Experimentalphysik E1 9. Nov. Keplergleichungen, Gravitation u. Scheinkräfte Alle Informationen zur Vorlesung unter : http://www.physik.lmu.de/lehre/vorlesungen/index.html Planetenbahnen http://www.astro.uni-bonn.de/~deboer/pdm/planet/SonnenAp2/ SonnenApplet.htm http://www.lasalle.edu/~smithsc/Astronomy/retrograd.html Eine Ellipse erfüllt die sogenannte „Ellipsengleichung“ x2 y2 + =1 a2 b2 mit a, b ε + 3.1 Ellipsengleichung Kegelschnitte Definition: Diese Definition folgt direkt aus dem Schnitt eines Kegels und wurde im Kapitel Kegelschnitte hergeleitet. Der Hauptachsenabschnitt beträgt a, der Nebenachsenabschnitt b. Eine Ellipse erfüllt die sogenannte „Ellip x2 y2 + 2 =1 2 a b mit a Diese Definition folgt direkt aus dem Schnit Ellipse Kegelschnitte hergeleitet. Der Hauptachsena Abb. 13 3.2 Brennpunktseigenschaft Definition: Eine Ellipse ist der geometrische Ort aller in einer Ebene E liegenden Punkte P, für die die Summe der Abstände zu zwei festen Punkten der Ebene, den sogenannten Brennpunkten F1 und F2, eine Konstante c ist. In Formelsprache ausgedrückt Ell = {P ε E / d(P;F1) + d(P;F2) = c ; c ε } Ellipsen sind achsensymmetrisch mit zwei zueinander senkrechten Symmetrieachsen. Die längere der beiden, die durch die beiden Brennpunkte verläuft, wird als Hauptachse http://www.kegelschnitte.de bezeichnet, die kürzere als Nebenachse. Die Punkte der Ellipsen auf der Hauptachse werden Hauptscheitel, die auf der Nebenachse Nebenscheitel genannt. Eine Ellipse erfüllt die sogenannte „Ellipsengleichung“ x2 y2 + =1 a2 b2 mit a, b ε + 3.1 Ellipsengleichung Kegelschnitte Definition: Diese Definition folgt direkt aus dem Schnitt eines Kegels und wurde im Kapitel Kegelschnitte hergeleitet. Der Hauptachsenabschnitt beträgt a, der Nebenachsenabschnitt b. Eine Ellipse erfüllt die sogenannte „Ellip Hyperbel - 27 - 2 2 x y Hyperbel a 2 + b 2 =1 mit a 4.1 Hyperbelgleichung Diese Definition folgt direkt aus dem Schnit Ellipse 4.1 Hyperbelgleichung Definition: Eine Hyperbel erfüllt die sogenannteKegelschnitte „Hyperbelgleichung“ hergeleitet. x2 y2 − =1 a2 b2 mit a, b ε Definition: Der Hauptachsena + Eine Hyperbel erfüllt die sogena Abb. 13 x2 y2 − =1 a2 b2 3.2 Brennpunktseigenschaft Definition: Eine Ellipse ist der geometrische Ort aller in einer Ebene E liegenden Punkte P, für die die Summe der Abstände zu zwei festen Punkten der Ebene, den sogenannten Hyperbel Brennpunkten F1 und F2, eine Konstante c ist. In Formelsprache ausgedrückt Ell = {P ε E / d(P;F1) + d(P;F2) = c ; c ε } Ellipsen sind achsensymmetrisch mit zwei zueinander senkrechten Symmetrieachsen. Die Abb. 22 längere der beiden, die durch die beiden Brennpunkte verläuft, wird als Hauptachse Die Hyperbel unterscheidet sich von den anderen Kegelschnitten dadurch, dass sie zwei bezeichnet, die kürzere als Nebenachse. Die Punkte der Ellipsen auf der Hauptachse werden Asymptoten