3.5 Wurzelrechnung

3.5 Wurzelrechnung
3.91
Entwickle die folgenden Binome:
8
a) (x + y)
d) (3x − 2y)5
3.92
3.93
4
1
c)
2a −
2
b) (x − 1)
6
1
e)
1− b
2
7
165
Vereinfache
a)
(9a + 3b)2
9b2 − 81a2
b)
(qx − pqy)5
(x − py)3
d)
(ax + ay)n
(abx − aby)n−1
e)
(au + av)m · (bu − bv)n
(cu2 − cv 2 )m+n
c)
(6u + 3v)2 (12u − 6v)3
(24u2 − 6v 2 )2
Desgl.
a) (a − x)3 + (x − a)3
b) (a − x)3 − (x − a)3
c) (a − x)3 · (x − a)3 · (a − x)6
d) (a + x)5 · (x + a)5
u − v u2 − v 2
1
1
f) 2(x − y)n−3 · a · (x − y)n+1 · 1 (y − x)2
:
2
(s − r)
r−s
3
2
2
1
4
g) 1 (p − q)x · 4 (q − p)2 · 4 (p − q)x−2
3
2
5
4
2
h) 5(a − b)2k−2 · 1 (b − a)7−2k · (b − a)2k−5
5
3
i) (15a − 27b)6 + (27b − 15a)6
e)
k) (200x − 600y)5 + (600y − 200x)5
3.5
Wurzelrechnung
3.5.1
Radizieren als erste Umkehrung des Potenzierens
3.5.1.1
Der Wurzelbegriff
Für die beiden direkten Rechenarten erster und zweiter Stufe, die Addition und die
Multiplikation, gilt das Kommutativgesetz
a+b= b+a
bzw.
a · b = b · a.
Aus diesem Grunde hat jede dieser beiden Rechenarten nur eine Umkehrung. Die Umkehrung der Addition ist die Subtraktion, die Umkehrung der Multiplikation ist die Division.
Das Kommutativgesetz gilt aber n i c h t für die Potenzrechnung, die direkte Rechenart
dritter Stufe, denn es ist
an = na .
Aus diesem Grunde muss die Potenzrechnung zwei Umkehrungen besitzen.
Ist aus der Potenzgleichung
an = b
166
3 Arithmetik
bei bekanntem n ∈ N \ {0} und b ≥ 0 die Grundzahl a zu bestimmen, so führt dies auf
eine neue Rechenart, die man Wurzelrechnung oder Radizieren 1) nennt.
Für diese neue Rechenart muss eine eine neue Symbolik eingeführt werden. Man schreibt
√
an = b ⇔ a = n b
(3.52)
mit a, b ≥ 0 sowie n ∈ N \ {0}.
√
Gelesen wird die Gleichung a = n b : a ist die n-te Wurzel aus b.
Für nicht negative Werte von a und b drücken demnach die beiden Gleichungen
√
n
an = b
und
a= b
denselben Sachverhalt aus; sie sind nur nach verschiedenen Größen aufgelöst. Es gilt
demnach die folgende Definition des Wurzelbegriffs:
Die n-te Wurzel aus b ≥ 0 ist diejenige nicht negative Zahl a, deren n-te Potenz b
ergibt.
Bei der Potenzrechnung ist also der Potenzwert b gesucht, den man erhält, wenn man die
gegebene Grundzahl (Basis) a so oft mit sich selbst multipliziert, wie das der Exponent n
vorschreibt.
Dagegen wird bei der Wurzelrechnung die Basis a gesucht, die in die n-te Potenz erhoben
werden muss, wenn man den Radikanden b erhalten will.
√
In a = n b nennt man
b
n
a
den Radikanden
den Wurzelexponenten und
die Wurzel oder den Wurzelwert.
Die hier verwendete Definition des Wurzelbegriffes erlaubt es nicht, Wurzeln aus negativen Zahlen zu ziehen, denn es wird gefordert, dass b ≥ 0 sein muss. Desgleichen gibt es
auch keine negativen Wurzelwerte, da verlangt wird, dass man unter der n-ten Wurzel aus
b diejenige nicht negative Zahl a verstehen soll, deren n-te Potenz b ergibt.
☞ Die Beschränkung auf positive Wurzelwerte ist nötig, wenn das Wurzelsymbol ein eindeutiges
Rechenzeichen sein soll.√Würde man nämlich diese Einschränkung nicht einführen, so könnte
man z. B. dem Zeichen 2 4 zwei unterschiedliche Werte zuordnen, nämlich +2 und −2, denn
es ist sowohl (+2)2 = 4 als auch (−2)2 = 4. Für Aufgaben der Art
√
√
√
2
2
2
4 + 9 − 16 = ?
würde es dann eine ganze Reihe unterschiedlicher Lösungen geben.
Dagegen hat diese Aufgabe aufgrund der Beschränkung auf positive Wurzelwerte die eindeutige Lösung
√
√
√
2
2
2
4 + 9 − 16 = 2 + 3 − 4 = 1.
Eine Begründung dafür, dass man auch als Radikanden nur positive Zahlen bzw. die Zahl Null
zulässt, wird im Abschnitt 3.5.4.4 gegeben.
1)
radix (lat.) die Wurzel
3.5 Wurzelrechnung
Aus der Definition der Wurzel folgt für b ≥ 0
√ n √
n
n
b = bn = b.
167
(3.53)
√ n
wobei man im Falle n bn die beiden Klammern auch weglassen darf. Bei nicht
negativem Radikanden heben sich demnach Potenzieren und Radizieren mit dem gleichen
Exponenten gegenseitig auf, d. h.:
Das Radizieren ist die erste Umkehrung des Potenzierens.
Von diesem Satz wird Gebrauch gemacht, wenn nachgeprüft werden soll, ob eine Wurzel
richtig berechnet worden ist.
☞ Die zweite Umkehrung der Potenzrechnung, die Logarithmenrechnung, wird. im Abschnitt 3.6
behandelt.
Beispiel:
3.134 a)
b)
c)
√
2
0,0121 = 0,11, denn es ist 0,112 = 0,0121.
√
3
−125 gibt es nicht; denn laut Definition der Wurzel darf der Radikand nicht negativ
sein.
√
4
256 = 4, denn es ist 44 = 256.
Für a ≥ 0 gilt
√
3
a3n = an , denn es ist (an )3 = a3n .
√
n
a3n = a3 , denn es ist (a3 )n = a3n .
√
2
Die Gleichung a2 = a ist nur für a ≥ 0 richtig, weil für den Radikanden nur positive
Werte zugelassen sind.
√
2
Dagegen gilt die Gleichung a2 = | a | für −∞ < a < +∞. Auf der rechten Seite
dieser Gleichung ist der Betrag von a zu schreiben, da als Wurzelwerte nur nicht
negative Zahlen in Frage kommen. a selbst darf aber in diesem Falle ohne weiteres
negativ sein, denn der Betrag einer negativen Zahl ist positiv.
Als Verallgemeinerung des Beispiels 3.134 c) kann man formulieren:
Ist n ∈ N \ { 0 }, so gilt
√
√
2n
2n
2n
a = a2n = a
für a ≥ 0
√
2n
2n
a = |a|
für − ∞ < a < ∞.
(3.54)
Man darf also nicht ohne weiteres gleiche Wurzel- oder Potenzexponenten gegeneinander
„kürzen“. Es muss stets darauf geachtet werden, in welchem Bereich die Basis a gültig
ist.
Bei der zweiten Wurzel lässt man gewöhnlich den Wurzelexponenten 2 weg und schreibt
in vereinfachter Form
√
√
2
a = a.
168
3 Arithmetik
Man nennt die zweite Wurzel auch Quadratwurzel, da sie die Seitenlänge eines Quadrates
mit dem Flächeninhalt a angibt.
√
Entsprechend liefert die dritte Wurzel, die Kubikwurzel 3 V , die Kantenlänge desjenigen
Würfels, dessen Volumen V beträgt.
