Blatt 3

Übungsblatt 3
Analysis 1
Wintersemester 2014/15
Prof. Dr. Alan Rendall
12.11.2014
abzugeben bis 20.11.2014
Aufgaben zur schriftlichen Abgabe
Lösen Sie die folgenden Aufgaben schriftlich und geben Sie Ihre Lösungen bis Donnerstag 10:00 im Briefkasten
Ihrer Übungsgruppe in der vierten Etage des Institutsgebäudes ab! Sie dürfen die Aufgaben allein oder in Gruppen
bearbeiten (nutzen Sie dafür auch das Lernzentrum!), jedoch sollten höchstens je zwei Studierende gemeinsam ein
Lösungsblatt abgeben. Auf diesem sollten dann beide Namen und Matrikelnummern vermerkt sein.
Aufgabe 10
Zeigen Sie, dass für alle reellen Zahlen r und s mit 0 < r ≤ s
(
)2
(
)2
2rs
r+s
r2 ≤
≤ rs ≤
≤ s2
r+s
2
gilt!
Aufgabe 11
Zeigen Sie, dass für alle Elemente r und s mit r > s > 0K eines angeordneten Körpers K
1K + r−1
1K + s−1
<
r
s
gilt (0K ist dabei das Nullelement von K, 1K das Einselement)!
Hinweis. Zeigen Sie die Behauptung für den Fall K = R und begründen Sie jeden Ihrer Schritte ausschließlich mit
den Körper- und Anordnungsaxiomen von R bzw. den bereits bekannten Folgerungen daraus! Die Notation für
die multiplikativen Inversen und die Division ist hierbei analog zu den reellen Zahlen zu lesen.
Aufgabe 12
Für beliebige reelle Zahlen a, b, c und d zeigen Sie die Ungleichungen
(ab + cd)2 ≤ (a2 + c2 )(b2 + d2 )
und finden und beweisen Sie die Bedingungen, unter denen Gleichheit gilt!
Aufgabe 13
Für die reellen Zahlen r und s gelte 0 ≤ r < s. Zeigen Sie, dass für alle natürlichen Zahlen n ≥ 2 die Ungleichungen
n rn−1 ≤
sn − rn
≤ n sn−1
s−r
gelten!
Hinweis. Zeigen Sie zunächst die Identität
sn − rn = (s − r)
n−1
∑
sn−k−1 rk
k=0
für positive ganze Zahlen n sowie beliebige reelle Zahlen r und s!
Aufgabe 14
Betrachten Sie einen beliebigen angeordneten Körper K mit Addition +, Multiplikation ·, Nullelement n, Einselement e und Ordnungsrelation <. Durch die Operationen
a ⊕ b := a + b + e,
a ⊙ b := a + b + a · b
(für a, b ∈ K)
werden eine neue Addition bzw. Multiplikation definiert, unter denen K wieder ein Körper ist (vgl. Zusatzaufgabe
Z1).
Ist es möglich, auf K eine Ordnung ◁ zu definieren, mit der (K, ⊕, ⊙, ◁) erneut ein geordneter Körper wird?
Begründen Sie Ihre Aussage (durch Angabe der Ordnung und Beweis, dass es sich um eine solche handelt oder
durch Aufzeigen eines Widerspruchs, der sich beim Versuch, den neuen Körper anzuordnen, ergibt)!
Hinweis. Die neutralen Elemente des neuen Körpers sind n∗ = −e als Nullelement und e∗ = n als Einselement.
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Testaufgaben
Diese Aufgaben sollten Sie innerhalb weniger Minuten und mit wenigen Zeilen lösen können. Falls dies nicht
der Fall ist, wird empfohlen, sie zur Übung zu nutzen. In unregelmäßigen Abständen werden diese oder ähnliche
Aufgaben während der Übung schriftlich abgefragt.
T6 Zeigen Sie,
∏ndass für beliebige natürliche Zahlen n ≥ 1 und beliebige nicht negative reelle Zahlen x1 , . . . , xn
das Produkt k=1 xk nicht negativ ist!
T7 a) Zeigen Sie (unter ausschließlicher Verwendung der Körperaxiome), dass für beliebige Elemente x, y eines
Körpers K mit Addition ⊕ und Multiplikation ⊙ folgende Rechenregeln gelten!
Dabei seien für x ∈ K das additive Inverse als ⊖x bezeichnet und x ⊖ y := x ⊕ (⊖y) sowie x2 := x ⊙ x definiert.
(i) (x ⊕ y)2 = x2 ⊕ 2x ⊙ y ⊕ y 2
(ii) (x ⊕ y) ⊙ (x ⊖ y) = x2 ⊖ y 2
(iii) Aus x ̸= 0K und y ̸= 0K folgt x · y ̸= 0K .
Bemerkung. Beachten Sie, dass das Symbol 2 hierbei nicht für ein Element des Körpers, sondern für die natürliche
Zahl Zwei steht, die nicht zu K gehören muss (denken Sie nur an den Körper F2 )! Die Schreibweise 2x für x ∈ K
bedeutet nur x ⊕ x, und x2 steht als Abkürzung für x ⊙ x. Ähnliches gilt für die natürliche Zahl n in Aufgabenteil
b).
b) Nehmen Sie zusätzlich an, K sein ein angeordneter Körper und zeigen Sie, dass im Fall 0K < y < x für alle
positiven ganzen Zahlen n
xn < y n
gilt!
T8 Zeigen Sie folgende Ungleichungen für beliebige reelle Zahlen r, s und t!
(i) |s| ≤ |s + r| + |r|
(ii) rs + st + tr ≤ r2 + s2 + t2
(iii) r2 + s2 + t2 + rs + st + tr ≥ 0
T9 Zeigen Sie, dass für beliebige n ∈ N und x1 , . . . , xn ∈ R die verallgemeinerte Dreiecksungleichung
n
n
∑ ∑
xk ≤
|xk |
k=1
k=1
gilt!
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