V1 - Dichtebestimmung
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Physikalisches Grundpraktikum V1 - Dichtebestimmung V1 - Dichtebestimmung Aufgabenstellung: • Überprüfen Sie die Proportionalität zwischen Belastung und Verlängerung einer Feder. Bestimmen Sie die Federkonstante. • Bestimmen Sie die Federkonstante mit Hilfe der dynamischen Methode. • Bestimmen Sie die Dichte eines geometrisch einfach gestalteten Körpers mittels Federwaage sowie durch Wägung und Bestimmung der Abmessungen. Stichworte zur Vorbereitung: NEWTONsche Axiome, HOOKsches Gesetz, Dichte, Auftrieb, Federschwingung Literatur: • W. Schenk, F. Kremer (Hrsg.), Physikalisches Praktikum, Kap. 1, 13. Auflage, Vieweg + Teubner 2011 • H. J. Eichler, H.-D. Kronfeldt, J. Sahm, Das Neue Physikalische Grundpraktikum, Kap. 5, 2. Auflage, Springer Verlag 2006 • H. J. Paus, Physik in Experimenten und Beispielen, Kap. 3.4, Kap. 45.2, 3. Auflage, Hanser Verlag München 2007 17/04/2015 1/6 Physikalisches Grundpraktikum V1 - Dichtebestimmung 1. Theoretische Grundlagen 1.1 Feder und Federschwingung Belastet man eine einseitig eingespannte Schraubenfeder durch eine äußere Kraft 𝐹a in Längsrichtung, so wird diese um eine Länge 𝑥 gedehnt. Bei nicht zu großen Kräften ist der Zusammenhang zwischen Zugkraft und Dehnung durch das HOOKsche Gesetz gegeben: Beide Größen sind zueinander proportional. Der Proportionalitätsfaktor 𝐷 wird als Federkonstante bezeichnet und hängt von Material und Gestalt der Feder ab. Es gilt somit 𝐹a = 𝐷 ⋅ 𝑥. (1) Mit dem Auftreten von 𝐹a wird in den Windungen der Feder eine gleichgroße aber entgegengesetzt wirkende rücktreibende Kraft, die Federkraft 𝐹F , hervorgerufen. Ändert sich die Dehnung bei konstanter Krafteinwirkung nicht mehr, so halten sich äußere Kraft und Federkraft im Gleichgewicht: 𝐹F = −𝐹a = −𝐷 ⋅ 𝑥. (2) Analoge Überlegungen gelten auch, wenn die Feder zu Beginn des Experimentes durch ein angehängtes Gewichtsstück bereits um 𝑥! vorgedehnt ist. Die durch das Gewichtsstück ausgeübte Kraft und die Vordehnung gehen dann in die Betrachtungen nicht ein. Wird die Feder durch die Gewichtskraft 𝐹a = 𝑚𝑔 eines Gewichtsstückes gedehnt und zusätzlich durch eine weitere Kraft nach unten ausgelenkt, so ruft diese weitere Verlängerung nach Gleichung (2) ebenso eine Gegenkraft hervor. Diese Federkraft versetzt das Gewichtsstück nach dem Verschwinden der zusätzlichen Kraft (d.h. beim Loslassen) in Bewegung, wobei das Gewichtsstück die Gleichgewichtslage passiert und die Feder zunächst gestaucht wird, usw. Die resultierende Bewegung ist eine harmonische Schwingung. Mit Gleichung (2) und dem 2. NEWTONschen Axiom folgt unter Vernachlässigung der Reibung die Bewegungsgleichung 𝐹! = −𝐷 ⋅ 𝑥 = 𝑚 ⋅ 𝑎 = 𝑚𝑥 ! ⟹ 𝑥 + ! 𝑥 = 0. (3) Diese lineare homogene Differentialgleichung 2. Ordnung wird durch Orts-Zeit-Gesetze der Form 𝑥 𝑡 = 𝑥! cos(𝜔𝑡) (4) gelöst. Es bedeuten: 𝑥(𝑡) - Elongation 𝑥! - Amplitude 17/04/2015 2/6 Physikalisches Grundpraktikum V1 - Dichtebestimmung 𝜔= !! ! = ! ! - Kreisfrequenz der Schwingung 𝑇 - Periodendauer bzw. Schwingungsdauer. Bestimmt man also experimentell die Schwingungsdauer bei bekannter angehängter Masse, so kann die Federkonstante der eingesetzten Feder dynamisch ermittelt werden: 𝐷= !!! ! !! . (5) 1.2. Dichte Die Dichte 𝜌 eines homogenen Körpers ist der Quotient aus seiner Masse 𝑚 und seinem Volumen 𝑉: ! 