besitzt (Abb. 22). Deren Gleichung lässt sich durch Betrachtung des Verhaltens Hauptscheitel, die auf der Nebenachse Nebenscheitel genannt. der Hyperbel im Unendlichen bestimmen. http://www.kegelschnitte.de mit a, y 2 = 2px In der Schule wird die Parabelgleichung in der Form y = cx 2 Kegelschnitte 5.1 Parabelgleichung verwendet. Bis auf die Benennung der Variablen sind natürlich beide identisch. Die in der Definition: Definition verwendete Form ist aus Gründen der Kontinuität gewählt, der Brennpunkt, die Parabel besitzt nur einen, liegt wie bei der Ellipsen und Hyperbel auf der x-Achse Eine Parabel erfüllt die Par (Abb. 31). y 2 = 2px In der Schule wird die Parabel yParabel = cx 2 Abb. 31 5.2 Leitliniendefinition verwendet. Bis auf die Benenn Definition verwendete Form is Während Ellipse und Hyperbel zwei Brennpunkte besitzen, hat die Parabel nur einen. Eine Parabel besitzt nur einen, liegt Definition über das Verhältnis der Abstände zu den Brennpunkten ist demnach nicht möglich. Aber die Parabel kann über eine Leitlinie, eine Gerade, und den Brennpunkt definiert werden.. (Abb. 31). Definition: http://www.kegelschnitte.de Die Parabel ist der geometrische Ort aller in einer Ebene E liegenden Punkte P, die von einer Geraden l, der Leitgeraden, und dem Brennpunkt F den gleichen Abstand besitzen. 2.9. Gravitation und Planetenbewegungen Kegelschnitte Damit heißt der Energiesatz: 2 Ep + m 2 L ṙ + = E = const , 2 2mr 2 y (2.60) wobei E und L 2 zeitlich konstant sind. Löst man (2.60) nach ṙ = dr/ dt auf, so ergibt sich: ! " # dr 2 L2 . (2.61) = E − Ep − dt m 2mr 2 P (x,y) = P (r,ϕ) r (t) ϕ b a (2.62) dϕ = ϕ − ϕ0 ϕ0 L = m & dr ' ( ) r 2 2/m E − E p − L 2 /(2mr 2 ) Abb. 2.50. Keplerbahnen in Parameterdarstellung a ⋅ (1− ε 2 ) r(ϕ ) = 1+ ε cos(ϕ ) woraus man durch Integration &ϕ ξ=x-a⋅e S Für die Winkelvariable ϕ(t) erhält man aus (2.59) dϕ L = . dt mr 2 Division von (2.62) durch (2.61) ergibt $ " #%−1/2 dϕ L 2 L2 = E − Ep − , dr mr 2 m 2mr 2 η=y (2.63) die Polardarstellung r = r(ϕ) der Bahnkurve auf folgende Weise erhält: Für E p = −G · M · m/r gehört das Integral in (2.63) zum Typ der elliptischen Integrale. Die Lösung (siehe Integraltafel [2.6]) ist bei der dem Koordinatenursprung in einem Brennpunkt S a : a gr. (Abb. 2.50). Für eine Ellipse gibt die Halbachse große Halbε : Exzentrizität achse an und ε(0 < ε < 1) die Exzentrizität. Man kann dies leicht sehen durch die Transformation ξ = r · cos ϕ, η = r · sin ϕ auf kartesische Koordinaten mit dem Ursprung im Brennpunkt S, die aus (2.65) die Gleichung + ( ) a 1 − ε2 − εξ = ξ 2 + η2 (2.65a) 0<ε<1 Ellipse ε=1 Parabel Ursprung {0, 0} unseres ε>1 Hyperbel ergibt. Um den Koordinatensystems vom Brennpunkt in den Mittelpunkt des Kegelschnittes zu verschieben, machen wir die Transformation: ξ = xhttp://www.kegelschnitte.de + aε; η = y und erhalten aus (2.65a) die bekannte