Leseprobe - Mathe

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Begleitbuch für Mathematik Klasse 11 - 13
für die Abiturprüfungen ab 2017
Baden-Württemberg - berufliche Gymnasien
Teilgebiet Analysis
Dipl.-Math. Alexander Schwarz
Im Weinberg 9
74389 Cleebronn
E-Mail: [email protected]
Homepage: www.mathe-aufgaben.com
Wichtiger Hinweis:
Ich bitte den Eigentümer dieses Buches, weder das gesamte Buch noch
Teilauszüge daraus zu kopieren, einzuscannen oder auf andere Art und Weise
zu vervielfältigen, um es an andere weiterzugeben.
Der Preis dieser Unterlagen steht in keinem Verhältnis zu dem Zeitaufwand,
den ich dafür investiert habe und für den Inhalt, den man bekommt.
Ich bitte um Fairness und danke dafür – Alexander Schwarz
1
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Vorwort
Zunächst einmal bedanke ich mich bei euch für das Vertrauen, das ihr mir mit dem Kauf dieses
Buches für die Abiturprüfung in Mathematik entgegengebracht habt!
Der darin enthaltene Stoff der Analysis ist auf die Abiturprüfungen ab 2017 von BadenWürttemberg für berufliche Gymnasien abgestimmt.
Dieses Buch dient sowohl zur Vorbereitung auf die Abiturprüfung als auch auf die Klausuren in der
Oberstufe.
Ich habe mir zum Ziel gesetzt, alle Themen so verständlich wie möglich darzustellen und auf
„fachchinesisch“ zu verzichten (gemäß Albert Einstein: „Alles sollte so einfach wie möglich gemacht
werden, aber nicht einfacher“).
In jedem Kapitel werden die wesentlichen Inhalte zu jedem Thema ausführlich beschrieben.
Die vielen Beispielrechnungen und Schaubilder dienen dazu, die Beschreibungen noch konkreter zu
erläutern.
Die Kapitel 1 – 9 umfassen den Stoff, der in der 11.Klasse behandelt wird.
Die Kapitel 10 – 19 enthalten alle Themengebiete der Klassen 12 und 13, wobei als Grundlage
natürlich der Stoff aus der 11.Klasse benötigt wird.
Wichtige Formeln, die ihr häufig in der Prüfung benötigt oder Rechenverfahren, die ihr
auswendig lernen solltet sind in dem Buch grau hinterlegt.
Formeln, die auch in der Merkhilfe stehen, die ihr für den zweiten Teil der Abiturprüfung
nutzen dürft, sind vermerkt mit dem Hinweis -> MERKHILFE
Nach meiner Erfahrung hilft es Schülern, wenn man nicht nur darstellt, wie etwas gemacht wird,
sondern auch, wie (und warum) etwas nicht gemacht werden darf.
Ich habe daher in dem Buch auch typische Fehler und Irrtümer dargestellt, die Schüler aufgrund
meiner langjährigen Erfahrung immer wieder machen. Sie sind durch das entsprechende Symbol am
Rand gekennzeichnet.
Wer diese "Fettnäpfchen" kennt, kann ihnen besser ausweichen.
Um zu prüfen, ob ihr den Stoff auch verstanden habt, sind in diesem Buch über 200 Übungsaufgaben
enthalten. Das Durchrechnen der Übungsaufgaben ist auch deshalb wichtig, da sich der Prüfungsstoff
der Analysis mit der Abiturprüfung 2017 gravierend ändert und somit das Durchrechnen von früheren
Abituraufgaben zur Analysis vor Prüfungsvorbereitung nicht mehr möglich ist.
Die Musterlösungen aller Übungsaufgaben aus dem Buch werden als pdf-Dateien über einen
geschlossenen Download-Bereich auf meiner Homepage zur Verfügung gestellt.
Ihr habt als Besteller des Buches die Zugangsdaten zu diesem Bereich von mir per Mail erhalten.
Den genauen Ablauf der Abiturprüfung ab 2017 sowie Musterabituraufgaben vom
Regierungspräsidium Baden-Württemberg findet ihr auf meiner Homepage unter
http://www.mathe-aufgaben.com/aufgaben/abitur/bw-berufliche-gymnasien.html
Hinweis zum Taschenrechner:
Im ersten Teil der Abiturprüfung darf kein Taschenrechner genutzt werden. Im zweiten Teil darf ein
"wissenschaftlicher Taschenrechner" (z.B. Casio FX-87 DE Plus oder TI30X Plus Multiview) genutzt
werden.
Anregungen und konstruktive Kritik zu diesem Buch werden von mir gerne entgegengenommen und
bei der nächsten Aktualisierung berücksichtigt.
Viel Erfolg bei der Bearbeitung dieses Buches und alles Gute für eure Abiturprüfung!
