Skript - Medizinische Hochschule Hannover
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Name:…………………………………. Datum:……………………. O: Optik 1 Theoretische Grundlagen In diesem Versuch soll die Brechung von Licht an geraden und gekrümmten Flächen phänomenologisch beobachtet, analysiert und potenzielle Anwendungen diskutiert werden. Der optische Apparat des menschlichen Auges zeichnet sich durch eine Vielzahl gekrümmter Flächen aus. Um die Abbildungseigenschaften des Auges aber auch die Funktionsweise optischer medizinischer Geräte, wie einer Kamera oder eines Endoskops, zu verstehen, sind die hier vermittelten Inhalte von grundlegender Bedeutung. Um die wichtigsten physikalischen Zusammenhänge zu verstehen bzw. den Umgang mit den wichtigsten mathematischen Zusammenhängen in diesem Versuch vor der Versuchsdurchführung zu üben, gibt es kleine Aufgaben, die mit „Übung“ gekennzeichnet sind. Diese sind vor dem Versuchstag zu bearbeiten und sollen das Bestehen einer möglichen Eingangskontrolle erleichtern. 1.1 Was ist Licht? Licht ist eine elektromagnetische Transversalwelle. Wie jede andere Welle ist sie charakterisiert durch ihre Wellenlänge λ [lambda] und Frequenz [nü]. Sie sind über die Formel miteinander verknüpft, wobei c die Lichtgeschwindigkeit ist. Die Wellenlänge von sichtbarem Licht liegt zwischen ca. 400nm (violett) und 700nm (rot), d.h. nur elektromagnetische Strahlung im Wellenlängenbereich von 400 – 700 nm stellen einen adäquaten Reiz für die Photorezeptoren der menschlichen Retina dar. Im langwelligen, roten Bereich schließt sich der infrarote Bereich an. Der kurzwellige, blaue Bereich wird von dem Ultraviolette Bereich begrenzt. Diese zwei Bereiche sind für das menschliche Auge nicht mehr sichtbar. Wie in der Abbildung 1.1 zu sehen ist, haben Röntgenstrahlen bzw. Gammastrahlen noch viel kürzere Wellenlängen, sie weisen ein Zehntausendstel bzw. ein Millionstel der Wellenlänge von sichtbarem Licht auf. Abbildung 1.1 Spektrum elektromagnetischer Wellen Die Welleneigenschaft des Lichts sei hier als Hintergrundwissen erwähnt. In diesem Versuch sollen Ihnen die wesentlichen Grundzüge der geometrischen Optik nahe gebracht werden. Dabei wird Licht durch einen Lichtstrahl (dünnes Lichtbündel) reduziert dargestellt. Viele optische Phänomene können V.1 aber mit Hilfe der Welleneigenschaften des Lichts erklärt werden (siehe Vorlesung: z.B. Huygensches Prinzip). In der Realität kann ein dünnes Lichtbündel erzeugt werden, indem in der Nähe einer Lichtquelle ein dünner Spalt platziert wird oder gar ein Laser als Lichtquelle verwendet wird. 1.2 Brechung von Licht an ebenen Flächen Die Ausbreitungsgeschwindigkeit von Licht hängt davon ab, in welchem Medium es sich ausbreitet. Wenn ein Lichtstrahl schräg auf die Grenzfläche zweier Medien trifft, führen die unterschiedlichen Ausbreitungsgeschwindigkeiten dazu, dass das Licht bei Übergang seine Richtung ändert. Dieses Phänomen wird als Brechung bezeichnet. Ein Beispiel ist die Brechung von Licht an der Wasseroberfläche. Wenn wir schräg auf eine Wasseroberfläche schauen und ein Objekt wie einen Stein im Wasser sehen und danach greifen wollen, greifen wir meist ins Leere. Wir sehen den Stein durch die Brechung nicht an der Stelle, wo er sich tatsächlich befindet. Der optische Apparat des Auges besteht ebenfalls aus unterschiedlichen Medien, an deren Übergängen das Licht gebrochen wird (Hornhaut (cornea), Augenkammern (camerae bulbi), Linse (lens cristallina), Glaskörper (corpus vitreum). In einem homogenen Medium breitet sich das Licht gradlinig aus. Wie stark das Licht an der Grenzfläche zwischen unterschiedlichen Medien gebrochen wird, ist abhängig von der Lichtgeschwindigkeit in den jeweiligen Medien und vom Auftreffwinkel des Lichtstrahls. Je stärker sich die Ausbreitungsgeschwindigkeiten von Licht in den zwei Medien unterscheiden, desto stärker ändert das Licht seine Richtung. Als Maß für die Ausbreitungsgeschwindigkeit von Licht werden spezielle Brechwerte für Medien eingeführt, den sogenannten Brechungsindex n. Er beschreibt das Verhältnis der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum zur Lichtgeschwindigkeit in dem betrachteten optischen Medium. 𝑛 1.2.1 𝑐 >1 𝑐𝑚 Das Brechungsgesetz Die Winkelabhängigkeit der Brechung beschreibt das Brechungsgesetz. Im Auftreffpunkt des Lichtstrahls kann eine Senkrechte (Lot) zur Grenzfläche zwischen zwei Medien mit den Brechungsindizes bzw. gezeichnet werden (Abbildung 1.2). Der Winkel zwischen einfallendem Strahl und Lot sei der Einfallswinkel α. Der Strahl bilde nach der Brechung mit dem Lot den Ausfallswinkel β. (Herleitung siehe 3.1) ! Brechungsgesetz 𝒏𝟏 ∗ 𝐬𝐢𝐧 𝜶𝟏 𝒏𝟐 ∗ 𝐬𝐢𝐧 𝜶𝟐 Es gilt das Brechungsgesetz Abbildung 1.2 Lichtbrechung an einer geraden Fläche zwischen zwei unterschiedlichen Medien V.2 Beim Übergang vom optisch dünneren zum optisch dichteren Medium wird der Strahl zum Lot hin gebrochen wird. Umgekehrt wird das Licht beim Übergang vom optisch dichteren zum optisch dünneren Stoff vom Lot weg gebrochen. 