Mathematik für Informationsmanagement • WiSe 2016

Mathematik für Informationsmanagement • WiSe 2016/2017
Übungsblatt 12
Zur Bearbeitung in der Übung am 07.02.2017
Vorlesung: Dr. Mark Steinhauer
Übungen: Dr. Mark Steinhauer • Marco Böhm • Mirjam Schön • Thomas Senkowski • Danniene Wete
Aufgabe 12.1 (10 Punkte)
Bei einem Angebotsmonopol seien die folgenden Funktionnen gegeben: Die Nachfragefunktion und die
Kostenfunktion:
1
p(x) = − x + 10 und K(x) = 2x + 60 .
5
a) Wie lauten die Erlösfunktion und die Gewinnfunktion ?
b) Berechnen Sie die beiden Grenzen der Gewinnzone.
c) Wie groß ist der Gewinn, wenn der Umsatz (Erlös) am größten ist?
d) Wo liegt das Gewinnmaximum? Wie groß ist der maximale Gewinn?
e) Welcher Preis wird im Gewinnmaximum gefordert?
Aufgabe 12.2 (10 Punkte)
Ein Betrieb stellt ein Produkt her, für das die folgende Preis - Absatz - Funktion p(x) und die Gesamtkostenfunktion K(x) bestimmt wurden:
K(x) = 10x2 − 2680x + 168000
p(x) = 2520 − 30x
a) Bestimmen Sie die Erlösfunktion E(x) und die Gewinnfunktion G(x).
b) Wo wird der Erlös maximal? Wo liegt das Gewinnmaximum?
c) Bestimmen Sie die Gewinnschwellen.
d) Wie lautet die Deckungsbeitragsfunktion? Wo wird der Deckungsbeitrag maximal?
e) Wo liegt das Minimum der Kostenfunktion? Wie hoch sind die minimalen Kosten?
Hinweis zu d): Der Deckungsbeitrag ist der um die variablen Kosten verminderte Erlös, d. h. :
D(x) := E(x) − Kvar (x) .
Aufgabe 12.3 (10 Punkte)
a) Bestimmen Sie das Betriebsoptimum eines Unternehmens, dessen Gesamtkostenfunktion durch
K(x) = 0, 3x2 + 12x + 180 gegeben ist.
b) Ein Unternehmen produziere mit einer Gewinnfunktion G(x) = −x3 + 120x2 − 468x − 4024. Für welche
Ausbringungsmenge x wird der Gewinn maximal?
Hinweis zu a): Das Betriebsoptimum ist diejenige Ausbringungsmenge x, für welche die Stückkosten k(x) :=
K(x)
minimal sind.
x
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Aufgabe 12.4 (10 Punkte)
Ein Monopolist produziere mit einer Kostenfunktion K(x) = x3 + 4x2 + 7x + 28 und sehe sich einer Preis Absatz - Funktion p(x) = 70 − 2x gegenüber.
a) Wie lautet die Gewinnfunktion, für welche Menge x wird der Gewinn maximal und wie groß ist dann der
maximale Gewinn?
b) Welche abgesetzte Menge x maximiert den (Verkaufs-) Erlös? Wie groß ist dort der Gewinn?
c) Welcher Preis kann im Gewinnmaximum erzielt werden?
Aufgabe 12.5 (10 Punkte)
Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch?
a) Die Funktion f mit f(x) = x2 + ex ist überall konvex.
b) Die Stückkostenfunktion k mit k(x) = 2017 −
richtig falsch 2017
ist mit zunehmendem Output x monoton fallend.
x2
richtig falsch c) Die Stückkostenfunktion k mit k(x) = ln (x2 ) − x2 , (x > 0), hat ein lokales Minimum für x = 1.
richtig falsch 100 + 3Y
strebt die Sparsumme S für wachsendes Einkommen Y
25 + 0, 6Y
immer mehr gegen 5.
richtig falsch 4, 5x + 60
für 0 < x ≤ 40
e) Die Angebotsfunktion pA mit pA (x) =
ist im Intervall 0 < x <
2x + 160
für 40 < x ≤ 100
100 überall stetig.
richtig falsch d) Bei der Sparfunktion S mit S(Y) =
Begründen Sie die richtigen Aussagen und geben Sie bei den falschen jeweils ein Gegenbeispiel an! Begründung
oder Gegenbeispiel sollten kurz ausfallen (eine Zeile genügt!).
Aufgabe 12.6 (10 Punkte)
Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch?
a) Es gibt eine geometrische Folge (an ) mit |an | = 1 für alle n ∈ N, die aber nicht konvergiert.
richtig falsch b) Eine geometrische Folge (an ) = (a1 · qn−1 ) kann nur die Grenzwerte 0 oder 1 besitzen.
richtig falsch c) Wenn (an ) und (bn ) geometrische Folgen sind, so ist auch (cn ) = (an + bn ) eine geometrische Folge.
richtig falsch √
d) Wenn (an ) eine geometrische Folge ist mit an > 0 für alle n ∈ N, so ist auch bn := an eine
geometrische Folge.
richtig falsch e) Wenn (an ) = (a1 · qn−1 ) eine geometrische Folge ist mit a1 > 0 und q > 1, so ist
ln (an ) = ln a1 + (n − 1) ln q eine arithmetische Folge.
richtig falsch Begründen Sie die richtigen Aussagen und geben Sie bei den falschen jeweils ein Gegenbeispiel an! Begründung
oder Gegenbeispiel sollten kurz ausfallen (eine Zeile genügt!).
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