Alexander Schwarz
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Inhaltsverzeichnis
1. Einführung in die Funktionen
1.1 Funktionsbegriff, Definitionsmenge, Wertemenge
2. Lineare Funktionen (Geradengleichungen)
2.1 Lösen von linearen Gleichungen und Ungleichungen
2.2 Geraden zeichnen
2.3 Punktprobe und Schnittpunkte
2.3.1 Punktprobe
2.3.2 Schnittpunkte einer Geraden mit den Koordinatenachsen
2.3.3 Schnittpunkt von zwei Geraden
2.4 Aufstellen einer linearen Funktion (Geradengleichung)
2.5 Besondere Lagen zweier Geraden
2.6 Steigungswinkel einer Geraden und Schnittwinkel zweier Geraden
2.7 Länge einer Strecke PQ im Koordinatensystem
3. Quadratische Funktionen (Parabelgleichungen)
3.1 Binomische Formeln
3.2 Lösen von quadratischen Gleichungen
3.3 Von der Normalparabel zur allgemeinen Parabel
3.3.1 Die Normalparabel
3.3.2 Streckung in y-Richtung
3.3.3 Verschiebung in y-Richtung
3.3.4 Verschiebung in x-Richtung
3.4 Scheitelpunktberechnung
3.5 Schnittpunktberechnung bei Parabeln
3.5.1 Schnittpunkte einer Parabel mit der x-Achse
3.5.2 Gegenseitige Lage von Parabeln und Geraden
3.5.3 Quadratische Ungleichungen
3.6 Aufstellen von Parabelgleichungen
4. Polynomfunktionen 3. und 4. Grades
4.1 Lösen von Polynomgleichungen
4.2 Eigenschaften von Polynomfunktionen 3. und 4. Grades
4.2.1 Symmetrie
4.2.2 Globaler Verlauf der Schaubilder
4.3 Schnittpunktberechnung bei Polynomfunktionen
4.3.1 Nullstellen einer Polynomfunktion
4.3.2 Intervallhalbierungsverfahren
4.3.3 Gegenseitige Lage von zwei Kurven
4.4 Aufstellen von Funktionstermen
5. Exponentialfunktionen
5.1 Definition der Exponentialfunktion
5.2 Die Eulersche Zahl e
5.3 Die e-Funktion
5.4 Logarithmen und Exponentialgleichungen
5.4.1 Der natürliche Logarithmus ln
5.4.2 Exponentialgleichungen
5.5 Asymptoten bei e-Funktionen
5.6 Schnittpunktberechnung bei Exponentialfunktionen
5.6.1 Nullstellen einer Exponentialfunktion
5.6.2 Schnittpunkte von zwei Exponentialfunktionen
6. Trigonometrische Funktionen
6.1 Definition der Winkelfunktionen für Winkel von 0° bis 90°
6.2 Sinus und Kosinus am Einheitskreis
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6.3 Einfache trigonometrische Gleichungen
6.4 Schwierige trigonometrische Gleichungen
6.5 Die verallgemeinertes Sinus- und Kosinusfunktion
7. Verschiebung, Spiegelung und Streckung von Schaubildern
8. Umkehrfunktionen
8.1 Bestimmung einer Umkehrfunktion
8.2 Die Logarithmusfunktion
8.3 Wurzelfunktion
9. Regression mit Taschenrechner
10. Ableitungsregeln und Bedeutung von Ableitungsfunktionen
10.1 Definition der Ableitungsfunktion mit Differenzenquotient
10.2 Ableitungsregeln
10.2.1 Ableitungsregeln der Grundfunktionen
10.2.2 Produktregel
10.2.3 Kettenregel
10.3 Interpretation der ersten und zweiten Ableitungsfunktion
10.4 Ableitungen bei Anwendungsaufgaben und Sachzusammenhängen
11. Kurvenuntersuchung
11.1 Extrempunkte
11.2 Monotonie
11.3 Wendepunkte und Sattelpunkte
12. Tangenten, Normalen, Schnittwinkel und Berührung
12.1 Aufstellen von Tangenten- und Normalengleichungen
12.2 Schnittwinkel zweier Schaubilder
12.3 Berührung zweier Schaubilder
13. Aufstellen ganzrationaler Funktionen („Steckbriefaufgaben“)
14. Modellierung von Optimierungsproblemen
14.1 Absolutes Minimum/Maximum
14.2 Vorgehen beim Lösen von Extremwertaufgaben
15. Integralrechnung
15.1 Berechnung von Stammfunktionen
15.2 Integrale
15.3 Anwendungen der Integralrechnung
15.3.1 Flächenberechnung zwischen Schaubildern
15.3.2 Volumen von Rotationskörpern
15.3.3 Mittelwertberechnung bei Funktionen
15.3.4 Flächen unterhalb von Änderungsraten-/Geschwindigkeitsfunktionen
15.4 Die Integralfunktion
16. Zusammenhang zwischen Ableitungs- und Stammfunktionen
17. Exponentielles Wachstum und exponentieller Zerfall
Prozentrechnen
18. Beschränktes Wachstum und beschränkter Zerfall
19. Kostentheorie
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1. Einführung in die Funktionen
Beim Thema "Analysis" stehen Funktionen im Mittelpunkt.
Bereits in der Mittelstufe habt ihr euch beim Thema Geraden und Parabeln bereits mit
Funktionen beschäftigt.
Aber keine Sorge: Ihr braucht nun nicht in alten Unterrichtsaufschrieben stöbern.
Geraden und Parabeln werden wir in den Kapiteln 2 und 3 ausführlich wiederholen und
gemäß dem Lehrplan von Klasse 11 auch vertiefen.
Außerdem werdet ihr in diesem Buch noch andere Funktionen kennen lernen:
•
•
•
Polynomfunktionen (Ganzrationale Funktionen)
Exponentialfunktionen (e-Funktionen)
Trigonometrische Funktionen (Sinus- und Kosinusfunktionen)
Zunächst schauen wir uns aber mal an, was man unter einer "Funktion" überhaupt versteht.