1.2.2 Dispersion Wie in Abbildung 1.1 zu sehen ist, besteht das sichtbare Licht aus einem Spektrum von unterschiedlichen Wellenlängen. Unter Dispersion versteht man, in der Physik allgemein die Abhängigkeit einer Größe von der Wellenlänge. In der Optik ist die Lichtbrechung anhängig von der Wellenlänge. So wird im Allgemeinen kurzwelliges Licht stärker gebrochen, als langwelliges (vgl. Vorlesung Dispersion). Übung 1: a) Im hinteren Teil des Skriptes zu diesem Versuch finden Sie die Abbildung 3.4. Auf dem Foto ist ein Lichtstrahl zu sehen, der durch eine mit Wasser gefüllte Küvette verläuft. Zeichnen Sie die Lote zu den Brechungen ein. Skizzieren Sie die Ein- und Ausfallswinkel! Berechnen Sie den Brechungsindex von Wasser, der von Luft soll mit n=1 angenommen werden. Das Foto hat keine hohe Qualität, es soll hier der Umgang mit den Begriffen zum Brechungsgesetz geübt werden. b) Informieren Sie sich über den Literaturwert und vergleichen Sie ihn. 1.2.3 Totalreflexion Dass Licht reflektiert werden kann, ist von Spiegeln bekannt. Aber auch ohne Spiegel kann eine Reflexion beobachtet werden. Wie im Merksatz 'Brechung' geschrieben vergrößert sich der Ausfallswinkel beim Übergang vom optisch dichteren zum dünneren Medium. Wenn der Ausfallswinkel die 90° übersteigt, tritt der Lichtstrahl nicht mehr aus dem Medium aus, sondern wird an der Grenzfläche reflektiert. Dieser Fall nennt sich Totalreflexion (s. Abbildung 1.3). Derjenige Einfallswinkel α, bei dem der Ausfallswinkel β exakt 90° beträgt, wird kritischer Winkel, oder Grenzwinkel genannt. Wird in das Brechungsgesetz der Ausfallswinkel von 90° Abbildung 1.3 Totalreflexion am Übergang zum optischen dünneren Medium 𝒏𝟏 >𝒏𝟐 eingesetzt so ergibt sich folgendes: 𝒏𝟏 ∗ 𝐬𝐢𝐧 𝜶𝟏 𝒏𝟐 ∗ 𝐬𝐢𝐧 𝟗𝟎° 𝒏𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝜶𝟏 𝒏𝟏 Bzw. für alle Einfallswinkel 𝜶𝟏 > 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏 V.3 𝒏𝟐 𝒏𝟏 gilt die Totalreflexion 1.3 Lichtleitfasern Auf der Erscheinung der Totalreflexion beruht die nahezu verlustfreie Führung von Licht in Lichtleitfasern. Diese, manchmal auch als Glasfaser bezeichnet, sind einzelne oder gebündelte Fasern aus Glas oder transparenten Kunststoffen. Der Durchmesser einer einzelnen Faser kann je nach Anwendungszweck etwa einen Millimeter bis hin zu wenigen Mikrometern betragen. Für Beleuchtungszwecke werden häufig größere Querschnitte verwendet. Um hierbei die Flexibilität des Lichtleiters zu erhalten, werden Glasfasern zu Faserbündeln vereinigt, die aus bis zu mehreren 100.000 Einzelfasern bestehen können. Abbildung 1.4 Strahlverlauf in einem gekrümmten Glasstab In Abbildung 1.4 ist ein einfaches Modell für einen Lichtleiter in Form eines gekrümmten zylindrischen Glasstabs dargestellt, dessen linksseitige Stirnfläche von einer Lichtquelle L.Q. beleuchtet wird. Im Inneren des Lichtleiters wird der Verlauf für einige der unter verschiedenen Winkeln einfallenden Strahlen des nutzbaren Lichtbündels wiedergegeben. Es lassen sich keine allgemeingültigen Aussagen darüber treffen, wie die einzelnen Lichtstrahlen den Lichtleiter verlassen. Eine solche Einzelfaser kann daher nur Lichtintensität und Farbe einer Lichtquelle übertragen, jedoch keine genaueren Strukturen, wie beispielsweise Bilder. Die praktische Ausführung von Lichtleitfasern unterscheidet sich in einigen Details von der einfachen in Abbildung 1.4 dargestellten Form. Um definierte Verhältnisse an der totalreflektierenden Grenzschicht zu erhalten, wird das niedrigbrechende Medium nicht einfach durch die umgebende Luft, sondern durch eine Ummantelung des Lichtleiterkerns gebildet, wie in Abbildung 1.5 wiedergegeben. Abbildung 1.5 Aufbau einer Stufenindexfaser V.4 Dabei unterscheidet man sog. Stufenindexfasern, bei welchen der Übergang vom hochbrechenden Faserkern zum niedrigbrechenden Mantel sprunghaft geschieht, und sog. Gradientenindexfasern, die einen kontinuierlichen Übergang des Brechungsindex aus der Mitte des Kernbereichs zur Außenseite aufweisen. Letztere sind überwiegend in der Datenübertragung von Vorteil, während für medizinische Zwecke Stufenindexfasern eingesetzt werden. Für hochwertige, absorptionsarme Fasern wird sowohl für den Kern als auch für die Ummantelung als Material reines Quarzglas verwendet, wobei die notwendige Variation des Brechungsindex durch geeignete Stoffzusätze erreicht wird. Zusätzlich umgibt man die Faser mit einer weiteren Schicht, Die meist aus Kunststoffen besteht. Diese Beschichtung hat einerseits die Aufgabe, die Faser mechanisch zu schützen, und zum anderen das aus dem Mantel austretende Streulicht zu absorbieren. Daher liegt ihr Brechungsindex über dem des Mantels, sodass hier keine Totalreflexion stattfinden kann. Eine wichtige Eigenschaft von Lichtleitfasern ist ihr Lichtsammelvermögen. Es hängt ab vom Akzeptanzwinkel , d.h. dem maximalen Winkel, unter dem Licht auf die Eintrittsfläche treffen kann, um noch im Faserkern durch Totalreflexion geleitet zu werden. Es ist üblich, nicht den Winkel selbst, sondern dessen Sinus anzugeben und als numerische Apertur NA der Faser zu bezeichnen. Diese Kenngröße ergibt sich im Folgenden durch Herleitung aus dem Grenzwinkel der Totalreflexion . Abbildung 1.6 Definition des Akzeptanzwinkels Θ (siehe Text) In Abbildung 1.6 ist der Verlauf eines Lichtstrahls eingezeichnet, der die Bedingung der Totalreflexion erfüllen möge. An der Eintrittsfläche gilt nach dem Brechungsgesetz: sin n1 sin n0 worin n0 und n1 die Brechungsindizes außerhalb der Faser bzw. im Faserkern sein sollen. Eine einfache geometrische Betrachtung für rechtwinklige Dreiecke ergibt: cos sin T n2 n1 Darin ist n2 der Brechungsindex des Fasermantels. Über die Beziehung sin schließlich die numerische Apertur: NA sin V.5 n12 n22 n0 1 cos 2 folgt Die numerische Apertur NA nimmt also mit der Differenz der Brechungsindizes von Faserkern und Fasermantel zu. Nur Strahlen innerhalb des Akzeptanzwinkels werden unter Totalreflexion weitergeleitet. Licht, das unter einem größeren Winkel auf den Fasereingang trifft, erfährt keine Totalreflexion und wird somit auch nicht weitergeleitet, sondern verlässt die Faser als gebrochener Strahl und geht nach kurzer Strecke in Form von Streulicht in der Ummantelung verloren, bzw. wird vom Mantel absorbiert. In Abbildung 1.6 erkennt man sowohl einen im Akzeptanzbereich der Faser einfallenden Lichtstrahl als auch einen Strahl (gestrichelt), der wegen eines zu großen Einfallswinkels nicht weitergeleitet wird. 1.3.1 Faseroptik In vielen Bereichen der modernen Medizin nutzt man heute die besonderen Eigenschaften von Laserstrahlung. So kann man z.B. Laserlicht sehr hoher Intensität erzeugen und hervorragend fokussieren. Dadurch ergeben sich z.B. Anwendungen in der Augenheilkunde, der Dermatologie oder in der Chirurgie, wo man den Laser als Skalpell oder zur Blutstillung einsetzt. Aber erst mit Hilfe von Lichtleitfasern wird der Laser zu einer beweglichen Lichtquelle und so für die Praxis geeignet. 