1. Mathematikschulaufgabe - mathe-physik

Gymnasium
1. Mathematikschulaufgabe
Klasse 11
1.
Bestimme die maximale Definitionsmenge der Funktion f(x) =
2.
Gegeben sei die quadratische Funktion f(x) mit Df(X) = [ - 4 ; 2 [
6
.
9 − (x − 3)2
a) Bestimme die Funktionsgleichung, wenn die Funktion durch die Punkte
A ( - 2,5 / 0 ) , B ( - 0,5 / 8 ) und C ( 1,5 / 0 ) verläuft !
Kontrolle: f(x) = -2x2 - 2x + 7,5
b) Bestimme für den Bereich, in dem f(x) monoton fällt die Umkehrfunktion f -1(x)
und gib deren Definitionsmenge an !
3.
Durch den Punkt P ( 2 / ? ) , P ∈ Gf soll eine Gerade gelegt werden, die mit der
Geraden f(x) = - 2 x + 2 einen Winkel von 45° bildet.
Erstelle die Geradengleichung !
4.
a) Gegeben sei die Funktion fa(x) = ax2 – 6x – 1
Df = \ , a ∈ \ .
Bestimme diejenigen a, für die die Funktion genau 2 Nullstellen besitzt !
b) Bestimme die Nullstellen der folgenden ganzrationalen Funktion und gib die
Faktorzerlegung an:
f(x) = x3 + x2 - 3x - 3
GM_A0007 **** Lösungen 4 Seiten (GM_L0007)
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1. Mathematikschulaufgabe
Klasse 11
1.
Eine Schar von Geraden ga ist gegeben durch
ga: y = - a x + a;
a∈\;
D = \.
a) Zeige, dass alle Geraden der Schar einen gemeinsamen Schnittpunkt haben.
b) Unter welchem Winkel ϕ schneidet die Schargerade mit a = 1 3 die y-Achse ?
3
c) Bestimme den Inhalt der Dreiecksfläche, die von der y-Achse und zwei zueinander
senkrechten Schargeraden ga und g a ⊥ begrenzt ist. Fertige dazu auch eine
Zeichnung an mit a = 2.
2.
Gegeben ist die Funktion f: x 6 5x − 1 .
3x + 2
a) Bestimme den maximalen Definitionsbereich Dmax, die Nullstellen und
Unendlichkeitsstellen von f.
b) Untersuche rechnerisch das Monotonieverhalten von f für x > − 2 .
3
c) Bestimme für x > − 2 die Gleichung der Umkehrfunktion f -1 von f.
3
3.
Gegeben sind die Funktionen
p: x 6 (x − 2)2 − 3
f: x 6 − x
Gib die Funktionsgleichung von f D p an und zeichne den Graph von f D p.
GM_A0015 **** Lösungen 5 Seiten (GM_L0015)
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1. Mathematikschulaufgabe
Klasse 11
1.
Gegeben ist die Funktion ƒ: x 6 2x 3 − 4x 2 − 14x .
Wo gilt ƒ(x) > - 2 8 ?
2.
Gegeben ist die Funktion ƒ mit der Gleichung ƒ(x) = 3(x + 2)4 + x2 + 4x – 2.
a) Zeige rechnerisch, dass der Graph von ƒ symmetrisch zur Geraden mit der
Gleichung x = - 2 verläuft.
b) Zeige, dass die Zahl - 6 Infimum von ƒ ist
3.
Eine Geradenschar ist gegeben durch die Gleichung
g b(x) = 12 x − b,
x ∈ R, b ∈ ⎡⎣ 21 ; 2⎤⎦ .
b
In welchem Punkt S und unter welchem Winkel ϕ schneiden sich die flachste und
die steilste Gerade der Schar ?
4.
Berechne z =
5.
Löse nach z auf und berechne dann z in der Form a + b i :
(1 − i)3
.
2( −i)17
a)
3 = i
z − 2i z + 2i
b)
i = 2
z−i z+i
GM_A0016 **** Lösungen 6 Seiten (GM_L0016)
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1. Mathematikschulaufgabe
Klasse 11
1.
Gib für die Zahlenfolge 1, 3, 7, 15, 31, 63, ... eine explizite und eine rekursive
Darstellung an.
2.
Widerlege die folgenden (falschen) Behauptungen durch jeweils ein Gegenbeispiel.
Erläutere kurz, worin bei den Gegenbeispielen der Widerspruch zu den Behauptungen
besteht.
a) Jede monotone Folge ist konvergent.
b) Jede beschränkte Folge ist konvergent.
c) Jede beschränkte Folge ist genau dann konvergent, wenn sie monoton ist.
3.
a) Gib eine monoton abnehmende Folge an, die den Grenzwert 5 hat.
b) Gib eine Folge an, für die 1 größte untere Schranke und 8 kleinste obere
Schranke ist.
4.
2
Gegeben sei die Folge (an) durch die Gleichung an = 4n2 − 5
2n + 2
a) Stelle die ersten acht Glieder der Folge auf der Zahlengeraden dar.
b) Untersuche die Folge auf Monotonie.
c) Zeige, dass die Folge den Grenzwert 2 hat.
d) Ab welchem Folgenglied sind alle weiteren Folgenglieder größer als 1,995 ?
5.
6n − ( −1)
den Grenzwert 3 hat.
Weise nach, dass die Folge an =
2n
6.
Zeige, dass für jede geometrische Folge (an) die Gleichung an2 = an – 1 . an + 1 gilt.
n
GM_A0090 **** Lösungen 3 Seiten (GM_L0090)
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Klasse 11
1.
Gib für die Folge - 5 ; - 3 ; - 1 ; 1; 3; 5; ... eine explizite und eine rekursive
Darstellung an.
2.
Gib für die explizit angegebene Folge an = 5n + 3 eine rekursive Darstellung an.
3.
Untersuche die Folge an = n2 + 10n auf Monotonie.
4.
Gegeben sei die Folge (an) durch die Gleichung an = 2n + 1 .
n +1
a) Untersuche die Folge auf Monotonie.
b) Zeige, dass die Folge (an) den Grenzwert 2 hat.
c) Ab welchem Folgenglied sind alle weiteren Folgenglieder größer als 1,99 ?
GM_A0091 **** Lösungen 2 Seiten (GM_L0091)
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1. Mathematikschulaufgabe
Klasse 11
1.
Gegeben ist die Parabel mit der Gleichung f(x) = − 31 x 2 + 3x − 3,75
a) Bestimme die Produktform des Funktionsterms, gib den Scheitelpunkt der Parabel
und ihren Wertebereich an und zeichne den Graphen im Intervall [0; 9] !
b) Gegeben ist nun zusätzlich die Gerade g mit der Gleichung g(x) = -1,5x + 9,75.