Beim Rechnen mit Wurzeln sollte man stets auf die folgenden Sonderfälle achten:
1. Es ist stets
√
n
1 = 1,
denn für alle n gilt:
(3.55)
1n = 1.
2. Für alle n ∈ N \ { 0 } gilt
√
n
0 = 0,
(3.56)
denn unter der genannten Voraussetzung ist 0n = 0.
3. Ferner ist für b ≥ 0
√
1
b = b,
(3.57)
denn es ist b1 = b.
√
√
☞ Das Zeichen 1 wird im Allgemeinen nicht geschrieben. Bei 2 darf dagegen nur der
Wurzelexponent 2 weggelassen werden. Bei allen übrigen Wurzeln muss der Wurzelexponent
angegeben werden.
3.5.1.2
Die Berechnung von Wurzelwerten
Algorithmen, mit deren Hilfe die Berechnung von Wurzelwerten auf die vier Grundrechenarten +,−, ∗ und / zurückgeführt werden, gibt es, solange man die Wurzelrechnung
kennt. Allerdings kennt sie kaum noch jemand, da es mit den Computern und den
Taschenrechnern Hilfsmittel gibt, die die gesuchten Zahlenwerte außerordentlich schnell
und mit großer Genauigkeit ermitteln können. Dennoch soll hier eine Vorgehensweise
demonstriert werden, die in ähnlicher Weise bei der Lösung vieler komplizierter mathematischer Probleme beschritten wird, für die es bis jetzt noch keine Algorithmen gibt, und
die sich dadurch auch nicht ohne weiteres mit einem Computer bearbeiten lassen.
Beispiel:
3.135
√
3
10 soll ohne technische Hilfsmittel berechnet werden.
Lösung:
Es wird ein so genanntes√Einschachtelungsprinzip vorgestellt, mit dessen Hilfe der
genaue Zahlenwert von 3 10 von Schritt zu Schritt immer mehr verbessert wird. Der
Grundgedanke ist dabei folgender:
3.5 Wurzelrechnung
169
Da die dritte Wurzel aus 10 bestimmt werden soll, sucht man zunächst die beiden
Zahlen auf, deren dritte Potenzen der 10 am nächsten kommen. Es sind dies die 2
und die 3, denn
23 = 8
33 = 27.
und
Hieraus lässt sich schon erkennen, dass
(Warum?)
√
3
10 näher an der 2 liegen wird als an der 3.
Also berechnet man mit der 2,1 beginnend in Zehntelschrittten die folgenden Zahlen,
bis man wiederum an die Stelle gelangt, an der die dritten Potenzen den Wert 10
überschreiten:
2,13 = 9,261,
2,23 = 10,648.
√
Schon beim zweiten Schritt erkennt man, dass 2,1 < 3 10 < 2,2 sein muss, und
da der Radikand 10 fast in der Mitte zwischen 9,261 und 10,648 liegt, lässt sich
vermuten, dass auch der gesuchte Wurzelwert etwa in der Mitte von 2,1 und 2,2
liegen wird.
Beim folgenden Schritt unserer Annäherung an den gesuchten Wert wird man daher
von 2,14 ausgehend in Hundertstelschritten weiter voranschreiten, bis man wiederum
die Grenze 10 überschreitet:
2,143 = 9,800 344,
2,153 = 9,938 375,
2,163 = 10,077 696.
Das Grundprinzip des Verfahrens müsste nunmehr erkennbar sein: Bei jedem Überschreiten des Potenzwertes 10 verkleinert man die Schrittweise für die Suche nach
dem exakten Wert auf ein Zehntel der bisherigen Schrittweite und verfährt damit
nach demselben Schema, das vorher angewendet worden ist.
√
Soll 3 10 auf 5 Stellen nach dem Komma ermittelt werden, so findet man auf diese
Weise
√
3
10 = 2,15 443.
(Es wird empfohlen, die zugehörigen Rechnungen selbständig auszuführen, um sich
mit der Vorgehensweise vertraut zu machen.)
Aus diesem Beispiel geht deutlich hervor, wie viel Mühe und Ausdauer nötig waren, um
derartige Zahlenwerte zu berechnen, als noch keinerlei elektronische Rechenhilfsmittel
zur Verfügung standen. Es ist aber genauso aufschlussreich zu wissen, dass die heutigen
Computer und Taschenrechner bei der Berechnung von Wurzeln und anderen mathematische Größen ganz ähnliche Verfahren verwenden, und dass all die erforderlichen
Zwischenschritte mit einer unvorstellbaren Geschwindigkeit abgearbeitet werden, sodass
die gesuchten Werte sofort nach der Betätigung der entsprechenden Funktionstasten zur
Verfügung stehen.
Selbst bei den billigsten Taschenrechnern steht zumindest eine Taste zur Verfügung,
mit
deren Hilfe Quadratwurzeln berechnet werden können. Sie ist meist mit sqrt gekennzeichnet. (SQRT ist die Abkürzung
für „squareroot“.) Will man mit dem in WINDOWS
√
enthaltenen Standardrechner 275,6 berechnen, so wird mit der Tastenfolge
2
7
5
,
6
sqrt
170
3 Arithmetik
sofort das Ergebnis 16,601 204 775 557 706 492 560 536 573 110 1 geliefert. Wie viele
Stellen man davon für seine weitere Rechnung braucht, diese Entscheidung nimmt einem
der Taschenrechner allerdings nicht ab.
Auf dem wissenschaftlichen Rechner von WINDOWS wird man das Wurzelzeichen
vergeblich suchen. Es ist nicht verhanden. Das bedeutet jedoch nicht, dass manmit diesem
Rechner keine Wurzeln ermitteln kann. Dieser Rechner besitzt nämlich eine Inv -Taste,
die auf die so genannten inversen Rechenoperationen hinweist. Dabei versteht man unter
einer inversen Rechenoperation nichts anderes als die Umkehrung einer Rechenart.
Da die Wurzelrechnung die Umkehrung der Potenzrechnung ist, muss man dem wissenschaftlichen Rechner die Absicht eine Wurzel zu berechnen in der Weise mitteilen, dass
man √
ihm sagt, er solle die Umkehrung einer Potenzierung durchgeführen. Die Berechnung
von 3 100 erfolgt demnach in drei Schritten:
1. Schritt: Eintippen des Radikanden 100;
2. Schritt: Mitteilung, dass
eine Umkehrrechung durchzuführen ist
(Drücken der Inv -Taste);
3. Schritt: Mitteilung, dass es sich um die Umkehrung der dritten Potenz handelt.
Es muss also die Tastenfolge
1
0
0
Inv
∧
x 3 eingetippt werden, nach der im Display unmittelbar das Ergebnis
√
3
100 = 4,641 588 833 612 778 892 410 076 350 919 45
erscheint. Über die Anzahl der zu verwendenden Stellen muss entsprechend der zugrunde
liegenden praktischen Aufgabenstellung sinnvoll entschieden werden.
Beispiel:
3.136 a)
√
0,125 wird mit der Tastenfolge
0
·
1
2
5
Inv
∧
x 2 berechnet. Als Ergebnis liefert der Rechner:
0,125 = 0,353 553 390 593 273 762 200 422 181 052 425
b)
Die Tastenfolge
c)
1
2
3
4
5
6
Inv
∧
x 3 liefert den Wert
√
3
123 456 = 49,793 279 846 740 480 851 964 560 633 355 8.
√
100
Um
100 zu berechnen muss die Tastenfolge
1
0
0
Inv
x∧ y
1
0
0
=
eingetippt werden.
√
100
Ergebnis:
100 = 1,047 128 548 050 899 533 464 502 031 528 14
Anmerkung: Die Taste x∧ y ist eine zweistufige Operationstaste. Daher muss die
gewünschte Rechnung mit = bzw. mit einer anderen Operationstaste abgeschlossen
werden.
3.5 Wurzelrechnung
3.5.2
171
Rationale und irrationale Zahlen
Im Abschnitt 3.3.1.6 wurde gezeigt, dass es erforderlich ist, immer umfassendere Zahlbegriffe zu verwenden, wenn man jede Aufgabe lösen will.
