7. Jahrgangsstufe– Mathematik – Aufgaben– Arbeitsblatt 1

7. Jahrgangsstufe– Mathematik – Aufgaben– Arbeitsblatt
Aufgabensammlung
1
7. Jahrgangsstufe– Mathematik – Aufgaben– Arbeitsblatt
2
Grundaufgaben zur Achsenspiegelung
1. Gegeben sind die Punkte A(2|1), B(5|3) und C(4|4). Die Spiegelachse ist gegeben
durch die Punkte R(−4| − 4) und T (6|4)
(a) Lege ein Koordinatensystem an mit −6 < x < 6 und −5 < y < 5 in deinem
Heft an und zeichne die gegebenen Punkte und die Spiegelachse ein.
(b) Konstruiere die Spiegelpunkte der Eckpunkte des Dreiecks ABC bei einer Achsenspiegelung an der gegebenen Spiegelachse.
(c) Vergleiche das Dreieck ABC mit seinem Spiegeldreieck und stelle Gemeinsamkeiten fest.
(d) Begründe die Gemeinsamkeiten mit den dir bekannten Eigenschaften der Achsenspiegelung.
2. Gegeben sind die Punkte A(−1| − 2), B(2|1) und der Spiegelpunkt C 0 (3|6). Die
Spiegelachse bei dieser Abbildung ist die Senkrechte, die durch den Punkt P (1|0)
verläuft.
(a) Zeichne das Koordinatensystem mit −5 < x < 7 und −4 < y < 4 in dein Heft
und trage alle gegebenen Punkte und die Spiegelachse ein.
(b) Konstruiere den Punkt C und zeichne das Dreieck ∆ABC.
(c) Konstruiere die Punkte A0 und B 0 und zeichne ∆A0 B 0 C 0 .
3. Ein Fixpunkt einer Abbildung ist ein Punkt, der auf sich selbst abgebildet wird.
(a) Erkläre, wo sich alle Fixpunkte der Achsenspiegelung befinden müssen und wie
viele Fixpunkte jede Achsenspiegelung daher besitzt.
(b) Erkläre, wie eine Gerade in Bezug zur Spiegelachse liegen muss, damit es sich
um eine Fixgerade handelt.
4. Ein Drachenviereck ensteht durch eine Achsenspiegelung. Dabei wird zunächst ein
beliebiges Dreieck gezeichnet und dann der Punkt, der der größten Dreiecksseite
gegenüber liegt an dieser gespiegelt wird.
(a) Wähle ein beliebiges Dreieck und konstruiere nach der oben stehenden Anleitung ein Drachenviereck.
(b) Notiere möglichst viele Eigenschaften dieses Drachenvierecks.
(c) Erkläre die gefundenen Eigenschaften des Drachenvierecks mit den Eigenschaften der Achsenspiegelung.
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Aufgaben zu den Grundkonstruktionen
1. Gegeben ist das Dreieck ∆ABC mit A(2|1), B(5| − 1) und C(4|3).
(a) Der Punkt A0 (−1|4) ist der Spiegelpunkt von A bei einer Achsenspiegelung.
Konstruiere die Spiegelachse.
(b) Konstruiere die Punkte B 0 und C 0 .
2. Gegeben ist das Dreieck ∆ABC mit A(2| − 1), B(5| − 1) und C(4|3).
(a) Der Punkt B 0 (−2|2) ist der Spiegelpunkt von A bei einer Achsenspiegelung.
Konstruiere die Spiegelachse.
(b) Konstruiere die Punkte A0 und C 0 .
3. Gegeben ist das Dreieck ∆ABC mit A(2|5), B(5| − 2) und C(4|3).
(a) Der Punkt C 0 (−1| − 2) ist der Spiegelpunkt von A bei einer Achsenspiegelung.
Konstruiere die Spiegelachse.
(b) Konstruiere die Punkte B 0 und C 0 .
4. Bearbeite diese Aufgabe auf dem Arbeitsblatt.
B
C
A’r
A
(a) Konstruiere in der oben stehenden Abblidung die Spiegelache.
(b) Konstruiere alle Eckpunkte des Spiegeldreiecks.
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4
5. Konstruiere die Spiegelachse und das Spiegelbild des folgenden Vierecks
B
C
D
A’r
A
6. Konstruiere ein Dreieck ∆ABC mit den folgenden Vorgaben
• AB = 6 cm
• C liegt auf der Spiegelachse und hat von AB den Abstand 5,0 cm.
