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Experimentalphysik E1
9. Nov.
Keplergleichungen, Gravitation u. Scheinkräfte
Alle Informationen zur Vorlesung unter :
http://www.physik.lmu.de/lehre/vorlesungen/index.html
Planetenbahnen
http://www.astro.uni-bonn.de/~deboer/pdm/planet/SonnenAp2/
SonnenApplet.htm
http://www.lasalle.edu/~smithsc/Astronomy/retrograd.html
Eine Ellipse erfüllt die sogenannte „Ellipsengleichung“
x2 y2
+
=1
a2 b2
mit a, b ε
+
3.1 Ellipsengleichung
Kegelschnitte
Definition:
Diese Definition folgt direkt aus dem Schnitt eines Kegels und
wurde im Kapitel
Kegelschnitte hergeleitet. Der Hauptachsenabschnitt beträgt a, der Nebenachsenabschnitt b.
Eine Ellipse erfüllt die sogenannte „Ellip
x2 y2
+ 2 =1
2
a
b
mit a
Diese Definition
folgt direkt aus dem Schnit
Ellipse
Kegelschnitte hergeleitet. Der Hauptachsena
Abb. 13
3.2 Brennpunktseigenschaft
Definition:
Eine Ellipse ist der geometrische Ort aller in einer Ebene E liegenden Punkte P, für
die die Summe der Abstände zu zwei festen Punkten der Ebene, den sogenannten
Brennpunkten F1 und F2, eine Konstante c ist.
In Formelsprache ausgedrückt
Ell = {P ε E / d(P;F1) + d(P;F2) = c ; c ε }
Ellipsen sind achsensymmetrisch mit zwei zueinander senkrechten Symmetrieachsen. Die
längere der beiden, die durch die beiden Brennpunkte verläuft, wird als Hauptachse
http://www.kegelschnitte.de
bezeichnet, die kürzere als Nebenachse. Die Punkte der Ellipsen auf der Hauptachse werden
Hauptscheitel, die auf der Nebenachse Nebenscheitel genannt.
Eine Ellipse erfüllt die sogenannte „Ellipsengleichung“
x2 y2
+
=1
a2 b2
mit a, b ε
+
3.1 Ellipsengleichung
Kegelschnitte
Definition:
Diese Definition folgt direkt aus dem Schnitt eines Kegels und
wurde im Kapitel
Kegelschnitte hergeleitet. Der Hauptachsenabschnitt beträgt a, der Nebenachsenabschnitt b.
Eine Ellipse erfüllt die sogenannte „Ellip
Hyperbel
- 27 -
2
2
x
y
Hyperbel
a
2
+
b
2
=1
mit a
4.1 Hyperbelgleichung
Diese Definition
folgt direkt aus dem Schnit
Ellipse
4.1 Hyperbelgleichung
Definition:
Eine Hyperbel erfüllt die sogenannteKegelschnitte
„Hyperbelgleichung“ hergeleitet.
x2 y2
−
=1
a2 b2
mit a, b ε
Definition:
Der Hauptachsena
+
Eine Hyperbel erfüllt die sogena
Abb. 13
x2 y2
−
=1
a2 b2
3.2 Brennpunktseigenschaft
Definition:
Eine Ellipse ist der geometrische Ort aller in einer Ebene E liegenden Punkte P, für
die die Summe der Abstände zu zwei festen Punkten der Ebene, den sogenannten
Hyperbel
Brennpunkten F1 und F2, eine Konstante c ist.
In Formelsprache ausgedrückt
Ell = {P ε E / d(P;F1) + d(P;F2) = c ; c ε }
Ellipsen sind achsensymmetrisch mit zwei zueinander senkrechten Symmetrieachsen. Die
Abb. 22
längere der beiden, die durch die beiden Brennpunkte verläuft, wird als Hauptachse
Die Hyperbel unterscheidet sich von den anderen Kegelschnitten dadurch, dass sie zwei
bezeichnet, die kürzere als Nebenachse. Die Punkte der Ellipsen auf der Hauptachse werden
Asymptoten besitzt (Abb. 22). Deren Gleichung lässt sich durch Betrachtung des Verhaltens
Hauptscheitel, die auf der Nebenachse Nebenscheitel genannt.
der Hyperbel im Unendlichen bestimmen.