Ausgehend von dem Bereich der natürlichen Zahlen, in dem sich jede Additions-,
Multiplikations- und Potenzrechnungsaufgabe uneingeschränkt lösen lässt, wurde es erforderlich, den Bereich der ganzen Zahlen einzuführen, wenn auch jede Subtraktionsaufgabe lösbar sein soll. (Schon die einfache Aufgabe 3 − 5 ist im Bereich der natürlichen
Zahlen mehr nicht lösbar.)
Um jede Division ausführen zu können, muss der Zahlenbegriff erneut erweitert werden,
indem der Bereich der rationalen Zahlen eingeführt wird.
Für die rationalen Zahlen gilt:
Jede rationale Zahl lässt sich stets als endliche oder als unendliche periodische Dezimalzahl schreiben.
Jeder rationalen Zahl entspricht genau ein Punkt auf der Zahlengeraden. Die rationalen
Zahlen liegen auf der Zahlengeraden „in sich dicht“; d. h., zwischen zwei rationalen
Zahlen, und mögen sie noch so eng beieinander liegen, gibt es stets mindestens noch
eine weitere rationale Zahl. (So liegt z. B. zwischen den beiden rationalen Zahlen a und b
a+b
als weitere rationale Zahl u. a. die Zahl
.
2
Man könnte nun annehmen, dass mit den rationalen Zahlen bereits alle Zahlen die es gibt
erfasst sein müssten. Dies ist aber nicht der Fall, denn es lassen sich nicht alle Aufgaben
der Wurzelrechnung im Bereich
der rationalen Zahlen lösen. So kann gezeigt werden,
√
dass beispielsweise schon 2 keine rationale Zahl ist.
√
☞ Wäre nämlich 2 eine rationale Zahl, so müsste man sie als Quotient zweier ganzer Zahlen a
und b darstellen können:
√
a
2= ,
(∗)
b
wobei a und b als teilerfremd und verschieden von 1 vorauszusetzen sind. − Ist dies der Fall,
dann gilt
√
a = 2 · b,
woraus
a2 = 2 · b2
(∗∗)
folgt.
Das bedeutet aber, dass a2 eine gerade Zahl sein muss. Da aber nun das Quadrat einer geraden
Zahl stets gerade, das Quadrat einer ungeraden Zahl aber stets ungerade ist, folgt daraus, dass
auch der Zähler a das Bruches (*) eine gerade Zahl sein muss. Die Zahl a muss sich demnach
in der Form
a = 2 · a1
schreiben lassen.
172
3 Arithmetik
Setzt man dies in (**) ein, so erhält man
4a1 2 = 2 · b2
oder
b2 = 2a1 2 .
Aus der letzten Gleichung geht analog zu den Schlussfolgerungen aus Gleichung (**) hervor,
dass b2 und damit auch b gerade Zahlen sein müssen oder mit anderen Worten, dass neben a
nunmehr auch b den Faktor 2 enthält.
Hier steht man nun vor einem Dilemma: Es wurde vorausgesetzt, dass a und b teilerfremd
sein sollten. Unter dieser Voraussetzung kommt man aber nun zu dem Schluss, dass a und b
beide den Faktor 2 enthalten müssen. Folglich können sie nicht teilerfremd sein! Das bedeutet
aber, dass unsere ursprüngliche Voraussetzung nicht aufrecht erhalten werden kann, und das
wiederum besagt, dass die Voraussetzung falsch sein muss. Daraus folgt:
√
2 kann keine rationale Zahl sein.
√
Das, was hier für 2 vorgeführt wurde, kann für alle Quadratwurzeln nachgewiesen werden,
deren Radikanden keine Quadratzahlen sind, für alle Kubikwurzeln aus Zahlen, die keine
dritten Potenzen sind usw. festgestellt werden.
Man nennt
√
2 eine Irrationalzahl, und man definiert ganz allgemein:
Alle Zahlen, die sich nicht als Quotienten zweier ganzer Zahlen darstellen lassen,
werden Irrationalzahlen genannt.
Die rationalen und die irrationalen Zahlen unterscheiden sich in den folgenden Merkmalen:
Rationale Zahlen sind ganze Zahlen oder
endliche Dezimalbrüche oder
periodische unendliche Dezimalbrüche,
Irrationale Zahlen sind nichtperiodische unendliche Dezimalbrüche.
Die Schreibweise einer Zahl mithilfe des Wurzelzeichens charakterisiert stets den exakten
Wert dieser Zahl. So liefert
√ 2
5 = 5.
Für das praktische Rechnen verwendet man normalerweise Näherungswerte mit so vielen
Stellen hinter dem Komma, die der
√ geforderten Genauigkeit der Berechnung entsprechen.
So kann man beispielsweise für 5 den Wert
√
5 ≈ 2,236 1
verwenden, muss sich dabei jedoch darüber im Klaren sein, dass das Quadrat von 2,236 1
nicht 5 ist, sondern 2,236 12 = 5,000 143 21. Bei den meisten Aufgabenstellen reichen im
allgemeinen vier oder fünf Stellen nach dem Komma aus.
Außer der Menge der rationalen Zahlen, die unendlich viele Elemente besitzt, gibt es
demnach auch noch die Menge der irrationalen Zahlen mit unendlich vielen Elementen,
und es wird sich beim tieferen Eindringen in die Mathematik herausstellen, dass es noch
weitere Zahlenarten gibt, die sich nicht in diese beiden Kategorien einordnen lassen.
Die Vereinigung der Mengen der rationalen und und der irrationalen Zahlen wird die
Menge der reellen Zahlen genannt. Sie soll künftig stets mit R bezeichnet werden.
3.5 Wurzelrechnung
173
Mit den bereits eingeführten Bezeichnungen für die unterschiedlichen Zahlenbereiche:
N:
G:
K:
R:
Menge der natürlichen Zahlen,
Menge der ganzen Zahlen,
Menge der rationalen Zahlen und
Menge der reellen Zahlen
lässt sich folgende Relation zwischen diesen Mengen formulieren:
N ⊂ G ⊂ K ⊂ R.
(3.58)
Ein umfassenderer Zahlenbereich als der der rellen Zahlen wird in diesem Buche nicht
behandelt.
3.5.3
Zweite Erweiterung des Potenzbegriffs
(Wurzeln als Potenzen mit negativen Exponenten)
Im Abschnitt 3.4.3 wurde der Potenzbegriff, der ursprünglich nur Sinn hatte, wenn der
Exponent eine natürliche Zahl > 1 war, dadurch erweitert, dass auch Potenzen mit
negativen Hochzahlen sowie Potenzen mit den Hochzahlen Null bzw. Eins definiert wurden. Es zeigte sich, dass die bisher geltenden Potenzgesetze auch für diesen erweiterten
Potenzbegriff angewendet werden durften.
Es soll nun untersucht werden, ob es sinnvoll ist, auch mit Potenzen mit gebrochenen
1
2
3
4
0,5
m
n
Exponenten zu rechnen. Solche Potenzen wären z. B. 3 , 4 , 36 , a , 5
−2
7
usw.
Wenn diese Potenzen, unter denen man sich bis jetzt noch nichts vorstellen kann, einen
Sinn haben sollen, dann müssen in erster Linie auch für sie die Potenzgesetze gelten. Es
müsste also beispielsweise
2
1
1
32
= 3 2 ·2 = 31 = 3
sein.
Nun gilt aber andererseits auch
√ 2
3 = 3,
sodass es naheliegt,
1
2
3 =
√
3
zu setzen.
In ähnlicher Weise führt der Vergleich von
auf die Beziehung
3
27 4 =
√
4
273.
3
27 4
4
√
3
4
= 27 4 ·4 = 273 und ( 273 )4 = 273
174
3 Arithmetik
Verallgemeinert man diese beiden Beispiele, so kommt man zu einer zweiten Erweiterung
des Potenzbegriffes, indem man für a ≥ 0 definiert:
a
m
n
=
√
√
n
am = n a m .
