ab - SFZ FN

Dreieckssätze
Pythagoras
und Co
1
SFZ 14/15
W.Seyboldt
Pythagoras

300 v.Chr.: Elemente des Euklid, Stoicheia unterteilt in 15 Bücher
(Kapitel) I bis XV wobei die beiden letzten erst später dazu kamen,
deshalb redet man oft von den 13 Büchern des Euklid.

Alexandria, 332 von Alexander gegründet, war 500 Jahre lang Zentrum
der Wissenschaft und Kultur

Die Elemente sind sehr trocken, undidaktisch im heutigen Sinn, waren
über Jahrhunderte das Lehrbuch.

Internet auf Englisch

Band 1: Proposition 47: Satz des Pythagoras
Im rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat
über der dem rechten Winkel gegenüber
liegenden Seite gleich den Quadraten
über den Seiten zusammen, die ihn
einschließen.

http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/
hier findet man 111 Beweise.
Klassischer Beweis (proof 1):
http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/morey.shtml
2
SFZ 14/15
W.Seyboldt


Chinesischer Beweis (200 v.Chr) / Variante siehe, (Proof 9)
Mit binomischer Formel und vier Dreiecken
Variante siehe, (Proof 10)
1
2
2
c   a  b   4  ab
2
 a 2  2ab  b 2  2ab
 a 2  b2
3
SFZ 14/15
W.Seyboldt
Höhensatz / Kathetensatz
c2   p  q 
2
a 2  b2   p  q 
h
2
2
 p 2    h 2  q 2   p 2  2 pq  q 2
2h 2  2 pq
4
SFZ 14/15
W.Seyboldt
Reziproker Pythagoras
Seien a und b die Katheten, h die Höhe über c
2
2
1 1 1
     
a b h
2
Beweis:
 Multipliziere die Seiten des Dreiecks a, b, c mit 1/ab.
 Jetzt sind die Seitenlängen a‘= 1/b, b‘=1/a und c‘=c/ab
 Ursprüngliche Dreiecksfläche auf zwei Arten berechnen

𝑎𝑏
2
–
Halbes Produkt der Katheten:
–
Halbes Produkt der Höhe mal Grundseite:
𝑐
𝑎𝑏
Ergibt nach Umformung:
=
𝑐ℎ
2
1
ℎ
2
2
2
2
Pythagoras für a '  b '  c ' liefert nun
5
SFZ 14/15
2
2
1 1 1
     
h
 b   a   W.Seyboldt
Satz von Höhn 2000

In einem gleichschenkligen Dreieck sei c die
Länge der Schenkelseiten. Wir zeichnen
eine Strecke der Länge a von der
Dreiecksseite zur Basisseite, sodass diese
in Abschnitte der Längen b und d unterteilt
wird, siehe (a)

Dann gilt

Beweis: Die Höhe h unterteilt die Stecke d
in y und x, siehe (b)
2
2
2
a 2  h2  y 2
zweimal Pythagoras: c  h  x
c 2  a 2  bd
2) auflösen nach ℎ2 und Einsetzen in 1)
c 2  a 2  x 2  y 2  a 2   x  y    x  y   a 2  bd
6
SFZ 14/15
W.Seyboldt
Satz von Eddy 1991

Die innere Winkelhalbierende des
rechten Winkels in einem
rechtwinkligen Dreieck teilt das
Quadrat über der Hypothenuse in
seiner Mitte.


