Formelsammlung Lineare Verzinsung

Finanzmathematik Formelsammlung
I
II
III
IV
V
VI
VII
VIII
IX
X
XI
a01
I
Lineare Verzinsung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Exponentielle Verzinsung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Abschreibungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Arithmetische und Geometrische Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Rentenrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Tilgung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Investitionsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Renditen von Aktien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Festverzinsliche Wertpapiere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Risikoanalyse einzelner Anlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10
Rendite- und Risikoanalyse von Portfolios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
p
mathenachhilfe.ch
Lineare Verzinsung (ohne Zinseszinsen)
Endwertformel
t
Kt = K0 · 1 + i ·
360
Kt
K0
Kt
i
t
Barwert
Endwert
Zinssatz
Tage
• Konvention: bei Anwendung des Äquivalenzprinzips ist als Stichtag
jeweils der Tag der letzten Zahlung zu wählen.
• Ein Monat hat 30 Tage, der letzte Tag wird gezählt, der erste nicht.
t Tage
K0
Endwertformel bei verschiedenen Zinssätzen
t1
t2
tk
Kt = K0 · 1 + i1 ·
+ i2 ·
+ · · · + ik ·
360
360
360
Kt
t3 Tage
t2 Tage
t1 Tage
Zinssatz i1 Zinssatz i2 Zinssatz i3
K0
Mittlerer Zahlungstermin
t=
K1 + K2 + · · · + Kk
K 1 · t1 + K 2 · t2 + · · · + K k · tk
K1 + K2 + · · · + Kk
t Tage
t1 Tage
t2 Tage
K1
K2
Kk
a02
Jahresersatzraten
R∗
nachschüssige Raten:
m−1
∗
R =m·r· 1+i·
2m
r
R∗
i
m
Raten
Jahresersatzrate
Zinssatz
Raten pro Jahr
0
Q1
Q2
a03
r
vorschüssige Raten:
m+1
R∗ = m · r · 1 + i ·
2m
r
R∗
i
m
Raten
Jahresersatzrate
Zinssatz
Raten pro Jahr
0
r
a04
Effektiver Jahreszins bei Skonto
ieff =
360
s
·
1−s
t
Q1
Q3
r
Q2
r
Q4 1
r
Q3
r
r
R∗
Q4 1
r
voller Rechnungsbetrag
ieff effektiver Jahreszinssatz
s
Skontosatz
t
Tage
max. Zahlungsfrist
ohne Skonto
max. Zahlungsfrist
mit Skonto
t Tage
abzüglich Skonto
1
II
Exponentielle Verzinsung (mit Zinseszinsen)
b01
Endwertformel
Kn
n
Kn = K0 · (1 + i) = K0 · q n
K0
Kn
i
q
n
Barwert
Endwert
Zinssatz
Zinsfaktor
Jahre
n Jahre
p
q =1+i=1+
100
K0
Auf- und Abdiskontieren
Aufdiskontieren:
Abdiskontieren:
1
K0 = Kn · n
q
Kn = K0 · q n
K·
K
1
q3
K
1
q2
1
qn
K·q
K
1
q
Kq
n
Kq2
Kq3
K
Endwertformel bei verschiedenen Zinssätzen
Kn
Kn = K0 · q1n1 · q2n2 · . . . · qknk
n1 Jahre
Zinssatz i1
n2 Jahre
Zinssatz i2
Gemischte Verzinsung
t1
t2
Kn = K0 · 1 + i ·
· qn · 1 + i ·
360
360
n Jahre
t2 Tage
Kn
t1 Tage
b02
K0
K0
Mittlerer Zahlungstermin
qn =
K1 + K2 + . . . + Kk
K1 · q n1 + K2 · q n2 + . . . + Kk · q nk
