Inertialsysteme

Inertialsysteme
Physikalische Vorgänge kann man von verschiedenen Standpunkten aus
beobachten.
• Koordinatensysteme mit gegeneinander verschobenem Ursprung
sind gleichberechtigt. → Inertialsysteme
• Gradlinig-gleichförmig gegeneinander bewegte Koordinatensysteme
sind auch gleichberechtigt. → Inertialsysteme
• Physikalische Vorgänge in beschleunigten Koordinatensystemen
verhalten sich anders. → Keine Inertialsysteme
Beobachtungen aus Inertialsystemen führen immer auf die gleichen
physikalischen Gesetze.
Aus physikalischen Messungen innerhalb eines Inertialsystems kann man
nicht feststellen, wo es sich befindet und wie schnell es sich bewegt.
139
Galilei-Transformation
z′
r
r
z
y
x
r
v′
r
u
r
r′
r
ut
r
v
y′
x′
r
u
Das Koordinatensystem mit Strich bewege sich mit der Geschwindigkeit
gegen das andere, dann transformieren sich die physikalischen Größen wie:
r
r
r ′(t ) = r (t ) − u t
t′ = t
r&
r
r
r
⇒ v ′(t ) = r ′(t ) = v (t ) − u
r
r
r
⇒ a ′(t ) = v& (t ) = a
r
r
⇒ F′ = F
140
Transformation von Energie und Impuls:
Ist das System abgeschlossen, bleibt die potentielle Energie im System
gleich (hängt nur von Relativkoordinaten ab).
Die kinetische Energie hängt vom System ab.
r2
1 r
′ = m v (t ) − u
Ekin
2
Ebenso der Impuls
r
r r
p′ = m ( v − u )
Energie und Impuls bleibt nicht erhalten beim Übergang von einem
Inertialsystem zum Anderen.
Innerhalb von jedem Inertialsystem gelten die Erhaltungssätze.
141
Arbeit:
Wirkt eine Kraft F im einen Inertialsystem, wirkt im Anderen ebenso F.
In einer Zeit Δt werden aber verschiedene Wege zurückgelegt
r
r
r
v ′ Δt ′ = v Δt − u Δt
dadurch wird unterschiedlich viel Arbeit an einer Masse verrichtet.
r r
r r
W ′ = F ⋅ v ′ Δt ′ ≠ F ⋅ v Δt = W
In abgeschlossenen Systemen wirkt aber immer eine Gegenkraft auf
eine andere Masse.
Dadurch wird der Unterschied kompensiert und die Energieerhaltung gilt.
142
Beispiel:
r
v1
m1
m2
r
v2
Schwerpunkt-Inertialsystem:
Durch die Federkraft werde m1 =1 kg von 0 auf 1 m/s beschleunigt,
ebenso m2 = 1 kg von 0 auf 1 m/s in entgegengesetzte Richtung.
Einzelenergien:
E1= E2 = ½ m v2 = 0.5 J
Gesamtenergie:
Ekin= 2 * ½ m v2 = 1 J
Ein anderes Inertialsystem bewege sich mit u = 10 m/s relativ zum
Schwerpunkt:
Kinetische Energie vorher beträgt Ekin= 2 * ½ m u2 = 100 J
Nach der gleichen Beschleunigung ist: v1 = 9 m/s und v2 = 11 m/s
Einzelenergie:
E1 = ½ m v12 = 0.5*81 J = 40.5 J
Einzelenergie:
E2 = ½ m v22 = 0.5*121 J = 60.5 J
Gesamtenergie:
Ekin= 40.5 J + 60.5 J = 101J
Die Zunahme der Gesamtenergie ist die Gleiche wie oben,
aber zusätzlich sind 10 J von m1 auf m2 übertragen worden.
143
1 Joule ist die potentielle Energie der Feder, die in kinetische Energie
umgewandelt wurde.