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mit a,
y 2 = 2px
In der Schule wird die Parabelgleichung in der Form
y = cx 2
Kegelschnitte
5.1 Parabelgleichung
verwendet. Bis auf die Benennung der Variablen sind natürlich beide identisch. Die in der
Definition:
Definition verwendete Form ist aus Gründen der Kontinuität gewählt, der Brennpunkt, die
Parabel besitzt nur einen, liegt wie bei der Ellipsen und Hyperbel auf der x-Achse
Eine Parabel erfüllt die Par
(Abb. 31).
y 2 = 2px
In der Schule wird die Parabel
yParabel
= cx 2
Abb. 31
5.2 Leitliniendefinition
verwendet. Bis auf die Benenn
Definition verwendete Form is
Während Ellipse und Hyperbel zwei Brennpunkte besitzen, hat die Parabel nur einen. Eine
Parabel besitzt nur einen, liegt
Definition über das Verhältnis der Abstände zu den Brennpunkten ist demnach nicht
möglich. Aber die Parabel kann über eine Leitlinie, eine Gerade, und den Brennpunkt
definiert werden..
(Abb. 31).
Definition:
http://www.kegelschnitte.de
Die Parabel ist der geometrische Ort aller in einer Ebene E liegenden Punkte P,
die von einer Geraden l, der Leitgeraden, und dem Brennpunkt F den gleichen
Abstand besitzen.
2.9. Gravitation und Planetenbewegungen
Kegelschnitte
Damit heißt der Energiesatz:
2
Ep +
m 2
L
ṙ +
= E = const ,
2
2mr 2
y
(2.60)
wobei E und L 2 zeitlich konstant sind. Löst man (2.60)
nach ṙ = dr/ dt auf, so ergibt sich:
! "
#
dr
2
L2
.
(2.61)
=
E − Ep −
dt
m
2mr 2
P (x,y) = P (r,ϕ)
r (t)
ϕ
b
a
(2.62)
dϕ = ϕ − ϕ0
ϕ0
L
=
m
&
dr
'
(
)
r 2 2/m E − E p − L 2 /(2mr 2 )
Abb. 2.50. Keplerbahnen in Parameterdarstellung
a ⋅ (1− ε 2 )
r(ϕ ) =
1+ ε cos(ϕ )
woraus man durch Integration
&ϕ
ξ=x-a⋅e
S
Für die Winkelvariable ϕ(t) erhält man aus (2.59)
dϕ
L
=
.
dt
mr 2
Division von (2.62) durch (2.61) ergibt
$ "
#%−1/2
dϕ
L
2
L2
=
E − Ep −
,
dr
mr 2 m
2mr 2
η=y
(2.63)
die Polardarstellung r = r(ϕ) der Bahnkurve auf folgende Weise erhält: Für E p = −G · M · m/r gehört
das Integral in (2.63) zum Typ der elliptischen Integrale. Die Lösung (siehe Integraltafel [2.6]) ist bei der
dem Koordinatenursprung in einem Brennpunkt S
a : a gr.
(Abb. 2.50). Für eine Ellipse gibt
die Halbachse
große Halbε : Exzentrizität
achse an und ε(0 < ε < 1) die Exzentrizität.
Man kann
dies leicht sehen durch die Transformation ξ = r ·
cos ϕ, η = r · sin ϕ auf kartesische Koordinaten mit
dem Ursprung im Brennpunkt S, die aus (2.65) die
Gleichung
+
(
)
a 1 − ε2 − εξ = ξ 2 + η2
(2.65a)
0<ε<1 Ellipse
ε=1 Parabel
Ursprung
{0, 0} unseres
ε>1 Hyperbel
ergibt. Um den
Koordinatensystems vom Brennpunkt in den Mittelpunkt des
Kegelschnittes zu verschieben, machen wir die Transformation: ξ = xhttp://www.kegelschnitte.de
+ aε; η = y und erhalten aus (2.65a)
die bekannte Kegelschnittgleichung:
x2
y2
(
)
69
Die Bewegungsgleichung eines Planeten im Zentralfeld
der Sonne ist integrierbar
(siehe theoretische Mechanik T1)
m 2
L2
E P + r˙ +
= E = const
2
2mr 2
€
dr
=
dt
2#
L2 &
% E − EP −
(
m$
2mr 2 '
dϕ
L
=
dt mr 2
−
€
dϕ
L +2 %
L2 (.
