Didaktik des Sachrechnens

Didaktik des Sachrechnens
6. Geometrie in
der Anwendung
– Eine Auswahl
Pont de la Caille, Frankreich (eigenes Foto)
Didaktik des Sachrechnens (Schwerpunkt HRGe)
Dr. A. Brinkmann
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6. Geometrie in der Anwendung
– Eine Auswahl
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6.1 Satzgruppe des Pythagoras
6.2 Ähnlichkeit / Strahlensätze
6.3 Kreislehre
6.4 Weitere Beispiele geometrischer Modellierungen
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6.1 Satzgruppe des Pythagoras
• Zur Satzgruppe des Pythagoras gehören folgende
Sätze:
– Satz des Pythagoras
– Kathetensatz
– Höhensatz
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6.1 Satzgruppe des Pythagoras
• Satz des Pythagoras:
„In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der
Flächeninhalte der beiden Kathetenquadrate gleich dem
Flächeninhalt des Hypotenusenquadrats.“
Wichtige Anwendungen:
Längen- und Abstandsberechnungen
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6.1 Satzgruppe des Pythagoras
Anmerkung:
• Der Kosinussatz ist die Verallgemeinerung des Satzes von
Pythagoras für beliebige Dreiecke:
c 2  a 2  b 2  2ab  cos 
wobei  der Winkel zwischen a und b ist.
Da der Kosinus von 90° gleich null ist, ergibt sich für ein
rechtwinkliges Dreieck der Satz des Pythagoras.
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6.1 Satzgruppe des Pythagoras
• Satz des Pythagoras: Beispielaufgaben und ihre
didaktische Funktion
– Einführung in den Themenbereich
aus: Mathematik heute, Klasse 9, S. 129
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6.1 Satzgruppe des Pythagoras
– außermathematische Anwendung
aus: Schnittpunkt 9, S. 133
aus: MatheNetz 9, S. 67
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6.1 Satzgruppe des Pythagoras
– innermathematische Anwendung
aus: Mathematik heute, Klasse 9, S. 133
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6.1 Satzgruppe des Pythagoras
• Umkehrung des Satzes des Pythagoras
„Ist für ein Dreieck die Summe der Flächen der Quadrate
über den beiden kürzeren Seiten gleich der Fläche des
Quadrates über der längsten Seite, so ist das Dreieck
rechtwinklig.“
Wichtige Anwendung: rechte Winkel festlegen/konstruieren
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6.1 Satzgruppe des Pythagoras
– Umkehrung des Satzes, Beispiel:
aus: Schnittpunkt 9, S. 133
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6.1 Satzgruppe des Pythagoras
– Anmerkung: rechte Winkel lassen sich in manchen
Anwendungsfällen auf andere Weise leichter festlegen.
z. B.: Aufbau eines Schranks oder Gartenhauses, bei dem
eine rechteckige Fläche leicht verscheren kann.
Hier nutzt man die Eigenschaft eines Rechtecks,
längengleiche Diagonalen zu haben. (Dies ist bei einem
Parallelogramm, das kein Rechteck ist, nicht der Fall.)
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6.2 Strahlensätze, Ähnlichkeit
Voraussetzung: g || h
• 1. Strahlensatz: Strecken auf der einen Halbgeraden verhalten sich wie
entsprechende Strecken auf der anderen Halbgeraden. (Hölzl 2009)
AD AC

AE AB
ED BC

AE AB
AD AC

ED BC
• 2. Strahlensatz: Parallele Querstrecken
verhalten sich wie zugehörige Abschnitte
auf den Halbgeraden.
D
E
A
B
C
g
h
AD CD AC


