Kurseinheit 1 - FernUni Hagen

Mathematik für Ingenieure I
Kurseinheit 1:
Reelle Zahlen
Autoren:
W. Beekmann, H. Linden, H. P. Petersson, D. Pumplün
Stand:
2. Juli 2001
Inhaltsverzeichnis
Allgemeine Studierhinweise
1
Studierhinweise zu Kurseinheit 1
8
1. Reelle Zahlen
11
1.0 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1 Sprachliche Konventionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2 Natürliche, ganze und rationale Zahlen . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3 Reelle Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4 Rechnen mit reellen Zahlen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.5 Vollständige Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.6 Die Ordnung von IR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.7 Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Lösungen der Aufgaben zu 1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Lösungen der Aufgaben zu 1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Lösungen der Aufgaben zu 1.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Lösungen der Aufgaben zu 1.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Lösungen der Aufgaben zu 1.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Lösungen der Aufgaben zu 1.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Index zu Kurseinheit 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Gesamtindex zum Kurs Mathematik für Ingenieure I
83
Allgemeine Studierhinweise
MING I S 1/1
Mathematik für Ingenieure I
Allgemeine Studierhinweise
Liebe Fernstudentin, lieber Fernstudent!
Bei dem vorliegenden Kurs Mathematik für Ingenieure I“ handelt es sich um
”
den ersten von insgesamt vier Kursen, die für Studierende des Diplomstudienganges Elektrotechnik im Rahmen des Grundstudiums vorgesehen sind. Aufgabe dieses Kurspakets ist es, die Grundlage für die Verwirklichung der beiden
folgenden Ziele zu schaﬀen:
a) Die Vermittlung mathematischer Inhalte, wie sie in der beruﬂichen Praxis
des Ingenieurs auftreten.
b) Die Vermittlung der allgemeinen Fähigkeit zum mathematischen Denken,
soweit dies bei der mathematischen Modellbildung in der Praxis des Ingenieurs gebraucht wird.
Angesichts des ungemein raschen Wandels, dem die Wissenschaften generell unterworfen sind, und der auf dem Gebiet der Elektrotechnik besonders spürbar
wird, ist es schwer, die mathematischen Anforderungen zu antizipieren, die an
den zukünftigen Elektroingenieur in seiner späteren beruﬂichen Praxis zu stellen sind. Aus diesem Grunde kommt in der obigen Aufteilung dem Aspekt a)
auch erheblich weniger Gewicht zu als dem Aspekt b) . Sie werden also beim
Studium der Kurse Mathematik für Ingenieure I–IV“ wiederholt mit mathe”
matischen Gegenständen in Berührung kommen, deren Bedeutung für die Anwendung zumindest nicht unmittelbar ersichtlich ist. Fassen Sie dies bitte nicht
als eine Bosheit der Kursautoren auf, sondern vertrauen Sie darauf, daß Ihnen
das hier Gelernte langfristig im Sinne der Zielsetzung b) zugute kommen wird.
Aufbau des Kurses Mathematik für Ingenieure I“
”
Der Kurs Mathematik für Ingenieure I“ zerfällt in acht Kurseinheiten, die
”
Ihnen jeweils im Abstand von 14 Tagen zugehen. Jede einzelne Kurseinheit
besteht aus
– Studierhinweisen (gelbes Papier) ,
1
Allgemeine Studierhinweise
MING I S 1/2
– dem Lehrtext einschließlich Index (weißes Papier) ,
– Lösungshinweisen (blaues Papier) ,
– Einsendeaufgaben (grünes Papier) .
Der wichtigste Bestandteil einer jeden Kurseinheit ist der
Lehrtext
(Farbe: Weiß)
In ihm werden die Lehrinhalte des jeweiligen Studienbriefes mit einer Ausführlichkeit entwickelt, die auf die besonderen Umstände des Fernstudiums, insbesondere die vielfach unvermeidliche intellektuelle Isolation der Studenten
Rücksicht nimmt. Die Bearbeitung eines Studienbriefes sollte stets mit einer
überaus gründlichen und sorgfältigen Lektüre des Lehrtextes beginnen. Dies
betonen wir mit umso größerem Nachdruck, als die Erfahrung gezeigt hat,
daß viele Studenten sich damit begnügen, den Lehrtext und vielleicht noch die
Studierhinweise lediglich zu überﬂiegen, und dann sogleich zur Bearbeitung der
Einsendeaufgaben schreiten, um dort möglichst rasch die Zahl von Punkten zu
erhalten, die zum Erwerb eines Übungsscheines notwendig ist. Diese Strategie
mag anfänglich gewisse Erfolgsaussichten bieten, kann jedoch langfristig nur
mit einem Desaster enden.
Der Lehrtext zerfällt in eine Reihe kleinerer Abschnitte, die fortlaufend durchnumeriert sind; dabei gibt die erste Ziﬀer die Kurseinheit an, welche den fraglichen Abschnitt enthält. Jeder einzelne Abschnitt wird von einem Netz aus
Deﬁnitionen, Propositionen, Sätzen, Aufgaben usw. überzogen, die ihrerseits
fortlaufend durchnumeriert sind, wobei die ersten beiden Ziﬀern aus der Doppelnummer des jeweiligen Abschnitts bestehen. Die Aufgaben haben eine besonders wichtige Funktion. Sie geben Ihnen Gelegenheit zu prüfen, ob Sie eine
Deﬁnition, Rechen– oder Beweistechnik verstanden haben; ist dies der Fall, so
sollten Sie mit der Lösung keinerlei Schwierigkeiten haben. Von den Aufgaben
sollten Sie so viele bearbeiten wie nur irgend möglich.
Der Lehrtext enthält noch folgende Symbole:
✷ kennzeichnet das Ende eines Beweises oder eines anderen in sich geschlossenen Gedankenganges.
L
am Rand verweist auf die Lösungshinweise.
2
Allgemeine Studierhinweise
MING I S 1/3
Gegenüber dem Lehrtext selbst üben die anderen, zuvor genannten Bestandteile einer Kurseinheit reine Hilfsfunktionen aus. Im einzelnen lassen sich diese
wie folgt beschreiben.
Studierhinweise
(Farbe: Gelb)
Hier werden die Lernziele, also die für die weitere Entwicklung des Kurses
(aber auch für Prüfungen) wichtigsten Erkenntnisse des Lehrtextes, aufgezählt.
Hüten Sie sich aber davor zu glauben, daß diese Aufzählung unbedingt vollständig ist!
Lösungshinweise
(Farbe: Blau)
Zu Aufgaben und nicht vollständig ausgeführten Beweisen des Lehrtextes ﬁnden Sie hier Lösungsvorschläge. Die vorgeschlagenen Lösungen sollten Sie erst
konsultieren, nachdem Sie sich intensiv darum bemüht haben, die fragliche
Aufgabe zu lösen bzw. den fraglichen Beweis zu vervollständigen.
Einsendeaufgaben
(Farbe: Grün)
Zu jeder Kurseinheit gehört ein Satz von Einsendeaufgaben, die von Ihnen
gründlich zu bearbeiten und rechtzeitig zurückzusenden sind. Sie bieten Ihnen
die Möglichkeit der objektiven Erfolgskontrolle. Nähere Hinweise ﬁnden Sie bei
den Einsendeaufgaben selbst.
Lösungen zu den Einsendeaufgaben
(Farbe: Weiß)
werden Ihnen später zugesandt.
Bearbeitung des Kurses
Mathematik für Ingenieure I“
”
Nichts wäre fataler, als den Ihnen mit jeder Kurseinheit vorliegenden Lehrtext
wie einen Zeitungsartikel lesen zu wollen, in der Hoﬀnung, das Wesentliche dabei schon irgendwie mitzubekommen; das Gegenteil wäre der Fall. Die weiter
oben erwähnte überaus gründliche und sorgfältige Lektüre“ des Lehrtextes
”
verlangt vielmehr,
3
Allgemeine Studierhinweise
MING I S 1/4
daß Sie die auftretenden Argumentationsketten Punkt für Punkt auf
ihre Stichhaltigkeit überprüfen und nachvollziehen. Nur in Ausnahmefällen wird sich dies im Kopf bewerkstelligen lassen, und Sie sind
genötigt, dazu Papier und Bleistift zu verwenden.
Dies ist die einzige Möglichkeit, Mathematik zu lernen. Mißachtung dieser Maxime läuft auf eine Mißerfolgsgarantie hinaus.
Im übrigen läßt Ihnen der zeitliche Rahmen, in dem der vorliegende Kurs sich
bewegt, leider nur wenige eigene Gestaltungsmöglichkeiten. Die jeweils in einem Zeitraum von 14 Tagen zu bearbeitenden Kurseinheiten sind in der Regel
so umfangreich, daß es Ihnen bisweilen mißlingen mag, alle beim Durcharbeiten des Lehrtextes auftretenden Schwierigkeiten sofort aufzuklären. Haben Sie
den Mut, falls die Zeit drängt, die Klärung solcher Einzelfragen vorerst zurückzustellen, nehmen Sie sich aber zugleich vor, darauf später, etwa während der
Semesterferien, wieder zurückzukommen.
Literaturhinweise
Bis 1990 war es an der FernUniversität üblich, die Kurse Mathematik für
”
Ingenieure I–IV“ in Form eines Basistextes und eines diesen ergänzenden Leitprogramms darzubieten. Der Basistext bestand dabei aus dem dreibändigen, in
einer Sonderauﬂage eigens für die FernUniversität produzierten Werk Höhe”
re Mathematik für Ingenieure und Physiker I–III“ von Klaus Habetha. Das
Leitprogramm vom gleichen Verfasser war demgegenüber wie ein gewöhnlicher
Studienbrief konzipiert und hatte die Aufgabe, den Basistext, wo immer nötig,
durch ergänzende Bemerkungen zu erläutern und durch Beispiele zu vertiefen. Diese Konstruktion hat sich nicht bewährt. Es hat sich gezeigt, daß die
Studenten dem Hin– und Herspringen zwischen dem konzentriert geschriebenen Basistext und dem sehr umfangreichen Leitprogramm nicht gewachsen
sind und rasch die Übersicht verlieren. Aus diesem Grunde haben die Autoren
des vorliegenden Kurses sich dazu entschlossen, Basistext und Leitprogramm
zu einem regulären Fernstudienkurs zu verschmelzen. Die vielfach bewährte
inhaltliche Struktur des Habethaschen Werkes sollte dabei möglichst unangetastet bleiben.
Wir haben den vorliegenden Kurs so konzipiert, daß er grundsätzlich ohne begleitendes Literaturstudium bewältigt werden kann. Für den Anfänger besteht
bei gleichzeitiger Lektüre mehrerer Lehrbücher zudem die Gefahr der Verwir-
4
Allgemeine Studierhinweise
MING I S 1/5
rung, die von der unterschiedlichen Terminologie herrührt. Haben Sie jedoch
erstmal ein wenig Erfahrung im Umgang mit Mathematik gewonnen, so ist es
nicht nur möglich, sondern sogar erwünscht, sich mit Begleitliteratur auseinanderzusetzen. Die folgende Liste von Lehrbüchern zur Ingenieurmathematik
erhebt allerdings keinen Anspruch auf Vollständigkeit:
Aumann, G. : Höhere Mathematik I, II, III. Hochschultaschenbücher Nr. 717,
718/718a, 761.
Bibliographisches Institut, Mannheim – Wien – Zürich 1970/71.
Blickensdörfer–Ehlers, A.; Eschmann,W. G.; Neunzert, H.; Schelkes, K.
: Analysis 1. Ein Lehr– und Arbeitsbuch für Studienanfänger.
Analysis 2. Mit einer Einführung in die Vektor– und Matrizenrechnung.
Herausgegeben von H. Neunzert.
Springer – Verlag, Berlin – Heidelberg – New York 1980/82.
Böhme, G. : Anwendungsorientierte Mathematik I–IV.
Springer–Verlag, Berlin – Heidelberg – New York 1974/75/76/77.
Brenner, S.; Lesky, P. : Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler
I, II, III, IV.
Akademische Verlagsgesellschaft, Frankfurt – Wiesbaden 1973/74/76/79.
Burg, K.; Hof, H.; Wille, F. (2) : Höhere Mathematik für Ingenieure I–IV.
Teubner–Verlag, Stuttgart 1989/90/90.
Dallmann, H.; Elstner, K.–H. : Einführung in die höhere Mathematik I, II, III.
Verlag Vieweg, Braunschweig 1973/81/83.
Duschek, A. : Höhere Mathematik I–IV.
Springer–Verlag, Wien 1960/61/63/65.
Finckenstein, K. v. : Grundkurs Mathematik für Ingenieure.
Teubner–Verlag, Stuttgart 1986.
Habetha, K. : Höhere Mathematik für Ingenieure und Physiker I–III.
Ernst Klett Verlag, Stuttgart
Heinhold, J.; Behringer, F. : Einführung in die höhere Mathematik I–IV.
Carl Hanser–Verlag, München 1976/76/79/80.
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Allgemeine Studierhinweise
MING I S 1/6
Hellwig, G. : Höhere Mathematik I. Hochschultaschenbücher Nr. 553, 560.
Bibliographisches Institut, Mannheim – Wien – Zürich 1971/72.
Jeﬀrey, A. : Mathematik für Naturwissenschaftler und Ingenieure I, II.
Verlag Chemie, Weinheim 1973/75.
Laugwitz, D. : Ingenieurmathematik I–V. Hochschultaschenbücher Nr. 59, 60,
61, 62, 93.
Bibliographisches Institut, Mannheim – Wien – Zürich 1964/65/67.
Meyberg, K.; Vachenauer, P. : Höhere Mathematik I.
Springer–Verlag, Berlin – Heidelberg 1990.
Sauer, R.; Szabo, I. (Herausgeber) : Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs
I–IV.
Springer–Verlag, Berlin – Heidelberg – New York 1967/68/69/70.
Smirnow, W. I. : Lehrgang der Höheren Mathematik I–V.
Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1973/74/75.
Strubecker, K. : Einführung in die höhere Mathematik I, II.
Verlag R. Oldenbourg, München – Wien 1966/67.
Tietz, H. : Einführung in die Mathematik für Ingenieure I, II.
Uni – Taschenbuch , Bern – Stuttgart 1979/80.
Törnig, W.; Spelleneci, S. : Numerische Mathematik für Ingenieure und Physiker I, II.
Springer–Verlag, Berlin – Heidelberg – New York 1979/88.
Weissinger, J. : Vorlesungen zur höheren Mathematik I–IV.
Bibliographisches Institut, Mannheim – Wien – Zürich 1984.
6
Allgemeine Studierhinweise
MING I S 1/7
Griechisches Alphabet
Sie werden im folgenden noch sehr viele Dinge systematisch lernen müssen.
Wenn Sie das griechische Alphabet nicht oder noch nicht ganz kennen, können
Sie hier gleich anfangen. Denn leider reichen für den Mathematiker die 2 × 26
Buchstaben (groß und klein) des lateinischen Alphabets als “Variablen” beim
besten Willen nicht aus! Außerdem liest sich ein mathematischer Text viel
besser, wenn man verschiedenartige mathematische Objekte mit verschiedenartigen Buchstabentypen bezeichnet.
Lernen Sie also!
Griechisches Alphabet
A α
Alpha
N ν
Ny
B
β
Beta
Ξ ξ
Xi
Γ
γ
Gamma
O o
Omikron
∆ δ
Delta
Π π
Pi
E
ε
Epsilon
P ρ
Rho
Z
ζ
Zeta
Σ σ
Sigma
Eta
T τ
Tau
Θ θ, ϑ Theta
Υ υ
Ypsilon
I
Jota
Φ φ, ϕ Phi
K κ
Kappa
X χ
Chi
Λ
Lambda
Ψ ψ
Psi
My
Ω ω
Omega
H η
ι
λ
M µ
7
Studierhinweise
MING I S 1/8
Studierhinweise zu Kurseinheit 1
Lernziele
1.1 Sprachliche Konventionen
Dieser Abschnitt hat vorbereitenden Charakter. Die dort getroﬀenen Verabredungen zur Vermeidung von Mißverständnissen beim Gebrauch der (deutschen)
Umgangssprache müssen Sie sich gut einprägen.
1.2 Natürliche, ganze und rationale Zahlen
Hier werden Ihnen die Bereiche der natürlichen, ganzen und rationalen Zahlen
unter Verwendung des Mengenbegriﬀs ins Gedächtnis zurückgerufen. Nach der
Lektüre dieses Abschnitts sollten Sie vor allem
– mit der Mengen– und Elemente–Schreibweise (1.2.1, 1.2.3) vertraut sein,
– die Mengen IN , IN0 , ZZ , Q
I (1.2.2) identiﬁzieren können und insbesondere
– die Bruchrechnung in Q
I (1.2.7) sicher beherrschen.
1.3 Reelle Zahlen
Die reellen Zahlen stellen den für die Anwendungen der Mathematik mit Abstand wichtigsten Zahlbereich dar. Nach der Lektüre dieses Abschnitts sollten
Sie vor allem
– die geometrische Deutung der reellen Zahlen (1.3.1) kennen,
– mit den Rechengesetzen für die Addition (1.3.3) und die Multiplikation
(1.3.9) reeller Zahlen vertraut sein und insbesondere
– die Vorzeichenregeln sowie die Bruchrechnung zu IR (1.3.14) sicher beherrschen.
1.4 Rechnen mit reellen Zahlen
Hier lernen Sie einige allgemeine Formalismen kennen, deren man sich beim
Rechnen mit reellen Zahlen zweckmäßigerweise bedient. Nach der Lektüre dieses Abschnitts sollten Sie vor allem
8
Studierhinweise
MING I S 1/9
– in der Lage sein, mit dem Summenzeichen (1.4.2) und dem Produktzeichen (1.4.8) sicher umzugehen,
– die Deﬁnition der Fakultät (1.4.9) und der Potenzen (1.4.11) auswendig
können, und
– die Potenzgesetze (1.4.12) beherrschen.
1.5 Vollständige Induktion
In diesem Abschnitt kommt ein Beweisprinzip zur Sprache, mit dem nicht nur
der Mathematiker, sondern auch der Ingenieur vertraut sein muß. Nach seiner
Lektüre sollten Sie vor allem
– das Prinzip der vollständigen Induktion (1.5.1) verstanden haben und
auswendig können,
– mit einfachen Anwendungen des Induktionsprinzips (1.5.2, 1.5.3, 1.5.11)
vertraut sein,
– das Induktionsprinzip selbständig anwenden können (1.5.4, 1.5.13) ,
– wissen, was Binomialkoeﬃzienten (1.5.8) sind, mit ihren einfachsten Eigenschaften (1.5.9) und ihrer Darstellung im Pascalschen Dreieck (1.5.10)
vertraut sein,
– die Formel für die endliche geometrische Reihe (1.5.3) , aber auch den
Binomischen Lehrsatz (1.5.11) auswendig können.