Berechne die Schnittpunkte der Geraden mit der Parabel !
c) Welchen (spitzen) Winkel schließt die Gerade g mit der y-Achse ein ?
d) Bestimme die Gleichung der Geraden h, die den Punkt P ( 3 / - 1 ) enthält und die
Gerade g unter einem Winkel von 90° schneidet ?
Zeichne die Gerade h in das Koordinatensystem von Teilaufgabe 1a) ein !
e) Für welche x - W erte ist der folgende Funktionsterm nicht definiert ?
f(x) =
1 x2
3
− 3x + 3,75
Beantworte diese Frage ohne weitere Rechnung (kurze Begründung genügt !).
2.
Der Graph einer quadratischen Funktion f(x) ist kongruent zur Parabel mit der
Gleichung g(x): y = -0,25x2. Der Punkt P ( 0 / 2 ) liegt auf dem Graphen von f(x) und
sein Scheitelpunkt hat den y - W ert 2,25.
Bestimme eine entsprechende Funktionsgleichung von f(x) ! 2 Lösungen !
3.
a) Gesucht ist eine ganzrationale Funktion 4. Grades, die nur die beiden Nullstellen
x1 = - 2 und x2 = 4 (ohne komplexe Nullstellen) besitzt. Bekannt ist weiter, dass der
Punkt P ( 3 / 5 ) auf dem Graphen liegt. Gib eine passende Funktionsvorschrift an !
Skizziere qualitativ drei verschiedene Graphen von ganzrationalen Funktionen
4. Grades mit genau zwei Nullstellen und gib an, welcher davon zu deiner
Funktionsvorschrift passt !
Hinweis:
Qualitativen Verlauf des Graphen darstellen bedeutet
den Graph ohne Wertetabelle aber evtl. mit markanten Punkten
(Nullstellen, Hoch-, Tiefpunkte usw.) skizzieren
b) Gesucht ist eine ganzrationale Funktion 3. Grades, die an der Stelle x = 2 ihre
einzige Nullstelle und für x > 2 negative y-Werte besitzt !
Gib zwei verschiedene Beispiele dafür an !
GM_A0097 **** Lösungen 8 Seiten (GM_L0097)
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1. Mathematikschulaufgabe
Klasse 11
1.
a) Gib die Verknüpfungstafeln für die auf dem Körper Z / 3 ( Z modulo 3) definierten
Verknüpfungen ⊕ (Addition modulo 3) und ⊗ (Multiplikation modulo 3) an !
b) Begründe mit Hilfe eines Anordnungsaxioms, warum Z / 3 kein angeordneter
Körper ist !
2.
Gegeben sind die komplexen Zahlen w =
1
i
− 2 i und z = 2 − .
2
2
Berechne folgende Terme und gib das Ergebnis in der Form a + bi an !
1
a) i ⋅ z +
w
w
b) w ⋅ z +
z
3.
4.
Gegeben sind die Funktionen f(x) =
1
und g(x) = ( x − 1) .
2
1
−1
x
Gib den Term der Verkettungsfunktion f D g an und bestimme seine maximale
Definitionsmenge lDf Dg
Gegeben ist die Funktionenschar fa : x 6 y = ax 2 − 6ax + 5a + 3 ;
a) Zeige durch Rechnung, dass alle Graphen Ga der Schar genau zwei Punkte
gemeinsam haben und dass es sich dabei um die Punkte P1(1/3) und P2(5/3)
handelt.
b) Verwandle den obigen Funktionsterm durch quadratische Ergänzung in die
Scheitelform.
2
(Kontrollergebnis: fa (x) = a(x − 3) − 4a + 3 )
1
an und skizziere den
8
zugehörigen Funktionsgraphen in ein Koordinatensystem [ −1 ≤ x ≤ 7; − 1 ≤ y ≤ 14 ].
c) Gib die Scheitelkoordinaten für den Parameterwert a =
d) Gegeben ist nun das Geradenbüschel gm : x 6 y = mx − 5m + 3 .
Zeichne die Geraden für m = - 2, m = 0 und m = 0,5 in das Koordinatensystem aus
Aufgabe 4 c) ein.
e) Es gibt genau eine Gerade des Geradenbüschels gm, welche den Graphen der
Funktion f 1 nur im Punkt P2(5/3) berührt (d.h. nicht schneidet !).
8
Berechne die Steigung m dieser Geraden und gib die Geradengleichung in der
Form y = mx + t an.
GM_A0109 **** Lösungen 4 Seiten (GM_L0109)
1 (1)
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1. Mathematikschulaufgabe
Klasse 11
1.
Gegeben ist die Funktion f(x) =
4 − x 2 ⋅ sgn(x − 2)
2x + 4
a) Geben Sie den Definitionsbereich und alle Nullstellen von f an!
b) Geben Sie den Funktionsterm f(x) abschnittsweise an!
c) Skizzieren Sie sauber den Graphen von f.
2.
Gegeben ist die Funktion g(x) = 2 − x 2 − 3 .
a) Bestimmen Sie den Definitionsbereich von g und prüfen Sie den Graphen von g
auf Symmetrie.
b) Begründen Sie mathematisch exakt, dass die Funktion g im Intervall ⎡⎣ 3; ∞ ⎡⎣
streng monoton fällt.
c) Geben Sie ein möglichst großes Intervall J an, in dem die Funktion g streng
monoton wächst.
3.
Geben Sie zuerst den folgenden Grenzwert an und weisen Sie dann diesen
Grenzwert mit der exakten Grenzwertdefinition nach !
lim 4 − 3x =
2x + 1
x →∞
4.
Lösen Sie die Gleichungen in der Grundmenge C der komplexen Zahlen.
a)
2 z + 3 z* = 5 − 4i
b)
iz − 5 = 2z − i 2
GM_A0231 **** Lösungen 3 Seiten (GM_L0231)
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1. Mathematikschulaufgabe
Klasse 11
1.
Gegeben ist die reelle Funktion f mit f(x) = x 3 − 3x 2 + x + a .
a) Bestimmen Sie den Wert des Parameters a so, dass f an der Stelle x1 = 2 eine
Nullstelle besitzt.
b) Zeigen Sie, dass f zwei weitere Nullstellen hat, wenn man den in 1a) gefundenen
Wert für a einsetzt. Ermitteln Sie diese beiden weiteren Nullstellen.
2.
Gegeben ist die reelle Funktion g mit g(x) = 2 ⋅ | x − 1| − x und Dg = \ .
a) Geben Sie g(x) abschnittsweise ohne Verwendung von Betragsstrichen an.
b) Zeichnen Sie den Graphen von g sauber in ein Koordinatensystem
c) Der Graph von g hat einen „Knick“. Berechnen Sie den „Knickwinkel“!
3.
Im Folgenden soll die Funktion f mit f(x) =
2
− 1 untersucht werden.
9 − x2
a) Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich Df und alle Nullstellen von f.
Welche Symmetrie hat der Graph von f ?
b) Zeigen Sie mit einer ausführlichen Rechnung, dass f im Intervall J = [0; 3 [ streng
monoton steigend ist.