(3.59)
Alle Wurzeln lassen sich als Potenzen mit gebrochenen Exponenten schreiben.
Dabei stimmt der Zähler des Exponenten mit der Hochzahl des Radikanden und der
Nenner des Exponenten mit dem Wurzelexponenten überein.
Umgekehrt lässt sich auch jede Potenz mit gebrochenem Exponenten als Wurzel
schreiben.
Es lässt sich zeigen, dass alle Potenzgesetze auch für den auf die obige Weise erweiterten
Potenzbegriff gültig bleiben, sodass die durch die Definition von Potenzen mit gebrochenen Exponenten geschaffene Erweiterung des Potenzbegriffs sinnvoll ist.
Beispiele:
3.137
3.138
Verwandlung von Potenzen mit gebrochenen Exponenten in Wurzelausdrücke:
2
1
√
√
√
3
b) 16 4 = 4 16 = 2
a) 5 3 = 52 = 3 25
1
−1
√
1
c) 2430,2 = 243 5 = 5 243 = 3
d) q 2 = q−1 = √
q
√
1
1
10
e) x−0.75 = 3 = √
f) u5,9 = u5 · u0,9 = u5 · u9
4 3
x
x4
Verwandlung von Wurzeln in Potenzen mit gebrochenen Exponenten:
2
2
4
√
√
15 2
√
5 2
3 4
5
5
2
5
x =x
b)
x = x
=x
c)
u = u3
a)
1
−m
√
1
n
2
2 2
2
2
d) √
=z
e)
a + b = (a + b )
n m
z
Da nunmehr Wurzeln als Sonderfälle von Potenzen behandelt werden können, braucht
man bei der Berechnung von Wurzeln mithilfe
des wissenschaftlichen WINDOWS
Rechners nicht mehr den Umweg über die Inv -Taste zu gehen. So kann man beispiel√
5
weise 263 mit der Tastenfolge
2
oder schneller mit
2
6
6
x∧ y
x∧ y
(
0
3
·
/
6
5
=
)
=
ermitteln. Der Rechner liefert als Resultat
√
5
263 = 7,062 915 473 248 845 446 957 915 100 788 39.
☞ Ob man diesen oder einen anderen Weg zur Berechnung einer Wurzel bevorzugen soll, das
muss jeder für sich entscheiden. Für den einen ist ein beschwerlicher, aber kurzer Weg der
richtige, ein anderer bevorzugt lieber einen etwas längeren, dafür aber sichereren Weg. Auf
alle Fälle aber ist es ratsam, immer denselben Lösungsweg einzuschlagen, und nicht einmal so
zu rechnen und beim nächsten Male ein anderes Verfahren anzuwenden.
3.5 Wurzelrechnung
175
Mit dem Taschenrechner
ist es sehr einfach geworden, auch „exotische“ Ausdrücke wie
√
3
√
3
π
z. B.
2 zu berechnen. Dem Leser wird empfohlen, diese Wurzel selbständig zu
berechnen. Das Ergebnis lautet
√ √3 3
π
2 = 1,172 461.
(Der WINDOWS-Taschenrechner liefert 1,172 461 986 312 562 098 122 373 653 312 25,
das wohl kaum jemand mit einer derartigen Genauigkeit brauchen dürfte.)
3.5.4
Wurzelgesetze
Für die Wurzelrechnung sind im Grunde genommen keine neuen Rechengesetze erforderlich, weil sich jede Wurzel als Potenz mit einer gebrochenen Hochzahl schreiben lässt und
damit die Potenzgesetze auch für Wurzeln gelten.
☞ Da sich jedoch viele Aufgaben der Wurzelrechnung mit dem Wurzelzeichen bequemer darstellen lassen als mithilfe der Potenzschreibweise, werden die einzelnen Rechengesetze im
Folgenden auch in der Wurzelschreibweise angegeben. Der Leser vergewissere sich jedoch,
dass bei keinem der folgenden Gesetze etwas Neues gegenüber dem entsprechenden Potenzgesetz auftritt. Es reicht also aus, nur die Potenzgesetze zu kennen und sie sinngemäß auf die
Wurzelrechnung zu übertragen.
3.5.4.1
Addition und Subtraktion von Wurzeln
Wie für die Potenzen (vgl. Abschnitt 3.4.2.1) so gilt auch für die Wurzeln:
Wurzeln lassen sich nur dann addieren bzw. subtrahieren, wenn sie sowohl in ihren
Radikanden als auch in ihren Wurzelexponenten übereinstimmen.
√
√
√
Allgemeine Terme wie z. B. n a ± n b oder a2 ± b2 usw. lassen sich demnach nicht
weiter vereinfachen, es sei denn, dass für die Variablen a und b bestimmte Zahlenwerte
gegeben sind. Es ist also z. B.
√
√
√
a ± b = a ± b
und
a2 ± b2 = a ± b.
Beispiel:
3.139 a)
b)
c)
d)
e)
f)
√
√
√
√
6
d + 8 · 6 d − 11 · 6 d = 2 · 6 d
√
√
√
√
√
√
4· 4 x+2· 3 x−3· 4 x− 3 x = 4 x+ 3 x
√
√
√
√
√
a · 6 q − b · 6 q + c · 6 q − 6 q = (a − b + c − 1) · 6 q
√
√
√
Die Gleichung a ± b = a ± b gilt nur dann, wenn a = 0 und b = 0, oder a
beliebig und b = 0 oder a = 0 und b beliebig ist.
√
√
√
3 3
3 + 43 + 53 = 3 27 + 64 + 125 = 3 216 = 6
√
√
81 − 4 81 = 9 − 3 = 6
5·
176
3 Arithmetik
3.5.4.2
Multiplikation und Division von Wurzeln
mit gleichen Wurzelexponenten
Nach den Potengesetzen gilt für a und b ≥ 0
1
1
1
a n · b n = (a · b) n .
Ersetzt man die gebrochenen Exponenten durch Wurzelzeichen, so erhält man
√
√
√
n
n
n
a · b = a · b.
(3.60)
In Worten:
Wurzeln mit gleichen Wurzelexponenten lassen sich dadurch multiplizieren, dass man
das Produkt der Radikanden berechnet und dieses mit dem gemeinsamen Wurzelexponenten radiziert.
Es gilt auch die Umkehrung dieses Satzes:
Die Wurzel aus einem Produkt kann dadurch gebildet werden, dass man die Faktoren
einzeln radiziert und danach das Produkt der Wurzeln ermittelt.
Beispiel:
3.140 a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
√
√ √ √
√
6 · 8 · 3 = 6 · 8 · 3 = 144 = 12
√
√
√
√
3
3
3
6 · 3 + 9 · 6 · 3 − 9 = (6 · 3 + 9)(6 · 3 − 9)
√
√
√
3
= (6 · 3)2 − 9 = 3 36 · 3 − 81 = 3 27 = 3
√
√ 2
√
√
√ 2
√ √
( a − b)2 = a − 2 · a · b + b = a − 2 · ab + b
√
√
√
√
( u + v)·( u − v) = u−v
√
√
√
√
3 · 125 − 2 · 20 − 3 · 180 + 6 · 45 = ?
Lösung: In jedem Radikanden ist eine Quadratzahl als Faktor enthalten. Dadurch
lassen sich die Wurzeln wie folgt vereinfachen:
√
√
√
√
= 3 · 25 · 5 − 2 · 4 · 5 − 3 · 36 · 5 + 6 · 9 · 5
√
√
√
√
√
= 3 · 5 · 5 − 2 · 2 · 5 − 3 · 6 · 5 + 6 · 3 · 5 = 11 · 5 ≈ 24,5978
√
√
√
√
√
√ √
√
3
3
3
3
3
( a2 − 3 b )( 3 a + b2 ) = a3 + a2 b2 − 3 ab − b3
√
= a + 3 (ab)2 − 3 ab − b
√
√
√
√
√
√
n n−2
n
n
n
n
a
· an+3 = an−2 · an+3 = a2n+1 = a2n · a = a2 · n a
y2
In x · 1 − 2 soll der Faktor x mit unter das Wurzelzeichen gebracht werden.
x
Lösung:
x·
y2 √
1 − 2 = x2 ·
x
y2
1− 2 =
x
x2
y2
1 − 2 = x2 − y2
x
3.5 Wurzelrechnung
i)
177
Das geometrische Mittel der n Zahlen a1 , a2 , a3 , . . . an ist der Ausdruck
√
m = n a1 · a2 · a3 · . . . · an .