1.6 Die Ordnung von IR
Hier werden diejenigen Gesetzmäßigkeiten behandelt, welche die Größenverhältnisse reeller Zahlen regeln. Nach der Lektüre dieses Abschnitts sollten Sie
vor allem
– die Gesetzmäßigkeiten sicher beherrschen, welche die Verbindungen zwischen den
< , > –Relationen und den algebraischen Verknüpfungen der Addition
und Multiplikation herstellen (1.6.1, 1.6.4, 1.6.5) ,
– wissen, daß jede positive reelle Zahl genau eine Quadratwurzel besitzt
(1.6.12) ,
9
Studierhinweise
MING I S 1/10
– wissen, daß
√
2 irrational ist (1.6.14) und
– das Archimedische Axiom (1.6.15) kennen.
1.7 Ungleichungen
Die in diesem Abschnitt behandelten Ungleichungen
– Quadratsummen sind positiv–deﬁnit (1.7.2) ,
– die Bernoullische Ungleichung (1.7.4) ,
– die Ungleichung zwischen dem arithmetischen und dem geometrischen
Mittel (1.7.6),
– die Schwarzsche Ungleichung (1.7.7)
sollten Sie auswendig können und einschließlich ihrer Beweise verstanden haben. Auch
– die Merkregel 1.7.1 muß Ihnen vertraut sein.
Schließlich sollten Sie in der Lage sein,
– einfache Ungleichungen in einer Unbekannten (1.7.10–12) zu lösen.
10
Einleitung
MING I 1.0/1
Reelle Zahlen
1.0
Einleitung
1.1
Sprachliche Konventionen
1.2
Natürliche, ganze und rationale Zahlen
1.3
Reelle Zahlen
1.4
Rechnen mit reellen Zahlen
1.5
Vollständige Induktion
1.6
Die Ordnung von IR
1.7
Ungleichungen
1.0
Einleitung
In der vorliegenden ersten Einheit des Kurses Mathematik für Ingenieure I“
”
führen wir die reellen Zahlen in einer Weise ein, wie sie ingenieurwissenschaftlichen Bedürfnissen entspricht. Auf eine streng axiomatische Deﬁnition dieses
Begriﬀs wird dabei bewußt verzichtet. Vielmehr geht es uns auf den folgenden
Seiten darum, die charakteristischen Eigenschaften der reellen Zahlen Schritt
für Schritt zu entwickeln und daran unmittelbar anschließende Folgerungen herzuleiten. Unser Hauptanliegen dabei ist, Ihnen die handwerklich–elementaren
Rechentechniken im Umgang mit reellen Zahlen detailliert zu vermitteln. Beweise, soweit sie diesem Ziele dienen, werden ausführlich dargestellt.
11
Sprachliche Konventionen
1.1
MING I 1.1/1
Sprachliche Konventionen
In der Mathematik und ihren Anwendungen hat man es mit Aussagen zu
tun, die auf vielfältige Weise miteinander verﬂochten sind. Von einer Aussage
zur anderen gelangt man dabei mit Hilfe logischer Schlüsse. Für den Praktiker
ist es erfreulicherweise nicht erforderlich, der Natur solcher logischen Schlüsse
im einzelnen auf den Grund zu gehen; vielmehr kann er sich auch in diesem
Bereich getrost auf seinen gesunden Menschenverstand verlassen.
Dies entbindet ihn jedoch nicht von der Verpﬂichtung, im Umgang mit der
Sprache, die zur Beschreibung mathematischer Sachverhalte dient, einige Sorgfalt walten zu lassen. Im wesentlichen kommt es darauf an, über den Gebrauch
von Sprechweisen, die für die Mathematik relevant sind, bei deren Verwendung
im täglichen Leben aber Mehrdeutigkeiten bewußt in Kauf genommen werden,
präzise Verabredungen zu treﬀen. Im folgenden wird eine auf die Zielsetzungen
dieses Kurses zugeschnittene Liste solcher Verabredungen vorgelegt.
1.1.1
Die Alternative
Alternativen, also Aussagen der Form A oder B “ werden in der Mathe”
matik stets im nicht–ausschließenden Sinne verstanden, gelten also auch dann
als wahr, wenn A und B beide wahr sind. Beispiel:
1 + 1 = 2 oder 2 + 2 = 4“
”
✷
ist eine wahre Aussage.
1.1.2
Die Implikation
In Implikationen, also Aussagen der Form Wenn A , dann B “ (wofür man
”
auch A impliziert B “ sagt und A =⇒ B “ schreibt), heißt A die Prämisse,
”
”
B die Konklusion. Sie gelten auch dann als wahr, wenn die Prämisse falsch ist,
und zwar unabhängig davon, ob die Konklusion wahr ist oder nicht. Beispiel:
1 + 1 = 3 =⇒ 1 + 1 = 4“
”
ist eine wahre Aussage.
Die Implikation A =⇒ B “ ist also genau dann falsch, wenn A wahr und B
”
falsch ist. Beispiel:
1 + 1 = 2 =⇒ 1 + 1 = 4“
”
12
Sprachliche Konventionen
MING I 1.1/2
✷
ist eine falsche Aussage.
1.1.3
Die Äquivalenz
Aussagen A, B heißen äquivalent (oder gleichbedeutend), wenn die Implikationen A =⇒ B und B =⇒ A bestehen. Für A äquivalent B “ schreiben
”
wir auch A ⇐⇒ B “ und sagen A genau dann, wenn B “ oder A dann
”
”
”
und nur dann, wenn B “.
✷
1.1.4
All- und Existenzaussagen
Unter einer Allaussage versteht man eine Aussage der Form Für alle x gilt
”
A(x) “, unter einer Existenzaussage eine Aussage der Form Es gibt ein x mit
”
A(x)“ . Letzteres soll besagen, daß wenigstens ein x mit A(x) existiert; es ist
also zugelassen, daß mehrere solcher x existieren. Beispiel:
Es gibt eine ganze Zahl x mit x2 = 1 .“
”
ist eine wahre Aussage, obwohl sogar zwei solcher Zahlen existieren, nämlich
1 und −1 . Eine Aussage der Form Es gibt höchstens ein x mit A(x) .“
”
soll zum Ausdruck bringen, daß nicht mehr als ein x mit A(x) existiert; es ist
zugelassen, daß überhaupt kein x mit A(x) existiert. Beispiel:
Es gibt höchstens eine ganze Zahl x mit x2 = 1 . “
”
ist eine falsche Aussage, während
Es gibt höchstens eine ganze Zahl x mit x2 = −1 .“
”
eine wahre Aussage ist. Die Aussage Es gibt genau ein x mit A(x) “ besagt
”
deﬁnitionsgemäß dasselbe wie Es gibt ein x mit A(x) , und es gibt höchstens
”
ein x mit A(x) .“ Beispiel:
Es gibt genau eine positive ganze Zahl x mit x2 = 1 .“
”
✷
ist eine wahre Aussage.
1.1.5
Negationen und indirekte Beweise
Um eine Implikation A =⇒ B “ herzuleiten, führt man oft einen indirekten
”
13
Sprachliche Konventionen
MING I 1.1/3
Beweis, indem man annimmt, B gelte nicht, und daraus folgert, daß A nicht
gilt; dies garantiert die Gültigkeit von A =⇒ B “. Die Frage, warum indirekte
”
Beweise erlaubt sind, wird durch die Feststellung beantwortet, daß es sich bei
den Implikationen A =⇒ B “ und (nicht B ) =⇒ (nicht A )“ um äquivalente
”
”
Aussagen handelt.
Um indirekte Beweise in komplizierteren Situationen führen zu können, ist
es oft notwendig, All- und Existenzaussagen (1.1.4) zu negieren. Dies geschieht
folgendermaßen. Die Negation der Allaussage
Für alle x gilt A(x) .“
”
ist äquivalent zur Existenzaussage
Es gibt ein x mit (nicht A(x) ).“.
”
Die Negation der Existenzaussage
Es gibt ein x mit A(x) .“
”
ist äquivalent zur Allaussage
Für alle x gilt (nicht A(x) ).“.
”
Beispiel: Die Negation der (falschen) Allaussage
Für alle ganzen Zahlen x gilt x2 = 1 . “
”
ist äquivalent zu
Es gibt eine ganze Zahl x mit x2 = 1 .“.
”
Die Negation der (wahren) Existenzaussage
Es gibt eine ganze Zahl x mit x2 = 1 .“
”
ist äquivalent zur Allaussage
Für alle ganzen Zahlen x gilt x2 = 1 .“.
”
14
✷
Natürliche, ganze und rationale Zahlen
1.2
MING I 1.2/1
Natürliche, ganze und rationale Zahlen
Unter dieser Überschrift werden Zahlbereiche behandelt, mit denen Sie während Ihrer Schulzeit so intensiv in Berührung gekommen sind, daß eine ausführliche intuitive Beleuchtung getrost unterbleiben kann. Allerdings halten wir es
für angebracht, sie mit den Mitteln der inzwischen auch in den Anwendungen
der Mathematik allgemein üblichen Fachsprache zu beschreiben, welche auf
dem Begriﬀ der Menge basiert. Diesen Begriﬀ stellen wir unseren Überlegungen daher voran.
1.2.1
Der Begriﬀ der Menge
Unter einer Menge hat man sich nach Georg Cantor1 ganz naiv eine irgendwie
vollzogene Zusammenfassung von Objekten unserer Anschauung oder unseres
Denkens zu einem Ganzen vorzustellen. Wie diese Zusammenfassung vollzogen
wird, ist dabei ohne Belang. Für eine Menge M kommt es vielmehr einzig und
allein darauf an, daß von einem beliebigen Objekt a prinzipiell feststeht, ob a
zu M gehört oder nicht. Im ersteren Falle sagen wir, a sei Element von M ,
und schreiben
a ∈ M (lies: a Element M “) .
”
Andernfalls sagen wir, a sei kein Element von M , und schreiben
a ∈ M
(lies: a nicht Element M “) .
”
Zwei Mengen M und N sind gleich, geschrieben
M =N,
falls sie aus genau denselben Elementen bestehen, falls also für alle Objekte a
gilt:
a ∈ M ⇔ a ∈ N.
✷
1.2.2
Beispiele von Mengen
a) Die natürlichen Zahlen
1, 2, 3, . . .
1
Georg Cantor, 1845-1918.
15
Natürliche, ganze und rationale Zahlen
MING I 1.2/2
werden zu einer Menge zusammengefaßt, welche wir mit IN (lies: En“) be”
zeichnen. Wir schreiben symbolisch
IN = {1, 2, 3, . . .}
und nennen dies die Menge der natürlichen Zahlen .
b) Die natürlichen Zahlen zuzüglich der Null, also die Zahlen
0, 1, 2, 3, . . .
werden zu einer Menge zusammengefaßt, welche wir mit IN0 (lies: En–null“)
”
bezeichnen. Wir schreiben symbolisch
IN0 = {0, 1, 2, 3, . . .} .
c) Die ganzen Zahlen
0, 1, −1, 2, −2, 3, −3, . . .
werden zu einer Menge zusammengefaßt, welche wir mit ZZ (lies: Zet“) be”
zeichnen. Wir schreiben symbolisch
ZZ = {0, 1, −1, 2, −2, 3, −3, . . .}
und nennen dies die Menge der ganzen Zahlen .
d) Die rationalen Zahlen
p
q
mit p, q ∈ ZZ , q = 0
(auch Brüche genannt) werden zu einer Menge zusammengefaßt, welche wir
mit Q
I (lies: Kuh“) bezeichnen. Wir schreiben symbolisch
”
p
Q
I = { ; p, q ∈ ZZ , q = 0}
q
(lies: Q
I –gleich–Menge–aller– p –durch– q –mit– p, q ∈ ZZ , q = 0 “) und nennen
”
dies die Menge der rationalen Zahlen .
e) Ersichtlich ist jede natürliche Zahl eine ganze und jede ganze Zahl eine
rationale Zahl.
✷
Die Zusammenfassung gewisser Objekte (wie etwa aller natürlichen oder aller ganzen Zahlen) zu einer Menge hatten wir in 1.2.2 durch geschweifte Klammern symbolisiert. Es empﬁehlt sich, diese Schreibweise unter ganz allgemeinen
Umständen verfügbar zu machen.
16
Natürliche, ganze und rationale Zahlen
1.2.3
MING I 1.2/3
Zusammenfassung von Objekten zu einer Menge
a) Stellt E eine für beliebige Objekte sinnvolle Eigenschaft dar (so daß also
für jedes Objekt prinzipiell feststeht, ob es E hat oder nicht), so bezeichnen
wir die Menge aller Objekte mit der Eigenschaft E durch
{x
x hat E} oder auch {x ; x hat E}
(lies: Menge–aller– x –mit– x –hat– E “). Dabei ist es vollkommen gleichgültig,
”
ob wir in der geschweiften Klammer das Symbol x“ oder ein anderes, sonst
”
nicht vorkommendes Symbol, wie etwa y “, verwenden. Es gilt also
”
{x
x hat E} = {y
y
hat E} .
b) Liegen endlich viele oder unendlich viele Objekte a1 , a2 , a3 , . . . (lies:
a , a , a usw.“) vor, so kann man diese zu einer Menge zusammenfassen, für
” 1 2 3
die wir
{a1 , a2 , a3 , . . .}
(lies: Menge–der– a1 , a2 , a3 –usw.“) schreiben.
”
1.2.4
✷
Beispiel
Es ist
M = {a
a ∈ ZZ , a gerade}
die Menge der geraden ganzen Zahlen. Man kann auch schreiben
M = {0, 2, −2, 4, −4, 6, −6, . . .} .
1.2.5
L
✷
Aufgabe
Treﬀen Sie eine begründete Entscheidung darüber, ob die im folgenden angegebenen Objekte a zu den im folgenden angegebenen Mengen M gehören.
a)
b)
c)
d)
a = −1 , M = {x
x ∈ IN , x2 = 1} .
a = 8 , M = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} .
a = −1 , M = {x
x ∈ ZZ , x2 = 1} .
a = 8 , M = {2, 3, 4, . . .} .
17
✷
Natürliche, ganze und rationale Zahlen
1.2.6
MING I 1.2/4
Rechnen in IN , ZZ , Q
I
Während Ihrer Schulzeit haben Sie gelernt, wie man mit natürlichen, ganzen
und rationalen Zahlen nach den üblichen Regeln rechnet. Im einzelnen bedeutet
dies, daß man
- natürliche Zahlen addieren und multiplizieren kann und als Ergebnis wieder natürliche Zahlen erhält;
- ganze Zahlen addieren, subtrahieren und multiplizieren kann und als Ergebnis wieder ganze Zahlen erhält;
- rationale Zahlen addieren, subtrahieren, multiplizieren und (soweit der
Nenner nicht null ist) dividieren, kurz: mit ihnen die vier Grundrechenarten ausführen kann, und als Ergebnis wieder rationale Zahlen erhält.
✷
Diese Art des Rechnens werden wir in Zukunft nicht weiter erläutern, sondern als Selbstverständlichkeit unterstellen. Das gilt auch für die Regeln der
Bruchrechnung, die wir hier nochmals in Erinnerung rufen.
1.2.7
Regeln der Bruchrechnung
Es seien p, q, p, q beliebige ganze Zahlen mit q = 0 = q . Dann gilt die
a)
Gleichheitsregel (vgl. 1.1.3)
p
p
= q
q
b)
⇐⇒
pq = p q ;
Erweiterungs– bzw. Kürzungsregel
p
pq = ;
q
qq
c)
Additionsregel
d)
Negativregel
p p
pq + p q
+ =
;
q q
qq p
p
−p
=
=− ;
q
−q
q
18
Natürliche, ganze und rationale Zahlen
e)
Multiplikationsregel
f)
Reziprokenregel
MING I 1.2/5
pp
p p
=
;
q q
qq 1
( pq )
=
q
für p = 0 .
p
19
✷
Reelle Zahlen
MING I 1.3/1
1.3
Reelle Zahlen
Mit den reellen Zahlen wenden wir uns nun einem Zahlbereich zu, der auf
das seit Urzeiten bestehende menschliche Bedürfnis des Messens geometrisch
strukturierter Daten (wie etwa Längen, Flächen- und Rauminhalte) zugeschnitten ist. Um etwa die Länge einer beliebigen Strecke zu messen, vergleicht man
diese mit der Länge einer willkürlich, aber fest vorgegebenen Einheitsstrecke.
Damit dieser Vergleich seinen zahlenmäßigen Ausdruck ﬁndet, benötigt man
die
1.3.1
Geometrische Deutung reeller Zahlen
a) Man verwendet dazu eine horizontale Gerade, Zahlenstrahl oder auch
Zahlengerade genannt, auf der unsere vorgegebene Einheitsstrecke durch
Markierung ihrer beiden Eckpunkte, des linken, mit 0 “ ( Nullpunkt“, Ur”
”
”
sprung“) und des rechten, mit 1“ bezeichneten, willkürlich ﬁxiert wird. So”
0
1
dann stellt man sich vor, daß jeder reellen Zahl auf eine zunächst nicht näher
speziﬁzierte Weise genau ein Punkt des Zahlenstrahls entspricht und umgekehrt, insgesamt also eine umkehrbar eindeutige Zuordnung zwischen reellen
Zahlen und Punkten des Zahlenstrahls besteht. Nunmehr kann jede beliebige
Strecke von 0 aus nach rechts abgetragen werden, wonach der rechte Eckpunkt einer reellen Zahl entspricht, welche die gesuchte Länge unserer Strecke
angibt.
b) Wiederholtes Abtragen der Einheitsstrecke nach rechts liefert alle natürli−2q−1 −2q
q
q
· · · −3
−2
−q
q
−2 −1
q q
−1
1
q
0
2
q
q q+1
q
q
1
2q 2q+1
q
q
2
chen, nach rechts und links alle ganzen Zahlen. Zerlegen der Einheitsstrecke in
q ∈ IN gleichlange Teilstrecken sowie wiederholtes Abtragen der ersten dieser
Teilstrecken nach rechts und links liefert schließlich alle rationalen Zahlen auf
20
···
Reelle Zahlen
MING I 1.3/2
dem Zahlenstrahl, wenn q alle natürlichen Zahlen durchläuft. Somit ist jede
rationale Zahl eine reelle Zahl; insbesondere sind 0, 1 reelle Zahlen.
✷
1.3.2
Bezeichnung
Die Menge der reellen Zahlen, von der wir in 1.3.1 eine erste vage Vorstellung
gewonnen haben, bezeichnet man in der Mathematik üblicherweise mit IR (lies:
Err“).
✷
”
Wir wenden uns nun denjenigen Eigenschaften reeller Zahlen zu, die für
den handwerklichen Umgang mit ihnen von Belang sind, und beginnen mit
den algebraischen Rechenoperationen Addition und Multiplikation.