K1 + K2 + . . . + Kk
n Jahre
n1 Jahre
n2 Jahre
K1
K2
Kk
m·n
Kn = K0 · (1 + ip )
K0
Kn
ip
m
n
Kn
Barwert
Endwert
Perioden-Zinssatz
Zinsperioden pro Jahr
Jahre
m Perioden
pro Jahr
n Jahre ⇒ m · n Zinsperioden
Periodenzinssatz bei nominellem Jahreszins inom (relativer Zinssatz):
m·n
inom
inom
Kn = K0 · 1 +
ip = irel =
und damit:
m
m
b05
b04
b03
Unterjährige Verzinsung
b07
b06
Periodenzinssatz bei effektivem Jahreszins ieff (konformer Zinssatz):
ip = ikonf =
√
1 + ieff − 1
m
Zusammenhang zwischen nominellem und effektivem Zinssatz:
m
inom
1+
= 1 + ieff
m
2
K0
b08
Kurzfristiger Kredit:
m
360
Kt
−1
−1 ·
ieff = 1 +
K0
t·m
b09
Effektivverzinsung kurzfristiger Kredite bzw. Skonto
Skonto:
ieff = 1 +
360
s
·
1−s t·m
m
K0
Kt
t
m
ieff
s
Kt
Kredit
Rückzahlung
Tage
Zinsperioden pro Jahr
effektiver Jahreszinssatz
Skontosatz
t Tage
K0
−1
b10
Stetige Verzinsung
K0
Kt
i
t
Kt = K0 · ei·t
Kt
Barwert
Endwert
stetiger Zinssatz (nominell)
Jahre
t Jahre
b13
b12
b11
Zusammenhang zwischen stetigem (nominellem) und effektivem Zinssatz:
K0
eis = 1 + ieff
Inflation und Realverzinsung
n K0 Kapitalanlage
1 + inom
Kn,0 Realwert auf Basis Anlagezeitpunkt
Kn,0 = K0 ·
inom nomineller Jahreszinssatz
1 + iinfl
ireal =
· (1 + inom )5
K0
iinfl Inflationsrate
ireal Realzinssatz
n
Jahre
inom − iinfl
1 + iinfl
K5
K5,0
K5,1
K5,2
K5,3
· 1+i1
K5,4
· 1+i1
infl
infl
b14
Kaufkraftgleiche frühere bzw. spätere Beträge:
Gn = G0 · (1 + iinfl)
III
n
G0
Gn
iinfl
n
Kaufkraftgleicher früherer Betrag
Kaufkraftgleicher späterer Betrag
Inflationsrate
Jahre
Abschreibungen
c02
c01
Lineare Abschreibung
a=
R0
Rn
Rt
a
n
t
R0 − Rn
n
Anschaffungswert
Restwert
Buchwert nach t Jahren
Abschreibungsbetrag
Abschreibungsdauer
beliebiges Jahr
Rt = R0 − t · a
c04
Rt = (1 − i) · R0
c05
c03
t−1
r
t
i=1−
t
100 (R0 )
1
80
· R0
R0
Rn
Rt
i
at
n
t
Anschaffungswert
Restwert
Buchwert nach t Jahren
Prozentualer Abschrieb
Abschreibungsbetrag im Jahr t
Abschreibungsdauer
beliebiges Jahr
−20
2 60 (Rt )
(t)
3
−20 (a)
0
100 (R0 )
1
80
51.20
4 40.96 (Rn )
(n)
Rt
R0
3
−20
−20
−20
−20
2 64 (Rt )
(t)
3
(a)
−20
−20
−20
40
4 20 (Rn )
(n)
Geometrisch degressive Abschreibung
at = i · (1 − i)
0
−16 (at )
−12.80
−10.24
K5,5
(i)
−20%
−20%
−20%
−20%
c09
Übergang von geometrisch degressiver Abschreibung zu linearer Abschreibung
Rt Geometrisch degressiv
Zeitpunkt, bei welchem sich der Übergang lohnt:
t=n−
n
t
1
+1
i
i
Nutzungsdauer
Zeitpunkt, bei welchem sich der Übergang lohnt:
• falls t ganzzahlig: Übergang im Jahr t oder t + 1
• falls t nicht ganzzahlig: t aufrunden auf die nächste ganze Zahl
Abschreibungssatz der geometrisch degressiven Abschreibung
Linear
n
t
R0 − Rn
n · (n + 1)
c07
d=2·
at = (n + 1 − t) · d
c08
c06
Arithmetisch degressive Abschreibung (digital)