• B ist bei der Achsenspiegelung der Spiegelpunkt von A.
7. Konstruiere ein Dreieck ABC, das den nachstehenden Forderungen gerecht wird:
• BC = 9,0 cm
• B ist der Spiegelpunkt von C bei einer Achsenspiegelung.
• A liegt auf der Spiegelachse und hat von BC einen Abstand von 6,0 cm.
8. Gegeben sind die Punkte A(−1, −2) und B(2|4).
• Konstruiere den Ort aller Punkte, die von A den Abstand 2 cm besitzen.
• Konstruiere den Ort aller Punkte, die von B den Abstand 1,5 cm besitzen.
• Konstruiere alle Punkte, die den gleichen Abstand zu A und zu B aufweisen.
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Aufgaben zur Punktspiegelung
1. Zeichne ein beliebiges Dreieck ∆ABC und einen außerhalb liegenden Punkt Z.
Konstruiere anschließend das Bilddreick bei einer Punktspiegelung an Z. Vergleiche
im Anschluss beide Dreiecke und stelle Besonderheiten fest und versuche sie zu
begründen.
2. Gegeben ist das Viereck ABCD mit A(−3|0,5), B(3|2), C(4|6) und D(−1| − 2).
Außerdem ist der Punkt Z(−2|1) gegeben.
(a) Zeichne das Viereck und den Punkt Z in ein Koordinatensystem ein.
(b) Konstruiere das Bildviereck bei einer Punktspiegelung an Z.
3. An der folgenden Figur wird der Zusammenhang zwischen Achsen- und Punktspiegelung verdeutlicht.
C
AA
A
A
A
A
Zu
A
A
A
A
A
A
B
A
(a) Konstruiere ∆A0 B 0 C 0 als Bild bei einer Punktspiegelung an Z.
(b) Konstruiere die Spiegelachse zwischen A und A0 .
00
00
00
(c) Konstruiere A B C durch Spiegelung von A0 B 0 C 0 an dieser Achse.
00
00
00
00
(d) Konstruiere die Achse zwischen B und B und spiegele A B C an dieser
Achse.
(e) Welchen Winkel bilden die beiden Achsen?
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(f) Begründe, durch welche Abbildungen man damit die Punktspiegelung ersetzen
kann.
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Vermischte Aufgaben
1. Zeichne in einem Koorrdinatensystem die Punkte A(0| − 4), B(2|4), C(3|0), D(0|4)
und M (3,5|3,5)ww ein.
(a) Zeichne die Gerade AB und CD sowie den Kreis mit Mittelpunkt M und
Radius r = AB ein.
(b) Wähle AB als Achse und konstruiere die symmetrischen Punkte zu P (1| − 2)
und Q(−2|2).
(c) Konstruiere alle symmetrischen Punkte zu den bereits angegebenen Punkten
bei einer Punktspiegelung an Z(−1| − 1).
(d) Konstruiere das Bild der Geraden AB und CD bei einer Spiegelung an Z.
(e) Vergleiche die Lage des Schnittpunkts von AB und CD mit der Lage des
Spiegelgeraden A0 B 0 und C 0 D0 .
(f) Begründe deine Beobachtung.
(g) Spiegle den gezeichneten Kreis an Z und begründe, welche Aussage man über
den Schnittpunkt der Gerade A0 B 0 mit dem gespiegelten Kreis machen kann.
2. Gegeben ist das Dreieck ABC mit A(2|2), B(5|2) und C(4|3).
(a) Das Dreieck ABC soll durch eine Spiegelung von A und C zu einem gleichschenkligen Trapez erweitert werden, dessen Grundseite doppelt so lang sein
soll wie die zu ihr parallele Seite. Begründe welche Spiegelungsart zu wählen
ist.
(b) Ermittle durch Konstruktion die fehlenden Eckpunkte des Trapezes und notiere
deren Koordinaten.
(c) Spiegle das entstandene Trapez an dem Punkt B. Ermittle die Eigenschaften
des so entstandenen Sechsecks.
3. Konstruiere ein Dreick mit den folgenden Eigenschaften
• AM = 5 cm.
• B ist der Spiegelpunkt von A bei einer Punktspiegelung an M .
• C ist der Spiegelpunkt von A bei der Achsenspiegelung an der Geraden, die
durch M verläuft und AB in einem Winkel von 30◦ schneidet.
Es gibt zwei verschiedene Lösungen. Kläre die Frage, ob man eine Lösung auf die
andere abbilden kann.