7
Beweis: Ergänze die Skizze (a)
durch drei Dreiecke zu (b)
Die Diagonale geht durch die Mitte
des äußeren und inneren Vierecks.
SFZ 14/15
W.Seyboldt
Ein „simpler Beweis“ des Pythagoras


In einem rechtwinkligen Dreieck mit der Höhe h sind die
beiden Teildreiecke kongruent zum ursprünglichen.
Also gilt:
a p

c a

Oder
a 2  pc

8
b q

c a
Und damit
b 2  qc
a 2  b 2  pc  qc   p  q  c  c 2
SFZ 14/15
W.Seyboldt
Ein „trickreicher“ Beweis des Pythagoras

Polya: Mathematik und plausibles Schließen, S. 38ff
 a  b   c
2
2
2
Werden drei ähnliche Polygone auf den drei Seiten eines
rechtwinkligen Dreiecks errichtet, so ist das auf der
Hypotenuse errichtete an Fläche gleich der Summe der
beiden anderen.
Es genügt, dies für Dreiecke, für rechtwinklige Dreiecke zu
zeigen.
9
SFZ 14/15
W.Seyboldt
Inkreis eines rechtwinkligen Dreiecks

In jedem Dreieck gilt:
Alle drei Winkelhalbierenden schneiden sich in einem Punkt. Dieser
Punkt hat von allen Seiten denselben Abstand.
(Jeder Punkt der Winkelhalbierenden hat von den beiden Schenkeln
denselben Abstand)

Der Kreis mit dem Radius
r = (Abstand von den Seiten)
berührt alle drei Seiten.

Bez:

Im rechtwinkligen Dreieck mit der Hypotenuse c gilt:
s
abc
2
a  b  c und
r
2
ab
oder
r
abc
A  rs
Dreiecksfläche

Aufgabe: Zeige dass die letzten beiden Gleichungen äquivalent sind.
10
und
s cr

SFZ 14/15
W.Seyboldt
Beweis der beiden Formel der letzten Folie



Der Abbildung rechts entnehmen
wir c  a  b  2r
abc
oder aufgelöst nach r: r 
2
Die zweite Formel entnehmen wir
den folgenden beiden
Abbildungen:
Die obere Abb. (c) besteht aus
zwei Dreiecken (b). Die untere
Abb. setzt sich aus den
Teildreiecken der Abb. darüber
zusammen. Die beiden Flächen
sind also gleich, d.h.
1
A

ab  rs )
(also
ab  r   a  b  c 
2
Lösen wir nach r auf, erhalten wir: r 
11
SFZ 14/15
ab
abc
W.Seyboldt
Fläche Dreieck und Inkreis



12
Die Fläche A eines rechtwinkligen Dreiecks ist
gleich dem Produkt aus den Längen der
Hypotenusenabschnitte, die durch den
Berührungspunkt des Inkreises definiert sind.
Beweis: Siehe die beiden folgenden Skizzen
Aufgabe Nutze x = a-r und y = b-r, um die
Aufgabe mit den Formeln der Folie 8 zu
beweisen.
SFZ 14/15
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Höhe und Inkreisradien

Sei ABC ein rechtwinkliges Dreieck mit Inkreisradius r und es
sei h die Länge der Höhe CD über der Hypotenuse.
Außerdem seien r‘ und r‘‘ die Inkreisradien zu den Dreiecken
ACD und BCD. Dann gilt:
r  r ' r ''  h
2
b2
a
Der Kathetensatz liefert AD  c und BD  c
abc
r

Wenden wir die Gleichung
auf jedes der
2
2
Dreiecke an, erhalten wir.
13
drei
b
  a2

1
r  r ' r ''   a  b  c     h  b     h  a   
2
 c
  c


1  a 2  b2

2
h

c
h
2  c

SFZ 14/15
W.Seyboldt
Verallgemeinerung des Pythagoras
Pythagoras Proof 12:
Bei 3 sind die Dreiecke
links und rechts kon
gruent zum Dreieck.

kruent

14
Flächenformel von Pappus: Es seien ABC ein beliebiges
Dreieck und ABDE und ACFG beliebige Parallelogramme
über den Seiten AB und AC.
Man verlängere DE und GF bis zum Schnittpunkt H. Von den
Punkten B und C des
Dreiecks zeichne man die
BL und CM parallel und
gleichlang zu HA.
Dann gilt für die Fläche:
BCML = ABDE+ADFG
SFZ 14/15
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Mittelwerte
x1  x2  ...  xn

n

AM = Arithmetischer Mittelwert:
x arith

GM = Geometrischer Mittelwert:
x geom  n x1  x2  ...  xn

HM = Harmonisches Mittel
(Parallelschaltung von Widerständen
nur mit 1/2)
x harm
1