AE BE AB
– Wichtige Anwendungen: Längenberechnungen, Feststellen der
Parallelität zweier Geraden
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6.2 Strahlensätze, Ähnlichkeit
– Beispiel, didaktische Funktion: außermathematische
Anwendung:
aus: Mathematik heute, Klasse 9, S. 126
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6.3 Kreislehre
• Wichtige Anwendungen: Berechnung der Kreisfläche und des
Kreisumfangs (von denen teils andere Größen, die in
Anwendungen betrachtet werden, abhängen)
• Beispiel, didaktische Funktion: Einführung in den
Themenbereich
aus: Schnittpunkt 9, S. 142
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6.3 Kreislehre
– außermathematische Anwendung, Verlebendigung
aus: Schnittpunkt 9, S. 148 (links), S. 156 (rechts)
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6.3 Kreislehre
– außermathematische Anwendung:
aus: Schnittpunkt 9, S. 148
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6.3 Kreislehre
• Aufgabe: Leistung von Windkraftanlagen (Brinkmann 2005)
– Info:
• Die Leistung einer Windkraftanlage hängt von der Größe der
Rotorfläche dieser Windkraftanlage ab (Abbildung 1).
• Leistung ist die in einer Zeiteinheit
umgesetzte Energie und wird in
Watt [W] angegeben.
Abbildung 1: Abhängigkeit der Leistung einer
Windkraftanlage von dem Durchmesser der
Rotorfläche (1 kW = 1000 W)
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6.3 Kreislehre
Aufgabe: Leistung von Windkraftanlagen ff.
a) Kommentiere die Abbildung 1. Was wird hier ersichtlich?
b) Zeige die Abhängigkeit der Leistung einer Windkraftanlage
• von dem Durchmesser der Rotorfläche
• von der Rotorfläche mittels Graphen in einem
Koordinatensystem.
c) Gib für die unter b) dargestellten Abhängigkeiten jeweils eine
Funktionsgleichung an.
d) Welche Rotorfläche ist für eine Windkraftanlage mit einer Leistung
von 3 MW nötig? Begründe. (Hinweis: 1 MW = 1000 kW.)
Welche Länge haben dann die Rotorblätter?
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6.3 Kreislehre
Aufgabe: Leistung von Windkraftanlagen ff.
Info:
– Die Energie, die bei einer Leistung von einem Kilowatt (kW) in einer Stunde
(h) umgesetzt wird, beträgt eine Kilowattstunde (kWh).
– In Deutschland ist durchschnittlich 2000 Stunden im Jahr ausreichend Wind
vorhanden, damit Windkraftanlagen Energie (entsprechend ihrer Leistung)
produzieren können.
– Ein durchschnittlicher Haushalt in Deutschland hat einen Jahresverbrauch
von näherungsweise 4000 kWh elektrische Energie pro Jahr.
e) Berechne die durchschnittliche Energiemenge in kWh, die von einer
Windkraftanlage mit einer Leistung von 1,5 MW im Laufe eines Jahres in
Deutschland produziert wird.
Wie viele durchschnittliche Privathaushalte könnten in Deutschland
theoretisch von einer 1,5 MW Windkraftanlage mit elektrischer Energie
ausreichend versorgt werden? Warum handelt es sich bei der errechneten
Anzahl nur um einen theoretischen Wert?
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6.3 Kreislehre
Aufgabe: Leistung von Windkraftanlagen ff.
f) Angenommen, eine 600 kW Windkraftanlage erbringt volle Leistung
bei einer Windgeschwindigkeit von 15 m/s gemessen an der
Rotorachse. Wie schnell bewegen sich dann die Spitzen der
Rotorblätter, wenn die Rotorblätter 15 Umdrehungen pro Minute
durchführen? Gib diese Geschwindigkeit sowohl in m/s als auch in
km/h an und vergleiche mit der Windgeschwindigkeit.
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6.3 Kreislehre
– didaktische Funktionen:
• Außermathematische Anwendung (Erwerb von Wissen im
Bereich des Sachkontextes),
• Innermathematisch: Quadratische Funktionen mit einem
Funktionsterm der Form ax2 + b lassen sich durch
Substitution von x2 linearisieren (wichtig für
Modellierungsprozesse).
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6.4 Weitere Beispiele geometrischer
Modellierungen
•
Besondere Linien im Dreieck (z. B. Mittelsenkrechte, Winkelhalbierende)
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6.4 Weitere Beispiele geometrischer
Modellierungen
•
Besondere Linien im Dreieck (z. B. Mittelsenkrechte, Winkelhalbierende)
Mathematik plus 7, S. 62, Aufgabe 7
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Literatur
• Brinkmann, Astrid & Brinkmann, Klaus. 2005. Mathematikaufgaben
zum Themenbereich Rationelle Energienutzung und Erneuerbare
Energien.
• Hölzl, Reinhard. 2009. Ähnlichkeit. In: Weigand, Hans-Georg (Hrsg.):
Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I. Spektrum
Akademischer Verlag, Heidelberg, S. 215-237.
• Schulbücher:
– Schnittpunkt 9, 1. Auflage, Klett-Verlag, Stuttgart 2009.
– MatheNetz 9, Auflage A1, Bildungsverlage Westermann, Schroedel,
Diesterweg, Schöningh Winklers GmbH, Braunschweig 2004.
– Mathematik heute, Klasse 9, Auflage A2, Bildungsverlage Westermann,
Schroedel, Diesterweg, Schöningh Winklers GmbH, Braunschweig 2008.
– Mathematik plus, Gymnasium Klasse 7, Nordrhein-Westfalen, Volk und
Wissen, Berlin 2001.
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