Somit ist das geometrische Mittel der Zahlen 6 und 24 die Zahl
√
√
m1 = 6 · 24 = 144 = 12,
und das geometrische Mittel von 12, 45 und 50 ist
√
√
3
3
m2 = 12 · 45 · 50 = 22 · 3 · 32 · 5 · 52 · 2 = 3 (2 · 3 · 5)3 = 30.
In ähnlicher Weise wie bei der Multiplikation von Wurzeln mit gleichen Wurzelexponenten lässt sich herleiten, dass für a ≥ 0 und b > 0 gilt:
√
n a
n a
√
=
.
(3.61)
n
b
b
Wurzeln mit gleichen Wurzelexponenten können durcheinander dividiert werden, indem man den Quotienten der Radikanden mit dem gemeinsamen Wurzelexponenten
radiziert.
Oder
Einen Bruch kann man radizieren, indem man Zähler und Nenner für sich radiziert und
die entstehenden Wurzelwerte durcheinander dividiert.
Beispiele: √
3.141 a)
b)
c)
d)
e)
3.5.4.3
√
√
√
72 : 8 = 72 : 8 = 9 = 3
√
√
√
√
3
3
81a5 b7 : 3 3ab = 3 (81a5 b7 ) : (3ab) = 27a4 b6 = 3ab2 · 3 a
√
√
84
84
9,1652
0,84 =
=
=
= 0,916 52
100
10
10
√
3
√
5,9439
210
3 210
3
=
=
= 0,594 39
0,21 =
1000
10
10
√
√
√
√
√
(u · u
+ v · v) : ( u + v)
= u − uv + v
√
√
−(u · u
+ u · v)
√
√
− u· v + v· v
√
√
−( − u · v − v · u )
√
√
+ v · u +v · v
√
√
−( + v · u +v · v )
---
Rationalmachen des Nenners
√
Wenn man einen Näherungswert für den Bruch 1/ 2 benötigt, dann muss man (wenn
√
man nicht über die Aufgabe nachdenkt) eigentlich die 1 durch die Irrationalzahl 2 =
1,41 412 . . . dividiert werden. (Je genauer
√ man das Ergebnis braucht, umso mehr Stellen
nach dem Komma müssen dann für 2 verwendet werden. Man gelangt jedoch viel
178
3 Arithmetik
schneller zum Ziel, wenn man den Nenner so erweitert, dass man nur noch durch eine
ganze Zahl zu dividieren braucht, denn durch eine ganze Zahl zu dividieren ist viel
bequemer als durch eine mehrstellige Dezimalzahl teilen zu müssen:
√
√
1
1· 2
2
1,41 421
√ =√ √ =
=
= 0,70 711.
2
2
2
2· 2
Diese Vorgehensweise wird Rationalmachen des Nenners genannt.
☞ Steht dabei im Nenner eine n-te Wurzel, so muss man versuchen so zu erweitern, dass im
Nenner die n-te Potenz einer Zahl entsteht, denn im allgemeinen lässt sich mit einer irrationalen
Zahl im Zähler vorteilhafter umgehen als mit einer irrationalen Zahl im Nenner.
Beispiel:
3.142 a)
b)
c)
d)
e)
√
√
√
6· 3
6· 3
6
√ =√ √ =
= 2 · 3 ≈ 3,464 102 . . .
3
3
3· 3
√
√
5
5 · 15
5 · 15
1 √
√
√
√
=
=
= · 15 ≈ 0,430 331
3 · 15
9
3 · 15
3 · 15 · 15
√
√
2
2· 33
2· 33
2 √
3
√
√
√
√
· 3 ≈ 0,961 450
=
=
=
3
3
3
3
3
9
9· 3
27
√
√
√
a· a
a· a
a
√ =√ √ =
= a
a
a· a
a
√
√
√
7
7
7
√
x · x4
x · x4
x · x4
x
7 4
√
√
√
√
=
=
=
x
=
7 3
7 3
7 4
7 7
x
x
x
x · x
Steht im Nenner eines Bruches eine Summe, in der Quadratwurzeln auftreten, dann kann
man im Nenner die dritte binomische Formel
(a + b) · (a − b) = a2 − b2
anwenden, um ihn rational zu machen.
Beispiel:
3.143 a)
b)
c)
d)
√
√
√
√
√
√
√
2 · 3 · ( 5 + 3)
2 · 3 · ( 5 + 3) √
2· 3
√
√ = √
√ √
√ =
= 15 + 3
5−3
5− 3
( 5 − 3)( 5 + 3)
√
√
a · (a + b)
a · (a + b)
a
√ =
√
√ =
a2 − b
a− b
(a − b) · (a + b)
√
√
√
√
√
2 · 15 + 3
3
3 · (2 · 5 + 3)
√
√ =
√
√
√
√ =
20 − 3
2· 5− 3
(2 · 5 − 3) · (2 · 5 + 3)
√
√
2 · 15 + 3
3
√
√ =
17
2· 5− 3
√
√
√
√
√
√
√
( 6 − 2) · ( 2 + 6 + 10)
6− 2
√
√
√
√
√
√
√
√
= √
2 + 6 − 10
[( 2 + 6) − 10 ] · [( 2 + 6) + 10 ]
√
√
√
√
√
√
√
√
6 + 2 · 15 − 2 − 2 · 5
12 + 36 + 60 − 4 − 12 − 20
√
√
=
=
4· 3−2
(2 + 2 · 12 + 6) − 10
3.5 Wurzelrechnung
=
=
=
=
3.5.4.4
179
√
√
√
√
√
2 · (2 + 15 − 5)
(2 + 15 − 5) · (2 · 3 + 1)
√
√
√
=
2 · (2 · 3 − 1)
(2 · 3 − 1) · (2 · 3 + 1)
√
√
√
√
√
4 · 3 + 2 + 2 · 45 + 15 − 2 · 15 − 5
4·3−1
√
√
√
√
√
4 · 3 + 2 + 6 · 5 + 15 − 2 · 15 − 5
11
√
√
√
√
√
2 + 4 · 3 + 5 · 5 − 15
6− 2
√
√
√
=
11
2 + 6 − 10
Radizieren von Potenzen und Wurzeln
Beim Potenzieren einer Potenz dürfen die beiden Exponenten miteinander multipliziert
werden. Dies trifft natürlich auch für gebrochene Exponenten zu, sodass für a ≥ 0 gilt
1
1 m
m n
(a ) = a n .
Schreibt man diese Formel mithilfe des Wurzelzeichens, so ergibt sich
√
√ m
n m
a = na .
(3.62)
Es ist gleichgültig, ob man eine nicht negative Zahl zuerst potenziert und dann radiziert
oder ob man in der umgekehrten Reihenfolge vorgeht.
Ob man erst potenzieren und dann radizieren oder erst radizieren und dann potenzieren
soll, das hängt ganz von der Aufgabenstellung ab.
Beispiel:
3.144 a)
b)
c)
√
√
3
5
2433 = 5 243 = 33 = 27
5
5
(9x2 − 12xy + 4y2 ) = (3x − 2y)2 = |3x − 2y|5
Anmerkung: Der Radikand (3x − 2y)2 der zweiten Wurzel ist als Quadrat auf alle
Fälle positiv, sodass die Wurzel ohne Bedenken gezogen werden darf. Da jedoch der
Ausdruck 3x − 2y sowohl positiv als auch negativ sein kann, ist der Wurzelwert der
Quadratwurzel in Absolutstriche setzen (vgl. dazu Abschnitt 3.5.1.1).