Berechnung der verrichteten Arbeit:
x1
x1
x1
v
v
1
1
dv
ds
W1 = ∫ F ds = ∫ m a ds = ∫ m ds = ∫ m dv = ∫ m v dv
dt
dt
x0
x0
x0
v0
v0
Schwerpunktsystem:
v1
1
1
2
2
W1 = ∫ m v dv = m v1 − m v0 = 0.5 ⋅ 1kg ⋅ (1 − 0) m 2 /s2 = 0.5 J
2
2
v0
v2
W2 = ∫ m v dv =
v0
1
1
2
2
m v2 − m v0 = 0.5 ⋅ 1kg ⋅ (1 − 0) m 2 /s2 = 0.5 J
2
2
Bewegtes Koordinatensystem (u = 10m/s) :
v1
1
1
2
2
W1 = ∫ m v dv = m v1 − m v0 = 0.5 ⋅ 1kg ⋅ (121 − 100) m 2 /s2 = 10.5 J
2
2
v0
v2
W2 = ∫ m v dv =
v0
1
1
2
2
m v2 − m v0 = 0.5 ⋅ 1kg ⋅ (81 − 100) m 2 /s2 = −9.5 J
2
2
144
Die Masse m1 hat zusätzlich 10 J Arbeit an Masse m2 verrichtet,
da die zurückgelegten Wege länger sind.
Schwerpunktsystem:
beide Massen werden beschleunigt, d.h. gewinnen kinetische Energie
Bewegtes Koordinatensystem
Masse m1 wird gebremst, d.h. verliert kinetische Energie
Masse m2 wird beschleunigt, d.h. gewinnt kinetische Energie
145
Inertialsysteme an der Erdoberfläche (im Alltag):
Koordinatensystem das im Labor ruht:
1. Erde als Teil des abgeschlossenen Systems einbezogen → Inertialsystem
(nicht ganz, da Erde rotiert – rotierende Systeme sind beschleunigt)
Energie und Impuls der ganzen Erde muss berücksichtigt werden.
2. Erde nicht einbezogen → äußere Kräfte wirken
→ kein abgeschlossenes System → kein Inertialsystem
keine Energieerhaltung, keine Impulserhaltung
(frei fallender Körper gewinnt Energie und Impuls)
3. Gravitationsfeld mit einbezogen ins System (potentielle Energie)
→ Energieerhaltung stimmt Ekin+Epot=const., Impulserhaltung aber nicht
(frei fallender Körper gewinnt Impuls)
→ kein Inertialsystem
146
Anmerkung zur allgemeinen Relativitätstheorie:
Im Gravitationsfeld frei fallende Systeme sind Inertialsysteme.
Gradlinig beschleunigte Systeme sind nicht zu unterscheiden von
Systemen, die im Gravitationsfeld ruhen.
(Gleichheit von träger und schwerer Masse)
Frei fallende Systeme sind zwar
beschleunigt, aber Gravitation
und Beschleunigung kompensieren
sich gerade.
→ Schwerelosigkeit
147
Realisierung von Inertialsystemen an der Erdoberfläche:
1. Kompensation aller äußeren Kräfte durch andere äußere Kräfte.
z.B. Luftkissenschiene (Kompensation der Gravitation)
2. Fallturm
Höhe 110m, evakuiert, Fallzeit ca. 5 s, Endgeschwindigkeit 165 km/h
Fallröhre
Turmspitze mit Deckel
Beim Fallen wirken innerhalb der Kapsel nur innere Kräfte.
148
Weltraumfahrt
Satelliten „fallen um die Erde herum“ → Schwerelosigkeit
Zentrifugalbeschleunigung kompensiert Gravitation
Rotation der Systeme (Erde, Satellit) verursacht kleine Kräfte
Größenordnung 10-6 der Erdbeschleunigung (Microgravity)
Experimente zu inneren Kräften in Flüssigkeiten, etc.
149
Scheinkräfte:
Inertialsysteme:
Keine Scheinkräfte
Andere Systeme:
Ein Experimentator im fensterlosen Labor beobachtet „unerklärliche“ Kräfte.
Äußere Kräfte oder Kräfte durch Beschleunigung des Koordinatensystems
gradlinig beschleunigte Systeme:
Trägheit
Rotierende Systeme:
Zentrifugalkraft
Corioliskraft
150
Spezielle Relativitätstheorie: Lorentz-Transformation
z′
z
y′
y
x
r
ut
x′
u zeige in x-Richtung
x − ut
x′ =
1− u c
2
2
Lorentz-Kontraktion in Bewegungsrichtung
y′ = y
z′ = z
t′ =
t − ux c 2
1− u c
2
2
Zeitdilatation
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