Geben Sie nun den Wertebereich Wf der Funktion f an.
4.
Rechnen mit komplexen Zahlen
a) Geben Sie die Zahl −2 3 + 6i in Polarform an.
b) Lösen Sie die Gleichung in der Grundmenge C der komplexen Zahlen.
z + (1 + i) ⋅ z* = 3 − i
GM_A0232 **** Lösungen 3 Seiten (GM_L0232)
(z* gibt hierbei die zu z konjugiert komplexe Zahl an.)
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1. Mathematikschulaufgabe
Klasse 11
1.
Die Punkte P ( −2 | 2 ) und Q ( 3 | 5 ) liegen auf der Geraden g.
a) Berechnen Sie eine Gleichung der Geraden und bestimmen Sie deren
Neigungswinkel auf 0,01° genau.
b) Die Gerade h hat die Gleichung 2x + 3y − 21 = 0 . Berechnen sie den nichtstumpfen
Winkel unter dem sich die Geraden g und h schneiden.
c) Im Punkt Q ( 3 | 5 ) wird das Lot zu Geraden h errichtet. Berechnen Sie eine Gleichung
des Lotes l.
d) Zeichnen Sie die Geraden g, h und l in ein gemeinsames Koordinatensystem.
2.
p 2
⋅ x + ( 2 − p ) ⋅ x; x ∈ \ mit dem
2
Scharparameter p ∈ \ und dem zugehörigen Graphen Gp .
Gegeben ist die Funktionenschar fp : x 6
a) Zeichnen Sie die Graphen G1, G0 und G−2 in ein gemeinsames Koordinatensystem
ein.
b) Bestimmen Sie jeweils die Schnittpunkte von zwei Graphen G1, G0 und G−2 .
c) Bestimmen Sie allgemein in Abhängigkeit von p ( p ≠ 0 ) die Nullstellen von Gp .
Für welche Werte von p berührt Gp die x - Achse ?
3. a) Berechnen Sie von der ganzrationalen Funktion f : x 6 x 4 + x 3 − 8x 2 − 12x alle
Nullstellen und geben Sie die Faktorzerlegung von f (x) an.
b) Skizzieren Sie den Verlauf des Graphen der Funktion g : x 6 1 ( x 4 + x 3 − 8x 2 − 12x )
10
GM_A0236 **** Lösungen 5 Seiten (GM_L0236)
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1. Mathematikschulaufgabe
Klasse 11
1.
3
Gegeben ist die Funktion f : x 6 x − 4x2 mit maximaler Definitionsmenge Df .
16 − x
a) Bestimmen Sie Nullstellen und Unendlichkeitsstellen der Funktion f !
b) Zeigen Sie, dass der Graph der Funktion f punktsymmetrisch zum Ursprung ist !
c) Berechnen Sie die Funktionswerte an den Stellen - 6, -1 und + 3 !
d) Skizzieren Sie mit Hilfe der bisherigen Ergebnisse den Verlauf des Graphen Gf
im Intervall [ − 6; 6 ] !
2.
Bestimmen Sie alle Nullstellen (mit Vielfachheit) der folgenden ganzrationalen Funktion
f ( x ) und geben Sie ihre Faktorenzerlegung an !
f ( x ) = x 4 − 8x 3 + 6x 2 + 8x − 7
3.
4.
2
Zeigen Sie, dass der Graph der Funktion f : x 6 x − 2 für x < 0 streng monoton
x
steigend ist ! (Vorzeichen einzelner Faktoren auch begründen !)
Gegeben ist die Funktionenschar fa : x 6 ax 2 + (1 − 5a ) x + 1 + 4a mit x ∈ \, a ∈ \
a) Weisen Sie durch Rechnung nach, dass der Punkt A (1/ 2 ) allen Scharkurven
angehört !
b) Es sei nun a = 1. Bestimmen Sie die Wertemenge Wf1 der Funktion f 1 durch
Rechnung !
c) Berechnen Sie die Gleichung der Geraden g, die durch den Punkt B ( 4 / 5 ) und den
Scheitel von f 1 verläuft !
d) Wie könnte die Gleichung einer Geraden h lauten, die zu g parallel ist und
gleichzeitig keinen Punkt mit dem Graphen von f 1 gemeinsam hat ?
GM_A0314 **** Lösungen 4 Seiten (GM_L0314)
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1. Mathematikschulaufgabe
Klasse 11
1. Durch die Punkte A ( 1 / 3 ) und B ( 0 / - 1 ) sei eine Gerade g bestimmt.
Berechnen Sie die Gleichung des Lots, das von P ( 10 / 5 ) auf die Gerade g gefällt wird !
2. Gegeben ist das Dreieck ABC mit A ( 0 / 0 ) , B ( 4 / 3 ) und C ( - 2 / 11).
a) Berechnen Sie die Länge der drei Seiten des Dreiecks !
b) Berechnen Sie das Maß des Winkels α !
c) Zeigen Sie β = 90° !
d) Ermitteln Sie rechnerisch die Koordinaten des Schnittpunkts S der Seite BC mit der
y - Achse !
e) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks. !
3. Bestimmen Sie den Abstand zwischen den Parallelen g und h !
g : y = 2x + 3
h : y = 2x − 1
4. Gegeben seien die Funktionen f mit f (x) = 3 ⋅ cos x und g mit g(x) = 2 ⋅ 4 − x 2 .
a) Bestimmen Sie jeweils die maximale Definitionsmenge !
b) Welche Werte kann die Funktion jeweils annehmen ?
c) Skizzieren Sie die Schaubilder der einzelnen Funktionen !
5. Gegeben ist das Viereck ABCD mit den Punkten A ( 4 / - 4 ) , B ( 6 / 1 ) , C ( 1 / 3 ) und
D(-1/-2) !
a) Zeigen Sie rechnerisch, welche Art von Viereck vorliegt.
b) Berechnen Sie den Schnittwinkel β zwischen der Winkelhalbierenden des Winkels
BAD und der y - Achse !
GM_A1100 **** Lösungen 5 Seiten (GM_L1100)
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1. Mathematikschulaufgabe
Klasse 11
1. a) Ermitteln Sie die Hauptform und zeichnen Sie die Gerade: g :
1
2
x+ y+2 =0.
2
3
b) In welchem Punkt schneidet die Gerade g die x - Achse ?
c) Wie lautet die Gleichung der Parallelen zu g durch den Punkt P ( 1 / 1 ) ?
2. Veranschaulichen Sie die folgenden Lösungsmengen in jeweils einem eigenen
Koordinatensystem: D = \
2
a) x ≤ 2,5 und y > − x + 2,5
3
b) f(x) = −3 x − 2 + 2x
Geben Sie f(x) ohne Betragsstriche (abschnittsweise) an
3. Beschreiben Sie die Fläche zwischen
den Geraden g und h (ohne Rand)
durch Ungleichungen für x und y.