Rt = R0 −
IV
R0
Rn
Rt
d
at
n
t
Anschaffungswert
Restwert
Buchwert nach t Jahren
Degressionsbetrag
Abschreibungsbetrag im Jahr t
Abschreibungsdauer
beliebiges Jahr
0
100 (R0 )
1
68
d01
−8
−8
Arithmetische und Geometrische Folgen und Reihen
Arithmetische Folge an :
an − am
n−m
a1
,
a2
s1 = a1 ,
+d
s2
+d1
+d
a1
d06
d07
···
, an−1 ,
an
, an+1 ,
···
···
+d
,
s3
+d2
+d
,
a2
·q
n−1
a1
=
1−q
,
,
···
sn
, sn+1 ,
···
an
, an+1 ,
···
···
+d3
+d
, sn−1 ,
+d
···
···
, an−1 ,
Geometrische Folge an :
Geometrisch: Konstante Quotienten q
r
an
n−m
q=
am
qn − 1
sn = a1 ·
q−1
a3
Folge der Teilsummen sn = a1 + a2 + . . . + an :
a1
an = a1 · q
,
d04
d02
d03
n · (a1 + an )
n · (2a1 + (n − 1) · d)
sn =
=
2
2
d05
(d)
−8
t · (2n − t + 1)
·d
2
an = a1 + (n − 1) · d
d08
−8
4 20 (Rn ) −8
(n)
+d
s∞
−16
−16
28
Arithmetisch: Konstante Differenzen d
d=
−24
−24 (at )
2 44 (Rt )
(t)
3
−32
−32
,
a3
·q
,
·q
···
Folge der Teilsummen sn = a1 + a2 + . . . + an :
s1 = a1 ,
a1
für |q| < 1
+d1
·q
4
s2
,
s3
+d2
·q
,
···
···
+d3
·q
, sn−1 ,
·q
···
sn
, sn+1 ,
···
V
Rentenrechnung
Nachschüssige Rente
R0
Rn
e01
Endwert:
Rn = R ·
R0
Rn
R
q
n
qn − 1
q−1
e02
Barwert:
R0 = R ·
Barwert
Endwert
Rate
Zinsfaktor
Anzahl Raten
qn − 1 1
·
q − 1 qn
R
Vorschüssige Rente
R
R
n Raten
R
R
R0
Rn
e03
Endwert:
R′0
R′n
R
q
n
qn − 1
·q
=R·
q−1
Rn′
e04
Barwert:
R0′ = R ·
Barwert
Endwert
Rate
Zinsfaktor
Anzahl Raten
1
qn − 1
· n−1
q−1 q
R
e05
Ewige Rente (nachschüssig)
R0∞
R
R
n Raten
R
R
R∞
0
R∞
Barwert
0
R
Rate
i
Zinssatz
R
=
i
R
R
R
R
∞ viele Raten
R
Renten für Rentenperiode 6= Zinsperiode
Benutze die üblichen End- und Barwertformeln für vor- und nachschüssige Renten, wobei entweder:
• . . . der Jahreszinsfaktor q durch den entsprechenden Zinsfaktor qp für eine Rentenperiode ersetzt wird.
• . . . die Rente R durch eine entsprechende (nachschüssige) Jahresrente R∗ ersetzt wird.
qp = qk
e06
Rentenperiode > Zinsperiode:
qp = q k
q
k
qp
Jahreszinsfaktor
Anzahl Zinsperioden in einer Rentenperiode
Zinsfaktor für eine Rentenperiode
R
R
qp
Rentenperiode < Zinsperiode:
R
e07
ISMA-Methode:
qp =
√
q
m
q
m
qp
Jahreszinsfaktor
Anzahl Renten in einer Zinsperiode
Zinsfaktor für eine Rentenperiode
R
R
R
R
R
R
R
R
R
e08
US-Methode:
q−1
qp = 1 +
m
q
m
qp
R∗
Jahreszinsfaktor
Anzahl Renten in einer Zinsperiode
Zinsfaktor für eine Rentenperiode
360-Tage-Methode:
Nachschüssige Raten:
m−1
∗
R =m·r· 1+i·
2m
r
R∗
i
m
Vorschüssige Raten:
m+1
∗
R =m·r· 1+i·
2m
Raten
Jahresersatzrate
Jahreszinssatz
Raten pro Jahr
Q2
r
Q3
r
Q4 1
r
r
R∗
0
5
Q1
e11
e10
0
r
Q1
Q2
r
Q3
r
Q4 1
r
R
VI
Tilgung
f02
K0
n
Zt = i · (K0 − (t − 1) · T )
f03
T =
K0
n
i
T
Zt
At
Kt
At = T + i · (K0 − (t − 1) · T )
f04
f01
Ratentilgung (konstante Tilgung)
