Q12 * Astrophysik * Aufgaben zur Sternentwicklung

Werbung
Q12 * Astrophysik * Aufgaben zur Sternentwicklung
Aufgaben zum Hauptreihenstadium
1
.
m2
2. Zeigen Sie, dass aus L* ≤ 105 für die Masse m eines Sterns m  50  m folgt.
1. Begründen Sie, dass für die Verweildauer τ auf der Hauptreihe gilt: 
3. Schätzen Sie für sehr massereiche Hauptreihensterne ( B0 mit M ≈ – 5) die Masse und die
Verweildauer auf der Hauptreihe ab.
Lösungen
1
, denn
m2
1. Für die Verweildauer τ auf der Hauptreihe gilt 

m , denn die Verweildauer ist proportional zur Masse des Brennstoffvorrats.
1
, denn je größer L umso größer der Brennstoffverbrauch.
L
m
m
1
Wegen L m3 für Hauptreihensterne folgt damit 
 2
3
L m
m

2. Aus L* ≤ 105 folgt m  50  m , denn
L
L
m3
m  L

 mm 
L
m 3
3
*
3
L
m 
L
3
L*  m 
3
105  46 m  50 m
3. Für einen Hauptreihenstern B0 mit M ≈ – 5 gilt:
M  M   2,5  lg
L
L
L*   m*   m* 
3
3

 L* 
L* 
3
L
 10 0,4  (M
L
8,3 104  44
 M)
 10 0,4  (4,8  5)  10 3,92  8,3 10 4
also m  44 m
m 2

1

1
10 109 a
9
und   10 a 
 2  2   2 
 5 Millionen Jahre
m2

m
44
44
442
Aufgaben zu Roten Riesen
1. Erklären Sie den Namen „Drei-Alpha-Prozess“ für die folgende Fusionsreaktion!
He 4 + He 4 → Be 8 + γ – 0,09 MeV und Be 8 + He 4 → C 12 + γ + 7 MeV
Lösung: Es müssen hier (nahezu gleichzeitig) drei Heliumkerne zusammenstoßen.
Eine Gesamtgleichung lautet He4 + He 4 + He 4 → C 12 + γ + γ + 7 MeV
2. Beteigeuze im Sternbild Orion ist ein Pulsationsveränderlicher und etwa 600 Lj entfernt.
Der Winkeldurchmesser des Sterns schwankt etwa zwischen 0,026´´ und 0,042´´ mit einer
halbregelmäßigen Periode von ca. 2000 Tagen, die scheinbare Helligkeit nimmt Werte
zwischen 0,3 und 0,6 an.
Die Oberflächentemperatur beträgt etwa 3500K.
a) Berechnen Sie den maximalen und den minimalen Sternradius von Beteigeuze in Vielfachen
der Astronomischen Einheit.
b) Welche relative maximale bzw. minimale Leuchtkraft L* hat Beteigeuze?
c) Für die Masse von Beteigeuze findet man 20 Sonnenmassen angegeben. Warum stimmt dieser
Wert nicht überein mit dem Wert, der sich aus der Masse-Leuchtkraft-Beziehung ergibt?
Lösung:
a) d  600 Lj  600  9, 46 1011 m 
2  R1
d  tan 1
1
0, 026o
 R1 
  3, 79 107 AE  tan (
)  2, 4 AE
d
2
2
3600
tan 1 
R2 
d  tan 2
1
0, 042o
  3, 79 107 AE  tan (
)  3,9 AE
2
2
3600
b) L    4R 2  T 4  L1* 
L2* 
600  9, 46 1015 m
AE  3, 79 107 AE ( 184 pc)
11
1, 496 10 m
L1 R12  T14
(2, 4 1,5 1011 m) 2  (3500 K) 4
 2

 8,9 103
L
R T 4
(1,39 109 m) 2  (5800K) 4
L2 R 2 2  T2 4 (3,9 1,5 1011 m) 2  (3500 K)4
 2

 23 103
4
9
2
4
L
R T
(1,39 10 m)  (5800K)
c) Die Masse-Leuchtkraftbeziehung gilt nur für Hauptreihensterne und nicht für Rote Riesen.
Aufgabe zu Neutronensternen
a) Welche Dichte hat ein Proton mit der Masse 1,7 ∙ 10-27 kg und dem Radius 1,4 ∙ 10-15 m ?
b) Welchen Radius hätte die Sonne, wenn man sie auf die Dichte eines Neutronensterns mit ca. 108 t/cm3
komprimieren könnte?
c) Eine rotierende Kugel der Masse M soll pro Sekunde 100 Umdrehungen ausführen. Welche Dichte muss
die Kugel mindestens aufweisen, damit sie durch die Gravitationskraft zusammengehalten werden kann?
Lösung:
m
m
1, 7 10 27 kg
kg
g


 1,5 1017 3  1,5 1014
V 4  r 3   4  (1, 4 1015 m)3  
m
cm3
3
3
m
m
t
g
4
m
b) m  2, 0 10 30 kg und  

 108
 1014
  r3   

3
3
V 4  r3  
cm
cm
3

3
a) Dichte Pr oton 
r 
3
3 m

4
3
3  2, 0 1030 kg
 1, 68...106 cm  17 km
11
3
410 kg / cm
c) Für ein Massestück an der Oberfläche muss die Gravitationsanziehung größer sein als die
benötigte Zentripetalkraft.
4
2
2
GM 
2

m

M
2

G

M




3  G  4   
m  2  r  m     r  G  2    

3
4 3
r
r
3
 T 
 T 
r
3
4
4 2  3
 3
 3
kg
 2 

G






 2

 1, 4 107 3
 
3
2
m
3
T 4G  T G
m
 T 
(0, 01s) 2  6, 67 1011
2
kg  s
2
Aufgabe Stellare Schwarze Löcher
Der Schwarzschildradius R S 
2G M
gibt an, innerhalb welchen Abstands ein Photon eine Masse
c2
M nicht mehr verlassen kann. Bestimmen Sie für die Masse unserer Sonne den Schwarzschildradius!
m3
2  6, 67 10
 2, 0 10 30 kg
2
2G M
kg  s


 3, 0 103 m  3, 0 km
2
8
2
c
(3, 0 10 m / s)
11
Lösung: R S,
Herunterladen