1.1 Funktionsbegriff, Definitionsmenge, Wertemenge
Eine Funktion können wir uns wie eine
Maschine vorstellen, in die wir eine Zahl
als x-Wert oben reinstecken und die
Maschine daraus genau eine Zahl als
y-Wert produziert (nicht mehrere!).
Die Zahlenmenge der x-Werte, die wir in
die Maschine reinstecken wollen, nennen
wir die Definitionsmenge der Funktion.
Die Zahlenmenge der y-Werte, die wir als
"Ergebnisse der Maschine" erhalten, wenn
wir alle möglichen x-Werte der
Definitionsmenge reinstecken, nennen wir
die Wertemenge der Funktion.
Eine Funktion f ist eine eindeutige Zuordnung, die jeder Zahl x aus einer Definitionsmenge
D genau eine Zahl y = f(x) aus der Wertemenge W zuordnet.
Die Mathematik hat eine spezielle Fachsprache, daher ist es wichtig, dass ihr euch
bestimmte Begriffe merkt und diese auch insbesondere bei Prüfungen richtig benutzt.
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Einige Bezeichnungen, die im Zusammenhang mit Funktionen wichtig sind:
x
f(x)
D
K, K f
Variable der Funktion; der x-Wert wird häufig auch Stelle genannt, etwas
seltener wird auch der Begriff "Argument" oder "Abszisse" benutzt
Funktionswert von x (Funktionswert an der Stelle x);
in der Mittelstufe habt ihr anstatt f(x) den Buchstaben "y" geschrieben;
in der Oberstufe solltet ihr aber die Schreibweise "f(x)" benutzen;
lediglich bei Geradengleichungen (siehe Kapitel 2) schreibt man auch in der
Oberstufe häufig "y" anstatt f(x).
Definitionsmenge = Menge aller x-Werte, die in f eingesetzt werden dürfen
Schaubild von f, enthält alle Punkte P(x/y), deren Koordinaten die
Funktionsgleichung erfüllen
Um Zahlenmengen anzugeben (zum Beispiel zur Angabe der Definitionsmenge oder
Wertemenge) werden entweder Intervallschreibweisen oder Großbuchstaben verwendet.
Um zu unterscheiden, ob die Randzahl eines Intervalls noch zur Zahlenmenge dazugehört
oder nicht, werden in der Mathematik zwei Sorten von eckigen Klammern verwendet.
Zeigt eine eckige Klammer nach außen, gehört die Randzahl nicht mehr zum Intervall dazu;
zeigt die eckige Klammer nach innen, gehört die Randzahl zum Intervall zu.
Was immer gilt: Die "Zahl" ∞ (unendlich) wird stets aus dem Intervall ausgeschlossen.
[1;4] :
[1;4[ :
]1;4] :
]1;4[ :
] − ∞;2] :
]3; ∞[ :
1≤ x ≤ 4
1≤ x < 4
1< x ≤ 4
1< x < 4
x≤2
x>3
alle Zahlen von 1 bis 4 einschließlich der Zahlen 1 und 4
alle Zahlen von 1 bis 4 einschließlich 1 aber ohne 4
alle Zahlen von 1 bis 4 einschließlich 4 aber ohne 1
alle Zahlen von 1 bis 4 ohne 1 und ohne 4
alle Zahlen, die kleiner oder gleich 2 sind
alle Zahlen, die größer als 3 sind
Außerdem gibt es noch Abkürzungen für bestimmte Zahlenmengen -> MERKHILFE
ℝ
: Menge aller reellen Zahlen (alle Zahlen auf dem Zahlenstrahl)
ℝ \ {1} :
Menge aller reellen Zahlen mit Ausnahme der Zahl 1
ℝ* :
Menge aller reellen Zahlen außer Null, also ℝ * = ℝ \ {0}
ℝ+ :
Menge aller nichtnegativen reellen Zahlen, also ℝ + = [0; +∞[
ℝ *+ = ℝ + \ {0} : Menge aller positiven reellen Zahlen
ℤ :
Menge aller ganzen Zahlen, also ℤ = {...-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}
ℕ :
Menge aller natürlichen Zahlen, also ℕ = {0,1, 2, 3,...}
Damit ihr zu einer Funktion das zugehörige Schaubild zeichnen könnt, benötigt ihr ein
Koordinatensystem mit einer x-Achse (waagrecht) und einer y-Achse (senkrecht).
Die einzelnen Punkte im Koordinatensystem werden durch zwei Koordinaten angegeben.
Die Koordinatenachsen schneiden sich im Ursprung O(0/0).
Beispiel 1.1:
a) P(2/3) ist der Punkt mit dem x-Wert 2 und dem y-Wert 3 (also vom Ursprung aus zwei
nach rechts und 3 nach oben).
b) Ein Punkt Q(x/0) liegt immer auf der x-Achse, da der y-Wert Null ist.
c) Ein Punkt R(0/y) liegt immer auf der y-Achse, da der x-Wert Null ist.
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Quadranten/Felder im Koordinatensystem
Die Koordinatenachsen teilen die Ebene in
4 Felder auf, die gemäß der Abbildung
durchnummeriert sind:
Eine Funktion kann man in unterschiedlicher Form darstellen:
•
als Funktionsterm:
f(x) = x 2 − x
•
als Wertetabelle:
x
y
-2
6
-1
2
0
0
1
0
2
2
Die x-Werte sind in der Wertetabelle beliebig vorgegeben.