𝜌 = !. Die SI-Einheit der Dichte ist (6) 𝜌 = 1 kg ⋅ m!! , wobei im Alltagsgebrauch auch 𝜌 = 1 g ⋅ 𝑐m!! weite Verbreitung findet. Für einen inhomogenen Körper ist die Dichte vom Ort im Körper abhängig. Es ist dann erforderlich, die Dichte für infinitesimal kleine Volumenelemente d𝑉 am Ort 𝑟, die die Masse d𝑚 haben, anzugeben: 𝜌 𝑟 = d! d! . (7) Nutzt man für einen inhomogenen Körper Gleichung (6), so erhält man aus Wägung und Vermessung des Volumens lediglich die mittlere Dichte. 1.3 Dichtemessung mittels Federwaage Soll die Dichte eines (als homogen angenommenen) Körpers ermittelt werden, so kann die Masse 𝑚 durch Wägung einfach bestimmt werden. Im Falle eines geometrisch einfach gestalteten Körpers kann das Volumen aus den Abmessungen erhalten werden. Ein indirektes Verfahren, dass auch für beliebig geformte Körper angewendet werden kann, beruht auf dem Gesetz des ARCHIMEDES. Ein Körper, der in eine Flüssigkeit der Dichte 𝜌Fl getaucht wird, erfährt eine Auftriebskraft 𝐹A , die seiner Gewichtskraft 𝐹G = 𝑚𝑔 entgegengerichtet ist und gleich der Gewichtskraft der verdrängten Flüssigkeitsmenge ist: 𝐹A = 𝜌Fl 𝑉𝑔. (8) Eine zu Gleichung (8) analoge Beziehung gilt auch in Gasen - die Auftriebskraft ist beispielsweise bei hochpräzisen Wägungen zu berücksichtigen. Die bei einer Wägung tatsächlich gemessene Kraft ist also die Differenz aus Gewichtsgraft und Auftriebskraft 17/04/2015 3/6 FG,L = FG − FA,L = g ρ V − g ρL V . Bei der praktischen Durchführung der Dichtebestimmung wägt man den Körper und Physikalisches Grundpraktikum V1 - Dichtebestimmung FG,Fl = FG − FA,Fl = g ρ V − g ρFl V . einmal in Luft (Index L) und einmal in der Flüssigkeit (Index Fl) der Dichte ρFl hängend ( ρ Fl ≤ ρ !) . Für die jeweiligen Differenzkräfte FG − FA gilt: 𝐹 = 𝐹G − 𝐹A = 𝑚 Durch − 𝜌FlKombinationen 𝑉 𝑔 von Gl.(9) und (10) erhält man(9)für die gesuchte Dich FG,L = FG − FA,L = g ρ V − g ρ L V . FG,L (9) FG,Fl ρ = Dazu ρFl ist der wägt − ρL man den Bei der Federwaage praktischen Durchführung der Dichtebestimmung Praktisch kann die Auftriebskraft mittels bestimmt werden. Probekörper und einmal in Luft (Index L) . Körper FA,FlFlüssigkeit = gFG,L ρ V−−FgG,Fl(Index ρFl V .Fl)FG,Lder− FDichte undFeinmal G,Fl = FGin−der G,Fl ρ Fl einmal in Luft (Index L in folgenden Rechnungen) und einmal in der Flüssigkeit (hier: Wasser, hängend (10) ρ Fl ≤ ρKombinationen !) . Für die jeweiligen Differenzkräfte gilt:die gesuchte Dichte FG −man FA für (Durch von Gl.(9) und (10) erhält Der zweite Termder in Gl.(11) berücksichtigtproportionale den Auftrieb des Körpers in Luft, Index W ) zu wägen. Gemessen wird die gemäß FG,L =Gl. FG −(1) FA,L = g ρFVKraftwirkung − g ρL V . F (9) G,L G,Fl gegenüber dem ersten und kann oft vernachlässigt werden. ρ = ρFl − ρL . (11) Längenänderung 𝑥L bzw. 𝑥W einerund Feder. F −F FG,Fl = FG − FA,Fl = gG,L ρ V − G,Fl g ρ Fl V . FG,L − FG,Fl (10) Der zweite Term in Gl.(11) berücksichtigt des Körpers Durch Kombinationen von Gl.