1.3.3
Addition reeller Zahlen
Die Addition rationaler Zahlen (1.2.6, 1.2.7) läßt sich auf beliebige reelle Zahlen
ausdehnen, so daß für alle a, b ∈ IR ihre Summe a + b ∈ IR gebildet werden
kann, die wiederum eine reelle Zahl ist. Diese Bildung unterliegt den folgenden
Gesetzmäßigkeiten.
ADD 1 Die Addition ist assoziativ, d.h. sie genügt dem Assoziativgesetz
(a + b) + c = a + (b + c) für alle a, b, c ∈ IR .
ADD 2 Die Addition ist kommutativ, d.h. sie genügt dem Kommutativgesetz
a + b = b + a für alle a, b ∈ IR .
ADD 3 Für alle a, b ∈ IR gibt es genau ein x ∈ IR mit
a+x=b.
✷
Wie man einfache Folgerungen aus 1.3.3 durch präzises logisches Schließen
gewinnt, soll im Beweis der folgenden Aussage demonstriert werden.
1.3.4
Proposition
a) Für alle a ∈ IR gilt
a+0=0+a=a.
21
Reelle Zahlen
MING I 1.3/3
b) Für alle a, x ∈ IR folgt aus
a+x=a
notwendig x = 0 .
Beweis:
a) Aufgrund der wohlbekannten Gesetze über das Rechnen mit ganzen Zahlen
gilt
(∗)
1+0=0+1=1.
Andererseits liefern ADD 2, 3 in 1.3.3 ein x ∈ IR mit
(∗∗)
a= 1+x=x+1 .
und es folgt
a + 0 = (x + 1) + 0 = x + (1 + 0)
= x + 1 (wegen (∗))
(1.3.3 ADD 1)
= a (wegen (∗∗)) ,
also auch 0 + a = a wegen der Kommutativität (1.3.3 ADD 2), q. e. d.1
b) Die Gleichung a + x = a ist gemäß 1.3.3 ADD 3 eindeutig lösbar, und
gemäß a) ist 0 eine Lösung. Also folgt x = 0 , q. e. d.
✷
1.3.5
Deﬁnition
a) Seien a, b ∈ IR. Die gemäß 1.3.3 ADD 3 in IR eindeutig vorhandene Lösung
der Gleichung
a+x=b
heißt die Diﬀerenz von b und a und wird mit
b−a
bezeichnet.
1
q. e. d. = quod erat demonstrandum (lat.: was zu beweisen war).
22
Reelle Zahlen
MING I 1.3/4
b) Für a ∈ IR heißt die Diﬀerenz von 0 und a also
−a = 0 − a ,
✷
das Negative von a .
1.3.6
Charakteristische Eigenschaften von Diﬀerenz und Negativen
a) Seien a, b ∈ IR . Die Diﬀerenz b−a ist die eindeutig bestimmte reelle Zahl,
die, zu a addiert, b ergibt:
a + (b − a) = b .
b) Das Negative −a ist die eindeutig bestimmte reelle Zahl, die, zu a addiert,
0 ergibt:
a + (−a) = 0 .
Wegen der Kommutativität folgt hieraus (−a) + a = 0 , was
−(−a) = a
✷
impliziert.
1.3.7
Aufgabe
Beweisen Sie
a − b = a + (−b)
L
1.3.8
für alle a, b ∈ IR .
✷
Geometrische Deutung der Addition
Die reellen Zahlen a, b seien durch zwei Punkte auf dem Zahlenstrahl re✛
−b
✲
0
✛
a−b
b
✲
a
a+b
präsentiert. Um dasselbe für die Summe a + b zu leisten, verschiebt man den
Fußpunkt der von 0 nach b gerichteten Strecke einfach nach a , wonach der
neue Endpunkt der Summe a + b entspricht. Um −b zu erhalten, kehrt man
23
Reelle Zahlen
MING I 1.3/5
die von 0 nach b gerichtete Strecke unter Beibehaltung des Fußpunkts einfach
um, wonach die geometrische Deutung der Diﬀerenz a − b = a + (−b) (1.3.7)
gleichfalls unmittelbar auf der Hand liegt.
✷
Reelle Zahlen kann man nicht nur addieren, sondern auch multiplizieren.
Den Regeln, die es dabei besonders zu beachten gilt, wenden wir uns jetzt zu.
1.3.9
Multiplikation reeller Zahlen
Die Multiplikation rationaler Zahlen (1.2.6, 1.2.7) läßt sich auf beliebige reelle
Zahlen ausdehnen, so daß für alle a, b ∈ IR ihr Produkt ab ∈ IR gebildet
werden kann. Diese Bildung unterliegt den folgenden Gesetzmäßigkeiten.
MULT 1 Die Multiplikation ist assoziativ, d.h. sie genügt dem Assoziativgesetz
(ab)c = a(bc) für alle a, b, c ∈ IR .
MULT 2 Die Multiplikation ist kommutativ, d.h. sie genügt dem Kommutativgesetz
ab = ba für alle a, b ∈ IR .
MULT 3 Für alle a, b ∈ IR mit a = 0 gibt es genau ein x ∈ IR mit
ax = b .
Schließlich sind Addition und Multiplikation miteinander verbunden durch das
Distributivgesetz
DIST Für alle a, b, c ∈ IR gilt
a(b + c) = ab + ac .
✷
Die Analogie zwischen den Rechengesetzen der Addition (1.3.3) und der
Multiplikation (1.3.9) springt ins Auge. Sie ﬁndet ihre natürliche Fortsetzung
in der folgenden Aufgabe, bei deren Bearbeitung es ratsam ist, den Beweis von
1.3.4 auf multiplikative Verhältnisse zu übertragen.
24
Reelle Zahlen
MING I 1.3/6
1.3.10 Aufgabe
a) Für alle a ∈ IR gilt
a1 = 1a = a .
b) Für alle a, x ∈ IR mit a = 0 folgt aus
ax = a
L
✷
notwendig x = 1 .
1.3.11 Deﬁnition
a) Seien a, b ∈ IR mit a = 0 . Die gemäß 1.3.9 MULT 3 in IR eindeutig
vorhandene Lösung der Gleichung
ax = b
heißt der Quotient von b und a und wird mit
b
a
bezeichnet.
b) Für a ∈ IR , a = 0 heißt der Quotient von 1 und a , also
a−1 =
1
,
a
✷
das Inverse oder Reziproke von a .
1.3.12 Charakteristische Eigenschaften von Quotienten und Inversem
a) Seien a, b ∈ IR mit a = 0 . Der Quotient ab ist die eindeutig bestimmte
reelle Zahl, die, mit a multipliziert, b ergibt:
a
b
=b.
a
b) Sei a ∈ IR mit a = 0 . Das Reziproke
1
a
ist die eindeutig bestimmte reelle
Zahl, die, mit a multipliziert, 1 ergibt:
a
1
=1.
a
25
✷
Reelle Zahlen
MING I 1.3/7
In 1.3.11 haben wir die Division, also die Bildung von Quotienten, nur
erlaubt, wenn der Nenner von null verschieden ist. Daß auf diese Einschränkung
nicht verzichtet werden kann, lehrt der erste Teil der folgenden Aussage.
1.3.13 Proposition
a) Für alle a ∈ IR gilt
a0 = 0a = 0 .
b) IR hat keine Nullteiler, d.h. für alle a, b ∈ IR folgt aus a = 0 , b = 0
notwendig ab = 0 .
Beweis:
a) Wegen
a0 = a(0 + 0) = a0 + a0
(1.3.9 DIST)
und 1.3.4 b) gilt a0 = 0 , also auch 0a = 0 gemäß 1.3.9 MULT 2, q. e. d.
b) Die Annahme ab = 0 würde
1
1
1
(wegen a) ) = (ab) = a (b )
b
b
b
= a1 (1.3.12 b) ) = a ,
0 = 0
(1.3.9 MULT 1)
✷
also einen Widerspruch implizieren, q. e. d.
Für 0 = b ∈ IR hat die Gleichung 0x = b gemäß 1.3.13 a) keine Lösung,
und der Quotient 0b kann auf natürliche Weise nicht deﬁniert werden.
1.3.14 Aufgabe
Zeigen Sie:
a) Für alle a, b ∈ IR gelten die Vorzeichenregeln
a(−b) = (−a)b = −(ab)
(wofür wir in Zukunft schlicht −ab schreiben) sowie
(−a)(−b) = ab .
b) Für alle a, b, c ∈ IR mit c = 0 gilt
ac = bc
⇒
26
a=b.
Reelle Zahlen
MING I 1.3/8
c) Für alle a, a , b, b ∈ IR mit b, b = 0 gelten die Regeln der Bruchrechnung (vgl. 1.2.7), nämlich im einzelnen die
Gleichheitsregel
a
a
= ⇐⇒
b
b
Erweiterungs- bzw. Kürzungsregel
ab = a b ;
a
ab
= ;
b
bb
Additionsregel
Negativenregel
Multiplikationsregel
ab + a b
a a
+ =
;
b
b
bb
−a
a
a
=
=− ;
b
−b
b
a a
aa
=
;
b b
bb
Reziprokenregel
1
b
a =a,
( )
b
L
✷
sofern a nicht null ist.
Abschließend behandeln wir die
27
Reelle Zahlen
MING I 1.3/9
1.3.15 Geometrische Deutung der Multiplikation
Um das Produkt ab zweier reeller Zahlen a, b geometrisch zu deuten, denken
wir uns a als Punkt auf einer horizontalen und b als Punkt auf einer vertikalen Kopie des Zahlenstrahls repräsentiert. Wir stellen uns vor, daß die beiden
❍
❍
❍
❍
❍
❍
❍
❍
❍❍
❍
❍
❍❍
❍
❍
❍❍
❍
❍
❍❍
b ❍❍
❍
❍❍
❍
❍
❍❍
❍
❍
❍
1 ❍❍
❍
❍
❍❍
❍
❍
❍❍
❍
❍
❍❍
❍
❍
❍
❍❍
❍
❍
❍❍
❍
0
a ❍❍
ab❍❍ ❍
❍
❍
❍❍
❍❍
❍❍
L
L
Kopien einander im Nullpunkt treﬀen und auf der Vertikalen neben b auch
noch der 1 entsprechende Punkt markiert ist. Indem wir nun die Parallele der
1 mit a verbindenden Geraden durch den Punkt b geometrisch konstruieren
und sie mit dem horizontalen Zahlenstrahl zum Schnitt bringen, gelangen wir
zu einem Punkt, der nach den Strahlensätzen der Zahl ab entspricht. Warum?
1
für a = 0 ?
✷
Wie konstruiert man
a
28
Rechnen mit reellen Zahlen
1.4
MING I 1.4/1
Rechnen mit reellen Zahlen
In der Praxis sieht sich der Ingenieur häuﬁg komplizierten Rechenausdrükken gegenüber, die in den allereinfachsten Fällen durch wiederholte Anwendung
der vier Grundrechenarten — Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division
— aus einer endlichen Kollektion reeller Zahlen hervorgegangen sind. Es ist das
Ziel des vorliegenden Abschnitts, Formalismen zu entwickeln, welche der bequemen Handhabung solcher Rechenausdrücke dienen. Soweit nur Additionen
und Subtraktionen ausgeführt werden, lassen sich diese Formalismen mit Hilfe
des Summenzeichens ausdrücken, das seinerseits auf der folgenden Verallgemeinerung der additiven Assoziativ- und Kommutativgesetze (1.3.3 ADD 1,2)
beruht.
1.4.1
Satz
Für endlich viele reelle Zahlen a1 , . . . , am mit m ∈ IN gilt
a) das Allgemeine Assoziativgesetz der Addition:
Der Wert der Summe
a1 + · · · + am ∈ IR
ist unabhängig davon, in welcher Assoziation die Summation ausgeführt, welche
Beklammerung dabei also zugrundegelegt wird;
b) das Allgemeine Kommutativgesetz der Addition:
Der Wert der Summe
a1 + · · · + am ∈ IR
ist unabhängig von der Reihenfolge der Summanden.
✷
Auf einen Beweis dieser anschaulich evidenten Aussagen, welche für m = 3
im Falle a) (bzw. m = 2 im Falle b) ) oﬀenbar in das gewöhnliche Assoziativ(bzw. Kommutativ-)gesetz übergehen, wird hier bewußt verzichtet.
1.4.2
Summenzeichen
Seien m ∈ IN und a1 , . . . , am ∈ IR .
a) Für die irgendwie geklammerte, im Wert von dieser Beklammerung gemäß
1.4.1a) jedoch unabhängige Summe a1 + . . . + am ∈ IR führen wir ein neues
29
Rechnen mit reellen Zahlen
MING I 1.4/2
Symbol, eben das Summenzeichen, ein, indem wir setzen
m
i=1
ai = a1 + · · · + am
(lies: Summe– i –gleich– 1 –bis– m –der– ai “.)
”
b) Das in der Deﬁnitionsgleichung von a) erscheinende Symbol i“ heißt
”
Summationsindex oder Summationsbuchstabe. In seiner Wahl ist man
solange vollkommen frei, wie keine Kollision mit anderen gerade verwandten
Bezeichnungen auftritt. Es gilt also
m
i=1
ai =
m
j=1
aj =
m
ak =
k=1
m
µ=1
aµ =
m
ν=1
aν = · · · .
c) In a) heißen 1 und m die Summationsgrenzen, 1 die untere, m die
obere. In ihrer Wahl ist man insofern frei, als die Möglichkeit besteht, sie par”
allel zu verschieben“ und zu schreiben
m
i=1
ai =
m−1
ai+1 =
i=0
m−2
ai+2 = · · · .
i=−1
Ebenso verfährt man in entgegengesetzter Richtung:
m
i=1
ai =
m+1
i=2
ai−1 =
m+2
i=3
ai−2 = · · · .
Insgesamt gilt die Formel der Indexverschiebung
m
i=1
ai =
m+n
i=n+1
ai−n
für alle n ∈ ZZ . Nimmt man nämlich die Auﬂösung des Summenzeichens zur
Rechten gemäß a) ganz anschaulich–naiv vor, so entsteht
m+n
i=n+1
ai−n = an+1−n + an+2−n + · · · + am+n−n
= a1 + a2 + · · · + am
=
m
i=1
ai , q. e. d.
d) Von ähnlicher Art ist die Relation
m
i=1
ai =
m
i=1
am+1−i .
Unter Ausnutzung des Allgemeinen Kommutativgesetzes (1.4.1b)) ergibt nämlich die rechte Seite
30
Rechnen mit reellen Zahlen
MING I 1.4/3
m
i=1
am+1−i = am+1−1 + am+1−2 + · · · + am+1−m
= am + am−1 + · · · + a1
= a1 + · · · + am−1 + am
=
m
i=1
ai , q. e. d.
e) Wir notieren einige Spezialfälle:
1
i=1
ai = a1 ,
2
i=1
ai = a1 + a2 ,
3
i=1
ai = a1 + a2 + a3 .
f) Im Umgang mit Summen hat sich folgende Konvention vielfach bewährt.
Alle Summen, bei denen die untere Summationsgrenze die obere übersteigt,
werden als rückläuﬁg oder leer bezeichnet und gleich null gesetzt. Wir deﬁnieren also
0
i=1
und allgemeiner
m
i=n
ai = 0
ai = 0
für alle ganzen Zahlen m, n mit n > m .
1.4.3
✷
Beispiele
a)
6
i = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 .
i=1
b)
7
2 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 14 .
j=1
c)
5
k 2 = 12 + 22 + 32 + 42 + 52 = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55 .
k=1
31
✷
Rechnen mit reellen Zahlen
1.4.4
MING I 1.4/4
Aufgabe
Berechnen Sie
a)
3
i3 ,
i=1
b)
5
i(i + 1) ,
i=1
L
c)
7
(i − 1) .
✷
i=2
Über das Rechnen mit Summen läßt sich eine Fülle nützlicher Regeln aufstellen. Wir begnügen uns hier mit einer kleinen Auswahl.
1.4.5
Rechenregeln über Summen
a) Für alle m, n ∈ IN und alle a1 , . . . , am , am+1 , . . . , am+n ∈ IR gilt
m+n
i=1
ai =
m
i=1
ai +
m+n
i=m+1
ai .
b) Für alle m ∈ IN und alle a1 , . . . , am , b1 , . . . , bm ∈ IR gilt
m
m
i=1
i=1
(ai + bi ) =
ai +
m
i=1
bi .
c) Es gilt das Allgemeine Distributivgesetz
a
m
i=1
ai =
m
i=1
aai
für alle m ∈ IN und alle a, a1 , . . . , am ∈ IR .
Beweis:
Exemplarisch für das hier angezeigte Vorgehen legen wir einen Beweis von b)
vor, der mit Hilfe des Allgemeinen Kommutativgesetzes 1.4.1b) geführt wird:
m
i=1
(ai + bi ) = a1 + b1 + a2 + b2 + · · · + am + bm
= a1 + a2 + · · · + am + b1 + b2 + · · · + bm
=
m
i=1
ai +
m
i=1
bi , q. e. d.
32
✷
Rechnen mit reellen Zahlen
MING I 1.4/5
Als erste Anwendung des hier entwickelten Formalismus beweisen wir
1.4.6
Proposition
Für alle n ∈ IN gilt
n
i=
i=1
n(n + 1)
.
2
Beweis:
2
n
i =
i=1
=
=
n
i=1
n
i=1
n
i+
n
i=1
i=
n
i+
i=1
n
(n + 1 − i)
(1.4.2d)
i=1
(i + n + 1 − i)
(1.4.5b)
(n + 1) = n(n + 1) ,
i=1
und nach Division durch 2 folgt die Behauptung, q. e. d.
✷
Was der Summe recht ist, ist dem Produkt billig. Bei der Übertragung
der in diesem Abschnitt bisher entwickelten Formalismen auf multiplikative
Verhältnisse beschränken wir unsere Kommentare auf das Allernotwendigste.
Analog zu 1.4.1 gilt
1.4.7
Satz
Für endlich viele reelle Zahlen a1 , . . . , am mit m ∈ IN gilt
a) das Allgemeine Assoziativgesetz der Multiplikation:
Der Wert des Produktes
a1 · . . . ·am ∈ IR
ist unabhängig von der Beklammerung;
b) das Allgemeine Kommutativgesetz der Multiplikation:
Der Wert des Produktes
a1 · . . . ·am ∈ IR
ist unabhängig von der Reihenfolge der Faktoren.