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Winkel an Geradenkreuzungen
In der folgenden Abbildung ist eine Doppelstraßenkreuzung einer Stadt schematisch dargestellt:
k
Q
h Q
Q
QQ
T
Q
Q
Q
Q Q
Q
S
Q
Q
g
Q
Q
Q
Q
1. Welche besondere Lage besitzen die Geraden g und h?
2. Messe alle Winkel an der Geradenkreuzung mit dem Schnittpunkt S. Gib dabei
jedem Winkel eine Bezeichung und fülle die folgende Tabelle aus
Winkel
Größe
α
................
β
...............
γ
.............
δ
............
Welche Gesetzmäßigkeiten kann man an dieser Geradenkreuzung feststellen? Formuliere deine gefundenen Gesetze.
3. Messe alle Winkel an der Geradenkreuzung mit dem Schnittpunkt T . Gib dabei
jedem Winkel eine Bezeichung und fülle die folgende Tabelle aus
Winkel
Größe
ε
................
σ
...............
φ
.............
µ
............
Vergleiche die Winkel dieser Geradenkreuzung mit den Winkeln an der Geradenkreuzung mit dem Schnittpunkt S und notiere dir Besonderheiten.
4. Formuliere Winkelgesetz für diese Art von Doppelgeradenkreuzungen. Überlege, welche Voraussetzung deinen Winkelgesetzen zu grunde liegt und ob deine Gesetze auch
ohne diese Voraussetzung ihre Gültigkeit behalten.
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Aufgaben zu den Winkelgesetzen
1. Die untenstehende Abbildung ist eine nichtmaßtabsgetreue Abbildung einer Geradenkreuzung. Dabei gilt, dass g||h. Die Größe von α ist 35◦ .
k
Q
µφ
h σQ
Q
Q
ε QQ
Q
Q δ
Q Q α
β γQ
Q
Q
Q
Q
Q
g
Q
Berechne alle eingezeichneten Winkel und nenne stichpunktartig die verwendeten
Winkelgesetze bei jedem Rechenschritt.
2. Begründe die folgende Aussage: Wenn zwei Geraden nicht parallel sind, dann sind
auch die Stufenwinkel nicht gleich groß.
3. α und γ sind Nebenwinkel an einer Geradenkreuzung. α ist doppelt so groß wie γ.
Berechne die Größe der beiden Winkel.
4. β und δ sind Nebenwinkel an einer Geradenkreuzung.. β ist um 40◦ größer als δ.
Berechne die Größe der beiden Winkel..
5. Begründe die folgende Aussage: α und γ sind zwei Nebenwinkel. Wird α verdoppelt,
dann gilt γ = 180◦ − 2α.
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Aufgaben Grundkonstruktionen
1. Gegeben ist das folgende Dreieck
C
AA
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
B
A
(a) Konstruiere die Mittelsenkrechte der Seite AB.
(b) Konstruiere die Mittelsenkrechten der Seitenn AC und BC. Welche Feststellung kann man treffen?
(c) Konstruiere einen Kreis, der als Mittelpunkt den Schnittpunkt der Mittelsenkrechten von AB und AC M besitzt und den Radius M A. Welche Eigenschaft
besitzt der Kreis?
(d) Beschreibe alle Konstruktionschritte, die zu diesem Kreis führen durch einen
formal sorgfältig gestalteten Konstruktionsplan.
2. Konstruiere die Winkelhalbierende eines 60◦ Winkels.
3. Du sollst auf einer beliebigen Gerade g einen 90◦ Winkel konstruieren.
(a) Lege dir eine sorgfältige Überlegungsfigur an.
(b) Zeichne eine Gerade g in dein Heft und konstruiere einen rechten Winkel, der
seinen Scheitel auf einen vorher festgelegten Punkt S auf der Geraden hat.
(c) Begründe deine Konstruktion in einigen Sätzen.
(d) Fertige einen formal sorgfältigen Konstruktionsplan an.
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(e) Konstruiere die Winkelhalbierende dieses Winkels.
4. Gegeben ist eine beliebige Gerade g und ein Punkt P , der außerhalb der Gerade
liegt.
(a) Zeichne beide geometrische Objekte in dein Heft ein.
(b) Fälle das Lot – d.h. konstruiere die Senkrechte– durch P auf g.
(c) Begründe dein Vorgehen mit den Eigenschaften der Achsenspiegelung.
(d) Fertige einen formal korrekten Konstuktionsplan deiner Konstruktion an.
