Kapitel 2 – Algebra

Inhalt
2.1 Zahlbereiche
N, Z, Q, R
2.2 Terme und (Un-) Gleichungen
Lineare und quadratische Gleichungen, Nullstellen von Polynomen
Kapitel 2
und gebrochenrationalen Funktionen, Ungleichungen
Algebra und Arithmetik
2.3 Lineare Gleichungssysteme
Verfahren (insb. Gauß-Algorithmus) und Anwendungen
2.4 Spezielle Funktionen
Potenzen und Wurzeln, Exponentialfunktion und Logarithmen,
Winkelfunktionen, …
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Kapitel 2: Algebra
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2.1 Zahlbereiche
Zahlbereiche
Man nennt die Mengen N, Z, Q, R zusammen mit ihren Operationen
(+, –, ∙, .) Zahlbereiche. Es handelt sich um Erweiterungen in dem
Sinne, dass
- die Mengen ineinander enthalten sind (N  Z  Q  R),
- die Operationen sich fortsetzen, und
- jeweils neue Operationen hinzukommen.
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2.1.1 Die natürlichen Zahlen N
Primzahlen
Seien a und b natürliche Zahlen. Wir sagen “a teilt b”
(geschrieben a  b), falls es eine natürliche Zahl z gibt mit b = za.
Die natürlichen Zahlen sind die Zahlen
Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl > 1, die als natürliche Teiler nur
0, 1, 2, 3, 4 ...;
1 und sich selbst hat.
die Menge der natürlichen Zahlen wird mit N bezeichnet.
Nach DIN-Norm 5473 gehört die Null zu den natürlichen Zahlen!
Anders ausgedrückt: Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl,
die genau (nur!) zwei positive Teiler hat.
Zur Bedeutung der natürlichen Zahlen schreibt L. Kronecker (1823 1891): „Die natürlichen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere
Primzahlen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, ...
ist Menschenwerk.“
Die größte heute bekannte Primzahl ist 220.996.011 – 1, eine Zahl mit
6.320.430 Dezimalstellen.
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Kapitel 2: Algebra
Das Sieb des Eratosthenes
Aufgabe
Wie findet man Primzahlen? Schwieriges Problem! Bis heute kennt
man keine Formel für Primzahlen!
Das Sieb des Eratosthenes (Eratosthenes von Kyrene 284 - 200 v.
Chr.).
Um alle Primzahlen  n zu finden, geht man wie folgt vor:
Bestimmen Sie mit dem Sieb des Eratosthenes alle Primzahlen unter
100.
1.Schreibe die Zahlen 2, 3, ..., n auf.
2. Die erste Zahl ist eine Primzahl. Streiche alle Vielfachen dieser
Zahl!
3. Die erste freie Zahl ist die nächste Primzahl. Streiche alle
Vielfachen dieser Zahl.
Usw.
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Darstellung einer nat. Zahl durch Primzahlpotenzen
Faktorisierungsweltrekord (2003)
18819.881292.060796.383869.723946.165043.980716.356337.
941738.270076.335642.298885.9715234.665485.319060.606504.
743045.317388.011303.396716.199692.321205.734031.879550.
656996.221305.168759.307650.257059
Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie.
Für jede natürliche Zahl n  2 gibt es eindeutig bestimmte
=
Primzahlen p1, p2, ..., pr und eindeutig bestimmte positive ganze
3980.750864.24064.937397.125500.550386.491199.064362.
Zahlen e1, e2, ..., er, so dass gilt:
342526.708406.385189.575946.388957.261768.583317
×
472.772146.107435.302536.223071.973048.224632.914695.
n = p1e1p2e2...prer.
302097.116459.852171.130520.711256.363590.397527
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Unendlichkeit der Primzahlen
Euklids Trick
Satz (Euklid). Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Wir betrachten die Zahl n = p1p2...ps + 1.
Mit anderen Worten: Die Folge der Primzahlen bricht nie ab.
Da n nach Annahme keine Primzahl sein kann, wird n durch eine
Nochmals anders gesagt: Es gibt keine größte Primzahl!
der Primzahlen p1, p2, ..., ps geteilt (weil es keine anderen
Zu jeder vorgegebenen Grenze gibt es immer noch eine Primzahl,
Primzahlen gibt)! Also gibt es ein solches pi, das n teilt:
die größer als diese Grenze ist!
pi  n = p1p2...ps + 1.