1 1 1
1


...



n  x1 x2
xn 
x quad 
x12  x2 2  ...  xn 2
n

QM = RMS =Quadratisches Mittel

Median: Mittlerer Wert der sortierten Folge (bei einer geraden Anzahl von
Gliedern: Mittelwert der beiden mittleren Folgenglieder
15
SFZ 14/15
W.Seyboldt
Wofür benutzt man die unterschiedlichen Mittelwerte?

AM (arithmetisches Mittel), z.B. für die Durchschnittsgeschwindigkeit,
wenn man immer gleiche Zeiten mit einer Geschwindigkeit fährt
m so, dass
v  n  v1  v2  ...  vn

GM (geometrisches Mittel), z.B. wenn man den mittleren
Wachstumsfaktor bestimmen möchte
m so, dass
k n  k  k  ...  k
1

2
n
HM (harmonisches Mittel = arithmetisches Mittel der Kehrwerte), z.B. für
die Durchschnittsgeschwindigkeit, wenn man immer gleiche Strecken mit
einer Geschwindigkeit fährt
n 1 1
1
m so, dass
v

v1

v2
 ... 
vn

QM = RMS (root Mean Square) zur Fehlerrechnung

Zeige, dass die Summe eines Bruchs und seines Kehrwertes
mindestens 2 beträgt.
16
SFZ 14/15
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Vergleich der Mittelwerte und Dreiecke

Es gilt: Das arithmetische Mittel ist größer als geometrische
ab
ab 
2

Beweis: Betrachte einfach das Dreieck:

Übrigens: Gleichheit gilt genau dann, wenn a  b  0 oder a = b
17
SFZ 14/15
W.Seyboldt
HM ≤ GM ≤ AM ≤ RMS
1
2ab
ab
a 2  b2

 ab 

1 1 1 ab
2
2



2a b

Es gilt

a b
ab
d

r

Zeichne einen Kreis um A mit Radius
zeichne M im Abstand
2
2
und errichte über AM einen Thaleskreis durch Punkt G.
2

Wegen
2
 a b   a b 
a  c b  
 
  ab
 2   2 
2
2
HM<GM<AM<QM
(falls a<>b)
2
ist die Länge der Strecke GM = 𝑎𝑏
Der Kathetensatz liefert:
a2
ab
2ab
p


ab ab
c
2
Vergleichen die Seiten im Dreieck
oben, dann unten.
Gleichheit gilt genau
dann wenn a = b,
d.h. der Kreis zum
Punkt wird.
18
SFZ 14/15
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Mengoli’s Ungleichung

Zeige, dass die Summe eines Bruchs und seines Kehrwertes
mindestens 2 beträgt.
1a b
a b
 1
  
2b a
b a

Da das harmonische Mittel der Zahlen
HM =
2
𝑥−1+𝑥+1
=
1
1

1 x 1 x 1

x
2
Damit gilt

1
𝑥
1
𝑥−1
und
1
𝑥+1
ist, gilt wegen 𝐻𝑀 < 𝐴𝑀 (verschieden!)
oder
2
1
1


x x 1 x 1
1
1
1
3
 

x 1 x x 1 x
(Mengoli‘s Ungleichung)
Daraus folgt die Konvergenz der harmonischen Reihe
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
3 3 3
H                  ..  1     ...  1  H
1  2 3 4   5 6 7   8 9 10 
3 6 9
19
SFZ 14/15
W.Seyboldt
Winkelhalbierende


In einem Dreieck teilt die Winkelhalbierende die gegenüberliegende Seite im Verhältnis der anliegenden Seiten.
Beweis: Zeichne Senkrechten zur Winkelhalbierenden durch A und B
und suche ähnliche Dreiecke.