Kegelschnittgleichung: x2 y2 ( ) 69 Die Bewegungsgleichung eines Planeten im Zentralfeld der Sonne ist integrierbar (siehe theoretische Mechanik T1) m 2 L2 E P + r˙ + = E = const 2 2mr 2 € dr = dt 2# L2 & % E − EP − ( m$ 2mr 2 ' dϕ L = dt mr 2 − € dϕ L +2 % L2 (. = ⋅ - ' E − EP − *0 dr mr 2 , m & 2mr 2€ )/ ϕ € € ∫ dϕ = ϕ − ϕ ϕ0 % ' ϕ = arccos' ' & 0 = L m ∫ 1 2 dr r 2 2 m ( E − E P − L2 2mr 2 ) ( % a(1− ε 2 ) − r ( L r − Gm M * * = arccos'' * * 2 2 2 * ε⋅ r & ) Gm M + 2mE ⋅ L ( ) ) 2 2 Bahn eines Planeten im Zentralfeld der Sonne: % ' ϕ = arccos' ' & € € ( % a(1− ε 2 ) − r ( L r − Gm M * * = arccos'' * * 2 2 2 * ε ⋅ r & ) (Gm M ) + 2mE ⋅ L ) 2 a ⋅ (1− ε 2 ) r(ϕ ) = 1+ ε cos(ϕ ) € 2 GmM a=− 2E ε <1 E< € 0 Ellipse € ε >1 E >0 Hyperbel 2E ⋅ L2 ε = 1+ 2 3 2 G m M Der Drehimpuls ist auch bei nicht-kreisförmigen Bewegungen erhalten. Der Drehimpuls bezieht sich immer auf einen (Dreh)-Punkt Der Satellit GOCE bestimmt das Schwerefeld der Erde hochgenau und lückenlos. Reiner Rummel und Anja Schlicht Die Dichte der Erde ist nicht homogen Für Physiker steckt die Gravitationskraft voller Rätsel, - fache widersetzt80.000 sie sich doch bislang allen Versuchen, sie mit den anderen bekannten Kräften Vergrößerung derzu vereinigen. Geowissenschaftler und Geodäten können hingegen Abweichung der gut mit der Newtonschen Näherung leben. Sie nutzen Erdoberfläche die Kenntnis der Schwerkraft, umvom das Erdinnere zu erfassen, ein Höhensystem festzulegen oder OzeanRotationsellipsoid strömungen zu bestimmen. Ihr Problem besteht darin, dass die vorhandenen Daten nur unzureichend genau sind und die Erde lückenhaft überdecken. Der von der europäischen Raumfahrtagentur ESA gestartete Satellit GOCE soll hier Abhilfe schaffen und das Gravitationsfeld der Erde detailgenau vermessen. D ie Schwerkraft beeinflusst wie keine andere Kraft unsere tägliche Erfahrungswelt. Mit ihrer Hilfe können wir uns im Raum orientieren und die Welt in oben und unten, in vertikal und horizontal einteilen. So ist unser räumliches Empfinden bereits vor den Überlegungen Einsteins durch die Geometrie des Schwerefeldes geprägt gewesen. Während in vielen Disziplinen eine konstante Erdbeschleunigung von 9,81 m/s2, wie sie einer homogenen Erdkugel entspricht, eine meist ausreichende Näherung ist, verlangen viele Fragen aus der Geophysik nach einer genaueren Betrachtung. Dabei gilt es zu berücksichtigen, dass zum Erdschwerefeld sowohl die Gravitationswirkung der Massenverteilungen im Erdkörper als auch die Rotation der Erde beitragen. Die Fliehkraft sowie die davon hervorgerufene Abplattung der Erde an den Polen führen dazu, dass die Erdbeschleunigung zwischen 9,78 m/s2 am Äquator und 9,83 m/s2 an den Polen variiert. Darüber hinaus beeinflussen in unterschiedlichem Ausmaß auch die Verteilung von Landerhebungen und Ozeanbecken, die Dichtevariationen im Erdmantel und in der Erdkruste sowie