Die y-Werte erhält man durch Einsetzen der x-Werte in die Funktionsgleichung.
Beispiel für x = -1: f( −1) = ( −1)2 − ( −1) = 1 + 1 = 2
Beispiel für x = 1: f(1) = 12 − 1 = 1 − 1 = 0
Der in der Prüfung zugelassene Taschenrechner kann nach Eingabe einer
Funktionsgleichung eine Wertetabelle anzeigen. Wie dies bei dem einzelnen
Taschenrechnermodell funktioniert, sollte aus dem Unterricht bekannt sein (oder in
der Bedienungsanleitung nachgelesen werden).
•
als Schaubild
Bedeutung der Kurzschreibweise f(-1) = 2
1.) Für den x-Wert x = -1 erhält man durch Einsetzen in f(x) den Funktionswert 2.
2.) Der Punkt A(-1/2) liegt auf dem Schaubild von f; A( −1/ 2) ∈ K f
3.) Die Funktion f nimmt an der Stelle x = -1 den y-Wert 2 an.
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Kommen wir nochmals auf die Begriffe Definitionsmenge und Wertemenge zurück, die weiter
oben bereits schon erwähnt wurden.
Die Definitionsmenge einer Funktion f(x) umfasst die Menge aller Zahlen, die man für die
Variable x einsetzen darf.
Beispiel 1.2:
a) Wir betrachten die Funktion
f(x) = −5x 2 + 20
Wir dürfen in die Funktion alle reellen
Zahlen für die Variable x einsetzen,
z.B.
f(0) = −5 ⋅ 0 + 20 = 20 oder
f( −0,5) = −5 ⋅ ( −0,5)2 + 20 = 18,75 oder
f(2) = −5 ⋅ 22 + 20 = 0
Die Funktion f(x) besitzt die
Definitionsmenge D = ℝ .
Natürlich könnten wir diese Definitionsmenge auch "künstlich" einschränken.
Betrachten wir hierzu folgenden Anwendungsfall:
Wir werfen einen Stein von einem 20m hohen Turm herunter. Die Variable x sei die
Fallzeit (in Sekunden) bis zum Boden und f(x) sei die Höhe des Steines nach x
Sekunden.
Der Zusammenhang zwischen x und f(x) wird durch die gestrichelte Parabel dargestellt.
Die Definitionsmenge wäre hier also D = [0;2], da es nicht sinnvoll ist, für die Zeit x
negative Zahlen einzusetzen oder Zahlen größer 2 einzusetzen, da der Stein nach 2
Sekunden bereits auf dem Boden angekommen ist.
b) Wir betrachten die Funktion g(x) = x .
Wir dürfen in die Funktion g(x) keine negativen Zahlen für die Variable x einsetzen, da
z.B. g( −1) = −1 nicht berechenbar ist.
Die Funktion g(x) besitzt die Definitionsmenge D = [0; +∞[ oder D = ℝ + .
Die Wertemenge einer Funktion f(x) umfasst die Menge aller Zahlen, die als Funktionswerte
(y-Werte) angenommen werden können.
Um die Wertemenge einer konkreten Funktion zu bestimmen, benötigt man das Schaubild
der Funktion.
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Linkes Schaubild:
2
Die Parabel f(x) = x + 1 besitzt als tiefsten Punkt den Scheitelpunkt S(0/1).
Die y-Werte aller Parabelpunkte sind größer oder gleich 1. Wertemenge W = [1; ∞[
Mittleres Schaubild:
Die Gerade g(x) = x + 2 ist unendlich lang (das heißt Definitionsmenge D = ℝ ) und kann
alle y-Werte annehmen. Wertemenge W = ℝ
Rechtes Schaubild:
Die Gerade g(x) = x + 2 beginnt bei x = -1 und endet bei x = 2 (das heißt Definitionsmenge
D = [-1;2]. Der kleinste y-Wert ist 1 und der größte y-Wert ist 4. Wertemenge W = [1;4].
(…)
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4. Polynomfunktionen 3. und 4. Grades
Eine Polynomfunktion 3. Grades ist eine Funktion der Bauart f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d .
Eine Polynomfunktion 4. Grades ist eine Funktion der Bauart f(x) = ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e .
Der Grad der Funktion entspricht also der höchsten Hochzahl, die in der Funktion vorkommt.
Beispiele für Polynomfunktionen:
a) f(x) = 2x 3 + 4x : Polynomfunktion 3.Grades
b) f(x) = 0,5x 4 − 6x 3 : Polynomfunktion 4.Grades
c) f(x) = x 2 ⋅ (x − 1) : Polynomfunktion 3.Grades (erkennbar nach Klammerauflösung)
Bei Aufgaben rund um Polynomfunktionen benötigt man als Hilfsmittel das Lösen von
Polynomgleichungen
Wir werden uns daher im Kapitel 4.1 dem Lösen von Polynomgleichungen beschäftigen,
bevor wir uns dann ab Kapitel 4.2 um Polynomfunktionen selbst kümmern.
4.1 Lösen von Polynomgleichungen
Für das Lösen von Polynomgleichungen benötigt man Werkzeuge, die wir bereits schon
kennengelernt haben:
•
•
•
a-b-c-Formel (Mitternachtsformel)
Ausklammern von x oder x²
Satz vom Nullprodukt
Außerdem lernen wir noch das Substitutionsverfahren kennen.