Beweis. Der Beweis erfolgt durch Widerspruch.
Ferner teilt pi auch das Produkt p1p2...ps. Das heißt:
Wir nehmen an, dass die Aussage des Satzes falsch ist, dass es
pi  p1p2...ps.
also nur endlich viele, sagen wir s, Primzahlen gibt. Man kann also
Dann teilt pi auch die Differenz dieser beiden Zahlen:
prinzipiell die Folge der s Primzahlen hinschreiben: p1 (= 2), p2 (=
pi  p1p2...ps + 1 – (p1p2...ps) = 1.
3), p3, ..., ps; die Zahl ps wäre also die größte Primzahl.
Also müßte die Primzahl pi die Zahl 1 teilen: Widerspruch! 
Diese Annahme müssen wir zu einem Widerspruch führen.
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2.1.2 Die ganzen Zahlen Z
Rechengesetze in Z
Um mit den ganzen Zahlen rechnen zu können, müssen wir auf der
Menge Z noch Rechenregeln definieren.
Die natürlichen Zahlen N sind abgeschlossen bzgl. Summenbildung.
D.h. für je zwei natürliche Zahlen n, m ist auch die Summe n + m
Wir definieren (wie üblich) für n, m  N:
(-n) + (-m) = - (n + m)
immer eine natürliche Zahl.
Die Differenz zweier natürlicher Zahlen muss jedoch keine natürliche
(-n)  (-m) = n  m („minus mal minus gibt plus“)
usw.
Zahl sein (z.B. 3 - 5  N). Um eine Menge zu erhalten, die auch bzgl.
Differenzbildung abgeschlossen ist, müssen wir N erweitern.
Warum definieren wir die Rechenregeln gerade so?
Wir definieren die Menge der ganzen Zahlen wie folgt:
Mit diesen Regeln gelten die üblichen Gesetze: Kommutativgesetz,
Z := N  { -n | n  N }.
Assoziativgesetz, Distributivgesetz, ... („Permanenzprinzip“)
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2.1.3 Die rationalen Zahlen Q
Bruchrechnung
p
heißt p Zähler und q Nenner.
q
p
a p
Für jede ganze Zahl a  0 stellen die Brüche q und a  q dieselbe
rationale Zahl dar. Das bedeutet: Erweitern und Kürzen mit einer
Der Quotient zweier ganzer Zahlen ist i. A. keine ganze Zahl. Man kann
also i. A. nicht (ohne Rest) dividieren. Die Menge Z der ganzen Zahlen
Bei einem Bruch
ist nicht abgeschlossen bzgl. der Division.
Man erhält die rationalen Zahlen, indem man fordert, dass die Division
ganzen Zahl  0 ändert den Wert eines Bruches nicht.
abgeschlossen sein soll, d.h. dass jede Zahl ≠ 0 ein multiplikatives
Inverses haben soll.
p1
Die Menge der rationalen Zahlen besteht aus den Bruchzahlen.
q1  q2
(Achtung: 1/2 und 2/4 sind verschiedene Brüche, stellen aber die
.
Wir definieren ihr Produkt durch
gleiche Bruchzahl dar.)
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p2
Seien q und q zwei rationale Zahlen. Wir definieren ihre Summe
1
2
durch p  q  p  q
1
2
2
1
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p1 p 2 p1  p 2


.
q1 q 2 q1  q 2
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Der Körper der rationalen Zahlen
Aufgabe
Definition: Eine Menge K mit + und  bildet einen Körper, wenn
– die beiden Operationen assoziativ und kommutativ sind,
– es ein neutrales Element 0 bzgl. der Addition und ein neutrales
Element 1  0 bezüglich der Multiplikation gibt,
– jedes Element ein additives Inverses und jedes von 0
verschiedene Element ein multiplikatives Inverses hat,
– das Distributivgesetz gilt.
Ein Körper ist eine Struktur, in der man wie gewohnt rechnen kann.
Satz. Die Menge Q der rationalen Zahlen bildet zusammen mit +
und  einen Körper. Man spricht auch vom Körper der rationalen
Zahlen.