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Wiederholung
1. Gegeben sind die Punkte A(2|2) und B(5|3). Der Punkt C liegt auf der Mittelsenkrechten von AB und hat von A den Abstand 2,0 cm.
(a) Konstruiere den Punkt C.
(b) Fertige einen Konstruktionsplan in der korrekten mathematischen Notation an.
(c) Konstruiere den Punkt D so, dass das Viereck ABCD ein Parallelogramm ist.
(d) Begründe deine Konstruktion mit den Symmetrieeigenschaften dieser Vierecksklasse.
(e) Fertige für die Konstruktion von D eine sorgfältigen Konstruktionsplan in mathematischer Symbolschreibweise an.
2. Gegeben sind die Punkte A(−3|2) und B(2| − 1). Der Punkt C hat von A einen
Abstand von 3 cm und von B einen Abstand von 3,5 cm. Die y-Koordinate von C
ist dabei größer als die y-Koordinate von B.
(a) Zeichne A und B in ein Koordinatensystem ein und konstruiere den Punkt C.
(b) Fertige einen Konstruktionsplan in mathematischer Symbolschreibweise an.
(c) Konstruiere den Punkt D so, dass das Viereck ABCD ein gleichschenkliges
Trapez ergibt.
(d) Begründe dein Vorgehen mit den Symmetrieeigenschaften dieser Vierecksklasse.
(e) Notiere deine Schritte der Reihenfolge nach in der mathematischen Kurzschreibweise.
3. Bei einem ∆ABC ist bekannt, dass B der Spiegelpunkt von A bei einer Achsenspiegelung ist. C hat von AB den Abstand 6,0 cm und C ist bei der Spiegelung an der
gleichen Achse ein Fixpunkt. Außerdem ist AB = 8,0 cm.
(a) Fertige eine Planfigur an, in der alle bekannten Größen farbig eingetragen werden.
(b) Konstruiere das Dreick ∆ABC und nummeriere deine Konstruktionsschritte.
(c) Fertige einen Konstruktionsplan in mathematischer Kurznotation an.
4. Die drei Ortschaften A-Weiler, B-Stadt und C-Dorf wollen einen gemeinsamen Sender für den Lokalfunk errichten. Auf einer Karte haben die Ortschaften die Koordinaten A(−1| − 2), B(4|2) und C(3|7). Der Standort für den Sender soll so gewahlt
werden, dass er von allen drei Ortschaften den gleichen Abstand hat.
(a) Konstruiere den Standort des Senders auf der Landkarte.
(b) Fertige einen Konstruktionsplan in mathematischer Kurznotation an.
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5. Die untenstehende Abbildung ist eine nichtmaßtabsgetreue Abbildung einer Geradenkreuzung. Dabei gilt, dass g||h. Die Größe von α ist 35◦ .
k
Q
µφ
h σQ
Q
QQ
ε
Q
Q
Q δ
Q Q α
β γ Q
Q
Q
Q
Q
g
Q
Q
Berechne die Größe von allen angegeben Winkeln dieser Doppelkreuzung.
6. Bei einem gleichschenkligem Dreieck sind alle Seiten gleich lang, d.h. AB = AC =
BC.
(a) Konstruiere ein derartiges Dreieck mit AC = 5,0 cm.
(b) Begründe mit Hilfe der Winkelgesetze und geeigneten Symmetrieüberlegungen,
dass alle Innenwinkel des Dreiecks 60◦ messen.
7. Gegeben ist der Gerade g = AB durch A(−2| − 1) und B(3|1). Zudem ist der Punkt
P (2|5) gegeben.
(a) Fälle das Lot von P auf g. Der Schnittpunkt des Lotes mit g wird mit S
bezeichnet.
(b) Fälle das Lot von S auf AP . Der Schnittpunkt dieses Lots mit AP wird mit T
bezeichnet.
(c) Begründe mit den Winkelgesetzen, dass 6 SAP = 6 P ST .
(d) Fertige einen Konstruktionsplan über alle von dir getätigten Konstruktionsschritte in mathematischer Kurzschreibweise an.
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Aufgaben zu Termen
1. Gegeben ist der folgende Term
x3
2
T (x, y) =
+ x2 + x · y + y 2
2
3
(a) Setze für x = − 32 und y =
3
2
ein und berechne den Termwert.
(b) Finde zwei Möglichkeiten für die Zahlen, die man für x und y einsetzen muss,
damit T (x, y) = 0 ist. Beweise die Richtigkeit deiner Ergebnisse, indem du für
diese Zahlen den Termwert berechnest.
