parametrisiert durch den zeitabhängigen Vektor


cos (ωt)
⃗r(t) = R  sin (ωt)  .
0
Bestimmen Sie die Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektoren ⃗v (t) und ⃗a(t) des kleinen Fahrgasts.
(c) Prüfen Sie die Beziehung
⃗v = ω
⃗ × ⃗r.
Bestimmen Sie dazu zunächst den Vektor ω
⃗ . Hinweis: Dreht sich das Karussell im Uhr- oder im Gegenuhrzeigersinn?
(d) Skizzieren Sie das Karussell, sowie die drei Vektoren ⃗r, ⃗v und ⃗a für das Kind zur Zeit t = 0.
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6) Kanone
Eine Kanone gibt einen Schuß ab. Der Austrittswinkel des Geschosses beträgt α = 45◦ zur Horizontalen, bei
einer Austrittshöhe über dem (ebenen) Boden von y0 = 1,0 m. Der Betrag der Abschußgeschwindigkeit ist
v0 = 50 m/s. Reibung werde vernachlässigt.
(a) Geben Sie die Bewegungsgleichungen für die Komponenten x(t) (horizontal) und y(t) (vertikal) der Bahnkurve
an.
(b) Wie viel Zeit benötigt die Kugel für ihren Flug? (Ersatzlösung: tF lug = 8,00 s)
(c) Wie weit fliegt die Kugel?
7) Sprinter
Ein 100 m Läufer tritt bei einem Wettkampf an. Hierfür beschleunigt er die ersten 20 m der Strecke gleichmäßig
vom Stand aus bis zu seiner Höchstgeschwindigkeit von 11, 00 ms und benötigt dafür 3, 64 s. Mit dieser konstanten
Geschwindigkeit sprintet er bis 10 m vor der Ziellinie. Dort beginnt er aufgrund einer Fehleinschätzung bereits
gleichmäßig abzubremsen, wodurch er im Ziel nur noch eine Geschwindigkeit von 8, 50 ms hat.
(a) Welche Zeit benötigt der Sprinter jeweils für die zwei Teilabschnitte "‘Laufen mit Höchstgeschwindigkeit"’
und "‘Abbremsen vor dem Ziel"’ und welche Gesamtzeit für seinen 100 m-Lauf ergibt sich daraus? (Ersatzlösung:
Abschnitt 2: t2 = 10 s, Abschnitt 3: t3 = 1 s, Gesamtzeit: tGesamt = 14, 64 s)
(b) Zeichnen Sie das zum Lauf passende v-t und a-t-Diagramm!
(c) Welche Durchschnittsgeschwindigkeit hatte der Läufer?
8) Parken am Hang
Ein Auto der Masse m = 1000 kg parkt an einem Hang mit einer Steigung von 12% mit angezogener Handbremse. Es wird unter das Vorderrad des Autos ein Keil gelegt, der dieses davor sichern soll, einfach loszurollen.
Aufgrund eines relativ glatten Keils beträgt der Haftreibungskoeffizient aber lediglich µ = 0, 1.
(a) Nun wird die Handbremse des Autos gelöst, so dass nur noch der Keil das Auto am Losfahren hindern könnte.
Welche Kräfte wirken in diesem Moment auf das Auto und wie groß sind sie jeweils? Zeichnen Sie diese Kräfte
in eine passende Skizze ein! (Ersatzlösungen (lediglich für spätere Teilaufgaben benötigte Kräfte!): Normalkraft
FN = 20000 N, Hangabtriebskraft FH = 2500 N)
(b) Reicht der Keil bei dieser Steigung aus, um das Auto zu stabilisieren? Begründen Sie ihre Antwort!
(c) Welchen Haftreibungswert µmin müsste man durch einen anderen Keil mindestens erreichen, damit das Auto
nicht von selbst beginnt, den Hang hinunter zu rollen?
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9) Koffertransport
An vielen Bahnhöfen gibt es neben den Treppen zu den Bahnsteigen Koffertransportbänder für das Gepäck. Sie
verreisen und haben einen 10 kg schweren Koffer. Diesen stellen Sie am unteren Ende auf das Transportband,
welches anläuft und ihren Koffer nach oben befördert. Um langsamer gehende Leute nicht zu überfordern, legt
das Band dabei (parallel zur Bandoberfläche) eine Geschwindigkeit von etwa 20 cm/s zurück. Insgesamt legt das
Band für einen Höhenunterschied von 3 m eine Strecke von 6 m zurück. Alle Bewegungen seien reibungsfrei, das
Gepäckband habe keine Masse.
(a) Unter welchem Winkel ist die Gepäckbandoberfläche zur Horizontalen?
(b) Welche Leistung muss der Gepäckbandmotor zum Transport Ihres Koffers erbringen?
(c) Der Motor hat einen Wirkungsgrad von 80%. Um wieviel Cent erhöht sich durch den Transport Ihres Koffers
die Stromrechnung des Bahnhofsbetreibers bei einem Strompreis von 23 ct/kWh? (Ersatzlösung: 0,001 ct)
(d) Wie lange könnte alternativ für den gleichen Betrag der Zugzielanzeiger auf dem Bahnsteig (Leistungsaufnahme PZ = 500 W) betrieben werden?
10) Motorradshow
Bei einer Motorradshow wollen Sie mit ihrem Motorrad einen Looping (Höhe h = 5 m) durchfahren. Ihre
Maschine hat (inkl. Benzin) eine Masse von 400 kg, Sie selbst wiegen als Durchschnittsmensch 75 kg. Die Bewegungen seien reibungsfrei.
(a) Wie schnell müssen Sie das Motorrad am Boden in den Looping mindestens einfahren lassen, damit Sie
(mitsamt dem Motorrad) nicht herunterfallen? (Ersatzlösung: 10 m/s)
(b) Wie schnell ist das Motorrad in diesem Fall am höchsten Punkt des Loopings?
(c) Welche Geschwindigkeit hat das Motorrad nach Durchfahren des Loopings am Boden?
(d) Wieviel Liter Benzin braucht das Motorrad, um auf die Anfangsgeschwindigkeit zu beschleunigen? (Das
Benzin habe einen Heizwert von 11, 3 kWh/kg und eine Dichte von ρ = 0, 75 kg/l, der Wirkungsgrad von Motor,
Antrieb usw. sei η = 20%)
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