4. Gegeben ist die Funktionenschar fc : x 6 fc (x) = c − 4x − x 2 mit x, c ∈ R .
Die Graphen heißen Gc .
a) Berechnen Sie diejenigen Werte von c, für die der Graph Gc durch den Punkt
P ( - 3 / 8 ) verläuft !
b) Untersuchen Sie durch Rechnung, welcher Graph Gc mit der x - Achse nur einen
Punkt gemeinsam hat !
c) Bestimmen Sie zur Funktion f5 (also c = 5) die Umkehrfunktion sowie deren
Definitions- und Wertebereich, für x ∈ [ − 5; − 2 ] !
GM_A1101 **** Lösungen 3 Seiten (GM_L1101)
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1. Mathematikschulaufgabe
Klasse 11
1. Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden g, welche durch den Punkt P ( 3 / - 2 ) verläuft
und auf der negativen x - Achse 2 Einheiten abschneidet !
2. Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Ungleichungen !
a)
0,1 x < 10
b)
7x + 4 − 2 ( 3 + x ) < 6
3. Gegeben sei ein Dreieck mit den Eckpunkten A ( - 1 / - 2 ) , B ( 4 / 1 ) und C ( 0 / 6 ) .
a) Zeichnen Sie das Dreieck ABC (1 LE = 1 cm)
b) Bestimmen Sie den Höhenschnittpunkt H der Höhen auf den Dreiecksseiten AB
und AC .
c) Der Höhenschnittpunkt H aus Teilaufgabe 3b), die Ecke A sowie die Höhenfußpunkte
auf den Seiten AB bzw. AC bilden ein Viereck.
Berechnen Sie die Innenwinkel dieses Vierecks.
d) Wie weit ist der in 3b) ermittelte Höhenschnittpunkt H von der Ecke A entfernt ?
1
x−2.
2
Bestimmen Sie den Schnittpunkt S von h mit der x - Achse und ermitteln Sie alle weiteren
Geraden, die durch diesen Schnittpunkt S verlaufen und mit h einen Schnittwinkel von 45°
besitzen.
4. Gegeben ist eine Gerade h : y =
GM_A1102 **** Lösungen 4 Seiten (GM_L1102)
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1. Mathematikschulaufgabe
Klasse 11
1. Setzen Sie die Zahlenfolgen um weitere 5 Glieder fort. Bestimmen Sie bei jeder
Zahlenfolge die Art der Monotonie und geben Sie, falls vorhanden, jeweils eine untere
und eine obere Schranke an.
a) 17, 16, 14, 11, 7, 2, ...
1
1
, − , ...
3
9
b)
3, − 1,
c)
1 4 9 16 25
, ,
,
,
, ...
4 9 16 25 36
2. Gegeben seien die untenstehenden Zahlenfolgen.
Untersuchen Sie sie auf Monotonie. ( n ∈ ` )
a) an =
2n + 5
7n − 3
n2
b) an = n
5
3. Welche der folgenden Aussagen ist richtig, welche falsch ? Begründen Sie Ihre Antwort.
a) Eine Zahlenfolge, die eine obere Schranke besitzt ist beschränkt.
b) Eine Zahlenfolge, die eine untere Schranke besitzt, besitzt unendlich viele untere
Schranken.
c) Eine Zahlenfolge, die monoton fallend ist und eine obere Schranke besitzt, besitzt
einen Grenzwert.
4. Gegeben seien die unten stehenden Zahlenfolgen. Vermuten Sie einen Grenzwert g.
Weisen Sie mit Hilfe der ε -Umgebung nach, dass g der Grenzwert ist. Begründen Sie
Ihre Aussage.
Vom wie vielten Glied der Zahlenfolge liegen alle weiteren in der 0,0002-Umgebung des
Grenzwertes.
a)
an =
4n + 8
3n − 2
b)
an =
3
3n
GM_A1103 **** Lösungen 3 Seiten (GM_L1103)
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1. Mathematikschulaufgabe
Klasse 11
1.
f k ( x ) = − k x − 1,5k + 2 ; D = R ; k ∈ R
a) Zeigen Sie durch Rechnung: A ( − 1,5 | 2
)
b) Welche Gerade hat die Nullstelle N ( 2,5 | 0
gehört zu jeder Geraden der Schar.
)
?
c) Für welches k steht die zugehörige Gerade senkrecht auf g : y =
1
x ; Dg = R ?
3
d) Für welches k haben Gk und G2 einen Schnittwinkel von 45° ? (zwei Lösungen !)
2.
g(x) = − x 2 + 4 ⋅ x − 3 ; D1 = R
a) Untersuchen Sie g auf Symmetrie und bestimmen Sie die Nullstellen von g
(Hinweis: Symmetrie berücksichtigen !).
b) Nun werde der Definitionsbereich auf D2 = [ − 4; 4
] eingeschränkt.
Skizzieren sie Gg in D2 und geben Sie in der Skizze die Art der Extrema an !
3.
f (x) =
5x
; Df = Dmax
2 − 3x
a) Bestimmen Sie D !
b) Lösen Sie folgende Betragsungleichung nach x auf: f (x) +
5
< 0,001 ; ( x 1) .
3
c) Was kann man nachweisen, wenn man in der Ungleichung 0,001 durch ε ersetzt ?
4. Berechnen Sie mit Hilfe der Grenzwertsätze den Grenzwert:
⎛ 2x − 3
⎞
x3
⋅ 3
lim ⎜
⎟
2
x →∞
⎝ 1 − 3x 2x − x + 1 ⎠
GM_A1104 **** Lösungen 3 Seiten (GM_L1104)
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1. Mathematikschulaufgabe
Klasse 11 / G8
1.
Gegeben ist die ganzrationale Funktion f k (x) x 4 8kx 2 12 ; k
mit dem
Parameter k.
Für welche Werte von k hat der Graph der Funktion drei, zwei, eine oder keine
waagerechte Tangente(n)? Begründen Sie Ihre Antwort mit einer Rechnung.
2.
Gegeben ist die Funktion f(x)
1 3
x
2
3
x
2
2; x
.
Der Graph der Funktion heißt G f .
a) Berechnen Sie den Hoch- und den Tiefpunkt von G f .
b) Bestimmen Sie die Nullstelle mit Hilfe des Newtonschen Iterationsverfahrens
auf 3 Stellen nach dem Komma gerundet.
c) Zeigen Sie, dass die Tangente an G f durch P 2 1 noch einen weiteren
gemeinsamen Punkt Q mit dem Graphen hat.
d) Wie lautet die Gleichung der Normalen in P 2 1 ?
3.
Gegeben ist der wesentliche Ausschnitt zweier Graphen der
Funktionen f(x) und g(x) mit D
.
Beide Funktionen sind ganzrational.
a) Warum kann g(x) eine mögliche
Stammfunktion von f(x) sein?
b) Gegeben sei nun die Funktion
h(x)
1
x
20
6
2
x
4 ; D
Bestimmen Sie für h(x) diejenige
Stammfunktion H(x), die durch
den Punkt A 2 10 verläuft.