1.3.1.1 Einzelfaser Zum Transport von Laserstrahlung benutzt man Einzelfasern, in denen die spezifischen Eigenschaften des Laserlichts erhalten bleiben. Besonders hohe Anforderungen werden dabei an die Präzision der Einkopplung des Laserlichts in die Faser gestellt, da der Durchmesser des Faserkerns bis hin zu einigen Mikrometern betragen kann. Auf eine Fläche dieser Größe muss das Laserlichtbündel fokussiert werden. Wie bereits oben erwähnt, hat eine Einzelfaser keine abbildenden Eigenschaften, so dass das Licht am anderen Ende wieder divergent (entsprechend der NA der Faser) austritt. Also sind hier weitere zur Bündelung der Laserstrahlung geeignete Linsensysteme erforderlich. 1.3.1.2 Ungeordnetes Faserbündel Für einfachere Beleuchtungszwecke mit konventionellen Lichtquellen (z.B. Glühlampen) benutzt man Bündel aus sehr vielen Einzelfasern, da die Lichtquellen im Allgemeinen nicht genügend fokkussiert werden können. Um eine große Lichtintensität mit einer Einzelfaser zu übertragen, bräuchte man somit entsprechend großen Durchmesser. Mit zunehmendem Querschnitt, wird die Faser jedoch unflexibler. Daher werden viele kleine Fasern gebündelt, die zusammen einen Querschnitt von einigen Millimetern haben. 1.3.1.3 Geordnetes Faserbündel Eine besondere Herausforderung stellt die direkte Bildübertragung mit Lichtleitern dar. Auch in diesem Fall werden Faserbünde benötigt, da eine Einzelfaser nur die Information eines Bildpunktes übertragen kann. Wie bei der Übertragung von Fernseh- oder Computerbildern wird die Bildebene in ein Raster von Bildelementen (Pixel) eingeteilt, welche durch ihre Farbe und Helligkeit charakterisiert sind. Bei der Faseroptik geschieht das, indem man die Eintrittsfläche des Faserbündels in die Bildebene eines Objektivs bringt. Im Gegensatz zu Bündeln für Beleuchtungszwecke muss für die korrekte Bildübertragung gewährleistet sein, dass jede einzelne Faser an der Austrittsfläche des Bündels die gleiche Position einnimmt wie an der Eintrittsfläche. Es kommen also nur sog. geordnete Bündel in Frage, die natürlich weitaus aufwendiger in der Herstellung sind. Je mehr Fasern das Bündel enthält, desto detailreicher kann das Bild übertragen werden (Abbildung 1.7). V.6 Abbildung 1.7 Bilddarstellung eines Fisches in niederiger Auflösung (links) und höherer Auflösung (rechts Diese und die folgende Abbildung dienen nur zur Verständnishilfe von Bildpunkten. Abbildung 1.8 Internationale TV-Normen Eine Auflösung von 1920*1080 Pixeln (FullHD) enthält über 2 Millionen Bildpunkte (2 Megapixel), die allerdings im normalen Hausgebrauch nicht mit Lichtleitkabeln, sondern mit normalen Kabeln im HDMI format übertragen werden. Dennoch gibt es Lichtleitkabel die über 4 Megapixel übertragenkönnen. Im TV-Hifi Bereich werden z.B. digitale Tonsignale mit Toslink bzw. S/PDIF übertragen, da sie unanfälliger gegen magnetische oder elektrische Einflüsse sind, allerdings teurer als Kupferkabel. 1.3.2 Das Endoskop In der medizinischen Diagnostik können Endoskope einen unmittelbaren Einblick in das Innere von Körpern, wie z.B. den Verdauungstrakt, ermöglichen. Darüber hinaus führt man in zunehmendem Maße Operationen an schwer zugänglichen Körperbereichen, wie z.B. im Kniegelenk, unter endoskopischer Kontrolle durch (minimal invasive Chirurgie, MIV). V.7 Grundsätzlich muss ein Endoskop zwei Funktionen übernehmen. Zum einen muss Licht an den Beobachtungsort gebracht werden, und zum anderen muss die Bildinformation in geeigneter Weise zum Betrachter übertragen werden. Entsprechend enthält ein Endoskop zwei getrennte Lichtleitersysteme: Ein im Zentrum verlaufendes geordnetes Faserbündel zur Bildübertragung, das von einem ungeordneten Bündel umgeben ist, welches zur Beleuchtung dient und an eine intensive Lichtquelle gekoppelt ist. 1.4 Brechung durch Linsen Eine Linse ist ein lichtdurchlässiges Objekt, welches mindestens an einer Seite gekrümmt ist. In der folgenden Abbildung sind typische Linsen zu sehen. Abbildung 1.9 Typische Linsen Optische Achse Abbildung 1.10 Typische Linsen Sammellinsen bündeln parallel zur optischen Achse einfallende Strahlen und fokussieren sie auf einen Punkt, den sogenannten Brennpunkt F. Zerstreuungslinsen zerstreuen einfallendes paralleles Licht, dessen rückwärtige Projektion auf den virtuellen Brennpunkt weist. Dieser wird als virtuell bezeichnet, da es den Anschein hat, das Licht von diesem Punkt ausgesandt wird. Das Licht wird zweimal gebrochen, beim Eintritt und beim Austritt aus der Linse. Da wir in der folgenden Theorie zunächst nur dünne Linsen betrachten wollen, behandeln wir vereinfachend die Strahlen, als würden sie lediglich in der Linsenmitte gebrochen werden. V.8 1.4.1 Bildkonstruktion einer Sammellinse Um einen Gegenstand durch eine Linse abzubilden, wird folgende Strahlengangskonstruktion angewandt: Abbildung 1.11 Bildkonstruktion einer Sammellinse G B g b - - Gegenstandspunkt realer Bild punkt Gegenstandsweite Bildweite F1 F2 f vorderer Brennpunkt hinterer Brennpunkt