1.4.8
✷
Produktzeichen
Seien m ∈ IN und a1 , . . . , am ∈ IR .
a) Für das irgendwie geklammerte, im Wert von dieser Beklammerung gemäß
33
Rechnen mit reellen Zahlen
MING I 1.4/6
1.4.7a) jedoch unabhängige Produkt a1 · . . . ·am ∈ IR führen wir das Produktzeichen ein, indem wir setzen
m
i=1
ai = a1 · . . . ·am
(lies: Produkt– i –gleich– 1 –bis– m –der– ai “). Die in 1.4.2 anläßlich der Ein”
führung des Summenzeichens gemachten Bemerkungen übertragen sich mutatis
mutandis auf die multiplikative Situation. Insbesondere gilt
b)
m
i=1
ai =
m
aj =
j=1
m
ak = . . . ;
k=1
c) Das Prinzip der Indexverschiebung
m
i=1
ai =
m+n
i=n+1
ai−n
für alle n ∈ ZZ ;
d)
m
i=1
ai =
m
i=1
am+1−i .
e) Analog zu 1.4.2e) unterwerfen wir uns auch hier der Konvention, alle rückläuﬁgen (oder leeren) Produkte, bei denen also die untere Produktionsgrenze
die obere übersteigt, gleich 1 zu setzen. Wir deﬁnieren also
m
i=n
ai = 1
✷
für alle ganzen Zahlen m, n mit n > m .
1.4.9
Beispiele
Für alle n ∈ IN deﬁnieren wir
n! =
n
i = 1·2· . . . ·n
i=1
(lies: n –Fakultät“). Außerdem wird
”
0! = 1
gesetzt. Mit Rücksicht auf die Konvention über leere Produkte (1.4.8 e)) gilt
daher
n
n! =
i=1
34
i
Rechnen mit reellen Zahlen
MING I 1.4/7
für alle n ∈ IN0 (vgl. 1.2.2b)).
✷
1.4.10 Aufgabe
L
Berechnen Sie n! für n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 .
✷
1.4.11 Beispiele
Sei a ∈ IR .
a) Für alle n ∈ IN0 deﬁnieren wir
an =
n
a = a· . . . ·a ( n Faktoren)
i=1
(lies: a –hoch– n“) und nennen dies die n –te Potenz von a , a deren Basis,
”
n deren Exponenten. Deﬁnitionsgemäß und wegen 1.4.8e) gilt insbesondere
a0 = 1 .
b) Sei a = 0 und n ∈ ZZ , aber n ∈ IN0 . Dann gilt −n ∈ IN , und unter
Verwendung von a) setzen wir
1
an = ( )−n .
a
Nunmehr ist an für alle n ∈ ZZ erklärt.
✷
Ohne Beweis notieren wir die
1.4.12 Potenzgesetze
Für alle a, b ∈ IR und alle m, n ∈ IN0 gilt
(1) am+n = am an ,
(2) (am )n = amn ,
(3) (ab)n = an bn .
Es gelten (1) , (2) (bzw. (3) ) sogar für alle m, n ∈ ZZ (bzw. n ∈ ZZ ), sofern
a (bzw. ab ) von null verschieden ist.
✷
35
Vollständige Induktion
1.5
MING I 1.5/1
Vollständige Induktion
Wir wenden uns nun einer Beweismethode zu, die erheblich über das bislang praktizierte natürliche Schließen“ hinausgeht. Sie basiert auf einer be”
merkenswerten Eigenschaft natürlicher Zahlen, dem Prinzip der vollständigen
Induktion, das auf den ersten Blick verblüﬀen mag, bei genauerem Hinsehen
fast selbstverständlich erscheint und im übrigen erstaunlicher Anwendungen
fähig ist.
1.5.1
Prinzip der vollständigen Induktion
Gegeben sei eine für beliebige natürliche Zahlen n = 1, 2, 3, . . . sinnvolle Aussage (oder Eigenschaft) A(n) , so daß also für jedes n ∈ IN prinzipiell feststeht,
ob A(n) gilt oder nicht. Die folgenden Bedingungen seien erfüllt.
(I A) ( Induktionsanfang n = 1 “) A(1) gilt.
”
(I S)
( Induktionsschritt von n auf n + 1 “) Für alle n ∈ IN triﬀt die
”
folgende Aussage zu: Gilt A(n) ( Induktionsannahme“), so gilt auch
”
A(n + 1) ( Induktionsschluß“).
”
Dann gilt A(n) für alle n ∈ IN .
✷
Mag dieses Prinzip zunächst durchaus verblüﬀen, so erweist es sich bei
genauerer Prüfung als höchst plausibel: Genügt A den beiden in 1.5.1 formulierten Bedingungen, so gilt wegen I A zunächst A(1) ; nunmehr kann I S für
n = 1 verwendet und A(2) gefolgert werden; alsdann kann I S für n = 2
verwendet und A(3) gefolgert werden; usw.; usw.; . . . . Das folgende Bild
verdeutlicht, wie man dabei von Zahl zu Zahl springt“.
”
s
1
2
s
3
s
···
···
s
n−1
s
n
s
n+1
s
···
Oﬀenbar“ kann man auf diesem Wege jede einzelne natürliche Zahl, und sei
”
sie auch noch so groß, erreichen, vorausgesetzt, man ist bereit, die geschilderte
Prozedur entsprechend oft vorzunehmen. Andererseits besteht keine Aussicht,
so die Gesamtheit der natürlichen Zahlen in einem ﬁniten Verfahren zu erfassen. Das Prinzip der vollständigen Induktion kann als methodischer Ersatz für
dieses Deﬁzit angesehen werden.
36
Vollständige Induktion
MING I 1.5/2
Die vorstehenden Überlegungen stellen eine intuitive Rechtfertigung, keinesfalls jedoch eine streng logische Begründung für dieses Prinzip dar. Eine
solche soll in diesem Kurs auch gar nicht versucht werden. Vielmehr wollen
wir 1.5.1 im folgenden ebenso diskussionslos als Tatsache zur Kenntnis nehmen wie die Variante, wonach die Induktion ebensogut bei einer beliebigen
ganzen Zahl n0 (z.B. n0 = 0 ) an Stelle von 1 beginnen darf und nach
vollzogenem Induktionsschluß eine Aussage liefert, die für alle ganzen Zahlen
n = n0 , n0 + 1 , n0 + 2 , . . . gültig ist.
1.5.2
Beispiel
Wir bringen einen neuen Beweis der gemäß 1.4.6 für alle n ∈ IN gültigen
Formel
n
n(n + 1)
,
i=
2
i=1
diesmal mit vollständiger Induktion nach n . Die Aussage A(n) , welche wir
mittels 1.5.1 diskutieren wollen, lautet also:
A(n) :
n
Es gilt
”
i=1
i=
n(n + 1)
.“
2
Induktionsanfang n = 1 : Wegen
1
i=1=
i=1
1(1 + 1)
,
2
gilt die Aussage für n = 1 , also A(1) .
Induktionsschritt von n auf n + 1 : Sei n ∈ IN beliebig. Wir machen die
Induktionsannahme, unsere Aussage A(n) sei bewiesen, es gelte also
n
(∗)
i=
i=1
n(n + 1)
.
2
Dann folgt
n+1
i =
i=1
n
i + (n + 1)
i=1
n(n + 1)
+ (n + 1)
((∗))
2
n+1
n+1
=
n+
2
2
2
n+1
(n + 2)
(1.3.9 DIST)
=
2
(n + 1)(n + 2)
=
.
2
=
37
Vollständige Induktion
MING I 1.5/3
Somit gilt A(n + 1) , und der Induktionsschluß ist vollzogen, q. e. d.
1.5.3
✷
Beispiel: Die endliche geometrische Reihe
Seien q ∈ IR , q = 1 , und n ∈ IN0 . Dann gilt
n
qν =
ν=0
1 − q n+1
.
1−q
Beweis mit vollständiger Induktion nach n .
Induktionsanfang
n=0 :
0
ν
q = q 0 = 1 (1.4.11a)
ν=0
=
1 − q 0+1
1−q
=
.
1−q
1−q
Induktionsschritt von n auf n + 1 . Sei n ∈ IN0 , und es gelte die Induktionsannahme
n
ν
q =
(∗)
ν=0
1 − q n+1
.
1−q
Dann folgt
n+1
ν=0
q
ν
=
n
ν
q +q
ν=0
n+1
1 − q n+1
+ q n+1
=
1−q
((∗))
1 − q n+1 + q n+1 (1 − q)
1−q
n+1
+ q n+1 − q n+2
1−q
1 − q n+2
=
=
,
1−q
1−q
=
und der Induktionsschluß ist vollzogen, q. e. d.
1.5.4
Aufgabe
Beweisen Sie mit vollständiger Induktion, daß
n
k=1
L
✷
k2 =
1
n(n + 1)(2n + 1)
6
für alle n ∈ IN0 gilt.
✷
38
Vollständige Induktion
MING I 1.5/4
Es gibt eine Variante des Induktionsprinzips, mit der keine Sätze bewiesen,
sondern Begriﬀe deﬁniert werden. Man spricht dann von rekursiven oder auch
induktiven Deﬁnitionen. Was es damit auf sich hat, wollen wir nun erläutern.
1.5.5
Rekursive Deﬁnitionen
Um für alle n ∈ IN Objekte an zu deﬁnieren, genügt es, das Folgende zu tun.
(I A) (Rekursionsanfang n = 1 ) Man deﬁniert a1 .
(I S)
(Rekursionsschritt von n auf n + 1 ) Für beliebige n ∈ IN wird unter
der Annahme, an sei bereits deﬁniert, an+1 deﬁniert.
Im Induktionsschritt darf also bei der Deﬁnition von an+1 das Objekt an
als bereits deﬁniert unterstellt und demgemäß verwendet werden. Es ist dies
das charakteristische Merkmal rekursiver Deﬁnitionen. Die Deﬁnition von an+1
unter Verwendung von an nennt man eine Rekursion. Wird an+1 , was in
der Mathematik besonders häuﬁg vorkommt, durch einen Rechenausdruck deﬁniert, in dem an erscheint, so spricht man von einer Rekursionsformel.
Selbstverständlich muß die Rekursion auch hier nicht bei 1 , sondern kann bei
irgendeiner ganzen Zahl n0 (z.B. n0 = 0 ) beginnen.
✷
1.5.6
Beispiel
Für a ∈ IR und n ∈ IN0 hätte man die Potenzen an (1.4.11a)) unter Vermeidung des Produktzeichens auch rekursiv deﬁnieren können:
Rekursionsanfang n = 0 :
a0 = 1 .
Rekursionsschritt von n auf n + 1 :
an+1 = a an .
1.5.7
L
✷
Aufgabe
Stellen Sie unter Vermeidung des Produktzeichens eine rekursive Deﬁnition der
Fakultäten (1.4.9) auf.
✷
39
Vollständige Induktion
MING I 1.5/5
Als weitere Anwendung der vollständigen Induktion beweisen wir den binomischen Lehrsatz. Zunächst erinnern wir an den Begriﬀ des Binomialkoeﬃzienten.
1.5.8
Deﬁnition
Die Zahlen
n
n!
=
k!(n − k)!
k
(lies: n –über– k “), wo n ein beliebiges Element von IN0 und k eine beliebi”
ge der Zahlen 0, 1, . . . , n − 1, n bezeichnen, heißen Binomialkoeﬃzienten.
✷
1.5.9
Eigenschaften der Binomialkoeﬃzienten
Seien n ∈ IN0 und k eine der Zahlen 0, 1, . . . , n − 1, n . Dann gilt
a)
n
n(n − 1) · · · (n − k + 1)
∈ IN0 .
=
k!
k
b)
n
=1,
0
c)
n
= n für n ∈ IN,
1
n
n
n+1
+
=
k
k+1
k+1
n
n
=
.
k
n−k
k = n .
für
Beweis:
Wegen
n
n
k
=
i
i=1
n−k
k! (
=
i)
n(n − 1) · · · (n − k + 1)(n − k) · · · 2·1
k!·1·2 · · · (n − k)
i=1
=
n(n − 1) · · · (n − k + 1)
k!
gilt die in a) behauptete Formel. Daß diese oﬀensichtlich nicht–negative rationale Zahl in Wahrheit eine ganze Zahl ist, stellen wir vorerst zurück.
b) veriﬁziert man durch Nachrechnen.
40
Vollständige Induktion
MING I 1.5/6
n
n
+
k
k+1
c)
=
n!
n!
+
k! (n − k)! (k + 1)!(n − k − 1)!
=
n!(k + 1)
n!(n − k)
+
(k + 1)!(n − k)! (k + 1)!(n − k)!
=
n!(k + 1 + n − k)
(k + 1)!(n − k)!
=
(n + 1)!
(k + 1)!(n + 1 − (k + 1))!
=
(1.5.7)
n+1
.
k+1
Zur Vervollständigung des Beweises fehlt in a) also nur noch der Nachweis von
n
∈ ZZ .
k
Dies geschieht mit vollständiger Induktion nach n : Die für
alle n ∈ IN0 zu
beweisende Aussage A(n) besagt in diesem Falle, daß nk ∈ ZZ gilt für alle
ganzen Zahlen k = 0, . . . , n . Wegen
n
0
=
n
n
= 1 ( b) ) ist der
Induktionsanfang n = 0
bereits erledigt, und im
Induktionsschritt von n auf n + 1 dürfen wir 0 = k = n + 1 , also k = ν + 1
mit einer ganzen Zahl ν = 0, . . . , n − 1 annehmen. Mit c) folgt
n+1
n+1
n
n
=
=
+
k
ν +1
ν
ν +1
letzteres nach Induktionsannahme, q. e. d.
∈ ZZ ,
✷
Es gibt gute Gründe (einer von ihnen ist der binomische Lehrsatz 1.5.11),
warum Binomialkoeﬃzienten unser Interesse verdienen. Deshalb kommt der
Möglichkeit, sich von ihnen im Pascalschen Dreieck 1 ein anschauliches Bild zu
machen, besondere Bedeutung zu.
1.5.10 Das Pascalsche Dreieck
Beim Pascalschen Dreieck handelt es sich um ein Zahlenschema, das die Form
eines mit der Spitze nach oben weisenden, nach unten und in die Breite sich
unbegrenzt ausdehnenden Dreiecks besitzt, worin, sieht man von der äußeren,
1
Blaise Pascal, 1623 – 1662.
41
Vollständige Induktion
MING I 1.5/7
mit lauter Einsen“ besetzten Berandung ab, alle Binomialkoeﬃzienten genau
”
einmal vorkommen. Es entsteht, indem man für n = 0, 1, 2, . . .
0
1
1
1
2
1
1
3
2
1
4
1
5
..
.
1
..
n
0
n
n+1
..
. ..
n+1
0
..
10
..
..
1
4
10
n
k
..
..
n
k+1
n+1
k+1
..
1
5
..
..
..
3
6
5
..
..
3
4
..
1
..
..
..
..
..
1
..
..
..
n
n
..
..
..
..
n+1
n+1
..
in die n –te Zeile der Reihe nach die insgesamt n + 1 Binomialkoeﬃzienten
(vgl. 1.5.9b))
n
n
n
n
,...,
,
,...,
=1
1=
0
k
k+1
n
einträgt. Der wesentliche Nutzen des Pascalschen Dreiecks besteht darin, daß
man seine Zeilen rekursiv (vgl. 1.5.5) konstruieren kann: Die nullte Zeile besteht
allein aus der Zahl 1 , und liegt die n –te Zeile bereits
vor (n ∈ IN0 ) , so
= 1 beginnt, rechts
gewinnt man die (n + 1) –te, indem man links mit n+1
0
mit
n+1
n+1
= 1 endet und für k = 0, . . . , n − 1 unterhalb der in der n –ten
Zeile aufeinanderfolgenden Zahlen
nämlich gerade
n
k
n
k+1
,
in der Mitte deren Summe,
n
n
n+1
+
=
k
k+1
k+1
(1.5.9c))
einträgt. Auf diesem Wege kann man die Binomialkoeﬃzienten
zu große n ziemlich rasch explizit berechnen.
42
n
k
für nicht
✷
Vollständige Induktion
MING I 1.5/8
1.5.11 Binomischer Lehrsatz
Für alle a, b ∈ IR und alle n ∈ IN0 gilt
(a + b)n =
n n
ν n−ν
a b
ν
ν=0
.
Beweis:
Vollständige Induktion nach n .
Induktionsanfang n = 0 :
0
(a + b) = 1 (1.4.11a))
0 0
aν b0−ν
=
ν=0
ν
.
Induktionsschritt von n auf n + 1 : Nach Induktionsannahme gilt
(a + b)n =
(∗)
n n
ν
ν=0
aν bn−ν ,
und es folgt
(a + b)n+1
=
=
(a + b)(a + b)n
a
n n
ν
ν=0
=
=
a b
a
b
ν
ν=0
n−1
n
aν+1 bn−ν
ν
ν=0
n
0
0 n+1−0
ab
n n
ν
ν=1
=
n+1
0
+
=
+
+
n
n
n+1
a b
ν
ν=0
an+1 b0
n n
ν
aν bn+1−ν
aν bn+1−ν + bn+1
ν=1
ν−1
a0 bn+1−0 +
+
n
ν
n+1 n+1−(n+1)
a
b
n+1
ν
ν
(1.4.2c)
)aν bn+1−ν + bn+1
n n+1
ν=1
n+1
n+1
ν=0
+
aν bn−ν
ν−1
(
ν=0
n
n
an+1 +
ν
n n
ν n+1−ν
ν=1
an+1 +
+
n n
n n
aν−1+1 bn−(ν−1)
ν=1
=
+b
n n
ν+1 n−ν
+
=
ν n−ν
aν bn+1−ν
(1.5.9c)
aν bn+1−ν , q. e. d.
43
✷
Vollständige Induktion
MING I 1.5/9
1.5.12 Aufgabe
Folgern Sie aus dem binomischen Lehrsatz
a)
n n
ν
ν=0
b)
n
(−1)ν
ν=0
L
c)
= 2n für alle n ∈ IN0 ,
n
ν
= 0 für alle n ∈ IN ,
µ
n µ=0
n!
= 3n für alle n ∈ IN0 .
ν=0 ν!(n − µ)!(µ − ν)!
✷
1.5.13 Aufgabe
Seien n ∈ IN und a1 , . . . , an ∈ IR . Beweisen Sie mit vollständiger Induktion
nach n die Formel
(
n
i=1
L
2
ai ) =
n
i=1
ai2 + 2
1≤i<j≤n
ai aj ,
wo die zweite Summe zur Rechten deﬁnitionsgemäß über alle Indexpaare i, j
zu erstrecken ist, welche den angegebenen Bedingungen 1 ≤ i < j ≤ n unterliegen.
✷
44
Die Ordnung von IR
1.6
MING I 1.6/1
Die Ordnung von IR
In der Praxis kommt es selbstverständlich nicht nur darauf an, einzelne
Meßdaten zu ermitteln, sondern auch darauf, verschiedene Meßdaten der Größe
nach miteinander zu vergleichen. Daß dies, soweit es sich dabei um (reelle)
Zahlenwerte handelt, überhaupt möglich ist, verdankt man der Ordnung von
IR , welche wir in diesem Abschnitt behandeln wollen.