4.
Finden Sie eine möglichst einfache gebrochen rationale Funktion, die folgende
Eigenschaften aufweist und skizzieren Sie Ihren Vorschlag.
Der Graph der Funktion hat mehr als eine Nullstelle und verläuft durch den
Punkt O 0 0 , und
der Graph ist keine zusammenhängende Kurve, sondern besteht aus drei
voneinander getrennten Abschnitten, und
der Graph besitzt zwei senkrechte Asymptoten x
jeweils Polstellen mit Vorzeichenwechsel, und
die waagerechte Asymptote liegt bei y
GM_A1105 **** Lösungen 5 Seiten (GM_L1105)
1 (2)
1 und x
3 ; es sind
2.
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1. Mathematikschulaufgabe
Klasse 11 / G8
5.
Vier Stangen der gleichen Länge s können
in Form einer vierseitigen Pyramide mit
quadratischer Grundfläche aufgebaut werden.
Die Pyramidenhöhe und die Grundfläche
sind direkt voneinander abhängig; je größer
die Grundfläche, umso geringer die Höhe der
Pyramide (und umgekehrt).
Die Pyramide soll ein maximales Volumen
aufweisen.
Variante A: Berechnen Sie die Pyramidenhöhe h
(in Abhängigkeit von s)
Variante B: Berechnen Sie die Länge einer Quadratseite a
(in Abhängigkeit von s)
Berechnen Sie auch das maximale Pyramidenvolumen
Bemerkung:
Das Volumen der „Stangenpyramide“ ist dann Null, wenn
a) die Pyramidenhöhe Null ist, d. h., die Stangen liegen ausgebreitet am Boden.
b) die Pyramidenhöhe gleich s ist, d. h., die 4 Stangen stehen senkrecht zusammen.
Zwischen diesen beiden „Grenzfällen“ V 0 muss es ein Volumen geben, das maximal ist.
GM_A1105 **** Lösungen 5 Seiten (GM_L1105)
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1. Mathematikschulaufgabe
Klasse 11 / G8
1.
Differenzieren Sie die folgenden Funktionen.
a)
2.
f(x) = ( 3x − 5 )
7
g(a) = x a3 + 2a − x +
b)
Gegeben ist die Funktion f : f(x) =
1
2x + a
h(x) = 2x ⋅ sin2 x
c)
x 3 + 3x 2
.
5x 2 + 10x − 15
a) Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich von f.
Ermitteln Sie die Nullstelle(n) von f und geben Sie deren Vielfachheit an.
Geben Sie die Gleichung aller Asymptoten an.
b) Berechnen Sie lim f(x) .
x →5
3.
x2
a) Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion g'(x) der Funktion g(x) =
4 ( x + 1)
und vereinfachen Sie so weit wie möglich.
b) Die folgende Abbildung zeigt vier Graphen. Einer davon stellt g(x) dar, ein
weiterer g'(x) . Entscheiden Sie mit Begründung, welche Graphen das sind.
A
B
y
4
y
4
3
3
2
2
1
1
x
x
-3
-2
-1
C
0
1
2
3
-3
4
-2
-1
0
-1
-1
-2
-2
-3
-3
D
y
4
1
2
3
4
1
2
3
4
y
4
3
3
2
2
1
1
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
x
4
-3
-2
-1
0
-1
-1
-2
-2
-3
-3
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Klasse 11 / G8
4.
Gegeben ist die Funktion f(x) = ( 3x − 5 ) ⋅ ( 0,05x + 0,08 ) .
3
a) Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion von f.
(Anmerkung: Kettenregel verwenden anstatt ausmultiplizieren!)
b) Bestimmen Sie alle Stellen der Funktion f mit horizontaler Tangente.
5
Bei der Stelle x = des Graphen handelt es sich um einen Terrassenpunkt.
3
Bestätigen Sie diesen Sachverhalt.
5.
Gegeben ist die Funktion f(x) = ( x + 1) − 2 .
2
Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Funktionsgraphen im
Punkt P ( − 3 f( − 3)) .
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1. Mathematikschulaufgabe
Klasse 11 / G8
2
1.
Tangenten mit der Steigung m 0 berühren den Graphen f(x) x x 3
2.
Berechnen Sie die Berührpunkte der Tangenten (2 Lös.) auf dem Graphen von f.
Stellen Sie die Gleichungen dieser Tangenten auf.
2.
Berechnen Sie mit Hilfe der 1. und 2. Ableitung die Koordinaten der Extrempunkte von
f(x)
2x 3 3x 2 12x
3.
Die nebenstehende Abbildung zeigt den Graphen
einer unbekannten Funktion f.
In den Abbildungen A bis D sind Funktionen
dargestellt, von denen eine die Ableitungsfunktion
von f ist.
Geben Sie an, um welche Abbildung es sich hierbei
handelt und begründen Sie, warum die restlichen
Graphen nicht Ableitungsfunktionen von f sein können.
A
B
C
D
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Klasse 11 / G8
4.
Gegeben ist die Funktion f(x)
2x 3 mit D
1,5; 6
a) Zeichnen Sie den Graphen von f im Definitionsbereich.
b) Berechnen Sie mit Hilfe einer Grenzwertbetrachtung den Wert der 1. Ableitung
an der Stelle x 0 3,5 .
c) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente t an den Graphen von f im
Punkt P 6 f(6) .
Zeichnen Sie diese Tangente in die Zeichnung aus a) ein.
d) Die Tangente t, die Gerade y 3 und die y - Achse im I. Quadranten bilden
zusammen ein Dreieck. Tragen Sie dieses Dreieck in Ihre Zeichnung ein und
berechnen Sie die Fläche sowie alle Winkel dieses Dreiecks.
5.
Die beiden Graphen der Funktionen
f(x)
0,25
g(x)
0,25x 3
x2
x 6 und
2x 3
schneiden sich im Punkt S 2
1 senkrecht.
Überprüfen Sie diese Aussage mit einer
entsprechenden Rechnung.
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Klasse 11 / G8
1.
a) Berechnen Sie mit der h - Methode die Ableitungsfunktion an der Stelle x 0 von
f(x)
x2
5x 6 .
b) Geben Sie die Gleichung der Tangente an der Stelle x 0
2.
Bestimmen Sie die erste Ableitung.
a)
f(x)
cos 7x 2 1
b)
f(x)
2 x4
s sin x s
8
5 mit D f Dmax .
x
Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von f an der Stelle
x
5 . Geben Sie den Winkel in Grad an, den diese Tangente mit der positiven
x - Achse einschließt.
3.
Gegeben ist die Funktion f(x)
4.
Gegeben ist die Funktion f(x)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
5.
4 an.
x 2 5x 6
x2 x 6
Faktorisieren Sie Zähler und Nenner.
Bestimmen Sie die Definitionsmenge und Nullstellen.