(9) und (10) erhält manden für Auftrieb die gesuchte Dichte in Luft, er ist klein 2.4 JOLLY‘sche Federwaage Vollständig ist die so genannte JOLLYsche Federwaage aus zwei angeordneten FG,L FG,Fl gegenüber dem ersten und kannübereinander oft vernachlässigt werden. ρ = ρ Fl − ρL . (11) FG,L −inFG,Fl FG,L − Fwährend G,Fl Waagschalen aufgebaut, wobei sich die obere ausschließlich Luft befindet, die untere Die Jolly’sche Federwaage hat zwei übereinander angebrachte Waagsc untere taucht bei den Messungen immer vollständig in die Flüssigkeit (i. A einmal auf die obere, einmal auf die untere SchaleFederwaage positioniert. Die übereinander Auftriebskraft auf die Waagschalen. Die Die Jolly’sche hat zwei angebrachte 2.4 JOLLY‘sche Federwaage ein. der muss Probekörper der oberen Waagschale, bewirk untere taucht beiLiegt denund Messungen immer vollständig in die Flüssigkeit (i. A.soWasser) Waagschalen selbst ist in beiden Teilversuchen gleich für dieauf Auswertung nicht Der zweite Term in Gl.(11) berücksichtigt den Auftrieb des Körpers in Luft, er ist klein 2.4 JOLLY‘sche Federwaage stets vollständig in die Versuchsflüssigkeit eintaucht. Für die Messung wird der Probekörper nun gegenüber dem ersten und kann oft vernachlässigt werden. Die Jolly’sche Federwaage hat zwei übereinander angebrachte Waagschalen. Die ein. LiegtanLängenänderung derdieProbekörper oberen Waagschale, so Fbewirkt er eine xLauf derwerden, Federkonstante k folgt für . Mit der berücksichtigt werden. Kann deruntere Körper direkt Federimmer gehängt und wird taucht bei den Messungen vollständig in die Flüssigkeit (i.die A. Wasser) G,L ein. Liegt Längenänderung der Probekörperx auf der Federkonstante oberen Waagschale, so Fbewirkt er eine Mit der k folgt für . G,L Aufhängung möglichst klein und massearm gestaltet, so Lkann auf die Waagschalen verzichtet F =kx Längenänderung xL . Mit der Federkonstante k folgt für FG,L FG,L = k xL . G,L werden. Dies soll in diesem Versuch geschehen. FG,L = k xL . h0 L . (12) (12) (12 Entsprechend ergibt bei deraufW Entsprechend sich bei dersich Wägung Entsprechend ergibt sichergibt bei der Wägung auf der unteren in Wasser W) (Index derWaagschale unterender Waagschale in(Index Wasser W) unteren Waagschale in Wasser h0 FG,W = k xW . FG,W = k xW . (13) h 0 k xW . Aus Gl.(11), bis Gl.(13) folgtF(Fl G,W==W) (13) (1 Aus Gl.(11), bis Gl.(13) xL xW folgt (Fl = W) ρ = ρW hw x0 xW xL − ρL . (14) xL − xWAus Gl.(11), xxL − xWbis Gl.(13) x folgt (Fl = W ρ= ρ L −ρ W xxLL − xW . (14) x wenn man nicht die Längenänderungen ρ = ρW −xρ, L W hw Diejeweiligen AuswertungZeigerhöhen nach Gl.(14) sondern die über x −sich, xL −hxvereinfacht W L xW einem bestimmten (aberdie Längenänderungen willkürlichen) wenn man nicht x, hw Nullniveau einsetzt L Die Auswertung nach WGl.(14) vereinfacht sich, xL − xW Die Auswertung nach Gl.(14) verein sondern die jeweiligen Zeigerhöhen h über h −h h −h ρ = ρW Abb. 1 Jolly’sche Federwaage Abb. 1: Federwaage h0 ist 0 L −ρ 0 W . wennL hWman Längenänder einem (aberdie willkürlichen) − hL nicht hW − hLbestimmten einsetztbei unbelasteter dieNullniveau Zeigerstellung (15) sondern die jeweiligen Zeigerhöhe h −h hW − hL Waage. h −h hW − hL 0 L Aus den in Abbildung 1 illustrierten Federlängen ohne Probekörper bzw. mit Probekörper inbestimmten − Luft ρ = ρeinem ρL 0 W . (aber (15)wi W und Wasser und der Beziehung (1) erhält man für die auf die Feder Kräfte 𝐹W = 𝐷Nullniveau ⋅ (𝑥W −einsetzt 𝑥! ) Abb. 1 Jolly’sche Federwaage h0 ist die Zeigerstellung bei unbelasteter 4 und 𝐹L = 𝐷 ⋅ 𝑥L − 𝑥! . Die Differenz beider Kräfte muss aus die unterschiedlich starken h0 − hL h0 − hW = − ρL ρ ρ . Auftriebskräfte in Wasser 𝐹A,W bzw. Luft 𝐹A,L resultieren. Unter Verwendung von GleichungenW(6), hW − hL hW − hL Waage. (8) und (9) kann man für beide Fälle schreiben: Abb. 1 Jolly’sche Federwaage 𝐹! = 𝐹! − 𝐹!,! = 𝜌𝑉𝑔 − 𝜌L 𝑉𝑔 = 𝐷 ⋅ (𝑥L − 𝑥! ) 𝐹! = 𝐹! − 𝐹!,! = 𝜌𝑉𝑔 − 𝜌W 𝑉𝑔 = 𝐷(𝑥W − 𝑥! ). 