"Aufgaben mit Lösungen zur Elektrotechnik" von Leonhard Stiny

Leseproben aus dem Buch
"Aufgaben mit Lösungen zur Elektrotechnik"
Franzis Verlag, 85586 Poing
Autor des Buches: Leonhard Stiny
ISBN 978-3-7723-4046-8
Autor dieser Leseprobe: Leonhard Stiny © 2005/08, alle Rechte vorbehalten.
Die Formatierung dieser Leseprobe weicht von der Formatierung des Buches ab.
Leseprobe 1
1.1 Widerstand und Leitfähigkeit
Aufgabe
a) Was versteht man unter JOULEscher Wärme?
b) Wie sind Widerstand und Leitfähigkeit miteinander verknüpft?
Lösung
a) JOULEsche Wärme tritt bei allen stromdurchflossenen Leitern auf. Sie entsteht durch Zusammenstöße fließender Elektronen mit den Atomrümpfen. Die Elektronen geben dabei die
ihnen von der Spannungsquelle zugeführte Energie an die Atomrümpfe ab, wodurch sich deren Wärmeschwingungen verstärken und sich das Leitermaterial erwärmt.
b) Der Widerstand ist der Kehrwert der Leitfähigkeit.
1.7 Halbleiter
Aufgabe
Wie verhält sich der Widerstand eines Halbleiters und eines metallischen Leiters mit steigender
Temperatur? Erläutern Sie jeweils dieses Verhalten.
Lösung
Der Widerstand eines Halbleiters nimmt mit steigender Temperatur stark ab, da sich die Anzahl
freier Elektronen mit steigender Temperatur erhöht. Bei einem Metall nimmt der Widerstand mit
steigender Temperatur zu, da die freien Elektronen öfter mit den stärker um ihre Ruhelage
schwingenden Atomrümpfen zusammenstoßen und „gebremst“ werden.
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Leseprobe 2
2.6 Elektrische Leistung
Aufgabe
Eine Glühlampe hat folgende Nenndaten: U = 12 V , P = 55 W .
a) Wie groß ist die Stromaufnahme der Glühlampe?
b) Wie hoch ist der Widerstand des Glühfadens für diesen Betriebspunkt?
Lösung
P 55 W
=
= 4,58 A
U 12 V
U
12 V
b) Ohmsches Gesetz: R = =
= 2,62 Ω
I 4,58 A
a) Aus P = U ⋅ I folgt I =
Aufgabe
Die Spannungsquelle mit der Leerlaufspannung U q und dem Innenwiderstand Ri wird mit dem
Lastwiderstand RL belastet. Wie groß ist die vom Lastwiderstand aufgenommene Leistung PL in
Abhängigkeit von RL ?
Ri
I
Uq
RL
Lösung
⎛ Uq ⎞
Allgemein: P = R ⋅ I ; hier: I =
; PL = RL ⋅ ⎜
⎟
Ri + RL
⎝ Ri + RL ⎠
2
Uq
2
3.1 Der ohmsche Widerstand
Aufgabe
Ein Präzisionswiderstand darf seinen Wert um höchstens ±0,01% gegenüber seinem Wert bei
20 °C ändern. In welchem Temperaturbereich kann der Widerstand verwendet werden? Der
Temperaturkoeffizient bei 20 °C beträgt α 20 = 4 ⋅ 10−5 K -1 .
Lösung
Die Widerstandsänderung in Ohm eines metallischen Leiters durch eine von 20 °C abweichende
Umgebungstemperatur ergibt sich nach ΔR = α 20 ⋅ R20 ⋅ Δϑ . Die relative (prozentuale) WiderΔR
= α 20 ⋅ Δϑ . Es ist ±0,01 % = ±10-4.
standsabweichung ist
R20
2
±10−4
= ±2,5 K
4 ⋅ 10−5 K -1
Als Abweichung von 20 °C ergibt sich damit ein Temperaturbereich zwischen 17,5 °C und
22,5 °C. 17,5 °C ≤ ϑ ≤ 22,5 °C
Es folgt: ±10−4 = α 20 ⋅ Δϑ ;
Δϑ =
3.4 Aufteilung einer Spannung
Aufgabe
Berechnen Sie den Strom I3 durch R3 in der angegebenen Schaltung mit Hilfe
a) der Spannungsteilerregel
b) der Stromteilerregel.