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Brüche sind endliche oder periodische Dezimalbrüche!
Beispiel: rein periodische Dezimalbrüche
Sei p/q eine Bruchzahl. Man erhält den zugehörigen Dezimalbruch
(„Kommazahl“), indem man p durch q teilt. Dabei gibt es zwei Fälle:
Beispiele:
0, 3 
3 1
 .
9 3
1. Fall: Irgendwann entsteht als Rest bei der Division 0. Dann
entstehen ab dieser Stelle immer nur Nullen. D.h. es liegt ein endlicher
0,17 
Dezimalbruch vor.
Beispiel: 3/8 = 3 : 8 = 0,375
0, 875 
2. Fall. Alle Reste sind  0. Da die Reste < q sind, müssen sie sich
nach spätestens q–1 Schritten wiederholen. Es liegt ein periodischer
Dezimalbruch vor. Die Periodenlänge ist  q– 1.
0, 9 
17
.
99
875
.
999
9
 1.
9
Allgemein: 0, z1z 2 z k =
z1 10k 1  z 2 10k 2    z k 1 10  z k
10k  1
Beispiel: 3/7 = 3 : 7 = 0,428571
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2.1.4 Die reellen Zahlen R
Die Entdeckung der Irrationalität
Grundvorstellung: Die reellen Zahlen sind genau die Dezimalbrüche.
Die Entdeckung der Irrationalität bei den Pythagoräern (ca. 500 v.
Chr.) war ein Schock. Denn sie waren davon überzeugt, dass „alles
Dezimalbrüche können endlich, periodisch oder nichtperiodisch sein.
Zahl ist“, und das heißt „rationale“, und damit im wesentlichen
„ganze“ Zahl ist.
Ein nicht-endlicher, nichtperiodischer Dezimalbruch ist eine reelle Zahl,
die nicht rational ist.
Sie entdeckten am regelmäßigen Fünfeck, dass es Zahlen gibt,
- die unzweifelhaft existieren, da sie geometrische Größen sind,
- von denen man aber beweisen kann, dass man sie nicht durch
Beispiele für solche irrationalen Zahlen:
0,1010010001000010000010000001…
einen Bruch darstellen kann.
2 = 1,41421356237309504880168872420969807856967187537 …
Satz. Das Verhältnis von Länge einer Diagonale zur Seitenlänge
 = 3,1415926535897932384626433832795028841971693993 …
eines regulären Fünfecks ist keine rationale Zahl.
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Wurzeln sind irrational
Formale Definition von R
Die reellen Zahlen kann man formal definieren, indem man fordert,
dass jede Intervallschachtelung genau eine reelle Zahl erfasst.
Der berühmteste Irrationalitätsbeweis ist der für 2.
Eine Folge [an, bn] von abgeschlossenen nichtleeren Intervallen heißt
eine Intervallschachtelung, falls sie folgende Eigenschaften hat:
Satz. 2 ist keine rationale Zahl.
(a) [a1, b1]  [a2, b2]  [a3, b3]  [a4, b4]  …
Beweis durch Widerspruch. Angenommen, es gibt eine Bruchzahl m/n
mit m/n = 2. Daraus folgt (m/n)2 = 2, also m2 = 2n2.
(b) für alle e > 0 gibt es eine Nummer N, so dass für alle n  N die
Nun kommt in m2 die Primzahl 2 in gerader Anzahl vor, während sie
in 2n2 in ungerader Anzahl vorkommt: Widerspruch. 
Ungleichung bn–an < e gilt („die Intervalle werden beliebig klein“).
Diese Idee ist im Grunde sehr alt, formal beschrieben wurde sie von B.
Bolzano (1781 – 1848).
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Ausblick: C
2.2 Terme und (Un-) Gleichungen
Es gibt auch noch einen Erweiterungskörper von R, nämlich die
komplexen Zahlen C.
Eine komplexe Zahl hat die Form
z = a + ib,
wobei a und b reelle Zahlen sind und i die imaginäre Einheit ist, für die
gilt
i² = -1.
Mehr dazu im 2. Semester.