Brennweite Sp Sm Sf Parallelstrahl Mittelpunktstrahl Brennpunktstrahl Vom Gegenstand G wird ein Strahl (Sp) parallel zur optischen Achse bis zur Linsenmitte gezeichnet. Da der Strahl parallel einfällt, wird er zum Brennpunkt (F2) gebrochen. Der Strahl wird von der Linsenmitte als Gerade durch den Brennpunkt fortgesetzt, er wird zum Brennpunktstrahl (Sf). Der Mittelpunktstrahl (Sm) wird vom Gegenstand durch den Mittelpunkt der Linse gezeichnet. Der Brennpunktstrahl (Sf) wird vom Gegenstand durch den vorderen Brennpunkt gezeichnet und verläuft ab der Linsenmitte parallel zur optischen Achse und wird zum Parallelstrahl (Sp). Da der Strahlengang umkehrbar ist, würde ein von der Bildseite kommender zur optischen Achse paralleler Strahl in den vorderen Brennpunkt gebrochen werden. Alle drei Strahlen treffen sich in einem Punkt B. Dieser Punkt wird Bildpunkt genannt. Wird der oberste Punkt des Gegenstandes G abgebildet, dann beschreibt dieser Punkt die Gegenstandsgröße. B beschreibt in diesem Fall die Bildgröße. Der Brennpunkt F wurde schon definiert. Die Abstände zwischen der Linse und jenen Punkten werden als Brennweite f, Gegenstandsweite g und Bildweite b genannt. Wie der Zeichnung zu entnehmen ist, befindet sich das Bild des Gegenstandes auf dem Kopf. Dieses Bild ist real und kann beispielsweise durch einen Schirm sichtbar gemacht werden. Die Bilder werden auch auf unsere Netzhaut „kopfüber“ projiziert. Im Gehirn wird dies entsprechend verarbeitet und wir 'sehen' das Bild des Gegenstandes richtig herum. V.9 1.4.2 Bildkonstruktion einer Zerstreuungslinse Abbildung 1.12 Bildkonstruktion einer Zerstreuungslinse G B g b - - 1.4.3 Gegenstand virtuelles Bild Gegenstandsweite Bildweite F1 F2 f vorderer virtueller Brennpunkt Sp hinterer virtueller Brennpunkt Sm Brennweite Sf Parallelstrahl Mittelpunktstrahl Brennpunktstrahl Der von G ausgehende achsenparallele Strahl wird durch die Linse so von der optischen Achse nach außen weggebrochen, dass seine rückwärtige Verlängerung durch F1 verläuft. Der Mittelpunktsstrahl geht wie bei der Sammellinse ungebrochen durch die Linsenmitte. und rückwärtige Verlängerung von schneiden sich in dem virtuellen Bildpunkt B von P. Hier wird vom virtuellen Brennpunkt gesprochen, da dort nicht wirklich Lichtstrahlen fokussiert werden, sondern es nur den Anschein hat, dass von dort Licht kommt. verläuft zum hinteren virtuellen Brennpunkt F2. Der Strahl wird parallel zur optischen Achse in der Linse gebrochen, sodass seine rückwärtige Verlängerung ebenfalls den Schnittpunkt im virtuellen Bildpunkt B hat. Virtuelles und reelles Bild In einem reellen Bild laufen tatsächlich Lichtstrahlen zusammen und es kann durch einen Schirm sichtbar gemacht werden. Ein virtuelles Bild hingegen ist kein Ausgangspunkt von Lichtstrahlen. Es erscheint nur einem Beobachter, als wäre es an der entsprechenden Stelle. Das virtuelle Bild am Beispiel einer Sammellinse (Abbildung 1.13, die Linse wird hier durch eine senkrechte Linie symbolisiert): Abbildung 1.13 Virtuelles Bild einer Sammellinse V.10 Werden von Punkt G aus die Hauptstrahlen gezeichnet, so laufen die Punkte rechts von der Linse nicht zusammen, sondern auseinander. Ihre rückwärtigen Verlängerungen schneiden sich in Punkt B. Ein Beobachter, der sich rechts von der Linse befindet sieht nicht den Gegenstand G, sondern sein virtuelles Bild B, welches in diesem Fall größer ist als der eigentliche Gegenstand, und die selbe Orientierung aufweist. 1.4.4 Die Abbildungsgleichung Der Zusammenhang zwischen Gegenstands-, Bild- und Brennweite wird durch die sogenannte Abbildungsgleichung beschrieben:. ! Abbildungsgleichung 𝟏 𝟏 + 𝐠 𝐛 𝟏 𝐟 Mithilfe der Abbildungsgleichung und dem Strahlensatz lassen sich Aussagen über die Bildgröße in Bezug auf die Position des Gegenstandes vor der Linse treffen. (Herleitung siehe Abschnitt 3.2) Abbildung 1.14 Skizze zum Strahlensatz (Sammellinse) 𝐺 𝑔 𝐵 𝑏 < > 𝑏 𝑔 𝐵 𝐺 𝑩 Das Verhältnis 𝑮 wird Abbildungsmaßstab genannt. Übung 2: In Abbildung 1.13 sieht man, dass ein virtuelles Bild entsteht, wenn der Gegenstand zwischen vorderem Brennpunkt und Linse liegt. Zeichnen Sie eine optische Achse und eine dazu senkrecht stehende Sammellinse. Die Brennweite soll 1,5 cm betragen und die Gegenstandsgröße 2 cm. Nutzen sie für die folgende Bildkonstruktion die Strahlengangskonstruktion aus Abschnitt 1.4.1 1. Platzieren Sie den Gegenstand zwischen die einfache und die doppelte Brennweite. Was lässt sich über das Bild sagen? V.11 2. Nun soll der Gegenstand um mehr als die doppelte Brennweite entfernt werden (Gegenstandsweite g größer als zweimal die Brennweite b). Wie sieht das Bild nun aus? 1.4.5 Brechkraft Eine Linse ist charakterisiert durch ihre Brennweite f. Im alltäglichen Leben hören wir dieses Wort aber eher selten. Bei Brillen nutzt man die sogenannte Brechkraft D. Die Einheit ist Dioptrie (1 dpt = 1 ). Es gilt 𝟏 𝒇 𝑫 Beispiel: Ist die Brennweite f = 20cm = 0,2m dann ist die Brechkraft D = 1/0,2m = 5dpt. Sammellinsen haben eine positive Dioptrienzahl und Zerstreuungslinsen eine negative. Die Korrektur von Weit- und Kurzsichtigkeit werden im Versuch 2.3 behandelt. V.12 1.5 Das Auge Beim optischen Apparat des menschlichen Auges (Abbildung 1.15) handelt es sich um ein komplexes Linsensystem. Ein eingehender Lichtstrahl wird zuerst an den Grenzflächen der Hornhaut, des Kammerwassers, der Linse und schließlich an der Grenzfläche des Glaskörpers gebrochen. In den Medien ist die Ausbreitung gradlinig. Die Hornhaut hat eine Brechkraft von ca. 43dpt. Die Linse, die über den Ziliarmuskel ihre Form ändern kann, hat selber „nur“ eine Brechkraft von 16dpt im entspannten Zustand. Wenn der