Kt = K0 − t · T
A =T +Z
0 10′ 000.− (K0 )
Anfangsschuld
Laufzeit in Jahren
Jahreszinssatz
konstante Tilgung
Zins im Jahr t
Annuität im Jahr t
Restschuld im Jahr t
1 8′ 000.−
2′ 000.−
2 6′ 000.−
2′ 000.−
2′ 000.−
(T )
(t) 3 4′ 000.− (Kt )
4 2′ 000.−
2′ 000.−
(n) 5 0.−
Tilgungsplan
Jahr
t
1
2
3
4
5
Schuld
Anfang Jahr
Kt−1
Zinsen
Zt = i · Kt−1
10′ 000.−
8′ 000.−
6′ 000.−
4′ 000.−
2′ 000.−
500.−
400.−
300.−
200.−
100.−
n
f06
q · (q − 1)
· K0
qn − 1
Tt = q t−1 · (A − i · K0 )
f07
A=
Zt = A − q t−1 · (A − i · K0 )
f08
f05
Annuitätentilgung (konstante Annuität)
Kt = q t · K0 −
K0
n
i
A
Zt
Tt
Kt
konstante
Tilgung
Annuität
K0
T =
At = Zt + T
n
2′ 000.−
2′ 000.−
2′ 000.−
2′ 000.−
2′ 000.−
Schuld
Ende Jahr
Kt = Kt−1 − T
2′ 500.−
2′ 400.−
2′ 300.−
2′ 200.−
2′ 100.−
8′ 000.−
6′ 000.−
4′ 000.−
2′ 000.−
0.−
A =T +Z
0 10′ 000.− (K0 )
Anfangsschuld
Laufzeit in Jahren
Jahreszinssatz
konstante Annuität
Zins im Jahr t
Tilgung Jahr t
Restschuld im Jahr t
1 8′ 190.25
1′ 809.75
2 6′ 290.02
1′ 900.24
1′ 995.25
(Tt )
(t) 3 4′ 294.77 (Kt )
4 2′ 199.76
2′ 095.01
(n) 5 0.−
qt − 1
·A
q−1
Tilgungsplan
Jahr
t
1
2
3
4
5
Schuld
Anfang Jahr
Zinsen
Kt−1
Zt = i · Kt−1
10′ 000.−
8′ 190.25
6′ 290.02
4′ 294.77
2′ 199.76
500.−
409.51
314.50
214.74
109.99
Tilgung
T t = A − Zt
1′ 809.75
1′ 900.24
1′ 995.25
2′ 095.01
2′ 199.76
konstante
Schuld
Annuität
Ende Jahr
A
Kt = Kt−1 − T
2′ 309.75
2′ 309.75
2′ 309.75
2′ 309.75
2′ 309.75
8′ 190.25
6′ 290.02
4′ 294.77
2′ 199.76
0.−
VII Investitionsrechnung
Hilfsmittel zu Bewertung einer Investition
Nettobarwert:
E1
E2
En
NPV = −I0 +
+ 2 + ... + n
qM
qM
qM
I0
Ei
qM
NPV
IRR
E1
Investition
Eingänge
Martkzinsfaktor
Nettobarwert
Interner Ertragssatz
TI200/89: npv(i%,-I0,{E1 ,E2 ,. . .,Ek },{n1,n2 ,. . .,nk })
Häufigkeiten {n1 , n2 , . . . , nk }
optional
Interner Ertragssatz:
0 = −I0 +
En
E2
E1
+ 2 + ... + n
q
q
q
⇒
IRR = q − 1
TI200/89: irr(-I0,{E1 ,E2 ,. . .,Ek },{n1 ,n2 ,. . .,nk })
Häufigkeiten {n1 , n2 , . . . , nk }
optional
6
I0
E2
E3
Interpretation von NPV und IRR
Beispiel:
t
Aus (It )
0
1
2
3
-100
Ein (Et )
30
30
40
NPV > 0
IRR > iM
3
iM
0.01
NPV < 0
IRR < iM
⇒ Investition lohnt sich
⇒ Investition lohnt sich nicht
⇒ Investition identisch mit Markt
NPV
Beispiel:
t
Aus (It )
0
1
2
3
-72.5
Ein (Et )
90
60
0.2
NPV > 0
IRR2
keine Normalinvestition:
֒→ mehrere Vorzeichenwechsel
von Zahlungsausgängen zu
Zahlungseingängen:
IRR1
NPV > 0, IRR > iM
NPV < 0, IRR < iM
NPV = 0, IRR = iM
NPV
IRR
Normalinvestition:
֒→ nur ein Vorzeichenwechsel
von Zahlungsausgängen zu
Zahlungseingängen:
0.1
-78
iM
NPV < 0
NPV < 0
NPV > 0
⇒ Investition lohnt sich
NPV < 0
⇒ Investition lohnt sich nicht
NPV = 0
⇒ Investition identisch mit Markt
IRR nur mit Hilfe von Diagramm interpretieren!