Gegeben: U q = 12 V ; Ri = 1 Ω ; R1 = 9 Ω ; R2 = 8 Ω ; R3 = 2 Ω R
Uq
R1
Ri
R2
R3
Lösung
R2 ⋅ R3
2⋅8
R2 + R3
= 12 V ⋅ 10 = 1,66 V
a) U 3 = U q ⋅
R2 ⋅ R3
1,6 + 10
+ Ri + R1
R2 + R3
U 1,66 V
= 0,83 A
I3 = 3 =
R3
2Ω
b) I 3 = I1 ⋅
Uq
12 V 8
R2
R2
=
⋅
=
⋅ = 0,83 A
R2 + R3 R + R + R2 ⋅ R3 R2 + R3 11,6 Ω 10
1
i
R2 + R3
3
Leseprobe 3
4.2 Ersatzspannungsquelle
Aufgabe
Gegeben: U q1 = 10 V , I q 2 = 2 A , R1 = 2 Ω , R2 = 0,5 Ω , R3 = 3 Ω , R4 = 6 Ω , RL = 4 Ω
a) Das Netzwerk links von den Klemmen A und B soll als Ersatzspannungsquelle dargestellt
werden.
b) Welche Leistung wird im Lastwiderstand RL umgesetzt?
c) Wie müsste RL gewählt werden, damit die in ihm umgesetzte Leistung maximal wird? Wie
groß ist die Leistung in diesem Fall?
Lösung
a) Der Innenwiderstand Ri der Ersatzspannungsquelle mit den Klemmen A und B wird bestimmt,
indem zunächst alle Spannungsquellen im Netzwerk kurzgeschlossen und alle Stromquellen
aufgetrennt werden. Anschließend schaut man von den Klemmen A und B in das Netzwerk
hinein und ermittelt den Widerstand, den man von dort aus sieht.
R R + ( R1 + R2 ) R3
Ri = R4 & ( R1 & R2 + R3 ) ; Ri = R4 & 1 2
; Ri = 6 Ω & 3, 4 Ω ; Ri = 2,17 Ω
R1 + R2
Nun soll die Leerlaufspannung UAB0 bestimmt werden. Hierzu wird die Spannungsquelle Uq1
in eine Stromquelle umgewandelt, RL entfällt (Leerlauf). Man erhält folgendes Netzwerk.
Die beiden parallel liegenden Stromquellen werden zusammengefasst.
4
Das Ergebnis wird wieder in eine Spannungsquelle umgewandelt.
UAB0 ist nach der Spannungsteilerregel U AB 0 = U q12
R4
. U AB 0 = 1,79 V
R12 + R3 + R4
Es folgt die Darstellung des ursprünglichen Netzwerkes mit der Ersatzspannungsquelle.
b) Am Lastwiderstand fällt folgende Spannung ab:
RL
4Ω
U AB = U AB 0
= 1,79 V
= 1,16 V
Ri + RL
6,17 Ω
An RL entsteht die Leistung: PL =
2
U AB
= 0,34 W
RL
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c) RL müsste gleich dem Innenwiderstand Ri gewählt werden, damit Leistungsanpassung vorliegt.
Die Klemmenspannung UAB ist in diesem Fall die Hälfte von UAB0. Die an RL verbrauchte
2
⎛ 1,79 V ⎞
⎜
⎟
2 ⎠
⎝
max
Leistung ist dann PL =
= 0,37 W
2,17 Ω
7.2 Schaltvorgang bei der Spule
Aufgabe
Uq ist eine Gleichspannungsquelle. Der Schalter S ist lange Zeit offen und wird zum Zeitpunkt
t = 0 geschlossen.
Wie groß sind die Werte von iL ( t = 0 + ) und iC ( t = 0 + ) unmittelbar nach dem Schließen des
Schalters (Anfangswerte)?