Welches der genannten Verfahren anzuwenden ist, hängt von dem konkreten Typ der
Gleichung ab.
1.Fall: Typ x n = a
Hier können wir die Gleichung direkt nach x auflösen.
Bei der Gleichung x n = a muss man auf die Werte von n und a achten:
a > 0: x1,2 = ± n a falls n gerade ist
x = n a falls n ungerade ist
x = − n −a falls n ungerade ist
a < 0: Gleichung unlösbar, falls n gerade ist
MERKHILFE
Beispiel 4.1:
a) 2x 3 = 54
b) 2x 3 = −16
c) 4x 4 = 8
d) 2x 4 = −2
⇔ x 3 = 27
⇔ x 3 = −8
⇔ x = 3 27 = 3
⇔ x = − 3 8 = −2
⇔ x4 = 2
⇔ x = ±4 2
4
⇔ x = −1
(2 Lösungen!)
diese Gleichung ist nicht lösbar
Die Lösung in Beispiel 4.1 b) darf nicht in der Form x = 3 −8 aufgeschrieben werden (auch
wenn die meisten Taschenrechner bei dieser Eingabe die Zahl -2 als Ergebnis ausgeben).
38
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2.Fall: Typ a ⋅ (…) ⋅ (…) = 0
Hier müssen wir sofort den Satz vom Nullprodukt (siehe Kapitel 3.2) anwenden, ohne die
Klammern auszumultiplizieren.
Beispiel 4.2:
a) (2x − 6) ⋅ (x + 8)2 = 0 Lösung mit dem SvNp
Gleichung I) 2x − 6 = 0 ⇔ x1 = 3
Gleichung II) x + 8 = 0 ⇔ x 2 = −8
(
)(
)
b) 0,2 ⋅ x 2 − 3 ⋅ x 2 − 8 = 0 Lösung mit dem SvNp
Gleichung I)
Gleichung II)
2
⇔ x2 = 3
⇔ x1,2 = ± 3
2
2
⇔ x 3,4 = ± 8
x −3 =0
x −8 =0
⇔ x =8
3.Fall: Typ ax 3 + bx 2 + cx = 0 bzw. ax 4 + bx 3 + cx 2 = 0
Hier müssen wir x oder x² oder x³ ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden.
Beispiel 4.3:
x ausklammern
a) 2x 3 + x 2 − 3x = 0
⇔
(
)
x ⋅ 2x 2 + x − 3 = 0
Lösung mit SvNp
Gleichung I): x1 = 0
MNF
Gleichung II): 2x 2 + x − 3 = 0 ⇒ x 2,3 =
−1 ± 1 + 24 −1 ± 5
=
⇒ x 2 = 1 und x3 = −1,5
4
4
b) x3 = x 2
Gleichung gleich Null setzen: x 3 − x 2 = 0
Gleichung I):
x 2 = 0 ⇒ x1,2 = 0
Gleichung II):
x − 1 = 0 ⇒ x3 = 1
4
2
c) x − 9x = 0
x 2 ausklammern
⇔
x 2 ausklammern
⇔
x 2 ⋅ (x − 1) = 0 Lösung mit SvNp
x 2 ⋅ (x 2 − 9) = 0 Lösung mit SvNp
Gleichung I):
x 2 = 0 ⇒ x1,2 = 0
Gleichung II):
x2 − 9 = 0
⇔ x2 = 9
⇒ x 3,4 = ±3
Bei Gleichungen wie in Beispiel 4.3 b) passiert ab und zu folgender Umformungsfehler:
x3 = x 2 | : x 2
⇒ x =1
Vergleicht man diese Lösung mit der Lösung aus dem Beispiel 4.3 b) fällt auf, dass x = 1
zwar eine Lösung ist, aber die Lösung x = 0 verloren gegangen ist.
Dies liegt daran, dass die Gleichung durch x 2 dividiert wurde und diese Umformung für x = 0
nicht zulässig ist.
Merke:
Dividiere niemals eine Gleichung durch einen „Term mit x“, da hierdurch Lösungen verloren
gehen können.
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4.Fall: Typ ax 4 + bx 2 + c = 0
2
Hier können wir die Gleichung nur durch eine Substitution x = u lösen.
Die Substitution sorgt dafür, dass wir die gegebene Gleichung in eine quadratische
Gleichung au2 + bu + c = 0 umwandeln, für die wir die Lösungsformel anwenden können.
Beispiel 4.4:
x 4 − 3x 2 + 2 = 0
x2 = u
Lösung mit Substitution
Die substituierte Gleichung lautet u2 − 3u + 2 = 0
Mit der Lösungsformel folgt u1,2 =
3 ± 9 −8 3 ±1
und damit u1 = 2 und u2 = 1
=
2
2
Mit Hilfe der Rücksubstitution müssen wir die Variable u wieder in x umwandeln.
Hierzu setzen wir die Lösungen von u wieder in die Gleichung x 2 = u ein:
u1 = 2 ⇒ x 2 = 2 ⇒ x1,2 = ± 2
u2 = 1 ⇒ x 2 = 1 ⇒ x 3,4 = ±1
Wäre in Beispiel 4.4 eine Lösung u = −2 (also negativ) gewesen, so hätte sich bei der
Rücksubstitution keine Lösung für x ergeben: u1 = −2 ⇒ x 2 = −2 ist nicht lösbar.