√
3 2
5 =?
√
3 2
5 ist das Quadrat einer vielstelligen Dezimalzahl und lässt sich damit nur sehr
unbequem ermitteln. Vertauscht man hier die Reihenfolge von Radizieren und Potenzieren miteinander, so gestaltet sich die Berechnung wesentlich einfacher.
√
√
√
3
3 2
3
5 = 52 = 25 ≈ 2,9240.
Für a ≥ 0 folgt schließlich aus der Potenzgleichung
m
k·m
a n = a k·n
180
3 Arithmetik
die Beziehung
√
√
k·n k·m
n m
a =
a .
(3.63)
Wurzel- und Potenzexponent dürfen mit der gleichen Zahl multipliziert bzw. durch die
gleiche Zahl dividiert werden.
Man nennt diesen Vorgang in Analogie zur Bruchrechnung Erweitern bzw. Kürzen von
Brüchen.
Beispiel:
3.145 a)
b)
c)
√
√
√
√
4
2
4
25 = 52 = 51 = 5 ≈ 2,2361
6 12
2 4
b 3 2a2 b
2a2 b4 3
9 8a b
9
3 2a b
=
=
= ·
27c3 d 15
3cd 5
3cd 5
d
3cd 2
√
4 3
u soll als 12. Wurzel geschrieben werden.
Lösung:
√
√
4 3
12 9
u =
u
An dieser Stelle soll noch die Begründung dafür angegeben werden, warum bei der
Definition der Wurzel gefordert wurde, dass der Radikand nicht negativ sein darf.
Würde man
nämlich diese Einschränkung fallen lassen, so könnte beispielsweise für den
√
3
Wert von −64 die Zahl −4 angegeben werden, denn es ist ja
(−4)3 = −64.
Damit könnte man dann auch die folgende zu offensichtlich falschen Resultaten führende
Überlegung anstellen:
(lt. falscher Definition der Wurzel,)
−4 = 3 (−4)3
√
= 3 −64
= 6 (−64)2
(Erweitern der Wurzel mit 2,)
√
6
= 642
(weil (−64)2 = 642 ist,)
√
= 3 64
(Kürzen der Wurzel und des Exponenten mit 2)
−4 = +4
und das ist offensichtlich falsch!
Nach den Potenzgesetzen muss
a
1
1 m
n
= a
1
1 n
m
=a
1
m·n
sein. Schreibt man dies mithilfe von Wurzeln, so ergibt sich
√
√
√
m n
n m
a =
a = m·n a.
(3.64)
3.5 Wurzelrechnung
181
Beim Radizieren einer Wurzel darf die Reihenfolge, in der radiziert werden soll,
vertauscht werden.
Jede mehrfache Wurzel kann auch stets als eine einfache Wurzel geschrieben werden
mit einem Wurzelexponenten, der gleich dem Produkt der gegebenen Wurzelexponenten ist.
Umgekehrt lässt sich jede Wurzel mit einem großen Wurzelexponenten in mehrere
ineinander geschachtelte Wurzeln umformen.
Beispiel:
3.146 a)
b)
c)
d)
3.5.4.5
√
√
3 √
3
27 =
27 = 3 ≈ 1,7321
√
√
3 √
6
9=
9 = 3 3 ≈ 1,4422
√
4 √
7 3
28
u = u3
√
√
√
√
√
3
3
3
3
3 √
3 3
6
3
3 3
9
3
3· 3· 3 = 3
3 · 3 = 3 · 34 = 3 · 32 =
3 · 32 = 35
Wurzeln mit verschiedenen Wurzelexponenten
Wenn Aufgaben mit Wurzeln bearbeitet werden sollen, in denen unterschiedliche Wurzelexponenten auftreten, ist es meistens am vorteilhaftesten, wenn man die Wurzeln als
Potenzen mit gebrochenen Exponenten schreibt und dann die Potenzgesetze anwendet.
Beispiel:
3.147 a)
b)
√
n
ax
3
·
3·
√
m
ay
3·
x
n
=a ·a
√
3
y
m
=a
3 =?
x
n
+
y
m
=a
mx+ny
mn
=
√
amx+ny
m·n
(Vgl. Beispiel 3.146 d)!)
Lösung:
3
1 1
1
4 1 1 √
1 2 3
2 3
2 3
3
3
3
3
3· 3· 3= 3· 3·3
= 3· 3
= 3·3
5 1
5
3
= 33
= 39
c)
(Stimmt das mit dem Ergebnis von Aufgabe 3.146d) überein?)
√
√
(4 · xy + 3 xy2 + 3 4 xy3 ) · ( 12 xy4 − 2 · xy)
1
1
1
2
1
3
1
1
1
1
= (4 · x 2 · y 2 + x 3 · y 3 + 3 · x 4 · y 4 ) · (x 12 · y 3 − 2x 2 · y 2 )
7
5
5
5
7
1
13
3
5
= 4 · x 12 · y 6 − 8xy + x 12 · y − 2 · x 6 · y 6 + 3 · x 3 · y 12 − 6 · x 4 · y 4
√
12
= 4 12 x7 y10 − 8xy + y · x5 − 2y · 6 x5 y + 3y · 12 x4 y − 6y · 4 x3 y
182
3 Arithmetik
3.5.4.6
Rückblick auf die Potenz- und die Wurzelgesetze
Da sich jede Wurzel als Potenz mit einer gebrochenen Hochzahl darstellen lässt, lassen
sich, wie wir gesehen haben, die Potenzgesetze ohne Schwierigkeiten auch auf die
Rechenoperationen mit Wurzeln übertragen. Um mit Wurzeln rechnen zu können, würde
es demnach ausreichen, wenn man nur die Potenzgesetze beherrscht.
Man verwendet jedoch beim Rechnen mit Wurzeln sowohl die Schreibweise mit Wurzelzeichen als auch die Darstellung als Potenzen mit gebrochenen Exponenten. Dabei
hängt es ganz von der Aufgabenstellung, den gegebenen Zahlenwerten sowie den Rechengewohnheiten des Bearbeiters ab, welcher der beiden Darstellungsformen der Vorrang
gegeben wird.
Wer Aufgaben der Wurzelrechnung schnell und sicher lösen will, der muss mit der einen
Darstellungsweise genau so sicher umzugehen wissen wie mit der anderen. Es wird daher
empfohlen, beim Üben eine Anzahl der Aufgaben mit beiden Darstellungsarten zu lösen
und die auf den unterschiedlichen Wegen gefundenen Resultate auf ihre Übereinstimmung
hin zu überprüfen.
Aufgaben:
Anmerkung zu den Aufgaben: Diejenigen Aufgaben, bei denen es sich um reine Zahlenrechnungen
handelt, sollten zunächst ohne Hilfe von Rechengeräten gelöst werden. Danach erst sollte man den
Taschenrechner zur Hand nehmen, um die schriftlich ermittelten Ergebnisse mit dem Rechner zu
bestätigen. Diese zweispurige Vorgehensweise ist zwar zeitaufwendig, fördert aber ungemein das
Gefühl für die zu erwartenden Ergebnisse.
3.94
3.95
3.96
Für welche x-Werte existieren die folgenden Wurzeln?
√
√ 3
√
x
b)
x3
c)
x
a)
√
√
√
2
3 2
x
f) 3 x
g)
1−x
e)
√
√
2
3
2
2
i)
x−y
k)
a −x
Ohne den Taschenrechner zu
Wurzelwerte richtig sind.
√
a)
50 176 = +224
√
4
20 736 = +12
d)
(a + b)4 = +(a + b)2
g)
√
k) 3 −0,08 = −0,2
√
3 x
h) 3 (x − y)2
d)
benutzen soll nachgeprüft werden, ob die folgenden
√
0,121 = +0,11
√
6
e)
−4 096 = +4
√
h)
66,2596 = +8,14
b)
√
3
0,001 = +0,1
√
8
f)
6 562 = +3
√
3
i)
132 651 = ± 51
c)
Desgl.
