Der Kreis

Der Kreis
Theorie
Was ist ein Kreis?
Die Menge aller Punkte P, die von einem festen Punkt M die gleiche
Entfernung r haben, bilden einen Kreis oder genauer eine
Kreislinie mit dem Mittelpunkt M und dem Radius r.
...
...
Ein Kreis kann auch eine Kreisscheibe sein.
Dann ist der Kreis die Menge aller Punkte der Kreislinie und der Punkte,
die sie einschließt.
Begriffe am Kreis
M Mittelpunkt,
r Radius oder Halbmesser,
d Durchmesser
s Sehne
A1 Kreissegment oder Kreisabschnitt
A2 Kreisausschnitt oder Kreissektor
A3 Kreislinse
A4 Kreisring
k Kreis oder Kreislinie
b Kreisbogen
alpha Mittelpunkswinkel
beta Umfangswinkel
g1 Passante
g2 Tangente
g3 Sekante
g4 Zentrale
K. Sprater
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Das Verh€ltnis von Umfang u und Durchmesser d eines Kreises ist immer gleich. Dieses immer gleiche
Verh€ltnis betr€gt rund 3.141592653589793238462643383279. Es ist die reelle Zahl π.
Daraus ergibt sich die Formel für den Umfang eines Kreises:
Der Flächeninhalt des Kreises
Formelherleitung:
Wir konstruieren einen beliebig gro‚en Kreis und unterteilen
diesen in beliebig viele gleich gro‚e Teile.
In unserem Beispiel sind dies 16 gleich gro‚e Teile, die
auch Kreissektoren genannt werden
. Wir zerschneiden nun die Kreisfl€che in
diese 16 Kreissektoren und legen 15 davon
so nebeneinander, dass sie eine Figur
ergeben, die einem Rechteck €hnelt. (Der
16. Teil wird halbiert und links und rechts
angelegt.)
r
Je kleiner die Kreissektoren sind, umso
ähnlicher wird die Figur einem Rechteck!
u/2
K. Sprater
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AUFGABEN
1. Zeichne in die Kreise den Mittelpunkt und einen Radius ein.
Berechne den Durchmesser, Umfang und Flächeninhalt der einzelnen Kreise.
zu a): r =
zu b): r =
zu c): r =
d=
d=
d=
u=
u=
u=
A=
A=
A=
zu d): r =
zu e): r =
d=
d=
u=
u=
A=
A=
K. Sprater
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2. Die Größe eines Fahrradreifens wird meist in Zoll angegeben.
Die Zollangabe entspricht dem Raddurchmesser.
Hinweis: Zoll ist eine Längeneinheit, die international verwendet wird (1 Zoll = 25,4 mm).
a) Wie oft dreht sich ein Rad mit einem 24-Zoll Reifen bei 1 km Fahrtstrecke?
Schätze zuerst.
b) Wie oft dreht sich ein Rad mit einem 28-Zoll Reifen bei 1 km Fahrtstrecke?
Schätze zuerst.
3
Ein Messrad der Polizei hat einen Radius von 15,9 cm.
a) Bei einem Verkehrsunfall wurde mit dem Messrad die Länge
des Bremsweges gemessen.
Dabei machte das Messrad 16 Umdrehungen.
Wie lang war der Bremsweg?
c) Fülle die Tabelle aus.
Umdrehungen
23
25
1
2
Bremsweg
31
36
26 m
1
2
30,5 m
4. Ein Reitpferd wird an einer acht Meter langen Leine geführt.
a) Welche Strecke legt es nach 30 Runden zurück?
b) Nach 15 Runden wird die Leine um 2 Meter gekürzt.
Welche Strecke hat das Pferd nach 8 weiteren Runden insgesamt zurückgelegt?
K. Sprater
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5. Die Pizzeria „Italia“ bietet Pizzen in drei unterschiedlichen Gr…‚en an.
A:
Durchmesser 24 cm;
Preis 3,50 €
B:
Durchmesser 26 cm;
Preis 4,50 €
C:
Durchmesser 30 cm;
Preis 5,20 €
a) Welche Pizza ist am g‡nstigsten? Begr‡nde.
b) Was kostet ein Sechstel der Pizza A, B bzw. C? Runde sinnvoll.
6. Ein gleichseitiges Dreieck, ein Quadrat und einen Kreis haben jeweils einen Umfang von 30 cm.
Welche der Figuren hat den gr…‚ten Fl€cheninhalt. Begr‡nde.
7. Die Insel eines Verkehrskreisels hat einen Radius von 10 m. Die Insel soll begr‡nt werden. Je
Quadratmeter muss man dabei etwa 40 g Grassamen einplanen.
Wie viel Kilogramm Grassamen werden insgesamt ben…tigt?
(Online-Aufgaben auch unter: http://www.mathepower.com/kreis.php )
K. Sprater
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LÖSUNGEN
1. a)
r = 1,3 cm
r = 1,9 cm
d = 6,4 cm
d = 3,8 cm
u =8,2 cm
u = 20,1 cm
u = 11,9 cm
A =5,3 cm2
A = 32,2 cm2
A = 11,3 cm2
r = 0,8 cm
e)
r = 0,7 cm
d = 1,6 cm
d = 1,4 cm
u = 5,0 cm
u = 4,4 cm
A = 2 cm2
A = 1,5 cm2
Das Rad dreht sich in etwa 522 mal bei 1 km Fahrtstrecke.
Das Rad dreht sich in etwa 448 mal.
2. a)
b)
c)
c)
d =2,6 cm
d)
3. a)
r = 3,2 cm
b)
1,6 m
Umdrehungen
Bremsweg
23
23 m
25
1
2
25,5 m
26
36
30,5
26 m
36 m
30,5 m
31
1
2
31,5 m
4. a) Das Pferd legt nach 30 Runden 1,5 km zur€ck.
b) Das Pferd ist insgesamt 1,1 km gelaufen.
5. a) Pizza C ist am g€nstigsten, da man hier pro Zentimeter Durchmesser
nur 5,77 € bezahlt (Pizza A: 6,86 €; B: 5,78 €).
b)
A: 0,59 €
B: 0,75 €
C: 0,87 €
K. Sprater
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