4 h0 ist die Zeigerstellung bei un Waage. Separiert man nun in beiden Gleichungen 𝑉𝑔, setzt die resultierenden Ausdrücke gleich und formt weiter um, so erhält man für die gesuchte Dichte des Probekörpers 17/04/2015 4 4/6 Physikalisches Grundpraktikum V1 - Dichtebestimmung ! !! ! !! 𝜌 = 𝜌! ! L!! ! − 𝜌! !W!! ! . L W L (10) W Wird ein Körper bekannter Dichte genutzt, kann auf analoge Weise auch die Dichte einer unbekannten Flüssigkeit bestimmt werden. 2. Versuchsdurchführung Hauptaugenmerk soll bei diesem experimentell und theoretisch einfachen Versuch auf der korrekten und vollständigen Dokumentation des Experimentes, einer methodisch korrekten Auswertung und Größtfehlerberechnung sowie der physikalisch sinnvollen Diskussion der erzielten Resultate liegen. 2.1 Statische Belastung der Feder Durch Anhängen von Gewichtsstücken bekannter Masse werden zunächst unterschiedliche Längenänderungen der Schraubenfeder realisiert. Günstigerweise misst man 𝑥 dabei als Differenz zur Ausgangslänge bei durch ein geringes Zusatzgewicht leicht vorgespannter Feder. Nehmen Sie zunächst vier Längenänderungen bei steigender Belastung auf, anschließend vier Längenänderungen bei sinkender Belastung. Tragen Sie die Längenänderung über der einwirkenden Kraft 𝐹a auf. Vergleichen Sie die Kurven für steigende und sinkende Belastung. Bestimmen Sie aus dem Anstieg des lt. Gleichung (1) erwarteten linearen Zusammenhangs die Federkonstante - es genügt, den Anstieg mittels Anstiegsdreieck abzulesen. Dokumentieren Sie Ihr Vorgehen. 2.2 Dynamische Methode Die Dauer von mehreren Schwingungen (z.B. 20) der an der Schraubenfeder angehängten Gewichtsstücke ist zehn Mal zu messen. Die Belastung ist so zu wählen, dass die Feder nicht überdehnt wird, aber auch auswertbare Schwingungsdauern auftreten (Gleichung (5) beachten: 𝑇 ∼ 𝑚 ). Der relative Gesamtfehler der Masse der Gewichtsstücke beträgt !" ! = 0,5 %. Führen Sie eine Größtfehlerberechnung für die Federkonstante aus. 2.3 Dichte des Probekörpers Wählen Sie zwei der bereitliegenden Probekörper aus- dokumentieren Sie Ihre Auswahl. Die Dichte wird zunächst aus seinen Abmessungen (Messgeräte: Messschieber, Bügelmessschraube) und der mittels Digitalwaage ermittelter Masse bestimmt. 17/04/2015 5/6 Physikalisches Grundpraktikum V1 - Dichtebestimmung Anschließend ist die Federwaage zur Dichtebestimmung zu nutzen. Jede Auslenkung ist dreimal zu messen und für die weitere Rechnung ist der Mittelwert zu verwenden. Als Flüssigkeit ist Wasser zu verwenden - achten Sie beim Eintauchen des Probekörpers darauf, dass alle Luftblasen entfernt werden. Die Dichte des Wassers ist Temperaturabhängig und kann im Temperaturbereich zwischen 18°C und 30°C in guter Näherung durch folgendes Polynom angegeben werden: !W kg⋅m-­‐3 = 1,00031 ⋅ 10! − 4,74738 ⋅ ! − 5,02297 ⋅ 10!! °C ! ! °C . (11) Für die Luftdichte gilt in Abhängigkeit vom Luftdruck 𝑝 und der absoluten Temperatur 𝑇 !L kg⋅m-­‐3 ! = 1,293 !"!,! kPa . ! (12) !"# K Vergleichen Sie die mit den verschiedenen Verfahren gewonnenen Ergebnisse, und ziehen Sie für Tabellenwerte hinzu. Diskutieren Sie mögliche Ursachen für Abweichungen. 17/04/2015 6/6