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Variablen
Terme
Definition: Jede reelle Zahl ist ein Term, jede Variable ist ein Term.
Wenn man Terme zueinander addiert, voneinander subtrahiert,
miteinander multipliziert oder durcheinander dividiert, erhält man
Eine Variable (auch Unbekannte genannt) ist irgend eine Folge von
Buchstaben und Zahlen.
wieder einen Term. Wenn man auf einen oder mehrere Terme ‚in der
Beispiele: x, y, z, X, Y, Z, a, b, c, p, r, x1, f17, SUMME, PRODUKT1-5,
cos, mod, ...) anwendet, erhält man wieder einen Term.
Mathematik übliche„ Operationen (Potenzieren, Differenzieren, sin,
MONTAG, Student, ...
Beispiele: Terme sind
Vorstellung: Statt einer Variablen können wir eine Zahl einsetzen.
1, 0, , 65537, x, Y,
x+y, f+m, 5a, fit + fun, (a+b)2, x5+3x2+7, (x+1)/(x–1),
xy, sin(x2), (x5–3x+1)„, 3000 mod 17, …
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Polynome
Gleichungen
Definition: Eine Gleichung besteht aus zwei Termen, die durch ein
Besonders wichtige Terme sind die Polynome.
Gleichheitszeichen verbunden sind.
Polynome (auch: ganzrationale Funktionen) haben die Form
Beispiele: 7 = 5, x = 1, x2 = 1, x2 + y2 = 1, ...
Definition: Eine Lösung einer Gleichung ist ein Satz von reellen
Zahlen (pro Variable eine Zahl), so dass diese in die Gleichung
mit reellen Koeffizienten a0, …, an.
eingesetzt, die Gleichung zu einer wahren Aussage machen.
Beispiele: x3 + x + 1, x, x1000, 5x8 – 3x2 + 4.
Bemerkung: Eine Gleichung kann keine Lösung, genau eine Lösung,
Keine Polynome sind 2x, sin(x), ln(x), 1/x, x.
endlich viele Lösungen oder unendlich viele Lösungen haben (siehe
Beispiele oben).
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Typen von Gleichungen
Maximalzahl von Lösungen
Wir betrachten vorerst nur Gleichungen in einer Unbekannten x.
Lineare Gleichung: Die Unbekannte kommt nur in der ersten Potenz
Satz. Jede lineare Gleichung hat höchstens eine Lösung.
vor.
Satz. Jede quadratische Gleichung hat höchstens zwei Lösungen.
Beispiele: 3x + 5 = 14, 512x – 7 = 13.000 + 11x, ...
Verallgemeinerung:
Quadratische Gleichung: Die Unbekannte kommt in zweiter Potenz
(also als
x2)
Satz. Jede Gleichung n-ten Grades hat höchstens n Lösungen.
vor; kleinere Potenzen dürfen auch vorkommen.
Beispiele: x2 = 2, 7x2 + 13x + 2 = 0, 7x + 5x2 = 5 – 1000x2, ...
Anwendung: Wenn wir n Lösungen einer Gleichung n-ten Grades
Gleichung n-ten Grades: In ihr kommt die Unbekannten als n-te
gefunden haben, brauchen wir nicht weiter zu suchen.
Potenz vor; kleinere Potenzen dürfen auch vorkommen.
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Wie erhält man Lösungen?
1. Lösungsmethode: Systematisches Probieren
Grundidee: Man rechnet für einige Werte von x die rechte und die
linke Seite aus und „pirscht“ sich so an eine Lösung „heran”.
0. Probieren
Beispiel: Wir wollen die Gleichung x2 + 3x = 108 lösen.
1. Systematisches Testen (etwa mit Hilfe einer Wertetabelle)
2. Graphische Lösungsverfahren
3. Algebraische Lösungsverfahren
–1
1
20
10
8
9
–10 –12
x
0
L.S.
R.S.
0
–2 4
460 130 88 108 70 108
108 108 108 108 108 108 108 108 108
Lösungen: 9 und –12.