VIII Renditen von Aktien
Historische Renditen
Rendite einer Aktie:
K0 =
Kt
Kn
D1
Dn
D2
+ ...+
+
n +
n
2
1 + r (1 + r)
(1 + r)
(1 + r)
Kt
Dt
r
Kurse
Dividenden
Rendite
D3
D2
1000
D1
K3
K2
K0
D5
D4
K5
K4
K1
xl 01
g01
Effektive Jahresrenditen:
rt =
Dt + K t
−1
Kt−1
Kt
Dt
rt
r
Kurse
Dividenden
effektive Jahresrenditen
durchschnittliche effektive Jahresrendite
v
uD + K D + K
Dn + K n
1
1
2
2
·
·...·
r= u
−1
u
n
K0
K1
Kn−1
t
| {z } | {z }
| {z }
1+r1
1+r2
100
1+rn
0
1
g02
Rt = ln
xl 02
Stetige Jahresrenditen:
R=
Dt + K t
Kt−1
Kt
Dt
Rt
R
Kurse
Dividenden
stetige Jahresrenditen
durchschnittliche stetige Jahresrendite
1
· (R1 + R2 + . . . + Rn )
n
g03
Zusammenhang zwischen effektiven und stetigen Renditen:
Rt = ln (1 + rt ) bzw. R = ln (1 + r)
rt
Rt
r
R
effektive Jahresrenditen
stetige Jahresrenditen
durchschnittliche effektive Jahresrenditen
durchschnittliche stetige Jahresrendite
7
2
3
4
5
t
xl 03
Zukünftige Renditen
Wirtschaftsanalyse
E (R) = p1 · R1 + p2 · R2 + . . . + pk · Rk
E (R)
pi
Ri
erwartete
Eintretenswahrscheinlichkeiten pi
für diverse
Szenarios
Erwartunswert für die zukünftige Rendite
Eintretenswahrscheinlichkeiten für diverse Szenarios
Erwartete Renditen für die Szenarios
für die Eintretenswahrscheinlichkeiten gilt:
erwartete
Renditen
Ri für die
Szenarios
p1 + p2 + . . . + pk = 1
IX
p1
p2
Szenario 1:
R1
p3
Szenario 2:
R2
Szenario 3:
R3
Festverzinsliche Wertpapiere
Renditenberechnung für ”Straight Bonds”
Co
Co
rA =
K0
h02
h01
Statische Rendite
allgemeiner Fall:
für K0 = RV
Co RV − K0 1
rA =
+
·
K0
K0
n
K0
RV
Co
n
rA
h03
h04
h05
Co
Co
RV
Co
Kaufpreis
Rückzahlungswert
Couponzahlung (konstant)
Laufzeit in Jahren
Rendite der Anleihe
K0
Renditenberechnung mit dem Barwertmodell:
jährliche Coupons, Kaufzeitpunkt ein Jahr vor erstem Coupon
K0 =
Co
Co1
Con
Co2
RV
+ ...+
+
n +
n
2
1 + rA
(1 + rA )
(1 + rA )
(1 + rA )
⇒
rA = . . .
n
K0 = Co ·
1
RV
(1 + rA ) − 1
·
n +
n
rA
(1 + rA )
(1 + rA )
⇒
rA = . . .
unterjährige Coupons, Kaufzeitpunkt eine Periode vor erstem Coupon:
m·n
−1
Co 1 + rmA
1
RV
K0 =
·
·
+
m·n ⇒ rA = . . .
rA
rA m·n
m
1+ m
1 + rmA
m
jährliche Coupons, unterjähriger Kaufzeitpunkt:
n
1
RV
(1 + rA ) − 1
∆t/360
·
KT = (1 + rA )
· Co ·
n +
n
rA
(1 + rA )
(1 + rA )
MZ = Co ·
∆t
360
Kaufpreis
unterjähriger Kaufpreis
Rückzahlungswert
Couponzahlung pro Jahr (konstant)
Laufzeit in Jahren
Anzahl Coupons pro Jahr
Rendite der Anleihe
Tage seit letzter Couponzahlung
bis Kaufzeitpunkt
Marchzins finanzmathematisch:
h07
h06
Marchzins linear:
K0
KT
RV
Co
n
m
rA
∆t
MZ = Co ·
(1 + rA )∆t/360 − 1
rA
Co
Co
Co
RV
Co
h09
h08
”Kurs flat” und ”Kurs ex”:
Kex = Kflat − MZ
Co
∆t
rA
MZ
Kflat
Kex
Couponzahlung (konstant)
Tage seit letzter Couponzahlung
Rendite der Anleihe
Marchzins
”Kurs flat” (entspricht KT )
”Kurs ex”
∆t
unterjährige Coupons, unterjähriger Kaufzeitpunkt:
!
m·n
−1
Co 1 + rmA
rA m·∆t/360
1
RV
·
·
KT = 1 +
·
m·n +
m·n
rA
m
m
1 + rmA
1 + rmA
m
8
KT (entspricht Kflat )
KT
∆t
RV
Co
n
m
rA
Kaufpreis
Tage seit letzter Couponzahlung
Rückzahlungswert
Couponzahlung pro Jahr (konstant)
Laufzeit in Jahren
Anzahl Coupons pro Jahr
Rendite der Anleihe
Wert der Anleihe:
Barwert:
PV =
Co
Co
Co
Co
RV
Co
Co2
RV
Co1
Con
+
n +
n
2 + ...+
1 + rM
(1
+
r
)
(1
+
rM )
M
(1 + rM )
h11
h10
Barwert mit konstanten jährlichen Coupons:
n
PV = Co ·
PV
PV Barwert
1
RV
(1 + rM ) − 1
·
n +
n
rM
(1 + rM )
(1 + rM )
Barwert mit konstanten unterjährigen Coupons:
m·n
M
−1
RV
Co 1 + rm
1
·
+
PV =
·
rM
rM m·n
rM m·n
m
1
+
1
+
m
m
m
h13
h12
Endwert mit konstanten jährlichen Coupons:
FV Endwert
V (T ) Wert nach ∆t Tagen
RV Rückzahlungswert
Co Couponzahlung pro Jahr (konstant)
n
Laufzeit in Jahren
m Anzahl Coupons pro Jahr
∆t Tage ab Beginn
rM Marktzinssatz
Co
Co
Co
Co
RV
Co
n
FV = Co ·
(1 + rM ) − 1
+ RV
rM
Wert in ∆t Tagen mit konstanten jährlichen Coupons:
n
(1 + rM ) − 1
1
RV
∆t/360
∆t/360
V (T ) = (1 + rM )
· PV = (1 + rM )
· Co ·
·
+
n
n
rM
(1 + rM )
(1 + rM )
Co
Co
Co
FV
Co
RV
Co
∆t
V (T )
Duration
D=
Pn
t=1
V (T )
1·
t·PVt
PV =
Co1
(1+rM )1
Co1
+2·
(1+rM )1
+
Co2
+...+n·
Co2
+...+
(1+rM )2
(1+rM )2
Con
(1+rM )n
Con
(1+rM )n
+
+n·
RV
(1+rM )n
RV
∆K
K
∆K
h14
für konstante Coupons:
D=
(1+rM )n −1
+ n · (rM · RV
rM
n
((1 + rM ) − 1) + RV · rM
Co · (1 + rM ) ·
Co ·
h15
Kursänderungen:
∆rM
∆K
≈ −D ·
K
1 + rM
rneu < rM
(1+rM )n
rneu > rM
− Co)
PVt Barwert des Zahlungseingang vom Jahr t
PV Barwert der Anleihe
Co Coupon
RV Rückzahlungswert
n
Laufzeit der Anleihe in Jahren
rM Marktzinssatz
D
Duration
K Aktueller Kurs
∆K Veränderung des Kurses K
∆rM Veränderung des Marktzinssatzes rM
D
Jahr
t
Eingänge
Co, RV
Barwerte
PVt
1
2
3
4
5
7
7
7
7
107
6.54
6.11
5.71
5.34
76.29
6.54
12.23
17.14
21.36
381.45
100.00
438.72
D=
n
X
t=1
9
n
Beispiel:
Co = 7, RV = 100, n = 5, rM = 7%
t · PVt
438.72
=
= 4.3872
PV
100
t · PVt
X
Risikoanalyse einzelner Anlagen
xl 04
Statistische Kenngrössen von historischen Renditen
Lagemass: Arithmetisches Mittel
r=
rt
n
r
σ
2
σ
SW
1
· (r1 + r2 + . . . + rn )
n
TI200/89: mean({r1,r2 ,. . .,rn })
XL:
=Mittelwert(Renditenmatrix)
xl 05
rt
historische Jahresrenditen
Anzahl Renditen
Arithmetisches Mittel
Standardabweichung
Varianz
Spannweite
r2
r3
r5
5%
r1
Streuungsmass: Standardabweichung (Volatilität)
s
2
2
2
(r1 − r) + (r2 − r) + . . . + (rn − r)
σ=
n
0%
1
2
3
4
5
t
r4
TI200/89: stdevpop({r1,r2 ,. . .,rn })
XL:
=Stabwn(Renditenmatrix)
xl 06
Weitere Streungsmasse:
Varianz:
2
σ2 =
2
2
Jahr
t
Rendite
rt
1
2
3
4
5
1.004%
14.005%
12.002%
−8.997%
12.005%
(r1 − r) + (r2 − r) + . . . + (rn − r)
n
TI200/89: variance({r1,r2 ,. . .,rn })
XL:
=Varianzen(Renditenmatrix)
Spannweite:
SW = rmax − rmin
xl 07
Statistische Kenngrössen zukünftigen Renditen
Erwartungswert:
Wirtschaftsanalyse
E (R) = p1 · R1 + p2 · R2 + . . . + pk · Rk
p1
p2
TI200/89: mean({r1,r2 ,. . .,rk },{p1,p2 ,. . .,pk })
p3
erwartete
Eintretenswahrscheinlichkeiten pi
für diverse
Szenarios
xl 08
Standardabweichung:
q
σ = (R1 − E (R))2 · p1 + (R2 − E (R))2 · p2 + . . . + (Rk − E (R))2 · pk
TI200/89: stdevpop({r1,r2 ,. . .,rk },{p1 ,p2 ,. . .,pk })
xl 09
Varianz:
Prozentwerte p1 , p2 , . . .
müssen ganzzahlig sein!
σ 2 = (R1 − E (R))2 · p1 + (R2 − E (R))2 · p2 + . . . + (Rk − E (R))2 · pk
TI200/89: variance({r1,r2 ,. . .,rk },{p1 ,p2 ,. . .,pk })
Prozentwerte p1 , p2 , . . .
müssen ganzzahlig sein!