Die Dreiecke AIC und HBC sind ähnlich (Winkelhalbierende)
Also a:b = j:k

Strahlensatz (Zentrum G) ergibt j:k = u:v
20
SFZ 14/15
W.Seyboldt
Umfangswinkelsatz – Sehnentangentenwinkelsatz



21
Die Strecke MC erzeugt zwei gleichschenklige Dreiecke mit den
Basiswinkeln β1 und β2. Im Zentrum gilt:
360  (180  2 1 )  (180  2  2 )  2  1   2   2
Der Basiswinkel des unteren gleichseitigen Dreiecks: 1 180  2   90  
2
Die Tangente steht senkrecht auf dem Radius.
Umkehrung: Alle Punkte, von denen eine Strecke unter
einem gleichen Winkel erscheint, liegen auf einem Kreis.
SFZ 14/15
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Sehnen- Sekanten- Sekantentangentensatz


Schneiden sich zwei Sehnen (innerhalb oder außerhalb), so
gilt SA  SB  SC  SD im Grenzfall ist SA  SB  ST 2
Es gilt auch die Umkehrung.
Bew.: Die Winkel DAB und DCB sind aufgrund des Sehnensatzes
gleich. Also sind die Dreiecke DAS und SBC ähnlich. Also gilt SA
SC
22
SFZ 14/15

SD
SB
W.Seyboldt
Sehnenviereck

Ein Rechteck besitzt genau dann einen Umkreis,
wenn gegenüberliegende Winkel zusammen
180° ergeben.
(Beweis: Umfangswinkelsatz)


Satz von Ptolemäus AB  CD  BC  DA  AC  BD
Heronsche Flächenformel A   s  a  s  b  s  c  s  d 
s
23
SFZ 14/15
1
a  b  c  d 
2
W.Seyboldt
Inkreis und Formel von Heron

Bezeichnungen beim Inkreis: Inkreisradius = r
(Umkreisradius = R)
U
s  x yz 
2
x  sa
1
A  U r  x  y  zr  s r
2

24
Letzte Gleichung gilt, weil das Gesamtdreieck in 3 Teildreiecke zerlegt
werden kann, die jeweils die Höhe r haben.
SFZ 14/15
W.Seyboldt
Lemma für „Formel von Heron“




25

Lemma: xyz  r x  y  z
Beweis: siehe Skizze unten
2
2

r
 s
Das Rechteck links besteht aus vier gestreckten Dreiecken der rechten Skizze.
Bezeichnung w  r 2  x 2
–
D1 mit dem Faktor yz
//
D2 mit dem Faktor wz
–
D3 mit dem Faktor r(x+y)
// Das kleine D1 mit dem Faktor rz
Da α+β+γ = 90° (Winkelsumme im Dreieck) und die Winkelsumme der drei
zusammenstoßenden Ecken rechts oben 180° (halber Vollkreis) sind, ist die Figur
links ein Rechteck. Damit ist die linke und die rechte Seitelänge gleich.
SFZ 14/15
W.Seyboldt
Formel von Heron (10-75 n.Chr)




26
Fläche eines Dreiecks:
mit s  U2  a  2b  c
A  s  s  a  s  b  s  c 
Beweis: Die Formel der vorletzten Folie A  s  r
und die der letzten xyz  r 2 s nach Multiplikation mit s
ergeben
A2  s 2  r 2  s  xyz  s   s  a  s  b  s  c 
Mit der Formel von Heron kann man die Fläche eines
Dreiecks ganz einfach bestimmen, wenn die Seiten gegeben
sind. Man benötigt keine Höhe, keinen Winkel!
Die Fläche des Dreiecks a=3, b=4, c=5 ist A  6  3  2 1  6
SFZ 14/15
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Aufgaben




27
Alsina S. 104 Nr. 5.5
Alsina S. 104 Nr. 5.2 , 5.3
Zeichne ein Dreieck von dem die drei Seitenhalbierende
gegeben sind
Alsina S. 105 Nr. 5.8
SFZ 14/15
W.Seyboldt