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2. Lösungsmethode: Graphisches Verfahren
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3. Lösungsmethode: Algebraische Methoden
Rezept: Man fasst L.S. und R.S. als Funktion auf und zeichnet die
Eine Gleichung geht aus einer anderen durch eine Äquivalenzumfor-
Graphen. Die Stellen, an denen sich die Graphen schneiden, sind
mung hervor, wenn beide Gleichungen die gleichen Lösungen haben.
die Lösungen. Klar: An diesen Stellen gilt: L.S. = R.S.
Die Idee ist, eine Gleichung durch Äquivalenzumformungen solange
Beispiel: x2 = 10x – 9.
umzuformen, bis man zu einer so einfachen Gleichung kommt,
Die Funktion, die der linken Seite entspricht, ist y = x2, also die
an der man die Lösungen direkt ablesen kann.
Normalparabel. Die Funktion, die der rechten Seite entspricht, ist
Satz. Folgende Operationen sind Äquivalenzumformungen:
y = 10x – 9: die Gleichung einer Geraden mit Steigung 10 und y-
(1) Addition oder Subtraktion einer Zahl.
Achsenabschnitt –9.
(2) Multiplikation mit einer Zahl  0 oder Division durch eine Zahl  0.
Die Graphen der beiden Funktionen schneiden sich an den Stellen
(3) Addition oder Subtraktion eines Vielfachen der Unbekanten x.
x = 1 und x = 9; also sind dies die Lösungen.
(4) Addition oder Subtraktion eines Vielfachen von x2, …
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Quadratische Gleichungen
Ein Beispiel
Wir betrachten x2 – 10x + 9 = 0.
Wenn die linke Seite x2 – 10x + 25 wäre, dann würden wir
schreiben: x2 – 10x + 25 = (x – 5)2, und könnten die Gleichung lösen.
Durch Äquivalenzumformungen können wir jede quadratische
Wir addieren auf jeder Seite die Zahl 16 (Äquivalenzumformung)
Gleichung auf die Form ax2 + bx + c = 0 bzw. (indem wir durch a
dividieren) auf die Form x2 +px + q = 0 bringen.
x2 – 10x + 9 + 16 = 16,
x2 – 10x + 25 = 16
Der Grundmechanismus für alle Lösungsverfahren für quadratische
(x – 5)2 = 16.
Gleichungen ist die quadratische Ergänzung.
Diese beruht auf der 1. bzw. 2. binomischen Formel.
Wir „ziehen auf beiden Seiten die Wurzel“ und erhalten x – 5 = 4.
Achtung: Die Gleichung z2 = 16 hat zwei Lösungen, 4 und –4.
Die Gleichung hat die Lösungen x = –4+5 = 1 und x = 4+5 = 9.
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Die p,q-Formel
Beweis
Daraus folgt (x + p/2)2 = p2/4 – q,
Satz. Sei x2 + px + q eine quadratische Gleichung. Diese hat die
also
Lösungen
x + p/2 =  (p/2)2 – q, und somit x1,2 = –p/2  (p/2)2 – q
x1,2 = –p/2  (p /2)2 – q
Die Wurzel hat genau dann eine Lösung, wenn p2/4 – q  0, also
Insbesondere gilt: Die Gleichung ist genau dann lösbar, wenn p2/4 
q ist. In diesem Fall hat sie genau dann nur eine Lösung, wenn
p2/4  q ist.
p2/4
Die Lösung ist genau dann eindeutig, wenn die Wurzel gleich Null ist,
= q ist, und sonst zwei Lösungen.
also wenn p2/4 = q ist. 
Beweis. Wir führen die quadratische Ergänzung durch, indem wir auf
beiden Seiten
x2
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p2/4
+ px +
Achtung! Der Übergang von x2 = a zu x = a (“auf beiden Seiten
– q addieren:
p2/4
=
x2
+ px + q +
p2/4
–q=
p2/4
die Wurzel ziehen”) ist keine Äquivalenzumformung, sondern eine
– q.
Verlustumformung. Denn die Lösung x = –a geht dabei verloren.
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Beispiele
Aufgaben
1. Lösen Sie die folgenden quadratischen Gleichungen:
(a) 4x2 – 1 = 0,
(b) x2 – 4x + 1 =0,
(c) (2x – 3)2 = (x – 1) (x – 4) + 9x,
(d) 3x2 – 4ax + a2 = 0.