Damit wären zwei der maximal vier möglichen Lösungen weggefallen.
Übungsaufgaben
Aufgabe 4-1: (TR, MH)
Löse die folgenden Gleichungen exakt:
1 3
a)
´ b) x 4 − 4 ⋅ ( 3x − 9 ) = 0
x −3 = 0
9
(
d)
x 4 = 2x 2
g)
x 4 − 3x2 + 2 = 0
j)
x 4 − ax 2 − 2a2 = 0 für a > 0
)
e) 2x 4 − 3x3 = 0
x 4 x 3 9x 2
h)
−
+
=0
16 2
8
c) 3 ⋅ (x 2 − 4) ⋅ (x 2 + 1) = 0
f) x3 − 2x2 − 8x = 0
1 4
7 2
i)
x =
x −1
48
24
k) tx 4 − 12tx 2 + 20t = 0 für t ≠ 0
Aufgabe 4-2: (TR, MH)
Für welchen Wert von a ≥ 0 hat die Gleichung 0,5 ⋅ (x 4 − 6x 2 + a) = 0 die Lösung x = 2?
Berechne für diesen Fall die weiteren Lösungen der Gleichung.
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4.2 Eigenschaften von Polynomfunktionen 3. und 4. Grades
Typische Schaubilder für Polynomfunktionen 3.Grades:
f(x) =
1 3 3 2
x − x +2
20
8
f(x) = −0,5x 3 + 2x
Typische Schaubilder für Polynomfunktionen 4.Grades:
f(x) = x 4 − 4x 2
f(x) = −1,5x 4 + 3x 3
4.2.1 Symmetrie
Bei der Symmetriebetrachtung eines Schaubildes unterscheiden wir die folgenden
Symmetrien:
•
•
Achsensymmetrie zur y-Achse
Punktsymmetrie zum Ursprung
Um die Symmetrie rechnerisch nachzuweisen, sind folgende Formeln erforderlich:
Das Schaubild von f(x) ist symmetrisch zur y-Achse, wenn gilt: f( − x) = f(x)
Das Schaubild von f(x) ist symmetrisch zum Ursprung, wenn gilt: f( − x) = − f(x)
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Symmetrie zur y-Achse: f( − x) = f(x)
Symmetrie zum Ursprung: f( − x) = − f(x)
Der rechnerische Symmetrienachweis erfolgt mit den obigen Formeln.
Beispiel 4.5:
a) Weise nach dass das Schaubild von f(x) = −0,5x 3 + 2x symmetrisch zum Ursprung ist.
Es gilt f( − x) = −0,5 ⋅ ( − x)3 + 2 ⋅ ( − x) = 0,5x 3 − 2x und − f(x) = −( −0,5x 3 + 2x) = 0,5x 3 − 2x
Da f( − x) = − f(x) gilt, ist das Schaubild symmetrisch zum Ursprung.
b) Weise nach dass das Schaubild von f(x) = x 4 − 4x 2 symmetrisch zur y-Achse ist
Es gilt f( − x) = ( − x)4 − 4 ⋅ ( − x)2 = x 4 − 4x 2
Da f( − x) = f(x) gilt, ist das Schaubild symmetrisch zur y-Achse.
Bei Polynomfunktionen gibt es noch eine einfachere Möglichkeit, die Symmetrie des
Schaubildes auch ohne Verwendung der Formeln an der Funktionsgleichung abzulesen.
Symmetrieregel für Polynomfunktionen
•
Eine Polynomfunktion ist symmetrisch zum Ursprung, wenn alle Hochzahlen
der Variablen „x“ ungerade sind. (-> „ungerade Funktion“) (siehe Beispiel 4.5 a))
•
Eine Polynomfunktion ist symmetrisch zur y-Achse, wenn alle Hochzahlen
der Variablen „x“ gerade sind. (-> „gerade Funktion“) (siehe Beispiel 4.5 b))
•
Eine ganzrationale Funktion ist weder symmetrisch zum Ursprung noch zur y-Achse,
wenn die Variable x sowohl gerade als auch ungerade Hochzahlen besitzt.
Folgende beliebte Fehler können bei Symmetrieuntersuchungen auftreten:
1.) Das Schaubild von f ( x ) = x ³ + 2x + 7 ist nicht symmetrisch zum Ursprung.
Begründung: Ausführlich kann man die Funktion so aufschreiben: f(x) = x 3 + 2x1 + 7x 0
Es treten sowohl ungerade Hochzahlen (3 und 1) als auch gerade Hochzahlen (0) auf.
Die Zahl ohne x darf somit bei der Hochzahluntersuchung nicht ignoriert werden.
2.) Das Schaubild von f ( x ) = ( x + 3)² ist nicht symmetrisch zur y-Achse, obwohl nur eine
gerade Hochzahl vorkommt.
Dies liegt daran, dass sich die Hochzahl nicht auf die Variable x bezieht, sondern auf
einen Klammerausdruck. Um die Symmetrie zu untersuchen, muss die
Funktionsgleichung ausmultipliziert vorliegen: f(x) = x 2 + 6x + 9 .
Aufgrund der geraden und ungeraden Hochzahlen liegt keine Symmetrie vor.
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(…)
11. Kurvenuntersuchung
In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit der Berechnung von Extrempunkten und
Wendepunkten sowie der Ermittlung der Monotonieintervalle eines Schaubildes.