(c) Ermittle durch Rechnung, welchen Wert man für y einsetzen muss, damit
T (2, y) = 18 32 .
2. Fasse die folgenden Terme soweit wie möglich zusammen. Beachte dabei auch die
Gesetze der Bruchrechnung
(a) T (x, y) = 32 x + 16 y + 3 13 x + 65 y
(b) T (x, y) = − 23 x + 16 y + 3 31 x − 56 y
(c) T (m, n) = m + 7n − 3m + n
(d) T (a, b) = 3ab − b2 + 2a2 − ab + 3b2 − a2 + ba
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(e) T (a, b) = −4 85 a + 3 12 b + ab − 3 23 a + 1 24
a − ab − 4 34 b
3. Löse bei den folgenden Termen erst die Klammer auf und fasse dann soweit wie
möglich zusammen
(a) T (a, b) = 5a − (3b + 7a)
(b) T (a, b) = 5a − (−3b − 7a)
(c) T (a, b) = 5a − (−3a + 7b)
(d) T (a, b) = 5a − (3a − 7b)
(e) T (a, b) = 5a + (3a − 7b)
4. Löse die Klammern auf und fasse soweit wie möglich zusammen
(a) T (a, b) = (2a − 4b) − (6a − 4b)
(b) T (a, b) = −(2a − 4b) + (6a − 4b)
(c) T (a, b) = (2a − 4b) − (−6a + 4b)
(d) T (a, b) = −(2a + 4b) + (−6a − 4b)
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Aufgaben zu Termumformungen
1. Multipliziere die Klammern aus und fasse so weit wie möglich zusammen
(a)
1
x( 15
x
5
3
−
20
y)
7
− 12 ( 32 x2 +
14
xy)
6
(b) −3a(4b − 2c + 3d) + 2a(−3b − 2d + c)
(c) −6m(m − n) + 3n(−m + 31 n)
(d) 9n(−2m − 3n) − 7n(9m − 3n)
(e) 18b(a − b + c) − 14ab( ab + 1c −
−
(f) 4m(n − 3m) + mn( m
n
6n
)
m
d
)
ab
− mn
2. Multipliziere die Klammern aus und fasse soweit wie möglich zusammen und gib das
Ergebnis vollständig gekürzt an
(a) 5a2 ( a1 − b) − 3a(a + b) − a
n
(b) m3 ( m
−
1
)
m2
(c) 7x4 ( x3y3 −
3y
)
x2
−
m 1
(
n n
−
2
2n
)
m
− xy ( 2y2 −
2xy 3
)
4
(d) (3x + 2y + 4z)(8x − (−2y) + 3z)
3. Multipliziere die folgenden Terme und gib das Ergebnis maximal gekürzt an
(a)
a5
6
(b)
14a7
3b2
(c)
35x2 y 3
7x
·
(d)
24ab
28a2 c
7c3
6b7
·
3
a2
21b4
7a6
·
·
14xy
20y 4
4. Kürze die folgende Bruchterme soweit wie möglich
(a)
144a7 b9 c11
108a11 b7 c9
(b)
420x15 y 18 z
84z 22 y 13 x14
(c)
210xx6 y 3 z 2
126x5 y 3 z 2
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(d)
168s4 t2 u3
336t3 s4 u2
(e)
180w2 v 3 u
420w4 u3 v 4
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Aufgaben Modellieren mit Termen
1. Der Bremsweg eines Wagens wird in der Fahrschule über den nachfolgenden Term ermittelt
x
x2
+
s(x) =
100 3
km
Dabei steht x für die Geschwindigkeit in h . Der Bremsweg wird dabei in m gemessen.
(a) Ermittle den Bremsweg, wenn das Kraftfahrzeug eine Geschwindigkeit von 550 m
h
gefahren ist.
(b) Ermittle durch Rechnung, um welchen Faktor sich der Bremsweg ändert, wenn die
Geschwindigkeit sich verdoppelt.
(c) Bei herbstlichen Straßenverhältnissen vergrößert sich der Bremsweg eines Fahrzeug
aufgrund von schlechterer Haftung auf der Fahrbahn um 20%. Ermittle, um wie
viele m sich der Bremsweg unter diesen Bedingungen vergrößert, wenn das Auto
fährt.
mit einer Geschwindigkeit von 60 km
h
2. Ein Quader besitzt als Länge x. Seine Höhe ist um 20 cm größer als die 80% der Länge.
Die Breite ist um 35 cm kürzer als die doppelte Länge.