2. Für welche Werte von c hat die Gleichung x2 – (c + 2) x + 1 = 0
genau 0, 1 bzw. 2 Lösungen?
3. Beweisen Sie den Satz von Vieta: Sind x1 und x2 die Lösungen
der quadratischen Gleichung x2 + px + q = 0, so gilt:
x1 + x2 = – p und x1  x2 = q.
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Φ in der Kunst
Aufgabe
Viele Künstler verwendeten den goldenen Schnitt bewusst, da sich
dieses Verhältnis als besonders ästhetisch erwiesen hat.
Definition. Sei AB eine Strecke. Ein Punkt S auf AB teilt AB im
goldenen Schnitt, falls sich die größere Teilstrecke M zur kleineren
Teilstrecke m so verhält wie die Gesamtstrecke zum größeren Teil.
Zeigen Sie: Ein Punkt S teilt eine Strecke AB genau dann im goldenen
Schnitt, wenn
M / m = (1 + √5) / 2 ≈ 1,618
ist.
Die Zahl (1 + √5) / 2 wird mit Φ („phi“) nach dem Bildhauer Phidias
bezeichnet, der in seinen Werken den goldenen Schnitt oft genutzt hat.
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Seite 11
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Aufgabe
Beispiel: Biquadratische Gleichung
Eine zweiziffrige Zahl hat die Quersumme 5. Vertauscht man die Ziffern
und multipliziert die neue Zahl mit der ursprünglichen, so ist das
Produkt um 560 größer als die ursprüngliche Zahl.
Wie lautet die ursprüngliche Zahl?
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Kapitel 2: Algebra
Beispiel: Lösen durch Ausklammern
Wurzelgleichungen
Idee: Man isoliert die Wurzel, quadriert dann die Gleichung und
rechnet dann weiter.
Achtung: Beim Quadrieren gewinnt man eine Lösung (Gewinnumformung). Daher muss man am Ende überprüfen, ob die
gefundenen Zahlen wirklich Lösungen der Ausgangsgleichung sind.
Beispiel: x – x + 2 = 0.
Isolieren der Wurzel: x +2 = x + 2.
Quadrieren: x2 = x + 2
Lösen: x1 = 2, x2 –1
Probe: nur 2 ist eine Lösung.
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Aufgaben
Nullstellen von Polynomen
Satz. Sei f ein Polynom,
(a) Sei x1 eine Nullstelle, d.h. eine Lösung der Gleichung f = 0.
Lösen Sie die folgenden Wurzelgleichungen:
x  13  4x  4
Dann kann man f schreiben als f = (x – x1)g, wobei g ein Polynom
ist. („Man kann dann einen Linearfaktor abspalten“.)
(b) Sei n der Grad von f. Wenn f die n verschiedene Lösungen
3x  7  3x  15  4
x1, x2, …, xn hat, dann gilt
x  5  x  12  1  0
f = a(x – x1) (x – x2) … (x – xn) mit a  R.
(c) Sei f = x2 + px + q ein quadratisches Polynom mit Nullstellen x1
und x2. Dann gilt f = (x – x1) (x – x2).
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Kapitel 2: Algebra
Polynomdivision
Beispiel
Um das Polynom g in f = (x – x1)g zu bestimmen, kann man eine
Polynomdivision durchführen.
Beispiel:
Die Nullstellen von g sind dann die restlichen Nullstellen von f. Im Beispiel hat g die Nullstellen -2 und -3, also hat f die Nullstellen 1, -2, -3.
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Aufgaben
Gebrochenrationale Funktionen
Lösen Sie die folgenden Gleichungen:
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Beispiel 1: Nullstellen gebrochenrationaler Funktionen
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Beispiel 2: Nullstellen gebrochenrationaler Funktionen
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Polstellen
Ungleichungen
Beispiele:
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Beispiel 1
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Beispiel 2
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Beispiel 3
Aufgaben
Bestimmen Sie die Lösungsmengen folgender Ungleichungen:
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Kapitel 2: Algebra
2.3 Gleichungssysteme
Gleichungssysteme
Definition. (a) Ein Gleichungssystem besteht aus mehreren
Gleichungen, in denen in der Regel mehrere Variable vorkommen.