=
⋅ - ' E − EP −
*0
dr mr 2 , m &
2mr 2€
)/
ϕ
€
€
∫ dϕ = ϕ − ϕ
ϕ0
%
'
ϕ = arccos'
'
&
0 =
L
m
∫
1
2
dr
r 2 2 m ( E − E P − L2 2mr 2 )
(
% a(1− ε 2 ) − r (
L r − Gm M
*
*
= arccos''
*
*
2
2
2 *
ε⋅ r
&
)
Gm
M
+
2mE
⋅
L
(
)
)
2
2
Bahn eines Planeten im Zentralfeld der Sonne:
%
'
ϕ = arccos'
'
&
€
€
(
% a(1− ε 2 ) − r (
L r − Gm M
*
*
= arccos''
*
*
2
2
2 *
ε
⋅
r
&
)
(Gm M ) + 2mE ⋅ L )
2
a ⋅ (1− ε 2 )
r(ϕ ) =
1+ ε cos(ϕ )
€
2
GmM
a=−
2E
ε <1
E<
€ 0
Ellipse
€
ε >1
E >0
Hyperbel
2E ⋅ L2
ε = 1+ 2 3 2
G m M
Der Drehimpuls ist auch bei
nicht-kreisförmigen Bewegungen erhalten.
Der Drehimpuls bezieht sich immer auf einen (Dreh)-Punkt
Der Satellit GOCE bestimmt das Schwerefeld der Erde hochgenau und lückenlos.
Reiner Rummel und Anja Schlicht
Die Dichte der Erde ist nicht homogen
Für Physiker steckt die Gravitationskraft voller Rätsel,
- fache
widersetzt80.000
sie sich doch
bislang allen Versuchen, sie
mit den anderen
bekannten
Kräften
Vergrößerung
derzu vereinigen.
Geowissenschaftler und Geodäten können hingegen
Abweichung der
gut mit der Newtonschen Näherung leben. Sie nutzen
Erdoberfläche
die Kenntnis
der Schwerkraft, umvom
das Erdinnere zu
erfassen, ein Höhensystem festzulegen oder OzeanRotationsellipsoid
strömungen zu bestimmen. Ihr Problem besteht darin,
dass die vorhandenen Daten nur unzureichend genau
sind und die Erde lückenhaft überdecken. Der von
der europäischen Raumfahrtagentur ESA gestartete
Satellit GOCE soll hier Abhilfe schaffen und das Gravitationsfeld der Erde detailgenau vermessen.
D
ie Schwerkraft beeinflusst wie keine andere Kraft
unsere tägliche Erfahrungswelt. Mit ihrer Hilfe
können wir uns im Raum orientieren und die
Welt in oben und unten, in vertikal und horizontal
einteilen. So ist unser räumliches Empfinden bereits
vor den Überlegungen Einsteins durch die Geometrie des Schwerefeldes geprägt gewesen. Während in
vielen Disziplinen eine konstante Erdbeschleunigung
von 9,81 m/s2, wie sie einer homogenen Erdkugel
entspricht, eine meist ausreichende Näherung ist,
verlangen viele Fragen aus der Geophysik nach einer
genaueren Betrachtung. Dabei gilt es zu berücksichtigen, dass zum Erdschwerefeld sowohl die Gravitationswirkung der Massenverteilungen im Erdkörper als
auch die Rotation der Erde beitragen. Die Fliehkraft
sowie die davon hervorgerufene Abplattung der Erde
an den Polen führen dazu, dass die Erdbeschleunigung
zwischen 9,78 m/s2 am Äquator und 9,83 m/s2 an den
Polen variiert. Darüber hinaus beeinflussen in unterschiedlichem Ausmaß auch die Verteilung von Landerhebungen und Ozeanbecken, die Dichtevariationen
im Erdmantel und in der Erdkruste sowie die Gezeitenwirkung von Sonne und Mond die Erdbeschleunigung (Tabelle).