1.6.1
Die Ordnung von IR
Auf der Menge IR der reellen Zahlen ist eine Relation < “ (lies: “kleiner“)
”
gegeben (so daß also für a, b ∈ IR prinzipiell feststeht, ob a < b (lies: a kleiner
”
b“) gilt oder nicht), welche für alle a, b, c ∈ IR den folgenden Bedingungen
genügt.
ORD 1 Es besteht genau eine der drei Aussagen
a<b, a=b, b<a.
ORD 2 (Transitivität) Aus a < b und b < c folgt a < c .
ORD 3 Aus a < b folgt a + c < b + c .
✷
ORD 4 Aus a < b und 0 < c folgt ac < bc .
1.6.2
Die geometrische Deutung der Ordnung
Werden zwei reelle Zahlen a, b auf dem Zahlenstrahl realisiert, so soll a < b
a
b
bedeuten, daß a dort links von b erscheint. Bei dieser Interpretation gehen
die Bedingungen ORD 1–4 von 1.6.1 in unmittelbar einsichtige geometrische
Konﬁgurationen über. Zu ORD 4 beispielsweise gehört gemäß 1.3.15 das folgende Bild:
45
Die Ordnung von IR
MING I 1.6/2
◗
◗
❍
❍ ◗
◗
❍
❍ ◗
◗
❍
❍ ◗
❍
❍◗
◗
❍
❍
◗
◗
❍
❍
◗
◗
◗
❍
◗
❍
❍
c◗◗❍❍
❍❍◗◗
◗
❍
❍
◗
❍ ◗
❍
❍❍◗
◗
◗❍ ❍
❍◗
❍
◗
❍◗
◗ ❍
❍
❍◗
❍◗
◗
❍
◗ ❍
❍❍
❍
❍
◗
◗
❍❍
1◗◗
❍
❍
◗
◗❍
◗
❍
❍
◗❍❍
◗
❍
❍
◗
◗ ❍
❍
◗ ❍
❍
◗
◗
◗ ❍❍
❍
❍
◗
◗
◗
❍
❍
◗ ❍❍
◗
❍
❍
◗
◗
0
a ◗ b ❍❍
ac ◗
bc❍ ❍❍
◗
◗
❍❍
◗
◗
◗
❍❍
◗
◗
❍❍ ◗
◗
◗◗
◗
❍
❍
◗
✷
ORD 1–3 diskutiert man analog.
1.6.3
Redeweisen
Seien a, b ∈ IR . Wir schreiben
a > b (lies: a –größer– b“), falls b < a gilt;
”
a ≤ b (lies: a kleiner–gleich– b“), falls a 0 ,
negativ, falls a < 0 ,
nicht–negativ, falls a ≥ 0
gilt.
In dieser Terminologie lassen sich 1.6.1 ORD 3,4 wie folgt verbal umschreiben:
ORD 3’ Zu einer Ungleichung kann auf beiden Seiten eine beliebige reelle
Zahl addiert werden.
46
Die Ordnung von IR
MING I 1.6/3
ORD 4’ Eine Ungleichung kann (auf beiden Seiten) mit einer beliebigen positiven reellen Zahl multipliziert werden.
Schon in dem nächsten Satz wird sich zeigen, daß man in ORD 4’ auf die
Voraussetzung der Positivität nicht verzichten kann.
✷
Wir wenden uns nun ersten grundlegenden Regeln über das Rechnen mit
Ungleichungen zu. Dabei gilt es zu beachten, daß es wegen der Transitivität
1.6.1 ORD 2 erlaubt ist, Ketten gleichsinniger Ungleichungen zu betrachten,
wie etwa
a 0 und b > 0 folgt a + b > 0 .
c)
Aus a > 0 und b > 0 folgt ab > 0 .
d)
Es gilt a < 0 genau dann, wenn −a > 0 gilt.
e)
Aus a bc .
f)
1>0.
g)
Aus 0 < a 0 , b > 0 gilt a < b genau dann, wenn a2 < b2 gilt.
1
b
<
1
a
.
Beweis:
Wir führen den Beweis detailliert aus, weil er eine gute Übung für die Handhabung von Ungleichungen darstellt.
a) a < c impliziert a + b < c + b (1.6.1 ORD 3), b < d impliziert c + b < c + d
aus dem gleichen Grunde, und die Transitivität 1.6.1 ORD 2 ergibt wunschgemäß a + b < c + d .
47
Die Ordnung von IR
MING I 1.6/4
b) folgt aus a) mit a = b = 0 , c “ statt a“, d “ statt b“.
”
”
”
”
c) folgt aus 1.6.1 ORD 4 mit a = 0 , a“ statt c “.
”
”
d) a < 0 impliziert
0 = a − a < 0 − a (1.6.1 ORD 3) = −a ,
also −a > 0 . Umgekehrt folgt hieraus
0 = −a + a > 0 + a = a ,
also a < 0 .
e) c < 0 impliziert 0 < −c (d)), und es folgt mit 1.3.14 und 1.6.1 ORD 4
−ac = a(−c) < b(−c) = −bc.
Beiderseitige Addition von ac + bc ergibt
bc = −ac + ac + bc < ac + bc − bc = ac.
f) Die Annahme 1 < 0 würde −1 > 0 gemäß d), also 1 = (−1)2 > 0
(c)) und daher einen Widerspruch implizieren, da 1 < 0 und 0 < 1 nicht
gleichzeitig eintreten können (1.6.1 ORD 1).
g) Wegen a > 0 , b > 0 gilt ab > 0 (c)), und die Annahme
nach Multiplikation mit ab > 0 wegen e) zur Ungleichung
1 = ab
1
ab
< 0 würde
1
1
<0
=0
ab
ab
1
führen, also f) widersprechen. Somit gilt auch ab
> 0 . Nunmehr genügt es,
1
die Ungleichung a 0 zu multiplizieren, um, wie gewünscht,
1
1
1
1
=
a<
b=
b
ab
ab
a
zu erhalten.
h) Für a > 0 , b > 0 haben wir gemäß 1.1.3 die beiden folgenden Implikationen herzustellen.
h. 1) a < b =⇒ a2 < b2 .
h. 2) a2 < b2 =⇒ a < b .
Hier erhält man h. 1), indem man zweimal 1.6.1 ORD 4 verwendet:
a2 = aa < ab < bb = b2 .
48
Die Ordnung von IR
MING I 1.6/5
Zum Nachweis von h. 2) schließen wir indirekt, nehmen also a2 < b2 und a ≥ b
an. Dann gilt a = b oder 0 < b < a . Im ersteren Falle folgt a2 = b2 , im
letzteren b2 < a2 gemäß h.1), in jedem Falle also ein Widerspruch, q. e. d.
✷
1.6.5
Aufgabe
Beweisen Sie für alle a, b, c, d ∈ IR :
a) Aus a ≤ b , b ≤ c folgt a ≤ c , und gilt zusätzlich a 0 oder
b > 0 , so auch a + b > 0 .
d) Aus a ≥ 0 und b ≥ 0 folgt ab ≥ 0 .
e) Es gilt a ≤ 0 genau dann, wenn −a ≥ 0 gilt.
f) Aus a ≤ b und c ≥ 0 folgt ac ≤ bc .
g) Aus a ≤ b und c ≤ 0 folgt ac ≥ bc .
L
h)
Für a ≥ 0 , b ≥ 0 gilt a ≤ b genau dann, wenn a2 ≤ b2 gilt.
✷
1.6.6
L
Aufgabe
Zeigen Sie mit vollständiger Induktion, daß alle natürlichen Zahlen positiv sind.
✷
1.6.7
Aufgabe
Seien a, b, ∈ IR . Beweisen Sie:
a) ab ist positiv genau dann, wenn a und b dasselbe Vorzeichen haben, also
entweder beide positiv oder beide negativ sind.
b) Für a = 0 haben a und a1 dasselbe Vorzeichen.
c) Für a, b > 0 folgt aus a2 = b2 notwendig a = b .
✷
L
49
Die Ordnung von IR
MING I 1.6/6
Mit den algebraischen Rechenoperationen und der in 1.6.1 beschriebenen
Ordnung von IR haben wir bereits eine stattliche Kollektion von Eigenschaften reeller Zahlen kennengelernt. Was allerdings noch fehlt, ist eine begriﬄiche Präzisierung der in 1.3.1 artikulierten Vorstellung, wonach die Punkte des
Zahlenstrahls umkehrbar eindeutig den reellen Zahlen entsprechen, der Zahlenstrahl selber also gewissermaßen lückenlos durch reelle Zahlen besetzt ist. Man
spricht in diesem Zusammenhang von der Vollständigkeit von IR .
Um die verlangte Präzisierung vornehmen zu können, müssen wir auf den
in 1.2 behandelten Mengenbegriﬀ zurückgreifen, in dessen Kontext die folgende
Deﬁnition sich zwanglos einfügt.
1.6.8
Deﬁnition
Sei M eine Menge.
a) M heißt nicht–leer, falls M wenigstens ein Element enthält.
b) Unter einer Teilmenge von M verstehen wir eine Menge N mit der Eigenschaft, daß jedes Element von N auch Element von M ist; wir schreiben
dann
N ⊂M
(lies: N Teilmenge M “ oder N enthalten in M “).
”
”
1.6.9
✷
Beispiele
Oﬀenbar gilt (vgl. 1.2.2, insbesondere e), 1.3.1)
IN ⊂ IN0 , IN0 ⊂ ZZ , ZZ ⊂ Q
I ,Q
I ⊂ IR .
✷
1.6.10 Aufgabe
Treﬀen Sie eine begründete Entscheidung darüber, welche der folgenden Mengen N Teilmengen der folgenden Mengen M sind.
L
a)
N = {n; n ∈ IN , n ist eine gerade Zahl} , M = ZZ .
b)
N = {n; n ∈ ZZ , n ist eine gerade Zahl} , M = IN .
c)
N = {n; n ∈ IN0 , n ist eine gerade Zahl} , M = IN .
d)
N = {n; n ∈ IN0 , n ist eine ungerade Zahl} , M = IN .
50
✷
Die Ordnung von IR
MING I 1.6/7
Wir können nun die Lückenlosigkeit von IR auf dem Zahlenstrahl wie folgt
präzisieren.
1.6.11 Vollständigkeit von IR
Sind A, B beliebige, nicht–leere Teilmengen von IR mit der Eigenschaft, daß
für alle a ∈ A und alle b ∈ B die Ungleichung a ≤ b besteht, so gibt es ein
c ∈ IR mit a ≤ c ≤ b für alle a ∈ A und alle b ∈ B .
B
A
c
✷
Auf den ersten Blick scheint es sich bei dem in 1.6.11 beschriebenen Sachverhalt um eine Selbstverständlichkeit zu handeln. Das ist jedoch nicht der Fall,
da 1.6.11 aus den zuvor behandelten Eigenschaften der reellen Zahlen nicht
hergeleitet werden kann. Darauf wollen wir im folgenden jedoch ebensowenig
eingehen wie auf den Beweis zweier wichtiger Anwendungen. Die erste dieser
Anwendungen garantiert die Existenz von Quadratwurzeln.
1.6.12 Quadratwurzeln
Es sei a eine positive reelle Zahl. Aus 1.6.11 kann man folgern (was hier aber
nicht geschehen soll), daß wenigstens eine positive reelle Zahl x existiert mit
x2 = a , während 1.6.5d) impliziert, daß x durch diese Eigenschaft eindeutig
bestimmt ist. Wir nennen x die (Quadrat–)Wurzel von a und schreiben
√
√
dafür a (lies: Wurzel– a“). Es ist a also die eindeutig bestimmte positive
” 2
√
reelle Zahl mit a = a .
✷
1.6.13 Aufgabe
Seien a, b ∈ IR . Beweisen Sie:
√
√ √
a) Aus a, b > 0 folgt ab = a b .
√
√
L
b) Aus 1 ≤ a < b folgt 1 ≤ a < b < b .
✷
1.6.14 Bemerkung
√
Auch der Ingenieur sollte wissen, daß die positive reelle Zahl 2 (1.6.12)
51
Die Ordnung von IR
MING I 1.6/8
irrational ist, d.h. nicht zu Q
I gehört.
√
I an, so gibt es eine kleinste natürliche Zahl q mit
Nimmt man nämlich 2 ∈ Q
√
√
q 2 ∈ ZZ . (Warum?) Folglich ist q 2−q eine natürliche Zahl < q (1.6.13b))
mit
√
√
√ √
√
√
(q 2 − q) 2 = q 2 2 − q 2 = 2q − q 2 ∈ ZZ ,
✷
Widerspruch!
Die zweite hier ohne Beweis reproduzierte Anwendung der Vollständigkeit
von IR (1.6.11) ist
1.6.15 Das Archimedische Axiom1
Zu jeder reellen Zahl a gibt es eine natürliche Zahl n mit n > a .
✷
Auch diese Aussage ist anschaulich eine Selbstverständlichkeit. Ihr Beweis
kann auf 1.6.11 jedoch nicht verzichten, da es Zahlbereiche gibt, die, abgesehen
von 1.6.11, alle hier behandelten Eigenschaften von IR besitzen, in denen das
Archimedische Axiom jedoch verletzt ist.
1.6.16 Korollar
Zu jeder reellen Zahl ε > 0 gibt es eine natürliche Zahl n mit
1
<ε.
n
Beweis:
1
, und aus 1.6.4g) folgert man sowohl
1.6.15 liefert ein n ∈ IN mit n >
ε
1
1
> 0 , als auch schließlich n < ε , q. e. d.
✷
ε
L
Während jede nicht-leere Menge positiver ganzer Zahlen ein kleinstes Element besitzt (davon haben wir in 1.6.14 Gebrauch gemacht), gilt die entsprechende Aussage für positive reelle Zahlen also nicht mehr. Nach 1.6.16 gibt es
keine kleinste positive reelle Zahl. Kann man dies auch ohne den Umweg über
das Archimedische Axiom (1.6.15) einsehen?
1
Archimedes, 287–212 v. Chr.
52
Ungleichungen
MING I 1.7/1
1.7
Ungleichungen
Um verschiedene (etwa als Meßdaten gewonnene) reelle Zahlen der Größe nach miteinander vergleichen zu können, bedarf es einer sicheren Beherrschung der in 1.6, insbesondere 1.6.1, 1.6.4 – 1.6.7, behandelten Rechenregeln.
Darüberhinaus macht man vorteilhaft von allgemeinen Gesetzmäßigkeiten Gebrauch, die sich durch Ungleichungen beschreiben lassen und in dem vorliegenden Abschnitt behandelt werden sollen. Als Vorbereitung beginnen wir mit
einer simplen, aber nützlichen
1.7.1
Merkregel
Wegen 1.3.6 und der Negativregel (1.3.14b)) kann jeder Quotient reeller Zahlen
in der Form
a
mit a, b ∈ IR und b > 0
b
geschrieben werden.
Ersetzt man hier a durch eine größere Zahl a , so vergrößert sich auch der
a
Bruch
:
b
a
a
<
;
a < a =⇒
b
b
1
denn wegen > 0 (1.6.4g)) gilt
b
a
1
a
1
= a < a (1.6.1 ORD 4) = , q. e. d.
b
b
b
b
Ist andererseits auch a positiv, und ersetzt man b durch eine größere Zahl b ,
a
:
so verkleinert sich der Bruch
b
a
a
a > 0 , b ;
b
b
denn wegen a > 0 und
1
1
(1.6.4d)) gilt
 “) aufzustellen hat.
✷
”
”
Bei Anwendungen von 1.7.1 gilt es vor allem, darauf zu achten, daß die dort
formulierten Positivitätsbedingungen erfüllt sind.
53
Ungleichungen
MING I 1.7/2
Wir wenden uns nun einer Reihe wichtiger Ungleichungen zu und beginnen mit einer besonders einfachen, die gleichwohl fundamental und unter dem
folgenden Schlagwort bekannt ist.
1.7.2
Quadratsummen sind positiv–deﬁnit
Seien n ∈ IN und a1 , . . . , an ∈ IR . Dann gilt
a)
n
i=1
b)
n
i=1
ai2 ≥ 0 .
ai2 = 0 ⇐⇒ a1 = . . . = an = 0 .
Beweis:
Vollständige Induktion nach n .
Induktionsanfang n = 1 . Es gilt 02 = 0 und a12 > 0 für a1 = 0 , da a1 und
a1 dasselbe Vorzeichen haben (1.6.7a)). Dies sichert a), b) für n = 1 .
Induktionsschritt von n auf n + 1 . Seien a1 , . . . , an , an+1 ∈ IR . Dann gilt
n
i=1
2
ai2 ≥ 0 nach Induktionsannahme und an+1
≥ 0 wegen des schon erledigten
Induktionsanfangs, also auch
n+1
i=1
ai2 =
n
i=1
2
ai2 + an+1
≥ 0 (1.6.5c)),
und dies ist a) für n + 1 an Stelle von n . Was b) betriﬀt, so folgt aus
a1 = . . . = an = an+1 = 0 trivialerweise
Fall. Dann folgt
2
=−
an+1
n+1
i=1
n
i=1
ai2 = 0 . Umgekehrt sei dies der
ai2 ,
und hier ist die linke Seite ≥ 0 (Induktionsanfang), die rechte ≤ 0 (Induktionsannahme verbunden mit 1.6.5e) ). Wegen 1.6.1 ORD 1 erhält man
2
an+1
=
n
2
i=1
ai = 0 ,
was nach Induktionsannahme a1 = . . . = an = 0 , zudem aber auch an+1 = 0
impliziert. Insgesamt haben wir daher b) für n + 1 an Stelle von n , q. e. d.
✷
54
Ungleichungen
1.7.3
L
1.7.4
MING I 1.7/3
Aufgabe
Beweisen Sie:
Für a, b ∈ IR gilt:
a3 < b3
⇐⇒
a < b.
Bernoullische Ungleichung1
Für alle reellen Zahlen x ≥ −1 und alle n ∈ IN0 gilt
(1 + x)n ≥ 1 + nx .
Beweis:
Vollständige Induktion nach n .
Induktionsanfang n = 0 .
(1 + x)0 = 1 ≥ 1 = 1 + 0x , q. e. d.
Induktionsschritt von n auf n + 1 . Es gilt
(1 + x)n ≥ 1 + nx
(∗)
nach Induktionsannahme, ferner 1 + x ≥ 0 wegen x ≥ −1 , weshalb (∗) mit
1 + x multipliziert werden darf (1.6.5f)). Es entsteht
(1 + x)n+1 = (1 + x)(1 + x)n
≥ (1 + x)(1 + nx)
((∗))
= 1 + nx + x + n x2
= 1 + (n + 1)x + n x2 .
Hier gilt x2 ≥ 0 (1.7.2a)), n ≥ 0 (1.6.6)) und daher n x2 ≥ 0 (1.6.5d)), also
(1 + x)n+1 ≥ 1 + (n + 1)x ,
1.7.5
✷
Anwendung
Für alle n ∈ IN0 gilt
2n > n .
