Mögliche Vortragsthemen

Für den Zirkel 7c, Schuljahr 2012/2013
Im Schuljahr 2012/2013 soll jeder Schüler einen kleinen Vortrag zu einem mathematischen
Thema halten. Das Thema kann dabei frei gewählt werden. Ich gebe einige Vorschläge für
Vortragsthemen, aus denen könnt ihr euch auch gern eines wählen.
Der Vortrag sollte mindestens 10 Minuten dauern. Ein interessantes Thema kann man natürlich
auch mal einen ganzen Zirkel lang vorstellen! Ihr könnt den Vortrag entweder nur mit Tafel und
Kreide oder mit einem OH-Projektor oder mit einer Power Point-Präsentation halten. Bitte
schreibt mir spätestens am Wochenende vorher eine E-Mail, was ihr für den Vortrag benötigt.
Es folgt eine Liste von Vortragsthemen:
1. Entenjagd
Im ersten Zirkel haben wir eine Simulation durchgeführt und Vermutungen gesammelt.
Im Vortrag soll diese Vermutung mathematisch entweder bestätigt oder für falsch
befunden werden.
2. Eine weitere mathematische Simulation
In der Rechnung mit Wahrscheinlichkeiten fehlen manchmal die Möglichkeiten, diese
Wahrscheinlichkeiten exakt anzugeben. Simulationen liefern oft gute Ergebnisse. Im
Vortrag soll eine weitere mathematische Simulation vorgestellt werden. Geeignete
Beispiele wären zum Beispiel das Ziegenproblem oder der Monte-Carlo-Algorithmus zur
Berechnung der Kreiszahl π (schwer).
3. Leonhard Euler
Leonhard Euler war einer der produktivsten und wichtigsten Mathematiker aller Zeiten.
Er hat in vielen Bereichen der Mathematik wichtige Entdeckungen gemacht.
Im Vortrag sollen kurz interessante Punkte aus dem Lebenslauf von Leonhard Euler
vorgestellt werden. Außerdem soll eine interessante mathematische Erkenntnis im
Zusammenhang mit ihm erwähnt werden. Dazu bieten sich zum Beispiel die Eulersche
Phi-Funktion oder die Eulersche Zahl (schwer) an.
4. Carl Friedrich Gauß
Gauß war ein überragender Mathematiker im 19. Jahrhundert. Neben seinem Lebenslauf
soll eine interessante mathematische Erkenntnis im Zusammenhang mit ihm vorgestellt
werden. Hierzu eignet sich zum Beispiel der kleine Gauß (Summenformel für die ersten n
natürlichen Zahlen), im Zusammenhang damit können auch interessante Eigenschaften
der Dreieckszahlen vorgestellt werden.
5. Teilbarkeitsregeln
Im Vortrag sollen Teilbarkeitsregeln vorgestellt und bewiesen werden. Es bieten sich zum
Beispiel Teilbarkeitsregeln für die Zahlen 7, 13 oder (etwas schwerer) 19 an.
6. Teilbarkeit durch Zahlen der Form 100...001
Im Vortrag sollte eine Teilbarkeitsregel für solche Zahlen erklärt und bewiesen werden.
Dabei sollte allgemein der Begriff alternierende k-Quersumme erklärt werden.
7. Zahlendarstellung im Computer
Im Zirkel werden wir uns mit Stellenwertsystemen beschäftigen. Im Vortrag soll erklärt
sind, mit welchen Zahlenformaten Computer und Taschenrechner rechnen.
Es bietet sich an, im Weiteren darauf einzugehen, was für Probleme das Rechnen mit
Computerzahlen mit sich bringt (Rechengenauigkeit). Es ist auch möglich, darauf
einzugehen, mit welchen Schaltungen Zahlen im Computer verarbeitet werden
(Halbaddierer, Volladdierer, schwer).
8. Russische Bauernmultiplikation
In der Schule wird eine Art der Multiplikation von zwei Zahlen gelehrt. Tatsächlich gibt
es jedoch noch viele weitere. Taschenrechner und Computer berechnen Multiplikationen
beispielsweise nur mit Verwendung der Addition. Ein Beispiel für ein solches Verfahren
zur Multiplikation von zwei Zahlen, das nur die Addition verwendet, ist die Russische
Bauernmultiplikation. Im Vortrag soll das Verfahren vorgestellt und seine Richtigkeit
begründet werden.
9. Der Schwerpunkt eines Dreiecks
Ähnlich wie Umkreis- und Inkreismittelpunkt ist auch der Schwerpunkt eines Dreiecks
ein ausgezeichneter Punkt von großem Interesse. Im Vortrag soll der Schwerpunkt
definiert werden und seine Eigenschaften erklärt werden.
Möglich ist auch, den übrigen Schülern im Anschluss eine Konstruktionsaufgabe dazu zu
stellen.
10.Geometrische Invarianten
Gegeben sei eine geometrische Figur mit gewissen Eigenschaften. Wenn die Figur
verändert wird (zum Beispiel bei einem Viereck einer der Eckpunkte verschoben wird),
so ändern sich im Allgemeinen ihre Eigenschaften. Es gibt jedoch besondere Figuren, die
Eigenschaften haben, die bei Veränderung der Figur gleich bleiben. Solche Eigenschaften
heißen Invarianten. Im Vortrag soll eine geometrische Invariante vorgestellt werden,
geeignete Beispiele wären hier zum Beispiel der Satz von Viviani, der Satz von Morley
(schwer) oder das Napoleon-Dreieck (schwer).