Ermitteln Sie die Grenzwerte an den Lücken des Definitionsbereichs.
Geben Sie den Grenzwert im Unendlichen an.
Bilden Sie die erste und zweite Ableitung für die gekürzte Bruchfunktion.
Geben Sie die Monotoniebereiche an.
Skizzieren Sie den Graphen in einem Koordinatensystem (Einheit 1 cm).
Die Abbildung zeigt den zurückgelegten Weg
eines Langstreckenläufers in Abhängigkeit
von der Zeit (Zeit - Ort - Diagramm).
Näherungsweise kann man diesen
Zusammenhang durch folgende Funktion
beschreiben:
3,5 t 2
s(t)
26 t
Nach 3,5 h hat der Läufer sein Ziel erreicht.
a) Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate für die Intervalle
(1) 0h; 3,5h sowie
(2)
2h; 3,5h
Beschreiben Sie kurz, was diese Werte angeben.
b) Woran kann man anschaulich erkennen, dass der Läufer zum Schluss
langsamer wurde?
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1. Mathematikschulaufgabe
Klasse 11 / G8
5x 3
1.
Berechnen Sie die Steigung des Graphen der Funktion f mit f(x)
an der Stelle x 1
1 mit Hilfe des Differentialquotienten.
2.
Geben Sie den Term einer nicht linearen Funktion f mit folgenden Eigenschaften an:
(1) die Funktion f hat keine Polstellen,
(2) die Funktion f hat eine hebbare Definitionslücke bei x
3,
(3) der Graph der Funktion f hat die Gerade y
3.
Gegeben ist die Funktion f(x)
2 x2
2x 1
0,5x als einzige Asymptote
x 2
.
x 2
a) Bestimmen Sie die maximal mögliche Definitionsmenge dieser Funktion.
b) Berechnen Sie alle Nullstellen von f.
c) Geben Sie das Verhalten von f in der Umgebung der Definitionslücke und
für x
an.
d) Bestimmen Sie die Gleichung aller Asymptoten.
e) Stellen Sie einen möglichen Term der Ableitungsfunktion f '(x) auf.
f) Geben sie die Monotoniebereiche sowie Lage und Art der Extrema an.
g) Berechnen Sie die Funktionswerte für x
1,5 und x 5 .
h) Skizzieren Sie den Verlauf des Graphen unter Nutzung aller bisher gewonnenen
Ergebnisse.
4.
Die Bergetappe einer Radtour von der 500m hoch gelegenen Rasthütte bis zur
Zeitnahme auf 1250 m über NN. ist im unten angegebenen Streckenprofil
skizziert. Zur mathematischen Beschreibung des Strecken-Höhenprofils kann die
0,06x 3 0,4x 2 0,98x 5 mit x 0; 5,5
Modellfunktion f(x) 0,1
verwendet werden.
a) Berechnen Sie anhand der Skizze und mit Hilfe der Modellfunktion die
durchschnittliche Steigung von der Rasthütte bis zur Zeitnahme.
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Klasse 11 / G8
b) Berechnen Sie die Steigung am Sattelberg mit Hilfe der Modellfunktion.
c) Bestimmen Sie rechnerisch die Stelle des größten Anstiegs der Modellfunktion.
Vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit dem skizzierten Streckenprofil.
5.
Nebenstehendes Bild zeigt den
Graphen einer Funktion f.
Ergänzen Sie die Tabelle unten.
Skizzieren Sie in das Bild den
Graphen der Ableitung f ' von f.
Die wesentlichen Merkmale
müssen klar erkennbar sein.
Saubere Skizze!
Besondere Punkte auf dem Graphen:
f(x)
waagerechte Tangente
Wendepunkt im
steigenden Kurvenstück
Wendepunkt im
fallenden Kurvenstück
f '(x)
Hinweis:
Als Wendepunkt wird die Stelle auf einem Funktionsgraphen bezeichnet, an dem der Graph seine
Richtung, also sein Krümmungsverhalten ändert. Dort wechselt der Graph entweder von einer
Rechts- in eine Linkskurve oder von einer Links- in eine Rechtskurve.
Der Wendepunkt ist also dort, wo die Steigung der Funktion (Steigung einer Funktion wird durch die
Ableitungsfunktion bestimmt) am größten ist. Denn vor dem Wendepunkt wird die Steigung immer
größer und nach dem Wendepunkt wieder geringer durch die entgegengesetzte Krümmung. Der
Wendepunkt ist die „steilste Stelle“ zwischen zwei verschiedenen Krümmungen.
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Klasse 11 / G8
1.
Gegeben ist die Funktion f(x)
x 3 4x 2
.
2x 2 10x
a) Faktorisieren Sie den Zähler- und Nennerterm.
b) Bestimmen oder berechnen Sie:
die maximale Definitionsmenge dieser Funktion.
alle Definitionslücken / Nullstellen / Polstellen.
die Asymptoten von f(x)
c) Untersuchen Sie das Verhalten der Funktion an den Rändern des Definitionsbereichs.
d) Stellen Sie die Ableitung f '(x) der Funktion f(x) auf (keine Berechnung!).
e) Bestimmen sie alle Stellen mit waagerechter Tangente des Graphen von f.
f)
2.
Skizzieren Sie mit Hilfe der gewonnenen Erkenntnisse den Funktionsgraph und
alle Asymptoten in das Koordinatensystem (auf Blatt 3).
Geben Sie jeweils die Gleichung einer möglichst einfachen gebrochen rationalen
Funktion an, welche die folgenden Bedingungen erfüllt.
a)
f(x) hat bei x
5 eine hebbare Definitionslücke und bei x
doppelte Nullstelle.
b)
g(x) hat die schiefe Asymptote y
2. Ordnung.
c)
h(x) ist symmetrisch zur y-Achse. Die einzige Asymptote ist die Gerade y
3x 2 und bei x
3 eine
6 eine Polstelle
4.
d) k (x) ist eine Bruchfunktion ohne Definitionslücke, hat zwei einfache Nullstellen
7.
und die waagerechte Asymptote y
3.
1
2.
2x 1
a) Geben Sie die Gleichung der waagerechten Asymptote von G f an und
zeichnen Sie den Graphen für x 0 in das Koordinatensystem auf Blatt 3.
Gegeben ist die Funktion f(x)
b) Der Graph G f lässt sich in den II. Quadranten hinein ohne Knick durch eine
Halbgerade (Tangente in P 0 f(0) ) fortsetzen. Bestimmen Sie die Gleichung
dieser Halbgeraden und zeichnen sie diese in das Koordinatensystem ein.
4.
Grundwissen
Von den 35 Teilnehmern einer Abschlussfahrt nach Rom sind 60% Damen.
20% der Teilnehmer sind älter als 19 Jahre, wobei 4 Herren älter als 19 sind.
a) Erstellen Sie eine Vierfeldertafel mit den absoluten Häufigkeiten.
b) Ein zufällig ausgewählter Teilnehmer der Abschlussfahrt ist jünger als 19 Jahre.