In der Tat,
2n = (1 + 1)n ≥ 1 + n1 (1.7.4)
1
Jakob Bernoulli, 1654–1705
55
=n+1>n,
✷
Ungleichungen
1.7.6
MING I 1.7/4
Ungleichung zwischen arithmetischem und geometrischem Mittel
Seien a, b positive reelle Zahlen. Dann ist ihr arithmetisches Mittel, d.h.
√
a+b
, mindestens so groß wie ihr geometrisches Mittel, d.h. ab :
2
a+b √
≥ ab .
2
Beweis:
Wegen (a − b)2 ≥ 0 (1.7.2) gilt a2 − 2ab + b2 ≥ 0, also
a2 + b2 ≥ 2ab ,
und es folgt
(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab ≥ 2ab + 2ab = 4ab .
Dies impliziert
a+b 2
) ≥ ab ,
2
und Wurzelziehen unter Beachtung von 1.6.5h) ergibt die Behauptung, q. e. d.
✷
(
1.7.7
Schwarzsche Ungleichung2
Seien n ∈ IN und a1 , . . . , an , b1 , . . . , bn reelle Zahlen. Dann gilt
(
n
k=1
2
ak bk ) ≤ (
n
k=1
ak2 )(
n
k=1
bk2 ) .
Beweis:
Da Quadratsummen positiv deﬁnit sind (1.7.2), genügt es, die Diﬀerenz rechte
minus linke Seite als Summe von Quadraten darzustellen. Wir beginnen mit der
rechten Seite (RS), der wir eine wiederholte Behandlung durch das Allgemeine
Distributivgesetz (1.4.5c)) angedeihen lassen:
RS
=
(
n
k=1
=
n
k=1
2
(
ak2 )(
n
l=1
Hermann Amandus Schwarz, 1843 – 1921.
56
n
l=1
bl2 ) =
ak2 bl2 ) =
n
k=1
ak2 (
1≤k,l≤n
n
l=1
bl2 )
ak2 bl2 ,
Ungleichungen
MING I 1.7/5
wo die letzte Summe schlicht bedeuten möge, daß über alle Indizes
k, l = 1, . . . , n zu summieren ist. Anschließend multiplizieren wir die linke Seite
(LS) gemäß 1.5.13 aus:
LS =
n
k=1
ak2 bk2 + 2
1≤k<l≤n
ak bk al bl .
Bildet man nun die Diﬀerenz RS – LS , so werden die Terme für k = l in der
Summe von RS gegen die Terme in der ersten Summe von LS kompensiert,
und es entsteht
RS – LS =
1≤k,l≤n
k=l
ak2 bl2 − 2
1≤k<l≤n
ak bl al bk .
Hier kann man die vordere Summe in zwei Teilsummen zerlegen, deren erste sich
über die Indexpaare k, l mit k < l und deren zweite sich über die Indexpaare
k, l mit l < k erstreckt:
ak2 bl2 =
1≤k,l≤n
k=l
1≤k<l≤n
ak2 bl2 +
1≤l<k≤n
ak2 bl2 ;
nimmt man hier in der hinteren Summe eine Umbenennung der Summationsbuchstaben vor ( k wird zu l , l wird zu k ), so folgt insgesamt
RS – LS
=
1≤k<l≤n
=
1≤k<l≤n
=
ak2 bl2 +
1≤k<l≤n
al2 bk2 − 2
1≤k<l≤n
ak bl al bk
(ak2 bl2 − 2ak bl al bk + al2 bk2 )
2
(ak bl − al bk )
1≤k<l≤n
≥
1.7.8
0,
Aufgabe
Folgern Sie aus der Schwarzschen Ungleichung
n
k=1
L
✷
q. e. d.
1
6n
≥
k2
(n + 1)(2n + 1)
für alle n ∈ IN . (Hinweis: 1.5.4)
✷
57
Ungleichungen
MING I 1.7/6
Wir setzen nun die Diskussion mit einer speziellen Ungleichung fort, in der
Quadratwurzeln vorkommen.
1.7.9
Proposition
a) Sei a eine positive reelle Zahl. Dann gilt
√
√
1
1
< a+1− a< √ .
2 a
2 a+1
√
b) Sei a eine reelle Zahl > 1 . Dann gilt
√
a+1−
√
√
√
1
a< √ < a− a−1.
2 a
Beweis:
a) Wir arbeiten mit einem einfachen Kunstgriﬀ, der Diﬀerenzen von Wurzeln
positiver Zahlen mit Summen solcher Wurzeln in Verbindung bringt und auf
der aus Ihrer Schulzeit (hoﬀentlich) bekannten Formel (a + b)(a − b) = a2 − b2
basiert.
√
√ √
√
√
√
( a + 1 + a)( a + 1 − a)
√
(∗)
a+1− a =
√
a+1+ a
a+1−a
= √
√
a+1+ a
1
= √
√ .
a+1+ a
Hier läßt sich die rechte Seite trival abschätzen: Aus a < a + 1 folgt
√
√
a < a + 1 (1.6.13b)), also
√
√
√
√
√
√
√
√
2 a= a+ a< a+1+ a< a+1+ a+1=2 a+1,
und unter Beachtung von 1.6.4g) ergibt der Übergang zu den Kehrwerten
1
1
1
<√
√ < √ .
2 a
2 a+1
a+1+ a
√
Wegen (∗) ist das a).
b) Wir haben a) für a und a − 1 zur Verfügung, was wunschgemäß
√
a+1−
√
1
1
√ = √
2 a
2 a−1+1
√
√
√
√
a−1+1− a−1= a− a−1
<
a <
58
Ungleichungen
MING I 1.7/7
✷
impliziert. q. e. d.
In den Anwendungen der Mathematik geht es häuﬁg darum, nicht nur Gleichungen, sondern auch Ungleichungen, in denen eine oder mehrere Unbekannte
auftreten, zu lösen. Wie dies in einfachen Fällen geschieht, wollen wir an Hand
zweier Beispiele erläutern.
1.7.10 Beispiel
Wir wollen die Ungleichung
(∗)
x2 ≥ −6x − 5
lösen, also sämtliche reellen Zahlen x bestimmen, welche dieser Ungleichung
genügen. Dies gelingt mit der Ihnen wohlvertrauten Methode der quadratischen
Ergänzung. Zunächst bedeutet (∗) dasselbe wie
x2 + 6x + 5 ≥ 0 .
Wird hier die quadratische Ergänzung gemäß
x2 + 6x = (x + 3)2 − 9
vorgenommen, so entsteht
(x + 3)2 − 9 + 5 ≥ 0 ,
und wir erhalten insgesamt die zu (∗) äquivalente Ungleichung
(∗∗)
(x + 3)2 ≥ 4 = 22 .
Hier mit 1.6.5h) den Schluß x + 3 ≥ 2 zu ziehen, wäre allerdings nicht legitim,
da wir nicht wissen, ob x + 3 ≥ 0 gilt. Wegen (x + 3)2 = (−x − 3)2 und
x + 3 ≥ 0 oder −x − 3 ≥ 0 konstatieren wir also genauer, daß (∗∗) zur
Alternative (1.1.1)
x + 3 ≥ 2 oder − x − 3 ≥ 2
und daher zu
x ≥ −1 oder x ≤ −5
äquivalent ist. Die Lösungen der Ungleichung (∗) sind also genau die reellen
Zahlen x mit
59
Ungleichungen
MING I 1.7/8
x ≥ −1 oder x ≤ −5 .
Auf dem Zahlenstrahl sieht das so aus:
Lösungen
keine Lösungen
−5
Lösungen
−1
0
1
✷
1.7.11 Beispiel
Wir wollen die Ungleichung
(∗)
1
< 1 + 2x
1−x
lösen, also alle reellen Zahlen x bestimmen, welche (∗) genügen. Hier darf
man nur Zahlen x = 1 zulassen, da die linke Seite von (∗) für x = 1 keinen
Sinn hat. Wir wollen (∗) mit 1 − x multiplizieren, müssen dabei allerdings
auf das Vorzeichen achten, benötigen also eine Fallunterscheidung.
1. Fall: 1 − x > 0 , d.h. x < 1 .
Dann erhalten wir die folgende Kette äquivalenter Aussagen (1.1.3):
(∗) ⇐⇒ 1 < (1 − x)(1 + 2x) (1.6.1 ORD 4, 1.6.4g))
⇐⇒ 1 < 1 + x − 2x2
⇐⇒ x − 2x2 > 0
1
⇐⇒ x2 − x < 0
2
1 2
1
⇐⇒ (x − ) −
<0
(quadratische Ergänzung)
4
16
1 2
1 2
⇐⇒ (x − ) < ( )
4
4
1
1
1
1
oder 0 ≤ − x <
⇐⇒ 0 ≤ x − <
4
4
4
4
1
1
1
⇐⇒
≤x<
oder 0 < x ≤
4
2
4
1
⇐⇒ 0 < x < .
2
60
Ungleichungen
MING I 1.7/9
2. Fall: 1 − x < 0 , d.h. x > 1 .
Dann ist die linke Seite von (∗) negativ, die rechte positiv, (∗) selber also
trivialerweise erfüllt.
Insgesamt sind daher die Lösungen von (∗) genau die reellen Zahlen x mit
0<x<
Lö
0
1
2
oder x > 1 .
sungen
1
2
1
✷
1.7.12 Aufgabe
a) Lösen Sie die Ungleichung
x2 > 8x − 7 .
b) Seien a, b reelle Zahlen mit 0 < a < b . Lösen Sie die Ungleichung
1
≤ 1 + bx
1 − ax
L
1
(x = )
a
✷
in Abhängigkeit von a, b .
61
Ungleichungen
MING I 1.7/10
Diese Seite bleibt aus technischen Gründen frei.
62
Lösungen
MING I L 1.2/1
Lösungen zu den Aufgaben
Lösungen zu 1.2
1.2.5
a)
−1 ∈
/ M , da −1 ∈
/ IN .
b)
8∈
/ M , da M genau aus den Elementen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 besteht.
c)
−1 ∈ M , da −1 ∈ ZZ und (−1)2 = 1 gilt.
d)
8 ∈ M , da M aus allen natürlichen Zahlen größer oder gleich 2 besteht.
63
Lösungen
MING I L 1.3/1
Lösungen zu 1.3
1.3.7
Nach 1.3.5 ist a − b die eindeutig bestimmte Lösung der Gleichung b + x = a .
Andererseits liefern ADD 2 , ADD 1 in 1.3.3 sowie 1.3.6b) und 1.3.4a) der Reihe
nach auf b + (a + (−b)) angewandt:
b + (a + (−b)) = (a + (−b)) + b = a + ((−b) + b) = a + 0 = a .
Aus der Eindeutigkeit der Lösung von b + x = a folgt dann die behauptete
Gleichheit a − b = a + (−b) .
1.3.10 a) Wegen der Kommutativität der Multiplikation in IR (MULT 2 in 1.3.9) reicht
es aus, a·1 = a für alle a ∈ IR zu zeigen.
Nach den Rechengesetzen der ganzen Zahlen gilt 1·1 = 1 .
Da 1 = 0 gilt, existiert für ein beliebiges a ∈ IR nach MULT 3 in 1.3.9 genau
eine Zahl x ∈ IR mit 1·x = a .
Mit Hilfe von MULT 2 und MULT 1 von 1.3.9 folgt schließlich
a·1 = (1·x)·1 = (x·1)·1 = x·(1·1) = x·1 = a .
1.3.10 b) Nach MULT 3 in 1.3.9 gibt es zu jedem a ∈ IR , a = 0 genau eine Zahl x ∈ IR
mit ax = a .
Andererseits ist nach Teil a) der Aufgabe a·1 = a , so daß aus der Eindeutigkeit
x = 1 folgt.
1.3.14 a) Nach 1.3.6b) gilt b + (−b) = 0 .
Mit Hilfe von 1.3.13a) und 1.3.9 (DIST) folgt dann
0 = a·0 = a(b + (−b)) = ab + a(−b) ,
so daß a(−b) das nach 1.3.6b) eindeutig bestimmte Negative von ab sein muß,
also gilt
(∗)
a(−b) = −(ab) .
Zusammen mit der Kommutativität der Multiplikation reeller Zahlen
(1.3.9 MULT 2) erhalten wir daraus
(∗∗)
(−a)b = b(−a) = −(ba) = −(ab) .
64
Lösungen
MING I L 1.3/2
Wendet man schließlich sowohl (∗) als auch (∗∗) an, so ergibt sich
(−a)(−b) = −((−a)b) (wegen (∗)) = −( − (ab)) (wegen (∗∗)) = ab ,
wobei zum Schluß 1.3.6 b) herangezogen wurde.
1.3.14 b) Aus ac = bc folgt
0 = ac − bc = ca − cb
= c(a − b)
(1.3.9 MULT 2)
(1.3.9 DIST) ,
und wegen c = 0 ergibt 1.3.13 b) a − b = 0 , also a = b .
1.3.14 c) Wir notieren zunächst die allgemeine Formel
a (bb ) = ab ,
b
(∗)
welche sich folgendermaßen veriﬁzieren läßt:
a
a (bb ) = ( b) b
b
b
a
= (b ) b
b
= ab
(1.3.9 MULT 1)
(1.3.9 MULT 2)
(1.3.12 a) ) .
Nun behandeln wir die einzelnen Regeln der Bruchrechnung.
(i) Gleichheitsregel
Wir haben zwei Folgerungsrichtungen zu zeigen.
Zunächst gelte:
a
a
= .
b
b
Dann folgt mit (∗)
ab =
a
a a
(bb ) = (b b) = ( b )b = a b
b
b
b
(1.3.12 a) ) .
Umgekehrt gelte ab = a b . Wiederum (∗) liefert dann
a
a
a (bb ) = ab = a b = (b b) = (bb ) ,
b
b
b
und wegen Aufgabenteil b) sowie bb = 0 (1.3.13 b) ) folgt
65
a
a
= .
b
b
Lösungen
MING I L 1.3/3
(ii) Erweiterungs– bzw. Kürzungsregel
ab
a
= ist nach (i) äquivalent zu abb = ab b = abb
b
bb
dies ist eine richtige Aussage.
(1.3.9 MULT 2) und
(iii) Additionsregel
Es gilt
( ab + ab ) bb
a a
(bb ) + (bb )
b
b
= ab + a b
ab + a b (bb )
=
bb
=
(1.3.9 DIST)
((∗))
(1.3.12 a) ) ,
dann folgt die Behauptung aus Aufgabenteil b) .
(iv) Negativenregel
Nach a) gilt (−a)(−b) = ab , und mit der Gleichheitsregel (i) folgt daraus
a
−a
=
.
b
−b
−a
a
Wir überzeugen uns nun noch von der Gleichheit
= − . Es gilt
b
b
ab + (−a)b
a −a
+
=
b
b
bb
(wegen (iii))
=
ab − ab
bb
(wegen a))
= 0,
−a
a
so daß
das nach 1.3.6 b) eindeutig bestimmte Negative von
ist, also
b
b
a
−a
=− .
b
b
(v) Multiplikationsregel
( ab ab )(bb )
Daraus folgt nach 1.3.12 a)
a a ( (b b)) (1.3.9 MULT 1,2)
b b
a (a b)
=
((∗))
b
a
= ( b) a = aa .
b
=
aa
a a
=
.
b b
bb
66
Lösungen
MING I L 1.3/4
(vi) Reziprokenregel
1
Nach 1.3.12 b) ist a die eindeutig bestimmte reelle Zahl mit
b
a 1
· = 1.
b ab
Wir betrachten daher
a b
ab
· =
b a
ba
((v))
=
ab
ab
(1.3.9 MULT 2)
so daß aus der Eindeutigkeit des Reziproken von
1
a
b
= 1,
die gewünschte Gleichheit
1
b
a =a
b
folgt.
1.3.15
Wir wollen den durch die angegebene Konstruktion gewonnenen Punkt mit c
c
b
= , also wie behauptet
bezeichnen. Dann folgt mit dem 1. Strahlensatz
1
a
ab = 1·c = c (1.3.14 b) ) .
1
(a = 0) stellen wir uns wieder eine horizontale
Für die Konstruktion von
a
❏
a❏
❏
❏
❏
❏
1❏
❏
❏
❏
❏
❏
❏
❏
❏
❏
❏
❏
❏
❏
❏
❏
❏
1
1❏
a❏
❏
❏
❏
❏
❏g ❏ g
❏
❏
❏
❏
und eine vertikale Kopie des Zahlenstrahls vor, die sich im Nullpunkt schneiden.
Auf der Vertikalen markiere man die Punkte 1 und a , auf der Horizontalen
den Punkt 1 . Verbindet man nun den Punkt a mit dem auf der Horizontalen
67
Lösungen
MING I L 1.3/5
liegenden Punkt 1 durch eine Gerade g und konstruiert die zu g parallele Gerade g durch den Punkt 1 auf der Vertikalen, so schneidet g die Horizontale
1
in .
a
Zum Nachweis bezeichnen wir den Schnittpunkt von g mit der Horizontalen
c
1
=
= c , wie
wieder mit c . Aus dem 1. Strahlensatz ergibt sich dann
a
1
behauptet.
68
Lösungen
MING I L 1.4/1
Lösungen zu 1.4
1.4.4 a)
3
i3 = 13 + 23 + 33 = 1 + 8 + 27 = 36 .
i=1
1.4.4 b)
5
i(i + 1) = 1(1 + 1) + 2(2 + 1) + 3(3 + 1) + 4(4 + 1) + 5(5 + 1) = 70 .
i=1
1.4.4 c)
Diese Summe läßt sich entweder direkt oder mit Hilfe von Indexverschiebung
(1.4.2 c) ) berechnen:
7
i=2
1.4.10
6+1
(i − 1) =
(i − 1) =
i=1+1
Es gilt
n! =
n
6
i = 21
nach 1.4.3 a) .
i=1
i = 1·2· · · · ·(n − 1)·n = (n − 1)! n .
i=1
Damit erhalten wir dann
1! = 1
2! = 2·1! = 2
3! = 3·2! = 3·2
=
6
4! = 4·3! = 4·6
=
24
5! = 5·4! = 5·24
=
120
6! = 6·5! = 6·120 =
720
7! = 7·6! = 7·720 = 5040 .
69
Lösungen
MING I L 1.5/1
Lösungen zu 1.5
1.5.4
Wir führen den Beweis mit Hilfe von vollständiger Induktion nach n .
Induktionsanfang n = 0 :
0
2
k = 0 (1.4.2 f) )
=
k=1
1
0(0 + 1)(2·0 + 1) .
6
Induktionsschritt von n auf n + 1 .
Sei n ∈ IN0 , und es gelte die Induktionsannahme
n
(∗)
k2 =
n=1
1
n(n + 1)(2n + 1) .