(b) Ein Gleichungssystem heißt linear, wenn alle Gleichungen in ihm
lineare Gleichungen sind. Wir betrachten nur lineare Gleichungssyst.
Beispiel: Folgendes Gleichungssystem ist linear
3x + 2y + z = 5
2x + 7y – 3z = 0
x + 2z = 2
Folgendes Gleichungssystem ist nicht linear:
x2 + 2z = 1
3x + yz = 0.
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Lösungen linearer Gleichungssysteme
Idee der Lösungsverfahren
Probleme: 1. Ist ein gegebenes lineares Gleichungssystem lösbar?
Es gibt verschiedene Lösungsmethoden.
D.h.: besitzt es (mindestens) eine Lösung? Eine Lösung besteht
Mathematisch laufen letztlich alle auf das Gleiche hinaus.
dabei aus einem Satz von Zahlen (für jede Unbekannte eine), die
Lösung jeder Gleichung des Systems sind.
2. Wie berechnet man die Lösungen?
Grundlegende Idee: Forme das Gleichungssystem so um,
dass am Ende nur eine Gleichung mit einer Unbekannten übrig
Bemerkung: Es gibt lineare Gleichungssysteme, die keine Lösung
bleibt.
haben, solche, die genau eine Lösung haben und solche, die
1. Einsetzungsverfahren
unendlich viele Lösungen haben.
2. Gleichsetzungsverfahren
3. Additions- (Subtraktions-)verfahren
Beispiele:
x+y=1
x+y=1
x+y=1
x+y=2
x–y=1
2x + 2y = 2
4. Verfahren von Gauß
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Einsetzungsverfahren
Beispiel zum Einsetzungsverfahren
x+y–z=1
2x + 3y + 4z = 5
x + 2y + z = 2
Rezept: Man löst eine Gleichung nach einer Unbekannten auf, setzt
dann dies anstelle der Unbekannten in die anderen Gleichungen ein.
Wir lösen die erste Gleichung nach z auf und erhalten z = x + y – 1.
So erhält man ein Gleichungssystem, das eine Unbekannte und eine
Dies setzen wir in die zweite und dritte Gleichung ein und erhalten
Gleichung weniger hat.
5 = 2x + 3y + 4(x + y – 1)
Dann kann man auf das neue System erneut dieses Verfahren (oder
also
ein anderes) anwenden.
9 = 6x + 7y
2 = x + 2y + x+y – 1,
3 = 2x + 3y
Daraus erkennt man die Lösung x = 3/2, y = 0, z = 1/2.
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Gleichsetzungsverfahren
Beispiel
Danach sieht das Gleichungssystem so aus:
Rezept: Man löst alle Gleichungen nach einer Unbekannten (oder
einem Vielfachen der unbekannten auf). Dann setzt man die
2x + 2y – 2z = 2
erhaltenen Gleichungen gleich und erhält dadurch eine System mit
2x + 3y + 4z = 5
einer Unbekannten weniger und einer Gleichung weniger.
2x + 4y + 2z = 4
Nun lösen wir die drei Gleichungen nach 2x auf:
Beispiel. Wir benutzen obiges Beispiel.
2x = 2 – 2y + 2z
Wir multiplizieren die erste und die dritte Gleichung mit 2 (dabei
2x = 5 – 3y – 4z
verändern sich die Lösungen dieser Gleichungen nicht –
2x = 4 – 4y –2z
Äquivalenzumformungen!), und also auch die Lösung des gesamten
Wir setzen die erste und zweite, sowie die erste und dritte Gleichung
Systems nicht.
gleich (man könnte auch andere Paare wählen) und erhalten
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Kapitel 2: Algebra
Beispiel (Fortsetzung)
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Additions- bzw. Subtraktionsverfahren
2 – 2y + 2z = 5 – 3y – 4z
2 – 2y + 2z = 4 – 4y –2z,
Rezept: Wir multiplizieren eine Gleichung so, dass bei Addition oder
also
Subtraktion mit einer anderen Gleichung eine Unbekannte wegfällt.
y + 6z = 3
2y + 4z = 2
Beispiel. Wieder verwenden wir obige System. Wir multiplizieren die
das heißt
erste und die dritte Gleichung jeweils mit 4 und erhalten
4x + 4y – 4z = 4
y + 6z = 3
2x + 3y + 4z = 5
y + 2z = 1.