Bestimmen sie die prozentuale Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Dame
ausgewählt wurde.
GM_A1110 **** Lösungen 5 Seiten (GM_L1110)
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1. Mathematikschulaufgabe
Klasse 11 / G8
5.
Die Gerade g mit g(x)
1
x 2 und die Parabel p
2
1 2
x 1 haben die gemeinsamen
2
Schnittpunkte A und B. Tangenten in A und B an
die Parabel schneiden sich im Punkt C.
mit p(x)
Prüfen Sie, ob das Dreieck ABC bei A rechtwinklig
ist und berechnen Sie die Fläche des Dreiecks ABC.
6.
Die Abbildung rechts ist der Graph
einer Ableitungsfunktion f '(x) .
Welcher der vier vorgeschlagenen
Graphen A bis D kann eine mögliche
Stammfunktion F zu f '(x) sein?
Begründen Sie Ihre Wahl.
GM_A1110 **** Lösungen 5 Seiten (GM_L1110)
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1. Mathematikschulaufgabe
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zu Aufgabe 1f:
zu Aufgabe 3a + b:
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1. Mathematikschulaufgabe
Klasse 11 / G8
1.
Gesucht ist eine möglichst einfache gebrochen rationale Funktion mit folgenden
Eigenschaften:
a) Behebbare Definitionslücke bei x 2 und
eine einzige Polstelle ohne VZW bei x
12
b) Die einzige Nullstelle bei x 5 , keine Polstelle und
y 0 ist waagerechte Asymptote.
2.
Geben Sie einen möglichen
Funktionsterm für die rechts
abgebildete Funktion an.
Erläutern Sie ihre
Vorgehensweise
ausführlich.
3.
Gegeben ist die Funktion f(x)
x2
25
x3
x 1
5x 2
a) Geben Sie die maximale Definitionsmenge und die Nullstellen der Funktion an.
b) Untersuchen Sie das Verhalten der Funktion an den Definitionslücken.
Berechnen Sie die dafür notwendigen Grenzwerte.
c) Skizzieren Sie den Graph der Funktion.
4.
Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente
im Punkt A 2 1 des Graphen der Funktion
f(x)
5
;
3x 1
siehe Bild rechts
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1. Mathematikschulaufgabe
Klasse 11 / G8
5.
Bestimmen Sie die erste Ableitung der folgenden Funktion. Vereinfachen Sie
die Ableitungsfunktion so weit wie möglich.
f(x)
6.
5x 3
3
x2
x
x
Extremwertaufgabe
Aus einem 60 cm langen Draht soll eine
quaderförmige Säule mit quadratischer
Grundfläche geformt werden. D. h. der
gesamte Draht bildet das Kantenmodell
eines Quaders (vgl. Bild rechts).
Bestimmen Sie das maximal mögliche
„Volumen“ des Quaders.
Hinweis:
In der Aufgabenstellung wird das maximal möglichen Volumen gesucht. Es ist also hier bereits
vorgegeben, dass es ein maximales Volumen überhaupt gibt.
Prinzipiell möglich wären maximales, minimales oder konstantes Volumen.
Dass ein minimales Volumen den Wert Null hat ist schnell einsichtig, wenn man die Länge a der
Quadratseite entweder 0 cm oder 7,5 cm macht. Im ersten Fall wäre die Grundfläche, im zweiten
Fall wäre die Höhe des Quaders Null. Einen Quader mit Volumen Null könnte man als Grenzfall
bezeichnen.
Zwischen diesen beiden „Grenzfällen“ haben alle Quader ein bestimmtes Volumen. Es muss
unter diesen Quadern zumindest einer mit maximalem Volumen sein.
Ein konstantes Volumen ist nicht zu erwarten und kann durch beliebige Rechenbeispiele belegt
werden.
GM_A1111 **** Lösungen 4 Seiten (GM_L1111)
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1. Mathematikschulaufgabe
Klasse 11 / G8
1.
Berechnen Sie die exakten x - Koordinaten derjenigen Punkte, an denen der Graph
der Funktion f(x) = 1 + x 2 (1 − 22,4x 3 − 128x 6 ) ; D = ℝ waagerechte Tangenten hat.
2.
Geben Sie die Definitionsmenge an. Erstellen Sie die 1. Ableitung und vereinfachen
Sie das Ergebnis so weit wie möglich.
3.
(
)(
a)
f(x) = x 3 + 15 ⋅ 4x 2 − 5x
b)
g(x) =
2x 6 + 5x
4x − 1
c)
h(x) =
8x 5
sin x
)
x 2 + 3x
2x − 2
Geben Sie den maximalen Definitionsbereich und alle Nullstellen an.
Untersuchen Sie das Verhalten der Funktion an den Rändern des
Definitionsbereichs.
Bestimmen bzw. berechnen Sie alle Asymptoten.
Berechnen Sie die erste Ableitung f '(x) der Funktion f(x) .
Untersuchen Sie den Graphen der Funktion f mit f(x) =
a)
b)
c)
d)
e) Ermitteln Sie alle Hoch-, Tief- und Terrassenpunkte des Graphen von f.
f)
4.
Fertigen sie eine Skizze des Graphen von f im Intervall [ − 5; 5 ] an.
Extremwertaufgabe
Aus einer rechteckigen dünnen Blechplatte mit den Seiten a = 12 cm und b = 8 cm
sollen an den Ecken gleich große Quadrate (Seite x) ausgeschnitten werden, um
einen oben offenen Behälter herzustellen. Wie groß muss x gewählt werden, damit
das Volumen des Behälters maximal wird?
GM_A1112 **** Lösungen 6 Seiten (GM_L1112)
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1. Mathematikschulaufgabe
Klasse 11 / G8
5.
Der Verlauf einer Straße ist durch die Funktion f(x) = −
1 3 5
x + x beschrieben.
18
3
Ein Teil der Straße soll durch ein gerades Teilstück PR , das sich unter − 45°
tangential an die Straße anfügt (Punkt P) ersetzt werden (siehe Skizze).
a) Bestimmen Sie rechnerisch den Punkt P und die Gleichung der Tangente.
b) Der Punkt Q ( x q − 2 ) auf dem Graph zu f(x) und der Punkt R ( xR − 2 ) auf
der Tangente haben den Abstand QR . Berechnen Sie QR auf 3 Stellen nach
dem Komma (Newtonsches Iterationsverfahren für den x -Wert von Q).
QR
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1. Mathematikschulaufgabe
Klasse 11 / G8
1.
Bestimmen Sie f '(x) und fassen Sie das Ergebnis so weit wie möglich zusammen.
4
2.
a)
f(x)
8 x
d)
f(x)
sin2 x
2
f(x)
e)
f(x)
2a x 5
2
x
4
5
12
cos x
x
c)
f(x)
f)
x 3 cos 2x 1
Die Bilder A bis C enthalten die wesentlichen Ausschnitte von drei Funktionsgraphen.