6
Dann folgt
n+1
k2 =
k=1
n
k 2 + (n + 1)2
k=1
=
=
=
=
=
1
n(n + 1)(2n + 1) + (n + 1)2
(∗)
6
1
(n + 1)(n(2n + 1) + 6(n + 1))
6
1
(n + 1)(2n2 + 7n + 6)
6
1
(n + 1)(n + 2)(2n + 3)
6
1
(n + 1)((n + 1) + 1)(2(n + 1) + 1) ,
6
was zu zeigen war.
1.5.7
Wie wir bereits in Aufgabe 1.4.10 zur Berechnung von Fakultäten benutzt
haben, gilt für n ∈ IN0
0! = 1 sowie (n + 1)! = (n + 1) · n! .
1.5.12 a)
n n
ν=0
1.5.12 b)
n
ν
=
(−1)ν
ν=0
n n
1ν 1n−ν
ν=0
n
ν
=
ν
n n
ν=0
ν
= (1 + 1)n = 2n .
(−1)ν 1n−ν = (−1 + 1)n = 0 .
70
Lösungen
MING I L 1.5/2
µ
n n!
µ=0 ν=0 ν!(n − µ)!(µ − ν)!
1.5.12 c)
µ
n n!µ!
µ=0 ν=0 µ!(n − µ)!ν!(µ − ν)!
=
µ n n µ
=
µ n
n
µ
(
µ
ν
µ
ν
µ=0 ν=0
µ=0
ν=0
n n µ
2
(Aufgabenteil a))
µ
µ=0
n n µ n−µ
2 1
= (2 + 1)n = 3n .
µ
µ=0
=
=
1.5.13
=
)
Zunächst gilt für n ∈ IN und a1 , . . . , an ∈ IR die Identität
1≤i<j≤n
ai aj =
n−1
n
i=1 j=i+1
ai aj ,
so daß die zu beweisende Formel äquivalent ist zu
(
(∗)
n
i=1
2
ai ) =
n
a2i + 2
i=1
n−1
n
i=1 j=i+1
ai aj .
Wir führen den Beweis von (∗) mit Hilfe von vollständiger Induktion nach n .
Induktionsanfang n = 1 :
(
1
2
ai ) = a21 =
i=1
1
i=1
a2i + 2
0
1
i=1 j=i+1
ai aj ,
da nach 1.4.2 f) der letzte Summand in der obigen Zeile null ist.
Induktionsschritt von n auf n + 1 :
Sei n ∈ IN , und es gelte die Induktionsannahme (∗) . Dann folgt
(
n+1
i=1
ai )
2
=
(
n
i=1
=
(
n
i=1
=
n
i=1
ai + an+1 )
2
ai ) + 2(
a2i + 2
+2
n−1
i=1
n−1
2
n
i=1
ai )an+1 + a2n+1
n
i=1 j=i+1
ai aj
ai an+1 + 2an an+1 + a2n+1
71
(nach (∗))
Lösungen
MING I L 1.5/3
=
n+1
i=1
=
n+1
i=1
=
n+1
i=1
a2i + 2
a2i
+2
a2i + 2
n−1
i=1
(
n
j=i+1
n−1
n+1
i=1 j=i+1
n n+1
i=1 j=i+1
ai aj + ai an+1 ) + 2an an+1
ai aj + 2an an+1
ai aj ,
was zu zeigen war.
72
Lösungen
MING I L 1.6/1
Lösungen zu 1.6
1.6.5 a)
a ≤ b und b ≤ c ist nach 1.6.3 äquivalent zu a < b oder a = b und b < c
oder b = c , d. h., wir haben die vier Fälle (1) a < b und b < c , (2)
a < b und b = c , (3) a = b und b < c und (4) a = b = c zu untersuchen und zu zeigen, daß in allen vier Fällen entweder a < c oder a = c folgt.
(1) a < b und b < c =⇒ a < c
(1.6.1 ORD 4)
(2) a < b und b = c =⇒ a < b = c ,
also a < c
(3) a = b und b < c =⇒ a = b < c ,
also a < c
(4) a = b = c .
Die Zusatzbehauptung entnimmt man den Fällen (1) , (2) und (3) .
1.6.5 b)
Völlig analog zur Vorgehensweise in a) haben wir die folgenden vier Fälle zu
betrachten:
(1) a < c und b < d =⇒ a + b < c + d
(1.6.4 a) ) ,
(2) a < c und b = d =⇒ a + b < c + b = c + d
(1.6.1 ORD 3) ,
(3) a = c und b < d =⇒ a + b = c + b < c + d
(1.6.1 ORD 3)
(4) a = c und b = d =⇒ a + b = c + d .
In allen vier Fällen folgt also a + b < c + d oder a + b = c + d . Die Zusatzbehauptung ergibt sich wieder aus den Fällen (1) , (2) und (3) .
1.6.5 c)
Diese Aussage ist ein Spezialfall von Aussage b) , wobei a und b aus Aussage
c) den Elementen c und d aus Aussage b) entsprechen.
1.6.5 d)
Für a > 0 und b > 0 gilt ab > 0 nach 1.6.4 c) , und ist mindestens eines der
Elemente a oder b gleich null, so folgt ab = 0 aus 1.3.13 a) .
1.6.5 e)
a ≤ 0 besagt a < 0 oder a = 0 . Aus a < 0 folgt −a > 0 (1.6.4 d) ) ; aus
a = 0 folgt −a = 0 . In jedem Falle haben wir also −a ≥ 0 .
73
Lösungen
MING I L 1.6/2
1.6.5 f)
Für a 0 folgt ac < bc aus 1.6.1 ORD 4 , für a = b und c > 0
ist ac = bc trivialerweise erfüllt, und für c = 0 gilt ac = bc = 0 nach
1.3.13 a) .
1.6.5 g)
Nach e) ist c ≤ 0 äquivalent mit −c ≥ 0 , so daß wir nach f) aus a ≤ b und
−c ≥ 0 die Beziehung a(−c) ≤ b(−c) , also −ac ≤ −bc (1.3.14 a) ) folgern
können.
Addiert man nun auf beiden Seiten ac + bc , so folgt nach b)
bc = ac + bc − ac ≤ ac + bc − bc = ac ,
also wie behauptet bc ≤ ac .
1.6.5 h)
Beweis von ⇒ “ :
”
Aus a ≤ b folgt durch Multiplikation der beiden Seiten mit a ≥ 0 nach f)
a2 ≤ ab .
Andererseits liefert die Multiplikation von a ≤ b mit b ≥ 0 die Beziehung
ab ≤ b2 , so daß wir schließlich aus der Transitivitätseigenschaft a) wie gewünscht a2 ≤ b2 erhalten.
Für den Beweis der Umkehraussage gehen wir von a2 ≤ b2 für a ≥ 0 , b ≥ 0
aus und nehmen an, es gelte b < a . Dann können die Fälle a = 0 , b > 0 bzw.
a = b = 0 nicht auftreten.
Für a > 0 und b > 0 folgt aus a > b nach 1.6.4 h) a2 > b2 , also ein
Widerspruch zur Voraussetzung a2 ≤ b2 .
Für a > 0 und b = 0 erhalten wir aus 0 = b < a nach 1.6.1 ORD 4
b2 = 0 = 0·a < a2 , also ebenfalls einen Widerspruch zur Voraussetzung. Daher
ist die Annahme falsch, und es folgt aus 1.6.1 ORD 1 a ≤ b , was zu zeigen
war.
1.6.6
Induktionsanfang n = 1 :
Nach 1.6.4 f) gilt 1 > 0 .
Induktionsschritt von n auf n + 1 .
Sei n ∈ IN , und es gelte die Induktionsannahme
(∗)
n > 0.
Dann folgt n + 1 > 0 aus 1.6.4 b) wegen 1 > 0 und n > 0 nach (∗) .
74
Lösungen
1.6.7 a)
MING I L 1.6/3
Wir nehmen zunächst an, es gelte a, b > 0 . Dann folgt ab > 0 aus 1.6.4 c) .
Für a, b < 0 folgt die Behauptung aus 1.6.4 e) :
ab > 0·b = 0 .
Als nächstes haben wir zu zeigen, daß aus ab > 0 entweder a, b > 0 oder
a, b < 0 folgt.
1
ab > 0 impliziert wegen ab = 0 nach 1.3.13 a) a = 0 und b = 0 , so daß
a
1
existieren (1.3.12 b) ) .
und
b
1
Für a > 0 gilt auch > 0 (1.6.4 g) ) , so daß wir schließlich mit 1.6.4 c)
a
1
1
b = ( a) b = (ab) > 0
a
a
erhalten.
Für a < 0 gilt −a > 0 , sowie (−a)(−b) = ab (1.3.14 a) ) > 0 , also nach dem
soeben Gezeigten −b > 0 und damit b < 0 (1.6.4 d) ) .
1.6.7 b)
Mit 1.3.12 a) erhalten wir
1
= 1 > 0,
a
so daß die Behauptung aus Aufgabenteil a) folgt.
a
1.6.7 c)
Den Beweis dieser Aussage führen wir indirekt, d. h. für a, b > 0 gehen wir von
a2 = b2 aus und nehmen an, es sei a = b .
Dann muß nach 1.6.1 ORD 1 entweder a < b oder b < a gelten. a < b
impliziert jedoch a2 < b2 , und b < a liefert b2 < a2 (1.6.4 h) ) , also in beiden
Fällen einen Widerspruch zur Voraussetzung a2 = b2 .
Demnach ist die Annahme falsch, und es gilt a = b , wie zu zeigen war.
1.6.10 a) N ⊂ M , da N ⊂ IN ⊂ ZZ = M .
1.6.10 b) N ist keine Teilmenge von M = IN , denn 0 ∈ N , aber 0 ∈
/ M (vgl. 1.2.2) .
1.6.10 c) N ist keine Teilmenge von M , denn 0 ∈ N , aber 0 ∈
/M.
75
Lösungen
MING I L 1.6/4
1.6.10 d) N ⊂ M , da N = {1, 3, 5, 7, . . .} ⊂ IN = M .
√
1.6.13 a) Nach 1.6.12 ist ab die eindeutig bestimmte positive reelle Zahl mit
√
( ab)2 = ab .
Wir betrachten nun
√ √
√ √ √ √
√ √ √ √
( a b)2 = ( a b)( a b) = ( a b)( b a)
√ √ √ √
√ √
√ √
=
a( b b) a = a b a = a a b = ab ,
wobei die Kommutativität und Assoziativität der Multiplikation reeller Zahlen
√
√
sowie die Existenz der Quadratwurzeln a von a und b von b ausgenutzt
wurden.
√
√
Da a und b nach 1.6.12 positive reelle Zahlen sind, gilt dies auch für
√ √
a b , so daß sich die behauptete Gleichheit
√
√ √
a b = ab
aus der Eindeutigkeit der Quadratwurzel von ab ergibt.
1.6.13 b) Wir zeigen, daß 1 ≤ a < b die drei Ungleichungen
1≤
√
a,
√
a<
√
b und
√
b<b
impliziert, so daß sich dann die Behauptung aus der Transitivität der Ord√
nungsrelation (1.6.1 ORD 2) ergibt. Nach 1.6.12 ist a die eindeutig bestimm√ 2
te positive reelle Zahl mit a = a .
√ 2
√
√ 2
Demnach ist 1 ≤ a äquivalent zu 1 ≤ a , was wegen 1 > 0 und
√
√
√
a > 0 nach 1.6.5 h) zu 1 = 1 ≤ a führt.
√ 2 √ 2
Ebenso schließt man aus der Äquivalenz von a 0 , b > 0 auf a 0 , so erhält
√ 2
√
man schließlich wie gewünscht die letzte Ungleichung b < b = b aus
1.6.1 ORD 4 .
1.6.16
Man kann auch ohne Hilfe des Archimedischen Axioms einsehen, daß es keine
kleinste positive reelle Zahl gibt.
Dazu nehmen wir an, ε0 sei eine kleinste positive reelle Zahl. Wegen ε0 > 0
76
Lösungen
MING I L 1.6/5
und 0 < 12 < 1 erhalten wir dann 0 < 12 ε0 < ε0 , so daß 12 ε0 eine positive
reelle Zahl ist, welche kleiner als ε0 ist, also ein Widerspruch zur Minimalität
von ε0 .
77
Lösungen
MING I L 1.7/1
Lösungen zu 1.7
1.7.1
Für
”
≤ “ bzw.
”
≥ “ lauten die beiden Merkregeln:
(i) a ≤ a =⇒
a
a
≤
b
b
und (ii) a ≥ 0 , b ≤ b =⇒
1.7.3
a
a
≥ .
b
b
Es gilt die allgemeine Formel
2(b3 − a3 ) = 2(b − a)(b2 + ab + a2 )
(∗)
= (b − a)(b2 + (a + b)2 + a2 ) .
Wir nehmen zunächst a3 < b3 an. Dann ist entweder a = 0 oder b = 0 .
Außerdem gilt b3 − a3 > 0 , also nach (∗)
(b − a)(b2 + (a + b)2 + a2 ) > 0 .
Da der zweite Faktor b2 +(a+b)2 +a2 als Summe von Quadraten reeller Zahlen
positiv ist (1.7.2 b) ) , muß nach 1.6.7 a) auch b − a > 0 gelten, also a 0 aus 1.7.2 b) folgt. Außerdem gilt b − a > 0 .
Insgesamt ergibt sich dann mit (∗) und 1.6.7 a) b3 − a3 > 0 , also a3 < b3 ,
wie gewünscht.
1.7.8
Wegen
n
1 = n folgt mit Hilfe der Schwarzschen Ungleichung
k=1
n2 = (
n
2
1) = (
k=1
Nach 1.5.4 gilt
n
k2 =
k=1
so daß sich
ergibt, und wegen
behauptet
n2 ≤ (
1
6
n
n
n
1 2
1
)(
k2) .
·k ) ≤ (
2
k
k
k=1
k=1
k=1
1
n(n + 1)(2n + 1) ,
6
n
1 1
) n(n + 1)(2n + 1)
2 6
k=1 k
n(n + 1)(2n + 1) > 0 für n ∈ IN folgt schließlich wie
n
6n
1
≤
.
(n + 1)(2n + 1) k=1 k 2
78
Lösungen
MING I L 1.7/2
1.7.12 a) Die Ungleichung x2 > 8x − 7 ist äquivalent zu x2 − 8x > −7 . Mit Hilfe von
quadratischer Ergänzung erhält man
(x − 4)2 > −7 + 16 = 9 = 32 .
(∗)
Wegen (x − 4)2 = (−x + 4)2 und x − 4 ≥ 0 oder −x + 4 ≥ 0 ergeben sich
aus der Ungleichung (∗) die Alternativen
x − 4 > 3 oder
− x +4 > 3.
Die Lösungen der ursprünglichen Ungleichung sind demnach genau die reellen
Zahlen x mit
x > 7 oder x < 1 .
1.7.12 b) Wir wollen die Ungleichung
1
1
≤ 1 + bx für x =
1 − ax
a
(∗)
in Anlehnung an Beispiel 1.7.11 in Abhängigkeit der reellen Parameter a, b mit
0 < a 0 , d. h. x <
Dann ist (∗) äquivalent zu
1
a
.
1 ≤ (1 + bx)(1 − ax) = 1 + (b − a)x − ab x2 ,
also
0 ≤ (b − a)x − ab x2 .
Wegen a > 0 und b > 0 erhalten wir nach Division der letzten Ungleichung
durch −ab < 0
0 ≥ x2 −
(∗∗)
(i)
b−a
x.
ab
Für x = 0 ist die Ungleichung (∗∗) erfüllt.
(ii) Für x > 0 liefert die Division von (∗∗) durch x
0≥x−
b−a
,
ab
79
Lösungen
MING I L 1.7/3
1 1
b−a
= − .
ab
a b
1
1
1 1
Wegen 0 < a 0 , so daß in diesem Fall alle
b
a
a b
1 1
x ∈ IR mit 0 < x ≤ − die Ungleichung (∗∗) erfüllen.
a b
also x ≤
(iii) Für x < 0 liefert die Division von (∗∗) durch x
0≤x−
b−a
,
ab
1 1
b−a
= − > 0,
also x ≥
ab
a b
im Widerspruch zu x < 0 , so daß die Bedingungen (iii) nicht erfüllbar
sind.
Insgesamt liefert der 1. Fall als Lösungsmenge für die Ungleichung alle x ∈ IR ,
die gleichzeitig die Bedingungen x < a1 und 0 ≤ x ≤ a1 − 1b erfüllen, also
0 ≤ x ≤ a1 − 1b .
2. Fall: 1 − ax < 0 , d. h. x >
Dann folgt aus (∗)
1
a
> 0.
1
< 0 < 1 + bx,
1 − ax
also gilt die Ungleichung für alle x > a1 .
Die Lösungen der Ungleichung (∗) sind demnach genau die reellen Zahlen x
mit 0 ≤ x ≤ a1 − 1b oder x > a1 .
Lösungen
0
1
a
Lösungen
−
1
b
1
b
1
a
1 a
80
b
Index
Index
MING I I/1
Index
Die Zahlen verweisen auf die Seiten der Kurseinheit 1.
geometrische Deutung
der Addition, 23
der Multiplikation, 28
der Ordnung, 45
reeller Zahlen, 20
geometrische Reihe
endliche, 38
geometrisches Mittel, 56
gleichbedeutend, 13
Gleichheitsregel, 18, 27
größer, 46
größer-gleich, 46
Addition
reeller Zahlen, 21
Additionsregel, 18, 27
äquivalent, 13
Allaussage, 13
Alternative, 12
Archimedisches Axiom, 52
arithmetisches Mittel, 56
Assoziativgesetz
allgemeines d. Addition, 29
allgemeines d. Multiplikation, 33
der Addition, 21
der Multiplikation, 24
Implikation, 12
Indexverschiebung, 30, 34
indirekter Beweis, 13
Induktion
vollständige, 36
Inverses, 25
Basis, 35
Bernoullische Ungleichung, 55
Binomialkoeﬃzienten, 40
binomischer Lehrsatz, 43
Deﬁnition
rekursive, 39
Diﬀerenz, 22
Distributivgesetz, 24
allgemeines, 32
Division, 26
kleiner, 45
kleiner-gleich, 46
Kommutativgesetz, 24
allgemeines d. Addition, 29
allgemeines d. Multiplikation, 33
der Addition, 21
Konklusion, 12
Kürzungsregel, 18, 27
Eins, 20
Element, 15
Erweiterungsregel, 18, 27
Existenzaussage, 13
Exponent, 35
Menge, 15
Multiplikation, 24
Multiplikationsregel, 19, 27
Fakultät, 34
Negation, 13
81
Index
MING I I/2
Teilmenge, 50
Transitivität, 45
negativ, 46
Negativenregel, 18, 27
Negatives, 23
nicht-leer (Menge), 50
nicht-negativ, 46
Null, 20
Nullpunkt, 20
Nullteiler, 26
Ungleichungen, 47, 53
vollständige Induktion, 36
Vollständigkeit von IR , 51
Vorzeichenregeln, 26
Wurzel, 51
Ordnung von IR , 45
Zahlen
ganze, 16
natürliche, 16
rationale, 16
reelle, 20
Zahlengerade, 20
Zahlenstrahl, 20
Pascalsches Dreieck, 41
positiv, 46
positiv–deﬁnit, 54
Potenz, 35
Potenzgesetze, 35
Prämisse, 12
Produkt, 24
leeres, 34
rückläuﬁges, 34
Produktionsgrenzen, 34
Produktzeichen, 33
Quadratsumme, 54
Quadratwurzel, 51
Quotient, 25
Rekursion, 39
Rekursionsformel, 39
Reziprokenregel, 19, 27
Reziprokes, 25
Schwarzsche Ungleichung, 56
Summationsgrenzen, 30
Summationsindex, 30
Summe, 21
rückläuﬁge, 31
leere, 31
Summenzeichen, 29
82
Index
Gesamtindex
MING I GI/1
Mathematik für Ingenieure I
Gesamtindex
Die fett gedruckten Zahlen vor dem Doppelpunkt verweisen auf die Kurseinheit,
die Zahlen nach dem Doppelpunkt auf die Seite.