(a) Stelle Breite und Höhe als Term dar.
(b) Bestimme das Volumen V (x) als Term und fasse ihn soweit wie möglich zusammen.
(c) Bestimme die Oberfläche des Quaders als Term und fasse ihn soweit wie möglch
zusammen.
3. Ein Trapez besitzt die Höhe x. Die längere der beiden parallelen Seiten ist 5 cm kürzer
als das Dreifache der Höhe. Die kürzere parallele Seite ist um 45% kleiner als die längere
Parallele.
(a) Stelle beide parallelen Seiten als Term mit der Variablen x dar.
(b) Bestimme den Flächeninhalt des Trapezes A(x) als Term und fasse diesen soweit
wie möglich zusammen.
(c) Die Höhe des Trapezes wird um 20% gekürzt. Ermittle rechnerisch, um wieviel %
sich der Flächeninhalt des Trapezes sich reduziert.
4. Ein Dachstuhl stellt einen halben Quader dar. Dabei ist x die Länge dieses Dachstuhls.
Die Länge und die Breite des Dachstuhls sind gleich lang und sind um 2 m länger als
ein Viertel der Länge.
(a) Zeichne den Dachstuhl als halben Quader mit den Maßen l = 8 cm und b = h =
2 cm..
(b) Stelle einen Term für die Breite und Höhe des Terms auf und fasse ihn soweit wie
möglich zusammen.
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(c) Bestimme einen Term, mit dessen Hilfe man den Rauminhalt des Dachstuhls bestimmen kann und fasse dein Ergebnis soweit wie möglich zusammen.
(d) Bestimme für die Oberfläche des Dachstuhls einen Term und fasse deinen Ergebnisterm soweit wie möglich zusammen.
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Aufgaben zur Gleichung
1. Löse die folgenden Gleichungen über Äquivalenzumformungen
(a)
2
1
x−2=1 x+6
3
3
(b)
2
1
2 1
x− = − x
5
4
3 4
(c)
2
3
3 3
− x= x+
8 7
3
4
(d)
5
6 2
− x = x − 0,3
7 5
4
(e)
6x − 7 = 5x + 0,4
2. Fasse zunächst die Terme auf beiden Seiten der Gleichung zusammen und löse anschließend die vereinfachte Gleichung mit Hilfe von geeigneten Äquivalenzumformungen
(a)
(6x − 2)(2x − 3) = (3x − 4)(4x + 2)
(b)
1
( x − 3)(4x + 2) = (x − 3)(2x + 5)
2
(c)
0,3x − 5 (3x + 2) = (x − 4)(x + 1)
(d)
2
x + 2 (1,5x − 5) = (0,3x + 1)(3x + 2)
3
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3. Gegeben ist die folgende Gleichung
x2 = 2x + 3
(a) Lege für den Term der linken und der rechten Seite eine Termwerttabelle an für
−3 < x < 3 an.
(b) Lege ein Koordinatensystem an mit −4 < x < 4 und −4 < y < 10 an und zeichne
für beide Terme den Graphen in dieses Koordinatensystem ein.
(c) Überlege und begründe, welche Bedeutung die Schnittpunkte der beiden Graphen
haben.
(d) Bestimme mit Hife der gezeichneten Graphen die Lösung der Gleichung.
(e) Führe für die gefundenen Lösungen die Einsetzprobe durch und kommentiere die
Ergebnisse der Einsetzprobe.
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Aufgaben zur Vertiefung
1. Fasse die folgenden Terme soweit wie möglich zusammen
(a) (3a − 4b)(a − 6b) + (5a − 2b)(3a − 7b)
(b) (5m − 3n)(−2n − 4m) − (n2 − 3mn) + 5mn − 3n(m + n)
(c) (8n − 4m)(5m − 6n) + (4m − 8n)(5n − (−3m))
(d) (4x − 5y)(3x + 2y) + (−2xy) − 3x(x − y)
2. Löse die folgenden Gleichungen durch Anwendung der Äquivalenzumformungen
(a) x2 − 5(x − 3) = (x − 2)(x + 3)
(b) (x − 4)(6x + 1) = (2x − 3)(3x − 5)
(c) (4x − 5)(5x + 22) = (10x − 3)(2x + 7)
(d) (6x + 5)(4x − 5) = (8x − 6)(3x + 6)
3. Löse die folgenden Gleichungen mit einer Tabelle und graphisch mit einem Koordinatensystem
(a) x2 = 7x − 10 mit x aus [−1; 6]
(b) x2 = 9x − 20 mit x aus [3; 7]
(c) x2 = 8x − 12 mit x aus [1; 7]
(d) x2 = 12x − 35 mit x aus [5; 8]
4. Bestimme einen Term, der folgendes ausdrücken kann und fasse diese soweit wie möglich
zusammen:
(a) Die Grundlinie eines Dreiecks ist um 35% größer als die Höhe x. Bestimme den
Flächeninhalt.