√
√
√
x 3x
b) 7 −78 125 = 5
c)
a = a3
a) 5 −161 051 = −11
√
√
√
d)
a2 − b2 = a − b
e)
220 900 = 470
f) 3 65 = −0,402 07
√
g)
9 + 16 = 3 + 4 = 7
h) 4 0,0016x12 = 0,2x3
√
i)
100 − 36 = 10 − 6 = 4
k) 3 x3 + y3 = x + y
3.5 Wurzelrechnung
183
3.97
Die folgenden Wurzeln sind so weit wie möglich zu vereinfachen:
√
√
√
√
√
3
64
b) 7 −1
c) 3 64
d)
273
e) 6 64
a)
√
√
√
4
3
(uv)2
g) 4 a + b
h)
125x6
i)
1 − x2
k) 3 (8a3 b6 )2
f)
3.98
Desgl.
√
√
4 4 12 8
4
ab c
b)
(1 − x)2
c) 3 (u − 8)3
d)
16a4 b8 c13
a)
√
√
√
√
e) (7 · a − b)2 + (5 · b − c)2 + (4 · c − a)2 − (3 · b − c)2
√
√
√
√
√
√
√
√
f) 5· 36−8· 3 64+7· 121−9· 64
g) 5· 4 16−10· 4 81−9· 3 64+8· 5 243
√ 2
√ 2
√ 2
√
1 4 1
1
3 1
i)
+ + −
+3
+ 10 +1
h) (2· 10) −(10· 2) +(4· 10)
8
4
265
64
3.99
Folgende Wurzeln sind als Potenzen mit gebrochenen Hochzahlen zu schreiben:
√
√
√
√
√
a) 3 5
b)
2
c) 4 7
d) 5 a
e) 9 x
√
√
√
√
4 3
7 4
4 7
f)
b
g)
x
h)
x
i)
a+b
k) 3 x3 − y3
3.100
Desgl.
b)
a) 3 p9
√
n−1 n+1
e)
x
f)
i) 5 p2 (q − r)4
3.101
Desgl.
1
a) √
a
a
f)
b
3.102
5
g)
1
2
a) 4 3
b) x 5
3
f) y
1
c) 4 3
y
m
a
h) √
n x
b
1
x
x2
y3
1
e) 3
(1 − x)2
3
k) √ x · 3 y2
1
d) √
x−y
√
4 5
u
i) √
5 4
v
3
g) z
−1
c) a
1
2
−
d) b · c
2
−1
h) (m − n)
2
7
−
e) (bc)
i) a−0,5
x
2
7
k) a · b2,6
Desgl.
5
a) a 6
f) x2,5
3.104
3
c)
Die folgenden Potenzen sollen als Wurzeln geschrieben werden:
−2
3.103
b)
4
(x + y)3
d) m · k p2
√
√
3
g) 4 m2 + n2
h) 6 · 4a2 b3 c4
k) 6 x5 y6 z8 u12 v 14 w15
√
u20
a−2
(m − 3n)3a−6
15
−4
b) b 7
g) y−2,1
−2 2
11
c) c 8
h) z1,4
d) d 3
i) u−0,75
Berechne die folgenden Zahlenwerte:
−0,5
1
0,5
0,75
b) 16
c)
a) 2
4
e) e0,64
k) v −0,4n
1
d) 0,343 3
e) 256 0,125
i) 7,84 2,5
k) 0,561 001 1,5
2
f) 1024−0,1
3.105
g) 1296−0,25
h) 274,625 3
Man vereinfache ohne Benutzung des Taschenrechners:
√
√
√
√
a) 7 · 2 − 13 · 2 + 2 + 12 · 2
2 √
5 √
1 √
7 √
4
· 4a− · 4a+ · 4a−
b)
a
3
6
2
12
√
√
√
√
√
c) 0,7 · 5 5b + 3,1 · 5 5b − 0,4 · 5 5b + 6,2 · 5 ab − 2,3 · 5 5b
184
3 Arithmetik
√
√
√
√
√
√
√
d) 4 · 3 2 − 5 · 3 + 2 · 3 2 + 3 8 + 4 · 3 − 3 · 3 2 − 3 +8
√
√
√
√
√
√
e) 3 · 5 + 9 − 2 · 7 + 2 · 5 − 3 − 4 · 5 + 2 · 7
√
√
√
64
f) 3 a − a
g) 3 a3 − b3
h)
+1
225
√
√
√
√
√
7 2
7
7
7
k)
x + 2a · x2 − 4b · x2 + c · x2
i) 3 123 − 103 − 83
3.106
Desgl.
√
√
√ √
3 · 12
b) 3 48 · 3 36
a)
√
√
√ √
e)
14 · 35
d) 3 3 · 3 18
√
√
√
3
3
4a2 b · 18a2 b2 · 3 3a
g)
√
√
√
4
4
4
i)
96uv 2 w · 576u3 vw2 · 12v 2 w
√
√
15 · 125
√ √
f)
x · 2x
√
√
√
h)
8yz · 6xy · 3x
√
√
7 n+2
7
k)
a · an+5
c)
3.107
Desgl.
√
√
√
√
a) 3 · 125 − 2 · 20 − 3 · 180 + 6 · 45
√
√
√
√
√
√
√
b)
720 − 2 · 242 + 8 − 3 · 320 + 5 · 72 + 3 · 162 − 4 · 605
√
√
√
√
√
c) (6 · 2 − 2 · 18 + 5 · 50 − 2 · 98) · 2 · 2
√
√
√
√
d) ( 2 + 3 · 3)(3 2 + 4 · 3)
√
√
√
√
e) ( a + b)( a − b)
√
√
√
√
f) (2 2 − 3 3 + 5 6) · 3 6
√
√
g) (3 6 − 2 5)2
√ √
h)
2+ 3· 2− 3
√
√
√
√
√
3
i)
2 + 3 16 − 3 54 + 3 250 − 3 686
√
√
√
√
√
√
k) 15 · 3 1029 − 8 147 − 11 · 3 648 + 5 363 + 4 · 3 192 − 2 1875
3.108
Berechne ohne Taschenrechner:
√
√
√
√
√
√
a) ( 5 + 3)2 + ( 5 − 3)2
b) ( 9 + 4 2 + 9 − 4 2)2
√ √
6 √
6 √
4 √
4 √
c)
23 + 7 ·
23 − 7 + 5 2 + 7 · 5 2 − 7
√
√
√
√
√
1 √
− 0,5 · 2
2 − 3 + 8 + 18 + 3
d)
2
√
√
4a2 − 4b2 + (a + b)2 − 5 (a + b)(a − b) + 9(a2 − b2 ) − (a − b)2
e)
√
√
3
3
f)
9 + 17 · 9 − 17
√
√
g) (2 + 3)2 − (2 − 3)2
√
√ √
√
√
h) ( 3 9 + 3 6 + 3 4)( 3 3 − 3 2)
√
√
√
√
i) ( 5 16 − 2 · 5 8)(2 · 5 2 − 3 · 5 4)
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
k) ( 7 + 11 + 13)( 7 + 11 − 13)( 7 − 11 + 13)( 11 + 13 − 7)
3.109
Bei den folgenden Aufgaben ist der vor der Wurzel stehende Faktor mit unter die
Wurzel zu bringen:
√
√
√
√
√
a) x · y
b) 4 · 3
c) 3a · 3 x
d) xy · z
e) 2m · 4 m
√
√
√
√
2 1
g)
· 3 5y
h) ( 3 + 2) ·
3− 2
f) x ·
x
y
√
√
√
√
u+v 3
u4 − u3 v
11 − 2 · 2
k)
i) ( 11 + 2) ·
·
u
u2 + 2uv + v 2
3.5 Wurzelrechnung
3.110
Berechne ohne Taschenrechner:
√
√
√
√
a)
147 : 3
b)
272 : 17
1
1
5
5
17 : 4
e)
:
f)
8
32
3
3
√
√
5 n+5
5
i)
a
: an−5
√
√
90 : 18
1 3 2
3
1 : 2
g)
8
3
2
1 3
:
k) 9
2
45 2
3
c)
185
√
√
120 : 5
√
√
3 8
3
x : x5
h)
d)
3.111
Desgl.