Ziliarmuskel entspannt ist, sind die Zonularfasern der Linse gespannt und die Linse somit abgeflacht (Abbildung 1.16 links). Die Linse ist am dicksten Abbildung 1.15 Das Auge 1 und ihre Brechkraft damit am größten, wenn der Muskel gespannt ist, denn dann sind die Zonularfasern entspannt und ziehen nicht an der Linse (Abbildung 1.16 rechts). Die Linse ist ohne äußere Einwirkung also maximal gewölbt. Durch die Änderung der Brechkraft kann ein Bild aus unterschiedlichen Entfernungen scharf gestellt werden. Das nennt sich Akkommodation. Wenn die Linse ihre maximale Brechkraft hat, wird die minimale Entfernung, die gerade noch scharf gesehen wird, Nahpunkt des Auges genannt. Der Fernpunkt ist die Entfernung, die scharf gesehen wird, wenn keine Akkommodation vorliegt. Man sagt, dass er beim normalsichtigen Menschen im Unendlichen liegt. In Versuch 2.3 wird das komplizierte Auge auf ein Modell reduziert, welches eine Hornhaut hat und eine variable Linse. Abbildung 1.16 Augenlinse mit entspannten Ziliarmuskel (links) und mit angespannten (rechts) V.13 2 Versuch 2.1 Brechung an einer planparallelen Platte Durchführung: Vor Ihnen liegen Nägel, eine Plexiglasplatte, eine Korkmatte und Papier. Legen Sie ein Blatt Papier auf die Korkmatte und die Plexiglasplatte auf das Papier. Blicken Sie im Folgenden nicht von oben auf die Platte, sondern von vorne durch die Platte. Stellen Sie die Nägel 1 und 2 so vor die Platte, dass sie beim Schauen mit einem Auge (das andere ist geschlossen) eine Linie bilden. Nur der vordere Nagel ist zu sehen (s. Skizze rechts); Nagel 2 soll direkt an der Platte stehen. Stellen Sie dann die Nägel 3 und 4 so hintereinander, dass sie beim Blicken durch die Platte eine Flucht mit dem ersten Nagel bilden. Nagel 3 steht direkt an der Platte. Zeichnen Sie mit einem Bleistift die Seitenränder der Platte ab. Wenn Sie nun die Platte und die Nägel entfernen, können die Löcher, die die Nägel hinterlassen haben, entsprechend miteinander verbunden werden. a) Jeder von Ihnen soll den Versuch ein Mal durchführen (nutzen Sie jedes Mal ein neues Blatt). Ermitteln Sie aus den Zeichnungen den Brechungsindex der Platte (Nehmen Sie den Brechungsindex der Luft mit n = 1 an). Nutzen Sie die verschiedenen Zeichnungen um einen Mittelwert für den Brechungsindex der Platte zu bestimmen. b) Wie stehen die austretenden Strahlen geometrisch zu den einfallenden? V.14 V.15 2.2 Optische Bank Auf der optischen Bank befinden sich eine Lampe, ein Dia, eine Linse und ein Schirm. a) Stellen Sie das Bild durch Verrücken der Linse und des Schirms scharf auf dem Schirm dar und notieren sich die Gegenstandsweite g und die Bildweite b (Abstand zwischen Linse und Bild, welches in diesem Fall auf dem Schirm abgebildet wird). Diesen Vorgang führen sie für 5 unterschiedliche Gegenstandsweiten durch. Fertigen sie dazu eine Tabelle an. Gegenstandsweite g Bildweite b Brennweite f 1. Wert 1. Wert 1. Wert 2. Wert 2. Wert 2. Wert Usw. Ermitteln Sie mit der Abbildungsgleichung die Brennweite der Linse. Nutzen sie die fünf Werte für f um einen Mittelwert zu bilden. (Tipp: Mit der Taschenrechnertaste INV und der Taste 1/x lassen sich die Kehrwerte einfach addieren) Welche Brechkraft hat diese Linse (Angabe in dpt)? b) Sie haben in Übung 2 verschiedene Positionen des Gegenstandes in Abhängigkeit von der Brennweite gezeichnet. Hier können sie nun überprüfen, ob ihre Zeichnungen mit der Realität übereinstimmen (ausgenommen vom Maßstab). c) Auf dem Dia ist eine Zentimeterskala zu sehen. Bei welcher Gegenstands- und Bildweite ist diese Skala in Originalgröße auf dem Schirm (mit einem Lineal überprüfen)? Welches Vielfache ist dies von der Brennweite? d) Erzeugen Sie ein virtuelles Bild mit der Sammellinse wie in Abbildung 1.13 zu sehen ist. Wie nennt man diese Funktion? V.16 V.17 2.3 Das Augenmodell Vor Ihnen stehen eine Lampe, eine Plexiglasscheibe mit einem Buchstaben, das Augenmodell und zwei Linsen. Mit einer Lampe wird eine Plexiglasscheibe angeleuchtet. Diese Scheibe wird als Gegenstand verwendet, der abgebildet werden soll. Stellen Sie das Augenmodell so hin, dass die Gegenstandsweite ca. 50100cm beträgt. Mit der Spritze kann Wasser in die Linse gefüllt werden, die damit ihre Krümmung ändert. (Bitte vorsichtig bedienen!) Die Bildweite (Abstand der „Retina“ von der Linse) kann geändert werden. Am Anfang soll sie für ein normalsichtiges Auge eingestellt werden (Schraube oben im mittleren Loch): a) Bilden Sie durch die Akkommodation der Linse bei der vorliegenden Gegenstandsweite das Bild scharf auf die „Retina“ ab. Statt des Buchstabens kann auch die Glühlampe an sich als Gegenstand dienen und scharf gestellt werden. b) Variieren Sie die Gegenstandsweite öfter und akkommodieren die Linse, damit das Bild scharf abgebildet wird. (Jeder von Ihnen sollte die Akkommodation einmal selbst durchführen). Frage 1: Welche Form hat die Linse, wenn man eine kleine Gegenstandsweite hat und das Bild scharf ist und wie sieht sie aus, wenn die Gegenstandsweite sehr groß ist? Frage 2: Wo liegt der Nahpunkt dieses Modells? Frage 3: Wo liegt Ihr eigener Nahpunkt? c) Kurzsichtigkeit: Die Gegenstandsweite soll ca. 30 cm betragen, und das Bild scharf sein. Der Augapfel ist bei kurzsichtigen Menschen zu lang. (Verlängern Sie den Augapfel mithilfe der oberen Schraube) Frage: Wie können Sie das Bild scharf abbilden, ohne die Krümmung der Linse zu ändern? Wo liegt der Brennpunkt ohne Korrekturen? Tipp: Es gibt zwei Methoden, die vielleicht auch aus dem täglichen Leben bekannt sind. d) Weitsichtigkeit: Der Augapfel soll zunächst wieder auf die normale Länge eingestellt werden, die Gegenstandsweite ca. 30 cm betragen