Kapitel 1

Behrends: Analysis, Band 1
Antworten auf die Verständnisfragen: Kapitel 1
Sachfragen
Zu Abschnitt 1.2
S1 Eine Menge ist jede Zusammenfassung von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens.
S2 Es gibt die folgenden Möglichkeiten:
• Möglichkeit 1: Man kann all die Elemente, die zur Menge gehören in einer Art Liste
aufzählen. Hierzu schreibt man die Elemente in geschweiften Klammern {, } und Kommata trennen die einzelnen Elemente.
• Möglichkeit 2: Man gibt eine gewisse Eigenschaft E vor und fasst alle Elemente in einer
Menge zusammen, die diese Eigenschaft besitzen bzw. nicht besitzen. Wobei nur genau eine
der Aussagen x hat E bzw. x hat nicht E richtig sein darf. Man schreibt für diese Menge
{x | E}.
S3 Das sind wichtige Begriffe, die du schon früh sicher beherrschen musst. Falls noch Klärungsbedarf besteht, solltest du noch einmal zu Seite 7 zurückblättern.
S4 Gegeben seien die Mengen M und N . Eine Abbildung f von M nach N ist eine Zuordnungsvorschrift, die jedem Element x ∈ M genau ein Element f (x) ∈ N zuordnet.
S5 M und N seien Mengen. Eine Relation R zwischen Elementen aus M und N ist eine Teilmenge
R von M × N . Ist R ⊂ M × N eine Relation so schreibt man statt (x, y) ∈ R auch xRy.
Abbildungsrelation: M und N seien Mengen und R ⊂ M × N eine Relation. R heißt Abbildungsrelation, wenn für jedes x ∈ M genau ein y ∈ N mit (x, y) ∈ R existiert. Hintergedanke dabei:
Das y ist dasjenige Element aus N , das x zugeordnet wird.
Zu Abschnitt 1.3
S1 Sei M eine Menge. Eine innere Komposition auf M ist eine Abbildung von M × M nach
M , die je zwei Elementen aus M ein weiteres Element aus M zuordnet. Geschrieben: ◦ (x, y) ,
kürzer x ◦ y. Beispiele für innere Kompositionen sind zum Beispiel + und · auf N , Z, Q und R .
−“ ist eine innere Komposition auf Z, Q und R , aber nicht auf N , da z.B. 2 − 6 6∈ N .
”
S2 Siehe Definition 1.3.2 auf Seite 17.
S3 Siehe Definition 1.3.4 auf Seite 25.
S4 Für irgendeine Primzahl p wird K := {0, 1, . . . , p − 1} mit den zwei inneren Kompositionen
x ⊕ y (bzw. x y) := der Rest, der bei Teilen durch p von x + y (bzw. x · y) bleibt, versehen.
Dieses (K, ⊕, ) ist dann ein Körper, wobei es notwendig ist zu fordern, dass p eine Primzahl
ist. Er heißt der Restklassenkörper modulo p.
Die Primzahleigenschaft ist wichtig, damit man alle von Null verschiedenen Elemente invertieren
kann (alle anderen Eigenschaften eines Körpers sind für beliebige natürliche Zahlen n erfüllt).
Zum Beispiel hat 2 kein multiplikativ Inverses, wenn man die Restklassen modulo 6 betrachtet:
Keines der Produkte 2x (für x = 0, . . . , 5) ist 1 modulo 6. Allgemein gilt: Kein echter Teiler von
n hat ein multiplikativ Inverses in den Restklassen modulo n.
Zu Abschnitt 1.4
S1 Sei (K, +, ·) ein Körper. Ein Positivbereich ist eine Teilmenge von K mit den folgenden
Eigenschaften:
• P1: ∀x ∈ K \ {0} : (x ∈ P ∨ −x ∈ P ) ∧ ¬(x ∈ P ∧ −x ∈ P )
• P2: ∀x, y ∈ P : x + y ∈ P
• P3: ∀x, y ∈ P : x · y ∈ P .
Ein Körper zusammen mit einem Positivbereich heißt ein angeordneter Körper.
S2 Sei (K, +, ·) ein Körper, K kann (als Körper) nicht angeordnet werden, falls −1 als Summe
von Quadratzahlen dargestellt werden kann.
Zu Abschnitt 1.5
S1 Mit Pünktchen: N besteht aus denjenigen Zahlen in R , die man durch fortgesetzte Addition
von Einsen erreichen kann, also
N := {1, 1 + 1, 1 + 1 + 1, . . .}
S2 Eine Teilmenge A von R heißt induktiv, wenn sie die 1 enthält und wenn gilt: Jedesmal, wenn
ein x in A ist, ist auch x + 1 in A.
(Beipiele: R , [ −12, +∞ [; Gegenbeispiele: {3}, ∅, {1}, ] −∞, 200000! ].)
T
S3 Sei I ⊂ P(R ) die Menge aller induktiven Teilmengen von R . Dann ist N := I.
S4 Sei A eine Aussage, die für natürliche Zahlen sinnvoll formuliert werden kann. Das Induktionsprinzip sagt : Gilt A(n) für die Zahl 1 und folgt aus der Gültigkeit von A(n) für beliebiges
n ∈ N die Gültigkeit von A(n + 1), so gilt A(n) für alle natürlichen Zahlen.