10
Szenario 1:
R1
pi
Ri
k
E (R)
σ
σ2
Szenario 2:
R2
Szenario 3:
R3
erwartete
Renditen
Ri für die
Szenarios
Eintretenswahrscheinlichlkeiten für Szenarios
Erwartete Szenariorenditen
Anzahl Szenarios
Erwartungswert der Rendit
Standardabweichung
Varianz
i02/i01
Vertrauensintervall für die Rendite:
95.4%-Vertrauensintervall (95 von 100):
Erwartungswert:
E (r)
untere Grenze:
ru = E (r) − 2σ
obere Grenze:
ro = E (r) + 2σ
Erwartungswert:
E (r)
untere Grenze:
ru = E (r) − σ
obere Grenze:
68.3%
Vertrauensintervall
95.4%
Vertrauensintervall
ro = E (r) + σ
2σ
σ
i07/i06/i05
)+
i10/i09/i08
(r
√
t·σ
√
t·σ
1
Falls σ während der t Jahre nicht konstant ist, muss σt =
σi
Kt
Ko
2
Mit den statistischen Kenngrössen:
E (r) erwartete Rendite (historisch: E (r) = r; zukünftig: E (r) = E (R))
σ
konstante Standardabweichung
K0
Aktueller Kurs
t
Jahr
σt =
)+
95.4%
Vertrauensintervall
K0
Ku = K0 · eE(r)·t−
Ko = K0 · eE(r)·t+
E
√
t·σ
√
E(r)·t+2 t·σ
Kt = K0 · eE(r)·t
(r
obere Grenze:
Ku
Ku = K0 · eE(r)·t−2
Ko = K0 · e
E
untere Grenze:
σ
K
68.3%-Vertrauensintervall (2 von 3):
Erwartungswert:
)
obere Grenze:
(r
2σ
untere Grenze:
Kt = K0 · eE(r)·t
)−
)−
Vertrauensintervall für den Kurs in t Jahren:
95.4%-Vertrauensintervall (95 von 100):
Erwartungswert:
(r
(r
Mit den statistischen Kenngrössen:
E (r) erwartete Rendite (historisch: E (r) = r; zukünftig: E (r) = E (R))
σ
Standardabweichung
E
E
E
i04/i03
68.3%-Vertrauensintervall (2 von 3):
√
q
σ12 + σ22 + . . .
Standardabweichung in i Jahren:
11
t · σ ersetzt werden durch:
3
4
5
t
XI
Rendite- und Risikoanalyse von Portfolios
Zusammenhangsmasse für verschiedene Anlagen:
xl 10
Kovarianz aus historischen Renditen:
Cov (X, Y ) =
XL:
(rX,1 −E(rX ))·(rY,1 −E(rY ))+(rX,2 −E(rX ))·(rY,2 −E(rY ))+...+(rX,n −E(rX ))·(rY,n −E(rY ))
n
=Kovar(Renditenmatrix X;Renditenmatrix Y )
xl 11
Kovarianz aus zukünftigen Renditen:
Cov (X, Y ) = rX,1 − E (rX ) · rY,1 − E (rY ) · p1 + rX,2 − E (rX ) · rY,2 − E (rY ) · p2 + . . . + rX,k − E (rX ) · rY,k − E (rY ) · pk
rX,i , rY,i
E (rX ) , E (rY )
σX , σY
n
pi
Cov (X, Y )
ρX,Y
j01
Korrelationskoeffizient:
ρXY =
Cov (X, Y )
σX · σY
Renditen der Anlagen X und Y
Erwartete Renditen der Anlagen X und Y (arithmetisches Mittel)
Standardabweichungen der Anlagen X und Y
Anzahl Renditen (bei historischen Renditen)
Eintretenswahrscheinlichkeiten (bei zukünftigen Renditen)
Kovarianz der Anlagen X und Y
Korrelationskoeffizient der Anlagen X und Y
TI200/89: =corrmat({rX,1,rX,2 ,. . .,rX,n },{rY,1,rY,2 ,. . .,rY,n})
XL:
=Korrel(Renditenmatrix X;Renditenmatrix Y )
gegenläufig
Cov (X, Y ) < 0
Cov (X, Y ) < 0
ρXY = −1
ρXY ≈ −0.5
rY
kein Zusammenhang
Cov (X, Y ) = 0
ρXY = 0
rY
rX
rY
gleichläufig
Cov (X, Y ) > 0
Cov (X, Y ) > 0
ρXY ≈ 0.5
ρXY = 1
rY
rX
rY
rX
rX
rX
Rendite und Standardabweichung des Portfolios:
xl 13
xl 12
Erwartete Rendite:
E (rp ) Erwartete Rendite des Portfolios
σp
Standardabweichung des Portfolios
E (ri ) Erwartete Rendite der Anlage i
σi
Standardabweichung der Anlage i
Cov (i, j) Kovarianz der Anlagen i und j
zi
Gewicht der Anlage i im Portfolio (z.B. 20% ⇒ z = 0.2)
k
Anzahl Anlagen im Portfolio