Lösung
t < 0: Vor dem Schließen des Schalters S ist iL ( t ) = 0 und iC ( t ) = 0 .
t = 0 + : Der Spulenstrom iL ( t ) springt nicht, er steigt, beginnend mit dem Wert Null, nach einer
L
an. iL ( t = 0 + ) = 0
R1
Die Kondensatorspannung springt nicht, sie steigt, beginnend mit dem Wert Null, nach einer
e-Funktion mit der Zeitkonstante τ = R2C an (der Kondensator wird geladen). Der Kondensatore-Funktion mit der Zeitkonstante τ =
strom iC ( t ) macht jedoch beim Schließen des Schalters einen Sprung, er wird bei t = 0 + nur
durch R2 begrenzt. iC ( t = 0 + ) =
Uq
R2
8.2 Parallelschaltung von Kondensatoren
Aufgabe
a) Gesucht ist die Gesamtkapazität C ges zwischen den Klemmen A und B des abgebildeten
Netzwerkes mit Kondensatoren.
b) Bestimmen Sie das Verhältnis U 2 U mit Hilfe der kapazitiven Spannungsteilerregel.
c) Vergleichen Sie allgemein die kapazitive Spannungsteilerregel mit der Spannungsteilerregel
für ohmsche Widerstände.
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Gegeben: C1 = 500 pF ; C2 = 30 nF ; C3 = 50 nF ; C4 = 10 nF
Lösung
a) Der Kapazitätswert C3 & C4 ist: C3 + C4
Der Kapazitätswert der Reihenschaltung von C2 und C3 & C4 ist
Zwischen den Klemmen A und B ist die Kapazität C ges = C1 +
C ges = 0,5 nF +
C2 ⋅ ( C3 + C4 )
C2 + C3 + C4
C2 ⋅ ( C3 + C4 )
C2 + C3 + C4
30 ⋅ 60
nF = 20,5 nF
90
b) Bei der Reihenschaltung von Kondensatoren ist die Teilspannung Ux am Teilkondensator Cx
C
U x = U ⋅ ges (kapazitive Spannungsteilerregel).
Cx
C2 ⋅ ( C3 + C4 )
U2
C3 + C4
60 nF U 2 2
C + C3 + C4
= 2
=
=
;
=
U
C2
C2 + C3 + C4 90 nF U 3
c) Bei der Reihenschaltung von ohmschen Widerständen ist die Teilspannung Ux am TeilwiderR
stand Rx: U x = U ⋅ x
Rges
Beim ohmschen Spannungsteiler ist die Teilspannung Ux am Teilwiderstand Rx umso größer, je
größer der Teilwiderstand Rx ist. Beim kapazitiven Spannungsteiler ist die Teilspannung Ux am
Teilkondensator Cx umso größer, je kleiner die Teilkapazität Cx ist.
Leseprobe 4
11.6 Parallelschaltung aus Widerstand und Kondensator
Aufgabe
Berechnen Sie die Klemmenimpedanz Z bei 50 Hz nach Betrag und Winkel (mit Zahlenwerten).
Gegeben: R = 100 Ω , C = 47 μ F
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Lösung
Z=
1
=
R
; Z =
1 + jω RC
1
+ jωC
R
Z = Z (50 Hz ) = 56 Ω ⋅ e − j 55,9°
R
1 + (ω RC ) ⋅ e
2
j⋅arctan
ω RC
1
=
R
1 + (ω RC )
2
⋅ e − j⋅arctan ωRC
16.1 Diodenkennlinie
Aufgabe
a) Bestimmen Sie aus der Diodenkennlinie grafisch die Schleusenspannung US und den durch
eine Gerade angenäherten differentiellen Widerstand rF.
b) Handelt es sich um eine Silizium- oder um eine Germaniumdiode?
c) Geben Sie mit den Größen US und rF die stückweise lineare Kennlinie und die Ersatzschaltung
der gegebenen Diode an.
d) Wie kann der Durchlasswiderstand der Diode in Zusammenhang mit dem ermittelten
differentiellen Widerstand rF gesehen werden?
e) Charakterisieren Sie allgemein (quantitativ) den differentiellen Widerstand im Durchlass-,
Sperr- und Durchbruchbereich einer Diode.
f) Der Wärmewiderstand der Diode beträgt RthJU = 380 K W . Wie hoch ist die Sperrschicht
temperatur TJ bei einer Umgebungstemperatur TU = 50 °C und einer Verlustleistung der Diode von PV = 100 mW ?