11.1 Extrempunkte
Die Extrempunkte eines Schaubildes sind die Punkte, bei denen ein lokales Maximum oder
lokales Minimum existiert.
„lokal“ bedeutet, dass dieser Punkt der höchste bzw. tiefste Punkt in einer kleinen Umgebung
um den Punkt herum ist, aber nicht unbedingt der höchste oder tiefste Punkt des kompletten
Schaubildes sein muss.
Alle Hoch- und Tiefpunkte eines
Schaubildes haben eine gemeinsame
Eigenschaft: Sie besitzen eine waagrechte
Tangente, die Steigung in den Punkten ist
gleich Null.
Im nebenstehenden Schaubild gilt
f ′(1) = 0 und f ′(3) = 0
Wenn wir Extrempunkte berechnen
wollen, ist es erforderlich, dass wir
zunächst alle Punkte des Schaubildes
bestimmen, die eine waagrechte Tangente
besitzen. Falls es solche Punkte nicht gibt,
besitzt die Funktion keine Extrempunkte.
Bei Aufgabenstellungen muss man zwischen den Begriffen Extrempunkt und Extremstelle
unterscheiden.
Die Extremstelle ist lediglich der x-Wert des Extrempunktes.
Im obigen Schaubild sind H(1/1) und T(3/-3) Extrempunkte und x = 1 bzw. x = 3 sind die
Extremstellen.
Zur Berechnung von Extremstellen muss die folgende Bedingung erfüllt sein:
Notwendige Bedingung für eine Extremstelle:
Befindet sich bei x = a eine Extremstelle, dann gilt f ′(a) = 0 .
-> MERKHILFE
"Notwendig" bedeutet, dass diese Bedingung bei einer Extremstelle immer erfüllt sein muss.
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Aus nebenstehendem Schaubild können
wir erkennen, dass an der Stelle x = 1
zwar auch eine waagrechte Tangente
vorliegt (es gilt f ′(1) = 0 ) - trotzdem gibt es
dort keinen Extrempunkt, sondern einen
Sattelpunkt (genaueres zu Sattelpunkten
folgt in Kapitel 11.3)
Was bedeutet das nun?
Selbst wenn die notwendige Bedingung f ′(a) = 0 erfüllt ist (das heißt es existiert eine
waagrechte Tangente an der Stelle x = a) kann man daraus noch nicht sofort folgern, dass
die Funktion dort einen Extrempunkt besitzt. Sie könnte dort auch einen Sattelpunkt
besitzen.
Damit wir prüfen können, ob an einer Stelle mit waagrechter Tangente ein Hochpunkt,
Tiefpunkt oder Sattelpunkt vorliegt, brauchen wir eine hinreichende Bedingung.
Es gibt zwei Varianten für hinreichende Bedingungen bei der Berechnung von Extremstellen.
Erste hinreichende Bedingung für Extremstellen mit der 2.Ableitung f ′′ :
Wenn f ′(a ) = 0 ist und f ′′(a ) < 0 ist, dann hat f an der Stelle x = a ein lokales Maximum.
Wenn f ′(a ) = 0 ist und f ′′(a ) > 0 ist, dann hat f an der Stelle x = a ein lokales Minimum.
Zweite hinreichende Bedingung für Extremstellen mit Vorzeichenwechsel (VZW) von f ′ :
Wenn f ′(a ) = 0 ist und f ′ an der Stelle x = a einen VZW von - nach + hat, dann hat f an der
Stelle x = a ein lokales Minimum.
Wenn f ′(a ) = 0 ist und f ′ an der Stelle x = a einen VZW von + nach - hat, dann hat f an der
Stelle x = a ein lokales Maximum.
MERKHILFE
Wie dies rechnerisch umgesetzt werden muss, wird in folgendem Diagramm dargestellt:
Setze f ′(x) = 0 und berechne die Lösungen der Gleichung.
Annahme: x = 1 sei eine Lösung
Prüfung mit f ′′(x) :
f ′′(1) < 0 ⇒ lokales Maximum bei x = 1
f ′′(1) > 0 ⇒ lokales Minimum bei x = 1
f ′′(1) = 0 ⇒ keine Aussage möglich
Kontrolle mit VZW von f ′(x)
Prüfung mit Vorzeichenwechsel von f ′(x)
Prüfe, welches Vorzeichen f ′(x) links
rechts von x = 1 besitzt:
f ′(0) < 0 und f ′(2) > 0 (VZW von - nach +)
⇒ lokales Minimum bei x = 1
f ′(0) > 0 und f ′(2) < 0 (VZW von + nach -)
⇒ lokales Maximum bei x = 1
f ′(0) > 0 und f ′(2) > 0 ⇒ Sattelpunkt
f ′(0) < 0 und f ′(2) < 0 ⇒ Sattelpunkt
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Erklärung zur hinreichende Bedingung mit der 2.Ableitung: (linker Kasten)
Wenn wir die Lösung der Gleichung f ′( x ) = 0 in f ′′(x) einsetzen, können wir aufgrund des
Vorzeichens der 2. Ableitung entscheiden, ob an dieser Stelle ein lokales Maximum
(Hochpunkt) oder ein lokales Minimum (Tiefpunkt) existiert.