die Gezeitenwirkung von Sonne und Mond die Erdbeschleunigung (Tabelle). Das Erdschwerefeld lässt sich geometrisch durch Niveauflächen, Lotlinien und Kraftvektoren beschreiben. Eine besondere Stellung unter den Niveauflä- Das Geoid, eine dem mittleren Meeresniveau entsprechende Äquipotentialfläche der Schwerkraft, weicht um bis zu 100 m vom Rotationsellipsoid ab. Abb. 1 Das Geoid, eine dem mittleren Meeresniveau entsprechende Äquipotentialfläche der Schwerkraft, weicht um bis zu 100 m vom Rotationsellipsoid ab. Die in dieser „Kartoffel“ stark überhöhten Abweichungen korrelieren wenig mit der Topographie der Kontinente und der Meeresböden, stattdessen aber mit großskaligen Dichtestrukturen in Erdkruste und Physik Journal 9 (2010) Nr. 3 -mantel. K O M PA K T N Mit GOCE verwendet erstmals ein Satellit die Methode der Gravitationsgradiometrie, um das Schwerefeld der Erde zu vermessen. Die angestrebte Genauigkeit auf der Erde ist ein Millionstel der Erdanziehung. Damit lässt sich die Geoidfigur zentimetergenau ermitteln, bei einer räumlichen Auflösung von etwa 100 km. aus Demtröder al. N Prof. Dr. Reiner Reise ins Universum: Transferbahnen sind Bahnen auf denen eine Sonde ihr Ziel mit geringstem Energieaufwand erreicht (27.8.1S81 Jup ( {30.1.1986 ) ) itei s. 7. 197S) rde (9.1.1977) Mors \-ios1s77) Swing-by Bahnen nutzen die Anziehung entfernter Planeten um Raumsonden auf Kosten des Planeten zu beschleunigen Abb.: Bergmann Schäfer Die Newtonschen Grundgesetze 1. Newtonsche Axiom (Trägheitsprinzip) Ein Körper verharrt im Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen geradlinigen Bewegung, solange keine Kraft auf ihn wirkt. 2. Newtonsche Axiom (Aktionsprinzip) Ursache für eine Bewegungsänderung ist eine Kraft. Sie ist definiert als F = m⋅a [N=kg·m/s2= 1 Newton] m : „träge Masse“ 3. Newtonsche Axiom (Reaktionsprinzip) Bei zwei Körpern, die nur miteinander, aber nicht mit anderen Körpern wechselwirken, ist die Kraft F12 auf den einen Körper entgegengesetzt gleich der Kraft F21 auf den anderen Körper. F12 = − F21 (actio=reactio) Bewegte Bezugssysteme Wann und Wo sind die Newtonschen Gesetze gültig ? Gelten Sie in allen Bezugssystemen ? 1.NG F=0 => gleichf. Bew. 2.NG F=ma (wobei F bekannte Kräfte sind) v v=0 Inertialsysteme sind Bezugssysteme in denen das Newtonsche Trägheitsgesetz gilt. Bezugssysteme die sich relativ zueinander mit der konstanter Geschwindigkeit bewegen sind äquivalent Beschleunigte Bezugssysteme Beobachter im Wagen: -Eine Kraft zieht die Kugel plötzlich nach hinten. Beobachter außerhalb: -Wagen wird beschleunigt, daher Zugkraft auf Feder. Ftr a Im beschleunigten Bezugssystem tritt Beschleunigung von Massen ohne erkennbare Ursache auf. Als Ursache werden Scheinkräfte eingeführt. Scheinkräfte sind Trägheitskräfte, welche von mitbewegten Beobachtern in beschleunigten Bezugssystemen beobachtet werden.