Es sind die Funktion f(x) , ihre Ableitung f '(x) sowie eine mögliche Stammfunktion
F(x) . Ordnen Sie die richtige Funktion zu und begründen Sie Ihre Auswahl.
A
3.
b)
B
Gegeben ist die Funktion f(x)
C
x2 k x
mit k
x 5
.
a) Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion.
b) Für welche Werte von k besitzt die Funktion f(x) genau zwei Punkte mit
horizontaler Tangente?
c) Bestimmen Sie das Monotonieverhalten (Steigungsverhalten) der Funktion für
9
k
und geben Sie Art und Lage der Extrempunkte an.
5
4.
Mit einem Federkatapult wird vom Erdboden aus eine Kugel schräg nach oben
geschossen. Die Flugbahn der Kugel kann näherungsweise durch eine Parabel
6
2
p: p(x)
x 9
6 beschrieben werden.
81
Die maximal erreichte Höhe über dem Erdboden betrug 6 m, die Wurfweite wurde
mit 18 m gemessen.
Skizzieren und beschriften Sie die Situation in einem Koordinatensystem und
berechnen Sie den Abschusswinkel.
GM_A1113 **** Lösungen 5 Seiten (GM_L1113)
1 (2)
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1. Mathematikschulaufgabe
Klasse 11 / G8
5.
Die Bahn einer Rutsche beginnt mit einem horizontalen Streckenabschnitt AB
mit B 0 8 , geht über in einen parabelförmigen Teil p1 mit p1(x)
0,25 x 2 8 ,
der im Punkt C durch eine Tangente t an die Parabel p1 fortgesetzt wird.
Die Tangente t endet ohne Knick im Punkt D 6 3 an der Parabel p2, die ihren
tiefsten Punkt in E 12 0 .hat.
a) Geben Sie die Gleichung der Parabel p2 an.
b) Bestimmen Sie den Übergangspunkt C (Tangente an Parabel)
c) Beschreiben Sie mathematisch den Streckenverlauf (abschnittsweise) von B
bis E.
6.
Einem Quadrat mit dem Flächeninhalt 144 cm2
werden Trapeze einbeschrieben (siehe Skizze).
a) Berechnen Sie die Flächeninhalte der
Trapeze als Funktion von x.
b) Geben Sie das für x zulässige Intervall an.
c) Unter den Trapezen gibt es eines mit
maximalem Flächeninhalt. Begründen Sie.
d) Berechnen Sie den Wert für x, der das
Trapez mit maximalem Inhalt liefert.
Bemerkung:
Trapez einbeschreiben heißt, dass alle Eckpunkte des Trapezes genau auf den
Quadratseiten liegen.
GM_A1113 **** Lösungen 5 Seiten (GM_L1113)
2 (2)
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1. Mathematikschulaufgabe
Klasse 11 / G8
1.
Finden Sie unter den gegebenen Graphen alle Paare von Funktionsgraph und
Graph der Ableitungsfunktion.
y
1
y
2
4
3
3
2
2
2
1
1
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
x
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-2
-1
-2
-3
-3
-3
-4
-4
-4
y
5
3
3
2
2
1
1
1
2
3
4
-2
-1
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-2
-1
0
-2
-3
-3
-4
-4
-4
y
8
3
3
2
2
1
1
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-3
-2
-1
0
-1
-2
-2
-3
-3
-3
-4
-4
-4
y
11
4
1
2
3
4
4
3
3
2
2
2
1
1
4
3
y
12
4
3
3
2
x
-4
-1
2
1
1
-2
1
4
x
-1
0
3
4
2
4
2
y
9
4
3
4
-3
-1
-2
1
x
-4
-2
-3
y
10
-3
-2
3
1
x
-4
-1
2
4
1
-1
1
3
x
-1
0
2
4
2
0
1
y
6
4
3
4
-3
0
-1
x
-4
-1
-2
y
7
-2
-1
4
-3
-3
-2
x
-4
x
-4
-1
y
4
4
3
1
-4
y
3
4
x
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
x
-4
-3
-2
-1
0
-1
-1
-1
-2
-2
-2
-3
-3
-3
-4
-4
-4
Graph der Funktion
Graph der Ableitungsfunktion
GM_A1114 **** Lösungen 5 Seiten (GM_L1114)
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1. Mathematikschulaufgabe
Klasse 11 / G8
2.
Bestimmen Sie jeweils die Ableitungsfunktion und vereinfachen Sie das Ergebnis
soweit wie möglich.
2
5x
a2
h(a)
a) f(x) = a x5 + 2,5x 3 −
b) g(x) = − k 2 +
c)
=
x
2 − x2
x + 2a
3.
Ein waagerecht verlaufender Weg
endet im Punkt A. Er soll in 8 m
Entfernung in einer Höhe von 2 m
im Punkt B waagerecht fortgesetzt
werden (siehe Skizze). Die Übergänge in A und B dürfen keinen
Knick aufweisen (tangentialer
Übergang).
Geben Sie eine Übergangskurve
als ganzrationale Funktion an (mit möglichst niedrigem Grad).
4.
y
Die Form einer Halle kann
annähernd durch eine Parabel p
1
90°
mit p(x) = − x 2 + 4,5
8
p(x)
beschrieben werden. Die höchste
Stelle der Halle ist 4,5 m über
dem Boden.
Die Halle wird nun so mit Platten
h
h
verkleidet, dass sie beidseitig
x
an das Dach angelehnt werden
0
und in der Spitze einen Winkel
von 90° bilden (siehe Skizze).
Dort, wo die Platten das parabelförmige Hallendach berühren, sollen jeweils Stützen
der Länge h eingesetzt werden.
a) Berechnen Sie die Stützhöhe h und die Koordinaten der Berührpunkte.
b) Welche Gesamthöhe erreicht das Plattendach?
5.
Gegeben ist die Funktion f(x) =
x2 − 4
mit maximalem Definitionsbereich.
2 − 2x 2
a) Bestimmen Sie Df und berechnen Sie alle Nullstellen.
b) Bestimmen Sie das Symmetrieverhalten von f.
c) Geben Sie das Verhalten an den Rändern des Definitionsbereichs an und
nennen sie alle Asymptotengleichungen.
d) Ermitteln Sie Lage und Art des lokalen Extremwerts.
e) Zeichnen Sie den Graphen von f im Bereich − 6 ≤ x ≤ 6
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Gymnasium
1. Mathematikschulaufgabe
Klasse 11 / G8
6.
Extremwertaufgabe
Zwei gleich große Platten (Länge a, Breite b =
2
a ) sind mit einem Scharnier
3
(Drehgelenk) verbunden.
Das Gelenk wird nun hochgehoben und es entsteht ein dreieckförmiges Dach.
Wie hoch muss das Gelenk angehoben werden, damit das Dach ein maximales
Volumen überdeckt?
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