(b) Die Länge eines Quaders ist fünfmal größer als die Breite x, die Höhe um 2 kleiner
als die Länge. Bestimme die Oberfläche.
(c) Bei einem Parallelogramm ist die Höhe um 45% kleiner als die Grundlinie. Bestimme
den Term für den Flächeninhalt, wenn die Grundlinie x ist
(d) Bei einem gleichschenkligen Trapez ist die kürzere der beiden parallelen Seiten x cm
lang. Die zweite parallele Seite ist gegenüber der ersten Parallele um 8 cm länger.
Die Höhe ist um 4 cm kürzer als die längere der beiden Parallelen. Bestimme den
Flächeninhalt des Trapezes.
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Aufgaben zur Prozentrechnung
1. Der Masseverlust beim Mahlen von Weizen beträgt 17%. Ermittle rechnerisch, welche
Masse die Ernte eines Landwirts besitzt, wenn er 46 Säcke mit je 57 kg Weizen zur
Mühle bringt.
2. Aus dem Alltag
(a) Ein Toastgerät kostet 48,50 Euro. Der Händler gewährt dem Kunden einen Rabatt
von 5%. Berechne den neuen Preis des Geräts.
(b) Ein Händler verkauft von einer Stoffart den Meter für 48 Euro. Dabe erzielt er
einen Gewinn von 33,3%. Bestimme den Einkaufspreis des Händlers und ermittle
den Gewinn in Euro.
(c) Die Luft besteht im Normalfall aus 21% Sauerstoff und 79% Stickstoff. Bestimme,
wie viel hl in einem Klassenzimmer mit der Länge 15 m Länge, 10 m Breite und
3,8 m Höhe von jeder Gasart vorhanden.
3. In einem Container werden von einer Ware 63 Pakete verschickt. Jedes Paket hat eine
Masse von 250 kg. Bestimme wie viel % das Nettogewicht der Fracht beträgt, wenn 1
kg 25 Euro kostet und die Gesamtfrachtkosten 4500 Euro betragen.
4. Ein Obstgeschäft bezieht 3 Kisten Äpfel mit einer Bruttomasse von je 52 kg. Das Verpacungsmaterial schlägt mt 4% je Kiste zu Buche. Die Ware kostet das Geschäft im
Einkauf 80 Euro, die sonstigen Ausgaben belasten das Geschäft nochmals mit 17%. Ermittle rechnerisch zum welchem Kilogrammpreis das Obst verkauft werden muss, wenn
der Gewinn 28% betragen soll.
5. Ein Verein bestellt bei einem örtlichen Busunternehmen eine Reise für eine 16 Personen
starke Gruppe. Die Fahrkarte kostet normalerweise 10,80 Euro. Der Unternehmer gewährt
dem Verein einen Nachlass um 33 31 %. Zudem erhält der Reiseleiter als 16te Person eine
Freikarte.
(a) Bestimme den Einzelpreis der Busfahrt bei diesem Vereinsausflug.
(b) Bestimme, um wie viel % die Fahrt zusätzlich jedem Teilnehmer billiger kommt,
wenn die Freifahrt auf alle Reiseteilnehmer umgelegt wird.
7. Jahrgangsstufe– Mathematik – Aufgaben– Arbeitsblatt
23
Aufgaben zur Wiederholung
1. Die Klasse 7x des Schlauberger- Gymnasiums macht eine Umfrage über die Dauer der
Hausaufgabe innerhalb einer Woche. Dabei werden nur die Hausaufgaben statistisch erfasst, zusätzliche Lernzeiten bleiben unberücksichtgt. Das Ergebnis wird in der folgenden
Häufigeitstabelle zusammengefasst.
Mathematik
4h 35min
Deutsch
Englisch
3h 20 min 2h 22min
Latein
4h 35min
Physik
2h 10min
mündlich
1h 10 min
(a) Die Klasse hat insgesamt 120 Schüler befragt. Erkläre, wie die einzelnen Werte in
den Spalten zustande gekommen sein müssen.
