Inhalte GW5 - am Hanns-Seidel

Grundwissen Klasse 5
1.
Ganze Zahlen
1.1. Zahlenmengen
N  1; 2; 3; ... Menge der natürlichen Zahlen
N 0  0;1; 2; 3; ... Menge der natürlichen Zahlen mit Null
Z  ...; 3;  2;  1; 0;1; 2; 3; ... Menge der ganzen Zahlen
Elemente einer Menge: 0  N ; 3  N ;  2  Z
1.2. Das Dezimalsystem
Wir benutzen zum Schreiben der Zahlen die zehn Ziffern
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Die Stelle der Zahl, an der eine
Ziffer steht, gibt ihren Wert an. Unser Zahlensystem heißt
daher Stellenwertsystem.
Stellenwerttafel:
Milliarden
Millionen
Tausender
H
Z
E
H
Z
H
E
Z
E
H
Z
E
1
0
2
0
3
0
0
4
5
6
7
Gesprochen: zehn Milliarden zweihundertdrei Millionen
viertausendfünfhundertsiebenundsechzig
1.3. Runden
Runden einer Zahl auf eine bestimmte Stelle:
Betrachte die Ziffer rechts davon.
 bei 0, 1, 2, 3 oder 4 wird abgerundet,
 bei 5, 6, 7, 8 oder 9 wird aufgerundet.
Bsp.:
28378 (H)  28400
1.7. Addition und Subtraktion
Zusammenfassen ganzer Zahlen
Gleiche Vorzeichen:
Verschiedene Vorzeichen:
1. addiere die Beträge
1. subtrahiere vom größeren
2. gib dem Ergebnis das
Betrag den kleineren.
gemeinsame Zeichen 2. das Ergebnis erhält das
Vorzeichen der Zahl mit
dem größeren Betrag.
3  7  10
2  5  (5  2)  3
 3  7  (3  7)  10  2  5  (5  2)  3  3
Auflösen von Klammern
Zwei gleiche Zeichen ersetzen wir durch ein Pluszeichen:
 3  (7)  3  7 oder  3  (7)  3  7
Zwei verschiedene Zeichen ersetzen wir durch ein Minuszeichen:  3  (7)  3  7 oder  3  (7)  3  7
Subtrahieren einer Zahl bedeutet dasselbe wie Addieren
ihrer Gegenzahl.
Bsp.:  6  (8)  6  (8)  (6  8)  14
"    "
1.8. Multiplikation und Division
Wir multiplizieren (dividieren) die Beträge. "    "
"    "
 gleiche Vorzeichen: Ergebnis erhält ein
"    "
Plus.
4  3  12; (4)  (3)  12; (32) : (4)  8
 verschiedene Vorzeichen: Ergebnis erhält ein Minus.
(4)  3  12; 4  (3)  12; (32) : 4  8
Beachte: 27  0  0 und 0 : 27  0
Vorsicht: 27 : 0 ist nicht definiert!!!
1.4. Die Zahlengerade
1.9. Potenzieren
Längeneinheit LE
3
Potenzschreibweise: 2

2
2  2  8
3 Faktoren
negative Zahlen
Bsp.: (2)
positive Zahlen
Eine kleinere Zahl liegt weiter links auf der Zahlengeraden:
 5  2;  2  1; 4  5
Die Entfernung einer Zahl vom Nullpunkt ist der Betrag der
Zahl: | 5 |  5; | 0 |  0; | 3 |  3
Zwei verschiedene ganze Zahlen mit gleichem Betrag
heißen Gegenzahlen:  5 und 5 oder  12 und 12
1.5. Rechengesetze
 Vertauschungsgesetz (Kommutativgesetz)
a  b  b  a oder a  b  b  a
 Verbindungsgesetz (Assoziativgesetz)
(a  b)  c  a  (b  c) oder (a  b)  c  a  (b  c)
 Verteilungsgesetz (Distributivgesetz)
a  (b  c )  a  b  a  c oder (a  b) : c  a : c  b : c



ausklammern
1.6. Fachbegriffe für die Rechenarten
6
2
Termname
Summe
Differenz
Produkt
Quotient
6 heißt
1.Summand
Minuend
1.Faktor
Dividend
2 heißt
2.Summand
Subtrahend
2.Faktor
Divisor
Rechenart
Addition
Subtraktion
Multiplikation
Division
Potenz
Basis
Exponent
Potenzieren
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 (2)  (2)  (2)  (2)  16
 Zehnerpotenzen: 10  100 , 10  1000 , 10  10000
3
2
4
 Große Zahlen werden mit Zehnerpotenzen geschrieben:
32000000  32  1000000  32  10
 Quadratzahlen: 1  1 ,
2
2  4,
2
6
3  9 usw.
2
1.10. Verbindung der Grundrechenarten
Bsp.: 20  5  ( 4  6) 3  20  5  (2) 3  20  5  ( 8) 
 20  40  60
„Hoch vor Punkt vor Strich, Klammern zuerst“
Bei reinen Strichrechnungen und bei reinen Punktrechnungen wird von links nach rechts gerechnet.
izieren
ausmultipl