S5 Ist M eine Menge und ≺ eine Ordnungsrelation auf M , für die je zwei Elemente vergleichbar
sind, so heißt der geordnete Raum (M, ≺) wohlgeordnet, falls jede Teilmenge von M , die nicht
leer ist, ein kleinstes Element besitzt. Die Aussage besagt also, dass (N , ≤) (natürliche Ordnung)
wohlgeordnet ist. Das wurde in Satz 1.5.7(vii) bewiesen.
Zu Abschnitt 1.6
S1 Z := N ∪ {0} ∪ {−n | n ∈ N }, Q :=
z
n
| z ∈ Z, n ∈ N .
S2 Falls es ein x ∈ R mit x2 = 2 gibt, so kann x nicht rational sein. Der bekannteste Beweis ist
indirekt, er geht von einer gekürzten Darstellung von x als m/n aus. Die Einzelheiten stehen auf
Seite 50.
Zu Abschnitt 1.7
S1 Sei (K, +, ·, P ) ein angeordneter Körper und < die durch P induzierte Ordnung. Dann heißt
(K, +, ·, P ) archimedisch angeordnet, falls gilt:
∀ ∃ n > x.
x∈K n∈N
Anders ausgedrückt: Die natürlichen Zahlen werden beliebig groß“.
”
S2 Sind r, s ∈ R mit r < s, dann existiert q ∈ Q mit r ≤ q ≤ s.
Anders ausgedrückt: Überall in R gibt es rationale Zahlen“.
”
Zu Abschnitt 1.8
S1 Es sei (K, +, ·, P ) ein angeordneter Körper, und A, B seien Teilmengen von K. Das geordnete
Paar (A, B) heißt Dedekindscher Schnitt (in K), falls gilt:
• A 6= ∅
• B 6= ∅
• A∪B =K
• für alle a ∈ A, b ∈ B ist a < b
S2 Ein angeordenter Körper (K, +, ·, P ) heißt vollständig, falls jeder Dedekindsche Schnitt eine
Schnittzahl hat. Das heißt: Zu jedem Schnitt (A, B) existiert x ∈ K, so dass a ≤ x ≤ b für alle
a ∈ A, b ∈ B.
S3 Der Dedekindsche Schnitt
({x ∈ Q | x ≤ 0 ∨ x2 < 2}, {x ∈ Q | x ≥ 0 ∧ x2 > 2})
hat in Q keine Schnittzahl, da für eine Schnittzahl x notwendig x2 = 2 wäre; so eine Zahl gibt
es in Q aber nicht.
S4 R ist ein archimedisch angeordneter vollständiger Körper.
Zu Abschnitt 1.9
S1 Es ist C := R × R , und für a = (a1 , a2 ), b = (b1 , b2 ) definiert man
a + b := (a1 + b1 , a2 + b2 )
und
a · b := (a1 b1 − a2 b2 , a1 b2 + a2 b1 ).
Setzt man zur Abkürzung i := (0, 1), so kann man jede komplexe Zahl z als z = x + iy mit reellen
x, y darstellen. Für das Rechnen muss man sich nur merken: Man rechnet wie üblich, und i2 ist
stets durch −1 zu ersetzen.
S2 Die Abbildung f : R → R 2 := {(r, 0) ∈ C | r ∈ R }, gegeben durch r 7→ (r, 0), ist ein
Körperisomorphismus bzgl. der üblichen Verknüpfungen in R und C . Man kann also R mit
R 2 ⊂ C identifizieren, in diesem Sinne ist R ⊂ C gemeint.
S3 C kann nicht als Körper (d.h. verträglich mit den algebraischen Operationen) angeordnet
werden, da wegen i2 = −1 die Zahl −1 als Summe von Quadratzahlen darstellbar ist. (Vgl.
Korollar 1.4.4.)
Zu Abschnitt 1.10
S1 Seien A, B Mengen und f : A → B eine Abbildung. f heißt
• injektiv, falls f (x) = f (y) ⇒ x = y für alle x, y ∈ A.
• surjektiv, falls zu jedem b ∈ B ein a ∈ A mit f (a) = b existiert.
• bijektiv, falls f injektiv und surjektiv ist.
S2 Seien M und N Mengen. M und N heißen gleichmächtig, oder M und N haben die gleiche
”
Kardinalzahl“, wenn es eine bijektive Abbildung f von M nach N gibt.
S3 Eine Menge M heißt abzählbar, falls card M = card N , falls es also eine bijektive Abbildung
von N nach M gibt.
S4 Es ist card N = card Q und card R > card N . Diese Aussagen werden mit dem ersten bzw.
dem zweiten Cantorschen Diagonalverfahren bewiesen.
Zu Abschnitt 1.11
S1 Man versteht darunter einen anderen Weg, um zu den reellen Zahlen zu gelangen. Dabei geht
man von den Peanoaxiomen für die natürlichen Zahlen aus, definiert Z als geeignete Menge von
Äquivalenzklassen auf N × N , Q als geeignete Menge von Äquivalenzklassen von Z × N und
schließlich R als Menge der Dedekindschen Schnitte in Q . (Einzelheiten ab Seite 69.)
S2 Die stehen auf Seite 68.