Das Erdschwerefeld lässt sich geometrisch durch
Niveauflächen, Lotlinien und Kraftvektoren beschreiben. Eine besondere Stellung unter den Niveauflä-
Das Geoid, eine dem mittleren Meeresniveau
entsprechende Äquipotentialfläche der
Schwerkraft, weicht um bis zu 100 m vom
Rotationsellipsoid ab.
Abb. 1 Das Geoid, eine dem mittleren Meeresniveau entsprechende Äquipotentialfläche der Schwerkraft, weicht um bis zu
100 m vom Rotationsellipsoid ab. Die in dieser „Kartoffel“ stark
überhöhten Abweichungen korrelieren wenig mit der Topographie der Kontinente und der Meeresböden, stattdessen
aber mit großskaligen Dichtestrukturen in Erdkruste und
Physik Journal 9 (2010) Nr. 3
-mantel.
K O M PA K T
N
Mit GOCE verwendet erstmals ein Satellit die Methode
der Gravitationsgradiometrie, um das Schwerefeld der
Erde zu vermessen.
Die angestrebte Genauigkeit auf der Erde ist ein Millionstel der Erdanziehung. Damit lässt sich die Geoidfigur zentimetergenau ermitteln, bei einer räumlichen
Auflösung von etwa 100 km.
aus Demtröder al.
N
Prof. Dr. Reiner
Reise ins Universum:
Transferbahnen sind Bahnen auf
denen eine Sonde ihr Ziel mit
geringstem Energieaufwand erreicht
(27.8.1S81
Jup
(
{30.1.1986
)
)
itei
s. 7. 197S)
rde
(9.1.1977)
Mors
\-ios1s77)
Swing-by Bahnen nutzen die Anziehung
entfernter Planeten um Raumsonden auf
Kosten des Planeten zu beschleunigen
Abb.: Bergmann Schäfer
Die Newtonschen Grundgesetze
1. Newtonsche Axiom (Trägheitsprinzip)
Ein Körper verharrt im Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen
geradlinigen Bewegung, solange keine Kraft auf ihn wirkt.
2. Newtonsche Axiom (Aktionsprinzip)
Ursache für eine Bewegungsänderung ist eine Kraft. Sie ist definiert als
F = m⋅a
[N=kg·m/s2= 1 Newton]
m : „träge Masse“
3. Newtonsche Axiom (Reaktionsprinzip)
Bei zwei Körpern, die nur miteinander, aber nicht mit anderen Körpern
wechselwirken, ist die Kraft F12 auf den einen Körper entgegengesetzt
gleich der Kraft F21 auf den anderen Körper.
F12
= −
F21
(actio=reactio)
Bewegte Bezugssysteme
Wann und Wo sind die Newtonschen Gesetze gültig ?
Gelten Sie in allen Bezugssystemen ?
1.NG F=0 => gleichf. Bew.
2.NG F=ma
(wobei F bekannte Kräfte sind)
v
v=0
Inertialsysteme sind Bezugssysteme in denen das Newtonsche
Trägheitsgesetz gilt.
Bezugssysteme die sich relativ zueinander mit der konstanter
Geschwindigkeit bewegen sind äquivalent
Beschleunigte Bezugssysteme
Beobachter im Wagen:
-Eine Kraft zieht die Kugel
plötzlich nach hinten.
Beobachter außerhalb:
-Wagen wird beschleunigt,
daher Zugkraft auf Feder.
Ftr
a
Im beschleunigten Bezugssystem tritt Beschleunigung von Massen
ohne erkennbare Ursache auf. Als Ursache werden Scheinkräfte
eingeführt. Scheinkräfte sind Trägheitskräfte, welche von
mitbewegten Beobachtern in beschleunigten Bezugssystemen
beobachtet werden.
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