11.Fasskreisbogen
Die Beschäftigung mit Fasskreisbogen ergibt sich direkt aus der Beschäftigung mit dem
Peripherie-Zentriwinkel-Satz. Im Vortrag soll der Fasskreisbogen definiert werden. Es
bietet sich an, eine Konstruktion für einen Fasskreisbogen bei gegebener Strecke und
gegebenem Umfangswinkel zu erklären.
12.Zweikreisfiguren
Gegeben seien zwei Kreise. Es ist eine klassische Konstruktionsaufgabe, eine Gerade zu
bestimmen, die Tangente an beide Kreise ist. Ist Vortrag soll eine Konstruktion hierfür
vorgestellt werden und die Richtigkeit der Konstruktion soll bewiesen werden.
Möglich ist es auch, ein weiteres Zweikreisproblem zu behandeln, wie zum Beispiel die
optimale Packung zweier Kreise mit gleichem Radius in einem Rechteck.
13.Tangentenviereck
Ein Viereck, dessen vier Seiten Tangenten an einen gemeinsamen Kreis sind, heißt
Tangentenviereck. Im Vortrag soll der Satz vom Tangentenviereck vorgestellt und
bewiesen werden: Der Satz besagt, dass in jedem Tangentenviereck die Summen von
Längen gegenüberliegender Seiten gleich sind. Mehr noch: Tatsächlich gilt auch die
Umkehrung. Also jedes Viereck, das diese Bedingung erfüllt, ist ein Tangentenviereck.
14.Platonische Körper falten
Ein platonischer Körper ist ein Körper, der konvex ist und nur aus regelmäßigen
Vielecken besteht. Insgesamt gibt es fünf platonische Körper. Im Vortrag soll ein
Verfahren vorgestellt werden, einen der Körper aus Papier zu falten. Geeignet wäre auch
zu zeigen, dass es keine weiteren platonischen Körper gibt.
15.Irrationale
Zahlen
Eine rationale Zahl ist eine Zahl, die sich als Bruch mit ganzen Zahlen als Zähler und als
Nenner darstellen lässt. Es gibt allerdings auch noch andere Zahlen, die sich nicht als
ein solcher Bruch darstellen lassen, solche Zahlen heißen irrationale Zahlen. Im Vortrag
soll ein Beweis dafür angegeben werden, dass die Quadratwurzel aus Zwei keine rationale
Zahl ist. Weiter kann noch gezeigt werden, dass die Quadratwurzeln aller natürlichen
Zahlen entweder wieder natürliche Zahlen sind oder irrational sind (schwer).
16.Algorithmus zum Finden eines Eulerkreises
Im Zirkel werden wir zeigen, unter welchen Bedingungen in einem Graphen ein
Eulerkreis existiert. Im Vortrag soll ein Verfahren vorgestellt werden, mit dem man in
einem solchen Graphen einen Eulerkreis findet.
17.Planare Graphen
Ein Graph heißt planar, wenn er in einer Ebene so darstellbar ist, dass sich keine zwei
Kanten kreuzen. Dieses Thema ist sehr umfangreich und wir werden leider keine
Gelegenheit haben, es im Zirkel ausführlich zu behandeln.
Geeignete Themen für den Vortrag sind zunächst Beispiele für nicht-planare Graphen,
Dreiecksgraphen und die Angabe eines Satzes, unter welchen Bedingungen ein Graph
planar ist. (Satz von Kuratowski)
18.Sprouts
Im Zirkel werden wir uns mit dem Spiel Sprouts beschäftigen. Im Vortrag sollen diese
Erkenntnisse vertieft werden. Geeignet wäre zum Beispiel, eine Möglichkeit vorzustellen,
Sprouts-Spiele zu notieren oder eine Variante des Spiels wie Misère-Sprouts zu
betrachten.
19.Hex
Hex ist ein Brettspiel, mit dem wir uns im Zirkel nicht ausführlich beschäftigen werden.
Bislang ist noch keine Gewinnstrategie für das Spiel auf einem Brett beliebiger Größe
bekannt, trotzdem ist beispielweise bekannt, welcher Spieler eine Gewinnstrategie hat.
Dieser Fakt und das Spiel selbst sollen im Vortrag vorgestellt werden. Weiter wäre es
möglich, den Mathematiker John Forbes Nash vorzustellen, welcher sich unter anderem
mit diesem Problem beschäftigt hat.
20.Faires Teilen und Neidfreies Teilen
Wenn zwei Personen einen Kuchen gerecht aufteilen wollen, so führt das Vorgehen „du
teilst, ich suche aus“ dazu, dass beide ein Stück haben, von dem sie glauben, es sei
mindestens die Hälfte des Kuchens. Das Verfahren ist ein Verfahren für faires Teilen. Im
Vortrag soll ein Verfahren zum fairen Teilen zwischen drei Personen vorgestellt werden.
Außerdem soll der Begriff neidfreies Teilen erklärt werden.
Daniel Platt, 20.08.2012