(b) Bestimme alle statistischen Merkmale (Mittelwert, Median, Modalwert, Minimum,
Maximum und Spannweite)
(c) Stelle die Daten in einem Säulendiagramm graphisch dar. Zeichne in dieses Diagramm zusätzlich den Mittelwert ein und kennzeichne farbig den Median und den
Modalwert.
(d) Bestimme alle relativen Häufigkeiten und fertige mit diesen ein Kreisdiagramm an.
2. Ein Elektromarkt wechselt im Frühjahr sein Sortiment und will daher seine Auslaufmodelle vorher verkaufen. Deshalb reduziert er die Preise um 15%. Nach der Rabattaktion
kostet ein Fernseher noch 450 Euro. Berechne, wie viel der Fernseher regulär gekostet
hat.
3. Eine Modeboutique verkauft im Sommerschlussverauf ein Kleid für 2200 Euro. Vor der
Preissenkung kostete das gleiche Kleid 2500 Euro. Ermittle, um wie viel % das Kleid
verbilligt wurde.
4. Ein Kapital wird von einem Geldinstitut mit 3% per anno verzinst. Am Ende der 3
jährigen Laufzeit erhält der Kunde insgesamt 2180 Euro. Die Jahreszinsen wurden von
der Bank am Jahresende jeweils ausbezahlt. Ermittle durch Rechnung, welches Kapital
der Kunde auf der Bank ursprünglich angelegt hatte.
5. Eine Bank verzinst ein Guthaben voon 2000 Euro mit 1,5% per anno. Es werden die
Zinsen am Jahresende jeweils ausgezahlt. Ermittle durch Rechnung die Laufzeit der
Kapitalanlage, wenn der Kunde insgesamt 2120 Euro ausbezahlt bekommt.
7. Jahrgangsstufe– Mathematik – Aufgaben– Arbeitsblatt
24
Aufgaben zur Vertiefung
1. Nach einer Laufzeit von 1 Jahr und 4 Monate erbringt ein Kapital von 3200 Euro einen
Zinsertrag von 128 Euro. Berechne den Zinssatz, zu dem das Kapital angelegt wurde.
Die Jahreszinsen werden von der Bank ausgezahlt.
2. Herr Redlich legt auf der Bank ein Kapital von 3500 Euro an. Die Jahreszinsen werden
von der Bank ausgezahlt, wobei der Jahreszinssatz 2,0% beträgt. Nach einer bestimmten
Laufzeit erhält Herr Redlich 87,50 Euro Zinsen. Ermittle die Laufzeit der Geldanlage.
3. Frau Eilig legt bei ihrer Hausbank eine Summe von 2700 Euro an. Es wird vereinbart,
dass die Bank die Jahreszinsen am Jahresende auf das Girokonto von Frau Eilig auszahlt.
Nach einer Laufzeit von drei Jahren hat Frau Eilig von der Bank insgesamt 2862 Euro
erhalten. Ermittle durch eine Gleichung den Zinssatz der Geldanlage von Frau Eilig.
4. Eine Bank wirbt mit folgendem Text: Wir verzinsen ihr Kapital von 2500 Euro in den
ersten 4 Monaten der Geldanlage mit 2,0% und die restlichen Monate mit 3,5% Zinsen.
(a) Berechne das Kapital, dass ein Kunde nach einem Jahr bei dieser Anlage erhält.
(b) Ermittle, welcher Zinssatz bei einer anderen Geldanlage gezahlt werden muss, damit
man den gleichen Zinsertrag erhält wie bei der Geldanlage aus der Werbung.
5. Ein Kreditinstitut verleiht einen Kredit über 5000 Euro zu einem Zinssatz von 4,5%.
Legt ein Kunde bei der Bank hingegen einen Betrag von 7500 Euro an, dann erhält
er die gleichen Zinsen, die der Kreditnehmer an die Bank bezahlen muss. Ermittle den
Zinssatz, den die Bank ihrem Kunden bei der Geldanlage anbietet.
6. In einem Elektrowarengeschäft kostet ein Fernsehgerät nach einer Rabattaktion, bei der
die Preise um 15% gesenkt wurden noch 204 Euro. Ermittle durch Rechnung, wie viel
Euro sich ein Kunde spart, wenn er den Fernseher nach und nicht vor der Preissenkung
gekauft hat.
7. Löse die folgenden Gleichungen nach der Unbekannten x auf
(a) 4(x − 6) − 3(2x + 3) = 3(3x − 12)
(b) 2(2x + 3) + 5(3 − x) = (3 − x)4