und das Bild scharf abgebildet sein. Bei einem weitsichtigen Menschen ist der Augapfel zu kurz, daher soll er im Modell auch mithilfe der oberen Schraube verkürzt werden. Frage: Wie können Sie das Bild scharf abbilden, ohne die Krümmung der Linse zu ändern? Tipp: Es gibt wieder zwei Methoden, die auch aus dem täglichen Leben bekannt sein könnten. e) Alterssichtigkeit: Der Augapfel soll zunächst wieder auf die normale Länge eingestellt werden, die Gegenstandsweite ca. 50 cm betragen und das Bild scharf abgebildet sein. Verkürzen Sie nun die Gegenstandsweite auf ca. 30cm. Im Alter lässt die Elastizität der Augenlinse nach. Sie dürfen daher die Linse wieder nicht ändern. Frage: Wo liegt der Nahpunkt bei dieser Einstellung, quasi wie bei einem alterssichtigen Menschen? Frage: Was müssen sie tun, um das Bild dennoch scharf abzubilden? Was würde das im Alltag entsprechen? V.18 V.19 2.4 Die Leuchtbox Der längliche schwarze Kasten vor Ihnen enthält eine Halogenlampe. Im vorderen Teil des Kastens befindet sich eine Platte, mit 1,2,3 oder 5 Spalten pro Seite, die dementsprechend viele parallele Lichtstrahlen „erzeugt“. a) Nutzen Sie einen Lichtstrahl. Nehmen Sie ihre Zeichnungen aus dem Versuch 2.1 und legen Sie die Platte an ihre alte Position. Nun können Sie den Strahlengang, den Sie vorher gezeichnet haben tatsächlich verfolgen. b) In Versuch 2.2a wurde die Brennweite einer Linse über Gegenstandsweiten und Bildweiten ermittelt. Nehmen Sie die Einstellung mit den drei Spalten und verschiedene Linsen. Wie können Sie die Brennweiten ganz einfach ermitteln? c) Nehmen Sie die halbzylindrische Linse und nutzen Sie die Einstellung mit den fünf Spalten. Die gerade Seite der Linse soll senkrecht zur optischen Achse in Richtung der Halogenbox liegen. Was beobachten Sie? Anschließend drehen sie die Linse um 180°. Gibt es Unterschiede? Versuchen sie ihre Beobachtungen zu begründen. d) Nehmen sie die plankonvexe und plankonkave Linse (zusammengelegt bilden sie einen Quader). Nehmen Sie die Einstellung mit den 3 Spalten oder nehmen Sie die Spaltblende ganz heraus. Variieren sie nun den Abstand zwischen den Linsen. Was beobachten sie? Versuchen sie ihre Beobachtung zu begründen. e) Nehmen Sie nun wieder den einfachen Spalt und das trapezförmige Prisma. Lassen sie den Lichtstrahl auf die lange Seite des Prismas fallen und drehen sie das Prisma. Was können Sie beobachten? Achten sie besonders auf die Reflexion. Was können sie beobachten, wenn sie den Strahl durch die Spitze Ecke des Trapezes leiten? f) Nutzen sie den 'dreier Spalt'. Dies ist der Veranschaulichung der Strahlengänge beim Augenmodell. Legen sie dazu eine Sammellinse, die die Hornhaut symbolisieren soll auf ein Blattpapier und durchleuchten sie senkrecht mit den Strahlen. Markieren sie die Brennweite mit einem Strich auf dem Papier. Dies würde das normalsichtige Auge symbolisieren. Mit zusätzlichen Linsen können Sie nun die Brennweite nach vorne und hinten Verlagern, so wie Brillen das tun, damit wir scharf sehen, falls der Bulbus zu lang, bzw. zu kurz ist. V.20 V.21 2.5 Grenzwinkel Die Totalreflexion lässt sich auf einfache Weise an einem Glaskörper mit halbzylindrischem Querschnitt bestimmen. Diese Form hat den Vorteil, dass das an der Zylinderfläche ins Glas eindringende Lichtbündel keine Richtungsänderung erfährt; auch dann nicht wenn man den Körper um die Zylinderachse dreht. a) Warum ist das so? Abbildung 2.1 Anordnung zur Messung des Grenzwinkels für Totalreflexion Somit kann man den Grenzwinkel der Totalreflexion unmittelbar am Winkel der planen Seite des Glaskörpers gegenüber der Strahlachse ablesen. Entsprechend ergibt sich die in Abbildung 2.1 dargestellte Messanordnung. Als Lichtquelle dient hier wie auch für alle folgenden Messungen ein Diodenlaser. Im weiteren Verlauf des Strahlengangs befindet sich eine senkrechte Spaltblende mit 0,2 mm Breite. Das auf diese Weise eingeengte Lichtbündel trifft senkrecht auf die konvexe Fläche des Glaskörpers. Dieser ist um die Achse dieser Zylinderfläche drehbar auf einer mit einer Winkelskala versehenen Platte angebracht. Beim Austritt des Lichtbündels auf der Planseite des Glaskörpers findet das Brechungsgesetz Anwendung. Das ausgetretene Lichtbündel wird zur Beobachtung auf einen weißen Schirm projiziert. Ausgehend vom senkrechten Lichtaustritt, wird nun der Einfallswinkel durch Drehung des Glaskörpers so lange variiert, bis der Ausfallswinkel gerade den Wert 90° annimmt. Man erkennt diesen Grenzfall des streifenden Lichtaustritts daran, dass bei einer geringfügigen weiteren Drehung das Licht des gebrochenen Strahlenbündels vom Projektionsschirm verschwindet. b) Berechnen Sie den Brechungsindex des Glaskörpermaterials. 2.5.1 Faseroptik Um die Übertragungseigenschaften verschiedener Lichtleitertypen zu begutachten, enthält der Messplatz eine Projektionseinrichtung, mit der die Austrittsfläche von Lichtleitern vergrößert auf einem Transparentschirm abgebildet werden kann. Die zur Abbildung verwendete Sammellinse hat eine Brennweite von 10 mm. Damit erhält man bei einer Tubuslänge von 150 mm einen VergrößeV.22 rungsfaktor von etwa 14x. Die Einkopplung des Laserlichts erfolgt, wie in Abbildung 2.2 zu sehen ist. Um ein scharfes Bild zu erzeugen, muss sowohl die Sammellinse vor dem Lichtleiter, als auch die ihm justiert werden. Lichtleitfaser Laser Abbildung 2.2 Messplatz mit Lichtleitfasern a) Untersuchen Sie die drei unterschiedlichen Fasern auf ihre Bildübertragungsfähigkeit. Orange – Einzelfaser Schwarz – ungeordnetes Faserbündel Transparent – geordnetes Faserbündel Arbeiten Sie zuerst ohne Objekt. Variieren sie durch Verschieben der Linsen das Bild auf dem Schirm. Gibt dabei es Unterschiede bei den Fasern? b) Als Objekt dient ein sog. Siemensstern, der aus einer sternförmigen Struktur von je 36 abwechselnd lichtdurchlässigen und lichtundurchlässigen Sektoren besteht. Den stellen Sie zwischen Laser und Sammellinse. Wiederholen sie den Vorgang aus a) und beschreiben Sie ihre Beobachtungen. V.23 V.24 2.5.2 Endoskop Nutzen Sie das Endoskop nach freiem Ermessen. V.25 3 Appendix: Vertiefende Theoretische Grundlagen Die folgenden Ausführungen dienen zur Vertiefung des Stoffs, zur Herleitung von Zusammenhängen und zur Begleitung der Vorlesung. Sachverhalte werden dem interessierten Studenten nahe gebracht. Wir begrüßen ausdrücklich, wenn sich Studierende auch für die Hintergründe und Zusammenhänge interessieren und wollen hier eine kleine Anregung bieten. 