E (rp ) = z1 · E (r1 ) + z2 · E (r2 ) + . . . + zk · E (rk )
Standardabweichung:
q
σp = z12 · σ12 + z22 · σ22 + . . . + zk2 · σk2 + 2z1 · z2 · Cov (1, 2) + 2z1 · z3 · Cov (1, 3) + . . . + 2zk−1 · zk · Cov (k − 1, k)
E (rp )
Portfolio mit 2 Anlagen
j03
j02
Erwartete Portfolio-Rendite:
E (rp ) = zA · E (rA ) + (1 − zA ) · E (rB )
z ie
effi
Portfolio-Standardabweichung:
q
2 · σ 2 + (1 − z )2 · σ 2 + 2z · (1 − z ) · Cov (A, B)
σp = zA
A
A
A
A
B
− Cov (A, B)
− ρAB · σA · σB
= 2
2 + σ 2 − 2ρ
2
σA
·
σ
·
σ
σ
+
σ
AB
A
B
B
A
B − 2Cov (A, B)
E (rp )
σp
E (rA ) , E (rB )
σA , σB
Cov (A, B)
ρA,B
zA
Erwartete Renditen des Portfolios
Standardabweichung des Portfolios
Erwartete Renditen der Anlagen A und B
Standardabweichungen Anlagen A und B
Kovarianz der Anlagen A und B
Korrelationskoeffizient der Anlagen A und B
Anteil der Anlage A im Portfolio (z.B. 20% ⇒ zA = 0.2)
12
zA = 60%
zA = 20%
zA = 0%
(nur Anlage B)
j05
j04
zA,min =
2
σB
zA = 100%
(nur Anlage A)
zA,min = 33.4% (minimales Risiko)
Gewichte für minimale Standardabweichung:
2
σB
es
nt
o
oli
rtf
zA = 80%
Po
σp
Einfluss der Korrelation bei einem Portfolio
mit 2 Anlagen
Grenze des Diversifikationseffektes
E (rp )
σp Risiko
zA = 100%
n=1
diversibizierbares Risiko
0
=
ρA
B
=
ρ
+1
A
B
=
ρ AB
−1
zA = 0%
(nur Anlage B)
n=5
n = 30
nicht diversifizierbares Risiko
σp
Anzahl
Anlagen im
n Portfolio
Cov (A, M )
σA
βA =
= ρAM ·
2
σM
σM
βA
j07
j06
Korrelation einer Anlage mit dem Markt
β-Faktor:
Cov (A, M)
ρA,M
σA
σM
j08
Bestimmtheitsmass:
2
RA
= ρ2AM =
R2A
2
2
βA
· σM
2
σA
Beta-Faktor der Anlage A
֒→ steigt der Markt um 1%, dann ändert sich der Kurs der Anlage A um βA %
Bestimmtheitsmass
֒→ Anteil der Varianz von Anlage A, welcher durch den Markt M erklärt wird.
Kovarianz zwischen der Anlage A und dem Markt M
Korrelationskoeffizient zwischen der Anlage A und dem Markt M
Stansardabweichung der Anlage A
Stansardabweichung des Marktes M
j09
Kapitalmarktline (Kombination der Marktanlage mit risikofreier Anlage)
E (rp )
Erwartete Rendite in Abhängigkeit des gewählten Risiko:
E (rp ) = rf +
E (rM ) − rf
· σp
σM
j10
E (rp ) = zf · rf + (1 − zf ) · E (rM )
j11
Erwartete Rendite und Standardabweichung
zu einer bestimmten Gewichtung:
σp = (1 − zf ) · σM
E (rM )
rf
E (rp )
σM
σp
zf
E (rM )
Erwartete Rendite der Marktanlage M
Rendite der risikofreien Anlage
Erwartete Rendite des Portfolios
Standardabweichung der Marktanlage
Standardabweichung des Portfolios
Anteil der risikofreien Anlage im Portfolio
(z.B. 10% ⇒ zf = 0.1)
j12
Capital Asset Pricing Model
Erforderliche/verlangte Rendite eines
risikobehafteten Investitionsobjekt:
rf
zf = 0%
keine risikofreie
n und gen
o
Anlagen
i
t
n la
n a ie n
bi ofre n A
m
e
zf = 40%
k
t
o
K risi fte
n eha zf = 60%
o
v ob
ik
zf = 80%
ri s
zf = 100%
nur risikofreie
Anlagen
σM
σp
E (r)
E (ri ) = rf + (E (rM ) − rf ) · βi
E (rM )
rf
E (ri )
βi
E (ri )
Erwarte Rendite des Marktes M
Rendite der risikofreien Anlage
Erforderliche Rendite der Anlage i
Beta-Faktor der Anlage i
E (rM )
rf
β=1
Erforderliche
Rendite kleiner
als Marktrendite
13
βi
Erforderliche
Rendite grösser
als Marktrendite
β