Beispiel
6+2
6–2
6·2
6:2
4
1.11. Primzahlen
Eine natürliche Zahl ist eine Primzahl, wenn sie größer als 1
und nur durch 1 und sich selbst teilbar ist.
Bsp.: 2; 3; 5; 7; 11;…
Jede natürliche Zahl lässt sich in Primfaktoren zerlegen:
10  2  5 ;
600  2  2  2  3  5  5  2  3  5
3
2
1.12. Das Zählprinzip
Lässt sich ein Vorgang in Stufen zerlegen, so erhalten wir
die Anzahl der verschiedenen Möglichkeiten, indem wir die
Anzahl der Möglichkeiten der einzelnen Stufen miteinander
multiplizieren.
Bsp.: Auf wie viele Möglichkeiten kann man sich anziehen,
wenn man 3 T-Shirts und 2 Hosen zur Auswahl hat?
Veranschaulichung am Baumdiagramm:
1. Stufe: T-Shirt auswählen
2. Stufe: Hose auswählen
T1
T2
T3
H1 H2 H1 H2 H1 H2
Winkelarten:
Nullwinkel spitzer Winkel
 = 0°
0° <  < 90°
gestreckter Winkel
 = 180°
rechter Winkel
 = 90°
überstumpfer Winkel
180° <  < 360°
Vollwinkel
 = 360°
2.4. Achsensymmetrie
Eine Figur ist achsensymmetrisch, wenn sie sich so falten
lässt, dass die beiden Hälften genau aufeinander liegen. Die
Falz heißt Symmetrieachse.
Es gibt insgesamt 3  2  6 Möglichkeiten.
2.
stumpfer Winkel
90° <  < 180°
Symmetrieachse
Geometrie in der Ebene
2.1. Das Koordinatensystem
Es besteht aus der x-Achse (waagrechte Zahlengerade) und
der y-Achse (senkrechte Zahlengerade), die sich im Ursprung
schneiden.
Der Punkt A ist durch seine Koordinaten festgelegt:
A(-2|3)
x-Koordinate
y-Koordinate
Die Verbindungsstrecke von zwei symmetrischen Punkten P
und P’ steht senkrecht auf der Symmetrieachse.
2.5. Ebene Figuren
y

Weitere Punkte:
B(1|2),
C(2|-1),
D(-1,5|-0,5)

Rechteck

Raute



Quadrat
Kreis


x
3.
2.2. Grundbegriffe
 Punkt A, B, C, D




Rechnen mit Größen
3.1. Größen im Alltag
1,59 €
Strecke [AB]; Länge der Strecke AB
Halbgerade [AB oder AB]
Gerade AB
g ist parallel zu h : g || h
 g ist senkrecht zu h: g  h
2.3. Winkel
Ein Winkel entsteht durch die Drehung einer Halbgeraden
(1. Schenkel) gegen den Uhrzeigersinn um ihren Anfangspunkt S.

Scheitel S; Winkel 
Bezeichnung von Winkeln: , , , , , …
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Maßzahl
Größe
Einheit
Einheiten der Größe
Geld
Länge
Masse
1ct
1mm
1mg
Zeit
1s
1€
1cm
1g
1min
1dm
1kg
1h
1m
1t
1d
=60s
=60min
=24h
1km*
Umrechnungszahl
100
10/*1000
1000
1a =
365d
Umwandeln: 3,5m = 35dm = 350cm = 3500mm
27mm = 2,7cm = 0,27dm = 0,027m
Zusammenfassen:
5g  250mg = 5000mg  250mg = 4750mg = 4,75g
Gemischte Einheiten: 4,75g = 4g 750mg; 1,05m = 1m 5cm
Beachte beim Rechnen:
„Größe“  „Zahl“ = „Größe“
„Größe“ : „Zahl“ = „Größe“
„Größe“ : „Größe“ = „Zahl“
3.2. Maßstab
Der Maßstab 1 : 1000 bedeutet, dass die Länge in der
Wirklichkeit das 1000-fache der Länge auf der Karte ist.
Bsp.:
 Länge auf der Karte: 2cm
 in der Wirklichkeit: 2cm  1000 = 2000cm =20m
 Länge in der Wirklichkeit: 250m
 auf der Karte: 250m : 1000 = 25000cm : 1000 = 25cm
 Länge in der Wirklichkeit: 7km; auf der Karte: 4cm
 Maßstab: 7km : 4cm = 700000cm : 4cm = 175000
 Maßstab 1 : 175000
4.
Flächen
4.1. Flächeneinheiten
2
2
2
2
2
mm  cm  dm  m  a  ha  km
Quadratzentimeter
Ar
Hektar
2
2
Die Umrechnungszahl ist 100: 1cm = 100mm
2
2
2
2
Umwandeln: 0,35m = 35dm = 3500cm = 350000mm
Zusammenfassen:
2
2
2
2
3a – 25m = 300m –25m =275m = 2,75a
2
2
Gemischte Einheiten: 10275m = 1ha 2a 75m
Beachte beim Rechnen:
„Länge“  „Länge“ = „Fläche“
„Fläche“  „Zahl“ = „Fläche“
„Fläche“ : „Zahl“ = „Fläche“
„Fläche“ : „Fläche“ = „Zahl“
„Fläche“ : „Länge“ = „Länge“
4.2. Flächeninhalt
Rechteck
Quadrat
a
b
a
l
Umfang:
Flächeninhalt:
UR = 2l + 2b = 2(l + b)
AR = lb
UQ = 4a
2
AQ = aa = a
Den Flächeninhalt von zusammengesetzten Figuren kann
man berechnen, indem man sie in Rechtecke zerlegt oder
zu Rechtecken ergänzt.
5.
Geometrie im Raum
5.1. Schrägbild und Netz eines Quaders
Schrägbild:
Netz:
h
b
b
l
h
h
h
l
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l
5.2. Oberflächeninhalt
 Quader
OQ = 2lb + 2lh + 2bh = 2(lb + lh + bh)
Bsp.: l = 4cm, b = 3cm, h = 2cm
OQ = 2(4cm3cm + 4cm2cm + 3cm2cm) =
2
2
2
2
2
= 2(12cm + 8cm + 6cm ) = 226cm = 52cm
 Würfel
2
OW = 6aa = 6a