3.1 Brechungsgesetz Der eingehende Lichtstrahl befindet sich im Vergleich zum ausgehenden Strahl in einem Medium mit anderer Ausbreitungsgeschwindigkeit. Während im ersten Medium in einer bestimmten Zeitspanne der Weg zurückgelegt wird, legt das Licht in der gleichen Zeit im Medium 2 den Weg zurück. Dadurch kommt es zu einer Änderung der Richtung, da sich der ausgehende Strahl nun durch die Überlagerung der Wellenfronten (Huygenssche Prinzip) in eine andere Richtung bewegt. In der Abbildung sind beispielhaft Verhältnisse für n2 > n1 dargestellt, sodass das Licht zum Lot hin gebrochen wird. Medium 1 mit 𝑐 ausgehende Wellenfront Medium 2 mit 𝑐 eingehende Wellenfront Grenzfläche Es gilt: > ̅̅̅̅ , ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ da da ∗ , ∗ , Also V.26 In der Vorlesung wurde eine Weiter Möglichkeit der Herleitung des Brechungsgesetztes diskutiert, dem Fermatschen Prinzip: Der Weg, den das Licht von einem Punkt zu einem anderen einschlägt, ist stets derjenige, bei dem die dafür benötigte Zeitspanne minimal ist. Gerade dieses Prinzip ist auch für die Physiologie sehr interessant, da z.B. Hunde, die einen Stock aus dem Wasser holen wollen, ihren Weg an Land und im Wasser nach ähnlichen Prinzipien (natürlich intuitiv) wählen. 3.2 Brechung an einer kugelförmigen Grenzfläche Die gekrümmte Hornhaut des Auges sowie die Oberflächen von Linsen sind kugelförmige Grenzflächen zwischen Medien mit verschiedenen Brechungsindizes n1 und n2. In Abbildung 3.1 ist der Strahlverlauf an einer derartigen Kugelfläche dargestellt. Diese Abbildung soll für die Herleitung der Abbildungsgleichung verwendet werden. Dabei werden Vereinfachungen durchgeführt, die zu einer wesentlichen Einschränkung der Anwendbarkeit der Abbildungsgleichung führen. Diese Einschränkungen werden jedoch oft bei der Anwendung der Abbildungsgleichung vernachlässigt. Abbildungsfehler werden dann wieder empirisch eingeführt, sie ergeben sich aber direkt aus den hier dargestellten Zusammenhängen und deren Vereinfachungen. Als optische Achse bezeichnet man die Symmetrieachse, die durch das Zentrum Z der Kugelfläche und den Krümmungsmittelpunkt K verläuft. Ein von einem Punkt A auf der optischen Achse ausgehender Lichtstrahl wird an der Grenzfläche im Punkt P gebrochen und kreuzt die Achse wieder nach der Brechung im Punkt B. Mit dem Lot im Punkt P, das die Achse im Krümmungsmittelpunkt K der Kugelfläche trifft, bildet der Strahl die Winkel α bzw. β. Abbildung 3.1 Brechung an einer kugelförmigen Grenzfläche Nach dem Brechungsgesetz ergibt sich für achsennahe Strahlen, d.h. für hinreichend kleine Winkel α und β folgende Näherung: n 2 sin n1 sin (3.1) Die Winkel und des Lichtstrahls sowie der Winkel γ des Lots mit der optischen Achse lassen sich unter gleichen Bedingungen wie folgt ausdrücken: 1 tan 1 d g 2 tan 2 V.27 d b tan d r (3.2) Dabei ist d der Abstand des Schnittpunktes des Lichtstrahls mit der Kugelfläche zur optischen Achse und r der Krümmungsradius. Die Strecken g AZ und b BZ werden mit Bezug auf ihre Bedeutung bei der optischen Abbildung als Gegenstandsweite bzw. Bildweite bezeichnet. Aus Abbildung 3.1 lassen sich die folgenden Winkelbeziehungen ableiten: 1 2 Drückt man die Winkel γ , 1 und Winkel α aus, so folgt daraus: (3.3) durch die Näherungen (3.2) und den Winkel β mit Hilfe von (3.1) durch den n d d d 1 r g n2 b (3.4) Mit dem linken Teil der Gleichung (3.4) lässt sich α ausdrücken und durch Einsetzen in den rechten Teil eliminieren, so dass man schließlich erhält: d n1 r n2 d d d r g b und nach Division durch d und Multiplikation mit n2 die Abbildungsgleichung: n1 n n n1 2 2 g b r (3.5) In dieser Gleichung sind weder die Winkel γ , 1 und noch der Abstand d enthalten, doch sollte man in Erinnerung behalten, dass das Ergebnis auf den Näherungen für achsennahe Strahlen (3.1) und (3.2) beruht. Unter dieser Voraussetzung werden also alle vom Punkt A ausgehenden Lichtstrahlen nach Brechung an der kugelförmigen Grenzfläche wieder im Punkt B vereinigt, d.h. B ist der Bildpunkt von A. Parallel zur Achse einfallende Strahlenbündel ( 1 = 0, g ) werden im rechtsseitigen Brennpunkt zusammengeführt. Als zugehörige (hintere) Brennweite erhält man b fb n2 r n 2 n1 (3.6) Entsprechend erhält man den linksseitigen Brennpunkt, indem man ihn als Ausgangspunkt von Strahlen definiert, die als achsenparalleles Bündel austreten ( = 0, b ). Die zugehörige (vordere) Brennweite beträgt g fg n1 r. n 2 n1 (3.7) Vordere und hintere Brennweite verhalten sich zueinander wie die Brechungsindizes vor und hinter der Grenzfläche. Bildet man also die Quotienten aus den Brechungsindizes n 2 bzw. n1 und den zugehörigen Brennweiten nach Gl. (3.6) und (3.7), so erhält man übereinstimmend die Größe D n2 n n n1 , 1 2 fb fg r die man als Brechkraft der Kugelfläche bezeichnet. Die Einheit der Brechkraft ist die