Begründung: Das Vorzeichen der 2.Ableitung gibt an, ob an dieser Stelle das Schaubild
rechtsgekrümmt ( f ′′(x) < 0 ) oder linksgekrümmt ( f ′′(x) > 0 ) ist.
Ein Punkt mit waagrechter Tangente und Rechtskrümmung ist ein Hochpunkt.
Ein Punkt mit waagrechter Tangente und Linkskrümmung ist ein Tiefpunkt.
Nimmt f ′′(x) den Wert Null an, dürfen wir nicht fälschlicherweise davon ausgehen, dass dort
automatisch ein Sattelpunkt vorliegt. Diese Möglichkeit besteht zwar, aber es könnte sich
auch weiterhin um einen Hoch- oder Tiefpunkt handeln. In diesem Fall
hilft uns die Prüfung mit f ′′(x) überhaupt nicht weiter. Wir müssen eine andere
Kontrollmöglichkeit nutzen – nämlich die Prüfung des Vorzeichenwechsels von f ′(x) .
Erklärung zur hinreichende Bedingung mit dem VZW von f ′(x) : (rechter Kasten)
Ist zum Beispiel x = 1 eine Lösung der Gleichung f ′( x ) = 0 , dann gibt es die folgenden vier
Möglichkeiten, welche Sorte von Punkt bei x = 1 existieren kann. Die Möglichkeiten
unterscheiden sich im Steigungsverhalten links und rechts von der Stelle x = 1:
Tiefpunkt: f ′ (Steigung) wechselt das
Vorzeichen von – nach +
Hochpunkt: f ′ (Steigung) wechselt das
Vorzeichen von + nach –
Liegt kein Vorzeichenwechsel bei f ′ vor, existiert kein Extrempunkt, sondern ein Sattelpunkt
(dies ist ein Wendepunkt mit waagrechter Tangente, siehe Kapitel 11.3).
Wie man die Vorzeichenwechselprüfung konkret durchführt, werden wir in Beispiel 11.2
sehen.
Nun folgen zunächst Beispiele, bei denen f ′′(x) als hinreichende Bedingung genutzt wird.
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Beispiel 11.1:
a) Untersuche das Schaubild von f ( x ) = x 3 − 3 x auf Extrempunkte.
Hinreichende Bedingung: f ′(x) = 0 und f ′′(x) ≠ 0
Es gilt f ′(x) = 3x 2 − 3 und f ′′( x ) = 6 x
+3; :3
f ′(x) = 0 : 3x 2 − 3 = 0 ⇒ x 2 = 1 ⇒ x = 1 und x = −1
Es gilt f ′′(1) = 6 > 0 ⇒ relatives Minimum bei x = 1 ⇒ Tiefpunkt T(1/f(1)), also T(1/-2)
Es gilt f ′′( −1) = −6 < 0 ⇒ relatives Maximum bei x = -1 ⇒ Hochpunkt H(-1/f(-1))
also H(-1/2)
b) Untersuche das Schaubild von f(x) = 3 ⋅ sin(x) − 4 auf Extrempunkte in 0 ≤ x ≤ 2π .
Hinreichende Bedingung: f ′(x) = 0 und f ′′(x) ≠ 0
Es gilt f ′(x) = 3 ⋅ cos(x) und f ′′(x) = −3 ⋅ sin(x)
π
3
f ′(x) = 0 : 3 ⋅ cos(x) = 0 ⇒ cos(x) = 0 ⇒ x1 = und x 2 = π
2
2
π
π
π
π
⇒ Hochpunkt H ( / −1)
f ′′( ) = −3 sin( ) = −3 < 0 ⇒ relatives Maximum bei x =
2
2
2
2
3
3
3
3
f ′′( π) = −3 sin( π) = 3 > 0 ⇒ relatives Minimum bei x = π ⇒ Tiefpunkt T( π / −7)
2
2
2
2
Hinweis: Wir könnten in diesem Fall die Extrempunkte auch ohne Ableitungsfunktion
π
bestimmen. Das Schaubild von g(x) = sin(x) besitzt den Hochpunkt H ( / 1) und den
2
3
Tiefpunkt T( π / −1) (das sollte man sich durch Aufzeichnen der Sinuskurve selbst
2
herleiten können). Die Funktion f(x) besitzt die Amplitude 3 (das heißt die y-Werte
werden verdreifacht) und ist noch um 4 nach unten verschoben (das heißt die dreifachen
y-Werte werden wieder um 4 reduziert)
π
π
Daraus folgt für das Schaubild von f(x) als Hochpunkt H ( / 1 ⋅ 3 − 4) = H( / −1) und als
2
2
3
3
Tiefpunkt T( π / −1⋅ 3 − 4) = T( π / −7)
2
2
c) Untersuche das Schaubild von f(x) = 3e2x + e x auf Extrempunkte.
Hinreichende Bedingung: f ′(x) = 0 und f ′′(x) ≠ 0
Es gilt f ′(x) = 6e2x + e x und f ′′(x) = 12e2x + e x
f ′(x) = 0 : 6e2x + e x = 0
(
)
⇒ e x ⋅ 6e x + 1 = 0 ; Lösung mit dem Satz vom Nullprodukt
x
Da weder die Gleichung e = 0 noch die Gleichung 6e x + 1 = 0 lösbar ist, ist die
notwendige Bedingung niemals erfüllt. Das Schaubild besitzt keine Extrempunkte.
Die Untersuchung von f ′′(x) ist nicht mehr erforderlich.