4x + 8y + 4z = 8
Daraus ergibt sich (Gleichsetzungsverfahren) 3 – 6z = 1 – 2z,
also 2 = 4z, d.h. z = ½. Damit folgt y = 0 und also x = 3/2.
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Beispiel (Fortsetzung)
Beispiel: Additionsverfahren und grafisch
Jetzt addieren wir die ersten beiden Gleichungen und subtrahieren
die zweite von der letzten:
6x + 7y = 9
2x + 5y = 3.
Nun multiplizieren wir die letzte Gleichung mit 3 und subtrahieren
davon die erste; wir erhalten 8y = 0, also y = 0.
Damit ist x = 3/2 und z = ½.
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Kapitel 2: Algebra
Kapitel 2: Algebra
Der Gauß-Algorithmus
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Der Gauß-Algorithmus (Fortsetzung)
Rezept: Multipliziere die erste Gleichung so, dass beim Addieren
Am Ende hat man ganz unten eine Gleichung mit einer
bzw. Subtrahieren von der zweiten Gleichung in dieser (zweiten)
Unbekannten.
Gleichung die Unbekannte x wegfällt. Dann multipliziere die erste
Man löst diese Gleichung und setzt die Lösung in die zweitunterste
Gleichung so, dass bei Addition (bzw. Subtraktion) zu der dritten
Gleichung ein.
Gleichung in dieser die Unbekannte x wegfällt. Usw.
Dann ist auch dies nur eine Gleichung mit einer Unbekannten.
Nun betrachten wir die (neue) zweite Zeile. Multipliziere diese so,
Usw.
dass bei Addition bzw. Subtraktion mit der dritten Gleichung in dieser
Bemerkung: C.F. Gauß hat die gesamten vorigen
Lösungsverfahren, die oft auch einen ‚guten Blick„ erfordern,
systematisiert. Im Grunde ist sein Verfahren ein perfektioniertes
die Unbekannte y wegfällt. Multipliziere nun die zweite Gleichung
so, dass bei Addition bzw. Subtraktion zur vierten Gleichung in
dieser die Unbekannte y wegfällt. Usw.
Additions- bzw. Subtraktionsverfahren.
Usw.
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Beispiel 1
Beispiel 2
Gleichungssystem:
–x + 2y + z = –2
3x –8y –2z = 4
x
1. Schritt:
+ 4z = –2
–x + 2y + z = –2
–2y + z = –2
2y + 5z = –4
2. Schritt:
–x + 2y + z = –2
–2y + z = –2
6z = –6.
Daraus folgt z = –1, y = 1/2, x = 2.
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Kapitel 2: Algebra
Kapitel 2: Algebra
Beispiel 3: unlösbar
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Beispiel 4: unendliche viele Lösungen
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Aufgaben
Aufgabe 1: Stromkreis
1. Lösen Sie das folgende lineare Gleichungssystem mit dem GaußAlgorithmus:
x + 2y
3x  8y
x
+ z
– 2z
+ 4z
=–2
= 4
=2
2. Lösen Sie das folgende lineare Gleichungssystem:
2x
+ 3y
 4z
= 8
2x
7x
y
+y
+ 5z
 2z
= 15
=3
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Kapitel 2: Algebra
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Kapitel 2: Algebra
Aufgabe 2: Stromkreis
Aufgabe: Legierungen
Berechnen Sie I1, I2, I3 und Ic in folgendem Netzwerk.
(Lösung siehe Papula, Band 1)
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Aufgabe
Die beiden Freundinnen Anna und Berta treffen sich:
Anna: Hallo, wie geht‟s?
Berta: Gut, und selbst?
Anna: Auch gut, ich habe inzwischen drei Kinder.
Berta: Tatsächlich? Wie alt sind sie denn?
Anna: Das Produkt ihrer Lebensalter ist 36,
die Summe gleich Deiner Hausnummer.
Berta: Diese Information genügt mir nicht.
Anna: Stimmt. Also, das älteste ist blond.
Berta: Aha, jetzt kenne ich ihr Alter.
Wie alt sind Annas Kinder?
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