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Lösung
a) Die Schleusenspannung (auch Durchlass- oder Kniespannung genannt) wird häufig als derjenige Spannungswert an der Diode in Flussrichtung definiert, bei dem ca. ein Zehntel des
maximal zulässigen Dioden-Durchlassstromes fließt. Die Ersatzkennlinie ist eine Widerstandsgerade, die durch die Schnittpunkte der Diodenkennlinie mit den Werten I F max und
1
1
I F max festgelegt ist. Hier ist
I F max = 10 mA .
10
10
Die Schleusenspannung kann auch aus dem Schnittpunkt der Ersatzgeraden mit der Abszisse
abgelesen werden. Es ergibt sich U S = 0,85 V .
Der differentielle (dynamische) Widerstand rF entspricht in erster Näherung der Steigung der
ΔU F 1 V − 0,85 V
Ersatzgeraden. rF =
=
= 1,5 Ω
ΔI F
0,1 A
b) Da U S > 0,6 V ist, handelt es sich um eine Siliziumdiode.
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c)
Stückweise lineare Kennlinie der Diode
Ersatzschaltung der Diode mit differentiellem Widerstand und Schleusenspannung
d) Der Durchlasswiderstand entspricht dem hier im ganzen Durchlassbereich durch eine Gerade
angenäherten differentiellen Widerstand.
e) Der differentielle Widerstand ist durch die Krümmung der Diodenkennlinie von der Lage des
Arbeitspunktes abhängig. Im Durchlassbereich ist der differentielle Widerstand klein, eine
kleine Spannungsänderung hat eine große Stromänderung zur Folge. Im Sperrbereich ist der
differentielle Widerstand sehr groß, bei Änderung der Sperrspannung ändert sich der Sperrstrom fast nicht. Im Durchbruchbereich ist der differentielle Widerstand sehr klein, eine kleine
Spannungsänderung hat eine sehr große Stromänderung zur Folge.
f) TJ = RthJU ⋅ PV + TU = 380
K
⋅ 0,1 W+50 °C = 88 °C
W
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17.4 Differenzverstärker
Aufgabe
Es ist folgende Transistorschaltung gegeben:
Gegebene Werte: U B1 = +5 V , U B 2 = −5 V , U1 = +0,5 V Gleichspannung,
RV = RC1 = RC 2 = 1 kΩ , β1 = β 2 = 100
a) Um welche spezielle Transistorschaltung handelt es sich?
b) Leiten oder sperren die Transistoren T1, T2?
c) Bestimmen Sie die Spannungen UE, UC1 und UC2.
Lösung
a) Die Schaltung ist ein Differenzverstärker.
b) Entsprechend dem Schaltzeichen handelt es sich um pnp-Transistoren. Ein pnp-Transistor
leitet, wenn seine Basis negativ ist. Dementsprechend sperrt T2, da dessen Basis auf einem Potenzial von +0,5 V liegt. Nimmt man an, dass T1 leitet, so ist UEB1 ca. 0,7 V. UEB2 ist dann ca.
0,2 V (T2 sperrt). Ergebnis: T1 leitet, T2 sperrt.
c) U E = U EB1 = 0, 7 V
U RV U B1 − U EB1 5 V − 0,7 V
=
=
= 4,3 mA . Dieser Strom fließt
RV
RV
1 kΩ
auch durch RC1, an dem somit U RC1 = I RV ⋅ RC1 = 4,3 mA ⋅ 1 kΩ = 4,3 V abfallen.
Für UC1 ergibt sich: U C1 = U RC1 + U B 2 = 4,3 V − 5 V = −0,7 V
Durch RV fließt der Strom I RV =
Da T2 sperrt, fließt durch RC2 kein Strom und es ist U RC 2 = 0 V (kein Spannungsabfall an RC2).
Somit ist U C 2 = U B 2 = −5 V .
Ende der Leseprobe des Buches
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