A
(Matrizenprodukt), 5:45
Assoziativgesetz, 2:30, 4:14
allgemeines, 4:17
allgemeines d. Addition, 1:29
allgemeines d. Multiplikation, 1:33
der Addition, 1:21
der Multiplikation, 1:24
aufspannen, 4:57
Abbildung, 3:18
abgeschlossene Hülle, 8:4
absolut konvergent, 6:61
Abstand, 2:49, 4:51, 4:62, 4:79
kleinster, 4:62
abzählbar, 3:34
abzählbar unendlich, 3:34
Addition, 2:29, 4:10, 4:49
komponentenweise, 5:39
reeller Zahlen, 1:21
Additionsregel, 1:18, 1:27
Additionstheoreme, 8:36
Adjunkte, 5:85
Allaussage, 1:13
Alternative, 1:12
Anti–Homomorphismus
(Transposition), 5:48
äquivalent, 1:13
Archimedisches Axiom, 1:52
Arcus Cosinus, 8:50
Arcus Cotangens, 8:60
Arcus Sinus, 8:50
Arcus Tangens, 8:60
Area Cosinus hyperbolicus, 8:72
Area Sinus hyperbolicus, 8:72
Argument, 2:43
arithmetisches Mittel, 1:56
assoziativ
B
Basis, 1:35, 4:20
Bernoullische Ungleichung, 1:55
beschränkt, 6:14, 6:44, 7:41
nach oben, 6:44, 7:41
nach unten, 6:44, 7:41
bestimmt divergent, 6:49
Betrag, 2:4, 2:37
bijektiv, 3:24
Bild, 3:18
Bildbereich, 3:18
Binomialkoeﬃzienten, 1:40
binomische Reihe, 7:56
binomischer Lehrsatz, 1:43
Bogenmaß, 2:45, 8:49
Boolesche Algebra, 3:37
C
CI , 2:34
cartesisches Produkt, 3:8, 3:9
Cauchy–Folge, 6:42
83
Gesamtindex
MING I GI/2
Cauchy–Kriterium, 6:38
(Grenzwert von Funktionen), 8:6
für gleichmäßige Konvergenz, 7:48,
7:50
für Reihen, 6:59
Cosinus, 8:34
Cosinus hyperbolicus, 8:63
Cotangens, 8:73
Cotangens hyperbolicus, 8:73
D
Deﬁnitheit, 2:4, 2:37
Deﬁnition
rekursive, 1:39
Deﬁnitionsbereich, 3:18
Determinante, 5:74
Dezimalbruch, 2:15
Dezimalzahl, 2:10
de Morgansche Regeln, 3:15
Diﬀerenz, 1:22, 2:32, 3:10
symmetrische, 3:13
Dimension, 4:25
disjunkt, 3:10
Disjunktion, 3:41
Distanz, 4:62
distributiv
(Matrizenprodukt), 5:45
Distributivgesetz, 1:24, 2:30, 4:14
allgemeines, 1:32
DIV, 2:11
divergent, 6:26, 6:52
Divergenzkriterium, 6:58
Division, 1:26
Dreiecksmatrix
obere, 5:82
Dreiecksungleichung, 2:4, 2:37, 4:51
erweiterte, 2:6
84
zweite, 2:5, 2:40
Dualitätsprinzip, 3:38
Dualzahl, 2:10
Duodezimalsystem, 2:23
Durchschnitt, 3:10, 3:17, 4:75
E
ez , 8:22
e–Reihe, 6:54, 8:22
Ebene, 4:73
Ebenengleichung
in Parameterform, 4:73
Einheitshyperbel, 8:66
Einheitskreis, 8:64
Einheitsmatrix, 5:39
Einheitsvektor, 4:19
Einheitswurzel, 2:51
Eins, 1:20, 2:32
Einschließungssatz, 6:33
Element, 1:15
ε – δ –Kriterium
(Grenzwert), 8:5
(Stetigkeit), 8:8
(uneigentlicher Grenzwert), 8:10
ε − n0 –Kriterium, 6:26
ε− Umgebung (oﬀene), 3:7
Erweiterungsregel, 1:18, 1:27, 2:33
Erzeugendensystem, 4:27
euklidisch, 4:52
Eulersche Formeln, 8:34
Eulersche Zahl, 6:36
Existenzaussage, 1:13
Exponent, 1:35, 8:30
Exponentialfunktion, 8:18
Eigenschaften, 8:21
Funktionalgleichung, 8:18
Rechenregeln, 8:22
Gesamtindex
MING I GI/3
(geordnete Paare), 3:8
(geordnete n–Tupel), 3:9
Gleichheitsregel, 1:18, 1:27, 2:33
gleichmäßig konvergent, 7:46, 7:50
gleichmäßig stetig, 8:15
Gleichungssystem
homogenes, 5:10
inhomogenes, 5:10
lineares, 5:7
mit Parametern, 5:34
Glied, 6:7, 6:52
größer, 1:46
größer-gleich, 1:46
Grad, 2:45
(Polynom), 3:20
(Polynomglied), 3:21
(Winkelmaß), 8:49
Gradmaß, 8:49
Grenzfunktion, 7:44, 7:49
Grenzwert, 7:5, 6:26, 6:49
linksseitiger, 7:7
rechtsseitiger, 7:7
uneigentlicher, 7:6, 6:49
Grundzahl, 2:10
reelle , 8:23
zur Basis a , 8:30
F
Fakultät, 1:34
fast alle, 6:17
Folge, 6:7
Funktion, 3:18
identische, 3:19
monoton fallende, 3:33
monoton wachsende, 3:33
periodische, 8:45
rationale, 3:21
streng monoton fallende, 3:33
streng monoton wachsende, 3:33
zusammengesetzte, 3:27
Funktionalgleichung
von tan und cotan, 8:54
G
ganzzahliger Anteil, 2:15
gebrochener Anteil, 2:15
geometrische Deutung
der Addition, 1:23
der Multiplikation, 1:28
der Ordnung, 1:45
reeller Zahlen, 1:20
geometrische Reihe, 6:53, 7:56
endliche, 1:38
geometrisches Mittel, 1:56
geordnetes Paar, 2:28
Gerade, 4:57, 4:72
Geradengleichung
in Parameterform, 4:58, 4:72
gleichbedeutend, 1:13
Gleichheit
(Funktionen), 3:18
(Mengen), 3:4
H
Häufungspunkt, 7:5, 8:4
Halbraum, 4:79
harmonische Reihe, 6:53
Hauptdiagonale, 5:47
Heron–Verfahren, 6:32
Hessesche Normalform
einer Ebene, 4:78, 4:79
einer Geraden, 4:62
Hexadezimalzahl, 2:10
homogen
(Gleichungssystem), 5:10
85
Gesamtindex
MING I GI/4
K
(Matrizenprodukt), 5:45
(Polynom), 3:21
Homogenisierung, 5:10
Horner–Schema, 3:22
hyperbolische Funktionen, 8:63
Kürzungsregel, 1:27
Kettenregel, 7:17
kleiner, 1:45
kleiner-gleich, 1:46
Koeﬃzienten
(Gleichungssystem), 5:7
(Polynom), 3:20
(Potenzreihe), 7:53
Koeﬃzientenmatrix, 5:42
kollinear, 5:70
Kommutativgesetz, 1:24, 2:30, 4:14
allgemeines, 4:17
allgemeines d. Addition, 1:29
allgemeines d. Multiplikation, 1:33
der Addition, 1:21
Komponente, 3:8
ν –te, 3:9
konjugiert–komplex, 2:40
Konjunktion, 3:41
Konklusion, 1:12
konstante Folge, 6:29
konvergent, 6:26, 6:52
konvergent gegen, 6:26
Konvergenzintervall, 7:54
Konvergenzkreis, 7:54
Konvergenzradius, 7:54
Koordinate, 4:49
Koordinatenachse, 4:49
Korkenzieherregel, 4:70
Kosinussatz, 4:51
Kreisfunktionen, 8:65
Kronecker–Symbol, 5:39
Kürzungsregel, 1:18, 2:33
I
Identität, 3:19
Identitätssatz
für Potenzreihen, 7:65
(i,j)–Komponente, 5:37
imaginäre Achse, 2:35
imaginäre Einheit, 2:34
Imaginärteil, 2:34
Implikation, 1:12
Indexfolge, 6:11
Indexverschiebung, 1:30, 1:34
indirekter Beweis, 1:13
Induktion
vollständige, 1:36
inf M , 8:5
Inﬁmum, 6:46
inhomogen
(Gleichungssystem), 5:10
injektiv, 3:24
Intervall, 3:6
abgeschlossenes, 3:7
links halboﬀenes, 3:7
oﬀenes, 3:7
rechts halboﬀenes, 3:7
inverse Matrix, 5:55
Inverses, 1:25
invertierbar, 5:55
involutorisch
(Transposition), 5:48
L
J
Länge, 4:7, 4:39, 4:44
Jägerzaunregel, 5:79
86
Gesamtindex
MING I GI/5
Leibnizsches Kriterium, 6:59
Limes, 6:26
linear
(Transposition), 5:48
linear abhängig, 4:28
linear unabhängig, 4:28
Linearkombination, 4:27
linksseitig stetig, 7:20
auf einer Teilmenge, 7:20
in einem Punkt, 7:20
Lipschitz–Bedingung, 8:16
Logarithmus
natürlicher, 8:27, 8:28
zur Basis a, 8:31
Lösung
partikuläre, 5:14
spezielle, 5:14
triviale, 5:14
Lösungsmenge, 5:10
Lösungsraum, 5:11
Lösungsvektor, 5:10
Lot, 4:61
Lotgerade, 4:78
Ludolphsche Zahl, 8:38
absolutes, 7:41
Menge, 1:15
abzählbar unendliche, 3:34
abzählbare, 3:34
der Konvergenzpunkte, 7:44, 7:49
endliche, 3:34
leere, 3:5
unendliche, 3:34
Mengenalgebra, 3:38
Minimum
absolutes, 7:41
Minorante, 6:62
MOD, 2:11
Moivresche Formel, 2:46
monoton, 6:11
fallend, 6:11
wachsend, 6:11
Monotonie–Kriterium, 6:35
Multiplikation, 1:24, 2:29
komponentenweise, 5:39
Multiplikationsregel, 1:19, 1:27
Multiplikationssatz für Determinanten, 5:83
Multiplikativität, 2:4, 2:37
M
N
Majorante, 6:62
Majorantenkriterium, 6:62
für gleichmäßige Konvergenz, 7:50
Matrix, 5:37
inverse, 5:55
transponierte, 5:46
vom Typ (m, n) , 5:37
Matrixform (Gleichungssystem), 5:42
Matrizenmultiplikation, 5:40
Matrizenprodukt, 5:41
Maximum
Negation, 1:13, 3:41
negativ, 1:46
Negativenregel, 1:18, 1:27
Negatives, 1:23, 2:32
nicht–leer (Menge), 1:50
nicht–negativ, 1:46
Norm, 4:44
Normalform
disjunktive, 3:54
konjunktive, 3:56
n− te Wurzel, 7:39
87
Gesamtindex
MING I GI/6
Parametergleichung, 4:58, 4:72
Parametrisierung
der Einheitshyperbel, 8:66
des Einheitskreises, 8:63
Partialsumme, 6:52
Pascalsches Dreieck, 1:41
Periode, 2:16, 2:21, 8:45
Pfeil, 4:11
π , 8:38, 8:40
Polarkoordinaten, 2:43, 8:65
Polynom, 3:20, 3:21
positiv, 1:46
positiv–deﬁnit, 1:54
Potenz, 1:35, 8:22
Rechenregeln, 8:22
zur Basis a , 8:30
Potenzgesetze, 1:35
Potenzmenge, 3:6
Potenzreihe, 7:53
Prämisse, 1:12
Produkt, 1:24, 4:10
äußeres, 4:65
leeres, 1:34
rückläuﬁges, 1:34
Produktionsgrenzen, 1:34
Produktzeichen, 1:33
Punkt, 4:49
in einer Ebene, 2:28
Punktraum
n –dimensionaler, 4:49
punktweise konvergent, 7:44, 7:49
n –Tupel
geordnetes, 3:9
geordnetes vertikales, 4:15
Null, 1:20, 2:32
Null–Lösung, 5:14
Nullelement, 4:14
Nullfolge, 6:17
Nullmatrix, 5:38
Nullpunkt, 1:20, 4:49
Nullraum, 4:18
Nullteiler, 1:26
Nullteilerfreiheit, 2:33
Nullvektor, 4:14
Nullvektorraum, 4:18
O
obere Grenze, 6:45
obere Schranke, 6:44
Oktalzahl, 2:10
Operator, 3:18
Ordnung von IR , 1:45
orthogonal, 4:47
Ortsvektor, 4:53
Oszillationsstelle, 7:15
P
p–adische Darstellung, 2:10
p–adische Entwicklung, 2:26
p–adische Zahl, 2:10
p–adischer Bruch, 2:20, 2:24
Paar
geordnetes, 3:8
senkrechtes, 4:8
parallel, 4:75
parallele Geraden, 4:60
Parallelogramm, 4:11
Parallelotop, 4:71
Parameter, 5:34
Q
quadratische Gleichung, 2:55
Quadratsumme, 1:54
Quadratwurzel, 1:51
Quotient, 1:25, 2:32
88
Gesamtindex
MING I GI/7
Schaltalgebra, 3:39
Schaltelemente, 3:48
Schaltfunktion, 3:52
Schaltwerk, 3:51
Schnittmenge, 4:75
Schnittpunkt von zwei Geraden, 4:59
Schwarzsche Ungleichung, 1:56
senkrecht, 4:47
Sinus, 8:34
Sinus hyperbolicus, 8:63
skalares Vielfaches, 5:39
Skalarprodukt, 4:42
spalten–alternierend, 5:73
spalten–multilinear, 5:73
Spaltenindex, 5:37
Spaltenvektor, 5:38
Spatprodukt, 4:69
Sprung, 7:10
Sprunghöhe, 7:10
stetig, 7:20
abänderbar, 7:26
auf einer Teilmenge, 7:20
fortsetzbar, 7:26
in einem Punkt, 7:20
stetige Abänderung, 7:26
stetige Fortsetzung, 7:26
Stetigkeit
der Umkehrfunktion, 8:27
gleichmäßige, 8:15
Strecke
gerichtete, 4:11
streng monoton, 6:11
fallend, 6:11
wachsend, 6:11
Summationsgrenzen, 1:30
Summationsindex, 1:30
Summe, 1:21, 4:10, 5:39
Quotientenkriterium, 6:65
R
Rang
(Gleichungssystem), 5:25
(Matrix), 5:50
Raum
n –dimensionaler, aﬃner, euklidischer, 4:49
Realteil, 2:34
Rechenregeln
für bestimmt divergente Folgen,
6:50
für konvergente Folgen, 6:27
für konvergente Reihen, 6:55
für Nullfolgen, 6:22
rechte Seite, 5:7
rechtsseitig stetig, 7:20
auf einer Teilmenge, 7:20
in einem Punkt, 7:20
reelle Achse, 2:34
Regel von Sarrus, 5:78
regulär, 5:55
Reihe, 6:52
Rekursion, 1:39
Rekursionsformel, 1:39
Reziprokenregel, 1:19, 1:27
Reziprokes, 1:25, 2:32
S
Sandwich–Theorem, 6:33
Satz
des Pythagoras, 4:41, 4:52
des Thales, 4:40
von Bolzano – Weierstraß, 6:42
von der oberen Grenze, 6:45
Satz über den Koeﬃzientenvergleich
bei Potenzreihen, 7:65
89
Gesamtindex
MING I GI/8
Urbild, 3:18
Ursprung, 4:49
leere, 1:31
rückläuﬁge, 1:31
Summe der Reihe, 7:49
Summenzeichen, 1:29
sup M , 8:5
Supremum, 6:45
surjektiv, 3:24
V
Vektor, 4:11
der rechten Seite, 5:42
der Unbekannten, 5:42
Vektorprodukt, 4:65
Vektorraum
komplexer, 4:17
reeller, 4:14
Vereinigung, 3:10, 3:17
vollständige Induktion, 1:36
Vollständigkeit von IR , 1:51
Vorperiode, 2:16
Vorzeichenfunktion, 7:10
Vorzeichenregel, 1:26, 2:33
T
Tangens, 8:53
Tangens hyperbolicus, 8:73
Teilfolge, 6:11
Teilmenge, 1:50
echte, 3:5
Teilsumme, 6:52
Teleskop–Summe, 6:54
Transformation, 3:18
Transitivität, 1:45
Translation, 4:6
Transponierte, 5:46
Treppenfunktion, 3:19
Trigonometrie, 8:65
trigonometrische Funktionen, 8:65
W
Wert
(Reihe), 6:52
Wertebereich, 3:18
Winkel, 4:7, 4:39, 4:47, 4:51
Winkelfunktionen, 8:65
Winkelmaß, 8:48
Wurzel, 1:51, 2:51
Wurzelkriterium, 6:64
U
Umformung
elementare (Gleichungssystem),
5:16
elementare (Matrix), 5:50
Umkehrfunktion, 3:25
unbeschränkt, 6:14
unendlich, 6:48
Ungleichungen, 1:47, 1:53
unitär
(Matrizenprodukt), 5:45
untere Grenze, 6:46
untere Schranke, 6:44
Unterraum, 4:31
Z
Zahl
ganze, 1:16
irrationale, 2:26
komplexe, 2:34, 4:17
natürliche, 1:16
rationale, 1:16
reelle, 1:20
Zahlengerade, 1:20
Zahlenstrahl, 1:20
90
Gesamtindex
MING I GI/9
Zeilenindex, 5:37
Zeilenumformungen
elementare, 5:57
Zeilenvektor, 5:38
Ziﬀern, 2:10
91
Gesamtindex
MING I GI/10
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