Dioptrie: 1 Dioptrie = 1 dpt = 1 . m Man beachte, dass auf der rechten Seite von (3.5) gerade die so definierte Brechkraft steht. V.28 (3.8) 3.3 Brennpunkte bei Sammel- und Zerstreuungslinsen In Abbildung 3.2 ist ein Querschnitt durch zwei sich schneidende Kugeln mit den Mittelpunkten M 1 und M2 und den Radien r1 und r2 gezeichnet. Die beiden Kugeloberflächen begrenzen eine bikonvexe sphärische Linse S.L., deren Querschnitt als durchgehende Linie gezeichnet ist. (Die hier dargestellte Linse ist allerdings durchaus nicht dünn. Abbildung 3.2 Radien der eine bikonvexe Linse begrenzenden Kugelflächen Unter der Voraussetzung, dass der Abstand der brechenden Flächen klein gegen deren Krümmungsradien ist, addieren sich ihre Brechkräfte zur Gesamtbrechkraft der Linse. (daraus ergibt sich die Gültigkeit der Abbildungsgleichung für dünne Linsen) Ausgehend von (3.5) erhält man also: n1 n 3 n n1 n 3 n 2 2 g b r1 r2 (3.9) Die in (3.9) vorkommenden Brechungsindizes sind wie folgt zuzuordnen: n 1 und n3 beziehen sich auf die Medien auf der konvexen Seite der Kugelflächen, also zu beiden Seiten außerhalb der Linse. n 2 ist der Brechungsindex auf der konkaven Seite der Kugelflächen, also im Inneren der Linse. Der umgekehrten Krümmung der rechten Linsenoberfläche wird durch das negative Vorzeichen des Krümmungsradius r 2 Rechnung getragen. In den meisten Fällen wird eine Linse auf beiden Seiten von Luft umgeben sein, d.h. in guter Näherung kann man setzen: n1 = n3 1. Bezeichnet man dann den Brechungsindex des Linsenmaterials mit n, so reduziert sich (3.9) auf: 1 1 1 1 n 1 g b r1 r2 (3.10) Die vordere und hintere Brennweite einer auf beiden Seiten von Luft umgebenen dünnen Sammellinse erhält man durch Betrachtung der Grenzfälle b bzw. g , d.h. achsparalleler Strahlverlauf im Bildraum bzw. Gegenstandsraum. Man erhält für beide Grenzfälle das gleiche Ergebnis: 1 1 1 n 1 f r1 r2 (3.11) 1 r1 r2 n 1 r1 r2 (3.12) bzw. nach der Brennweite f aufgelöst: f Die Brennpunkte F1 und F2 einer dünnen Sammellinse befinden sich also auf der optischen Achse im gleichen Abstand f rechts und links von der Linsenmitte. Aus (3.11) bzw. (3.12) folgt weiter: Je kleiner die Radien der die V.29 Linse begrenzenden Kugeloberflächen sind, d.h. je stärker die Wölbung der Linsenflächen ist, desto größer wird die rechte Seite von (3.11), d.h. desto kleiner wird die Linsenbrennweite f. Durch Einsetzen von (3.11) in (3.10) erhält man schließlich die Abbildungsgleichung für dünne Sammellinsen: 1 1 1 g b f (3.13) Die Diskussion dieses Gesetzes erfolgt in Abschnitt 1.4.1 in Zusammenhang mit der Bildkonstruktion für Sammellinsen. Die Tatsache, dass f proportional zu 1/(n-1) ist, hat eine wichtige Konsequenz für Abbildungen mit Röntgenstrahlung: Röntgenstrahlung ist ebenso wie Licht elektromagnetische Welle, nur sind die Wellenlängen von Röntgenstrahlen um ein Vielfaches kleiner als die von Licht. Im Wellenlängenbereich der Röntgenstrahlen besitzt der Brechungsindex aller für elektromagnetische Strahlung durchlässigen Stoffe einen Wert von nahezu n = 1. Damit wird (n-1) 0 und die Brennweiten nach (3.11) werden beliebig groß, d.h. es lassen sich keine Linsen für Röntgenstrahlen herstellen. Betrachten wir nun eine dünne Zerstreuungslinse. In Abbildung 3.3 treffen achsenparallele Lichtstrahlen von links kommend auf die Linse. Die einfallenden Lichtstrahlen werden von der optischen Achse weg nach außen gebrochen - es kommt zu keiner Vereinigung der Strahlen rechts von der Zerstreuungslinse. Aber: Verlängert man die auseinanderlaufenden Strahlen rückwärtig, also in das Gebiet der einfallenden Strahlen, so scheinen sie alle von einem einzigen Punkt der optischen Achse auszugehen. Diesen Punkt nennt man den virtuellen linken Brennpunkt F1 der Zerstreuungslinse (virtuell = scheinbar, nicht wirklich). Den Abstand dieses Brennpunkts von der Mittelebene ME der Zerstreuungslinse nennt man den Betrag f ihrer virtuellen Brennweite, die Brennweite f selbst ist negativ. Abbildung 3.3 Brennpunkte und Brennweite einer Zerstreuungslinse Zu diesem Ergebnis kommt man, indem man in (3.9) entsprechend der anderen Krümmung die Vorzeichen der Radien r1 und r2 als negativ annimmt und die dort durchgeführten Annahmen über die Brechungsindizes übernimmt: n1 n 3 n n1 n 3 n 2 2 g b r1 r2 . 1 1 1 1 n 1 g b r1 r2 negative Brennweite Lässt man analog achsenparallele Strahlen von rechts kommend auf die Zerstreuungslinse fallen, erhält man durch deren rückwärtige Verlängerung den rechten virtuellen Brennpunkt F2 der Zerstreuungslinse. Es ist wichtig, sich noch einmal den Unterschied zwischen dem Brennpunkt einer Sammellinse und dem virtuellen Brennpunkt einer Zerstreuungslinse klarzumachen: Ein Parallellichtbündel wird durch eine Sammellinse in V.30 den Brennpunkt fokussiert, sodass dort tatsächlich eine Konzentration von Strahlungsenergie auf engstem Raum auftritt - daher auch die Bezeichnung 'Brennpunkt'. Bei der Zerstreuungslinse hingegen scheinen die die Linse verlassenden Strahlen nur von einem Punkt der optischen Achse zu kommen (daher die Bezeichnung virtueller Brennpunkt), eine Konzentration von Strahlungsenergie findet bei der Zerstreuungslinse nicht statt. Wir haben bisher nur bikonvexe bzw. bikonkave Linsen betrachtet. Unsere Überlegungen über definierte Brennpunkte und gleiche Brennweiten f auf beiden Seiten einer Linse gelten aber ebenso für die anderen in Abbildung 1.9 gezeigten Linsenformen. (3.11) gilt allerdings nur für die Brennweite einer bikonvexen Sammellinse in Luft; für andere Linsenformen muss sie entsprechend (3.9) modifiziert werden. 3.4 Foto einer Lichtbrechung Abbildung 3.4 Foto einer Lichtbrechung V.31