√
√
√
√
a) (10 48 − 6 27 + 4 12) : 3
√
√
√
√
b) (15 50 + 5 200 − 3 450) : 10
8 1
1 1 3 1 4 3
−
+
:
c)
2 2 2 3 5 5
15 8
√
1√
1
3
3
3 1
d)
9−2 3+3
:23
2
3
3
√
e) ( x3 y + xy3 ) : xy
√
√
√
√
f) ( ab + a b + b a) : a
√
√
√
g) ( a5 b3 − a3 b5 ) : a2 b3
√
h) (xy2 − y) : y
1 xy
3x x
3
4 3y
− 0,4
+
i)
:
2 y
xy 3 2
15 2x
2a3 3 5a2
a√
b 3 15a 4a 3 b
3 2
:
k)
a b+ 2
−
2
3a
b2
5b 2a2
15b2
2b
3.112
Berechne
√
√
√
√
√
√
3
3
4
4
210a5 b · 450a2 b7 · 3 24ab
144u2 v · 4 8u · 450v 3
a)
√
b)
√
√
√
3
4
4
4
84a2 b6
18uv · 30u3 v · 60u3 v 2
√
√
√
n 2n−3
a+x 2
a
· ( n a)n+7
√
c) √
· a + x2
d)
n 4
a4 − x4
a
√
√
√
e) (m − n) : ( m − n)
f) (4 − a) : (2 + a)
√
√
√
3
g) ( 36x2 − 3 9y2 ) : ( 3 6x − 3 3y)
√
√
√
√
i) (4m − 7n) : ( 3 4m − 3 7n)
h) (a + b) : ( 3 a + 3 b)
√
√
√
√
√
√
k) (12x2 − 9x xy + 20y xy − 8x y + 6y x − 15y2 ) : (4 x − 3 y)
3.113
Bei den folgenden Brüchen ist der Nenner rational zu machen:
5
1
2
7
c) √
d) √
b) √
a) √
3 7
3
12
2
15
1
3
2
h)
i) 20 ·
f) √
g)
6
5
5
15
1
e) √
5
5
6
k)
·
6
5
186
3 Arithmetik
3.114
Desgl.
1
a) √
x
1
e) n n−4
y
2
4a − 25b2
i) √
2a + 5b
3.115
1
√
b) √
7− 6
14
√
f) √
10 − 3
√
√
4 14 − 7 3
√
√
i)
4 6−3 7
Desgl.
2 2√
3
+
5 5
a)
√
1
3 5+5 1
2
√
4 + 2 10
√
√
d) √
2+ 3+ 5
2
√
√
g) √
3 − 5 + 12
i)
3.117
3.118
3.119
3.120
4m3
d) √
5 2
m√
1− 42
√
h)
4
3
Desgl.
1
a) √
3+2
6
√
e) √
5+ 8
√
√
7 2 + 2 15
√
h) √
7 3 + 3 10
3.116
3x2
c) √
7 2
x √
8 − 12 3 5
√
g)
3
4
7m − 3n
k) √
7m + 3n
a
b) √
4 3
a √
4+2 3
√
f)
2
√
2+
b)
e)
h)
1
√
√
√
2+ 2+ 3+ 6
Vereinfache
√ 2
a) ( 5 )
−1
f) 7 m2 ny3
k)
√
3
6
b) ( a2 )
√
6 4 3 22
g)
abc
9
√
2 3−3
√
√
5+ 3
√
g) √
5− 3
√
5+2 6
k) √
5−2 6
c)
2
x
3
c) √
√
√
x+y− y
2
3−
3
√
√
1− 2+ 3
1
√
√
√
√
f) √
1+ 2− 3
2+ 3− 8
1
√
√
√
√
10 − 15 + 14 − 21
√
2+ 6
√
√
√
2 2+2 3− 6−2
√ 2
c) ( 3 b )
√ −4
h) 4 x
√
d) ( 3 y)6
√
12 4 5 8 3
i)
r st
4 2 33
xy
√
−4
k)
abc
e)
Der Wurzelexponent soll so weit wie möglich erniedrigt werden:
√
√
√
√
b) 6 16
c) 8 16
d) 12 81
e)
a) 4 16
√
√
√
√
4
6
8
16
25
g)
729
h)
1 296
i)
6 561
k)
f)
Desgl.
√
8
a)
2563
√
6
f)
1252
√
6
4 0965
g) 8 1,444
b)
Desgl.
√
6 4
a
a)
√
8
e)
16m12 n4
√
p kp−p kp+p
i)
u
v
b)
f)
k)
12
√
7−3 5
d)
√
3
2162
h) 4 0,018
c)
d)
i)
√
1003
√
14
1283
√
64
√
18
15 625
10
√
6
493
√
20
k)
59 0497
e)
√
√
2n 3n
x20
c)
a
d) 4 25x2 y6
√
√
m+2 5m+10
21 21k 7n
p q
g) 3n v n
h)
u
12
24
18
15
12
10
9
8
6
4
3
2
64a b c d e x y z u v w
15
3.5 Wurzelrechnung
3.121
3.122
Der Wurzelexponent soll auf die Zahl
Klammern angegeben ist:
√
√
3 2
a)
u (6)
b)
v (12)
√
√
3
k2 (4)
e) 5 a + b (20) f)
√
√
4
h)
x − y (4)
i)
mn3 (13)
187
gebracht werden, die neben der Aufgabe in
√
7 5 2 6
4 3
x y (8)
d)
abc
√
6 2 3
g)
a b − c (18)
√
9 2
k)
a − b2 (18)
c)
Die Doppelwurzeln sollen beseitigt werden:
√
4 √
5 √
5 4
3
3
a)
x
b)
16
c)
32
√
3 5 3
e)
u − 3u2 v + 3uv 2 − v 3
f) 5 3 p10 q5
a
3 √
b 6 3 9
3
√
h)
abc
i)
k) 5 3 x5 y10 z15
a
(21)
x √
3 x
a
6 √
3 2 6
g)
mn
d)
3.123
Berechne:
√
√
√
a) 16 6 561
b) 18 262 144
c) 4 1 296
x
a
3 u
b
a
x 3 y3
v2
1
·
·
e)
·
·
f)
·
·
d)
b
a
b
y
y
x
v
u
u2
√
3
√
√
5
4
g)
m2 m m8 m3
h) 4 a · 3 a2 · a : a · 8 a5 · 3 a
√
6 5 √
3 2
9
√
√
√
√
x
·
x
x3 · x7
9
9
18
3 6
4
7
3
u·
u · u · u
k) :
i)
√
√
3 2
9 7
6
x · x
x · x4
3.124
Desgl.
√ √
2· 44
a)
1
4 √
e) 3 · 4 · 6 5
2
5
√
√
i) 5 6 : 6 5
3.125
√ √
b) 3 5 · 2
√
√
5
16 : 2
8
7 64
: 4
k)
15
5
f)
√ √
c) 4 2 · 3 3
g)
√ √
3: 32
3
2
√
√
3
6
h)
32 : 2
d)
2
·
3
3
Desgl.
√
√
√
√
√
√
√
4 3 √
5 2
3
10
3 2
4
x · 5x
b)
u v · uv 4 · uv 2
c)
m · m2 n3 · n9
a)
√
√ √
4
√
√
√
√
√
√
√ √
2· 3· 62
√ √
d)
e) (3 10 − 2 · 3 4 + 4 25) · 4 2 f) ( 2 + 3 3)( 3 2 − 3)
4
2· 3
√
√
√
√
√
√
√
h) (2 12 + 4 · 3 4 − 6 · 4 32) : (2 · 4 2)
g) (4 8 + 6 · 3 2) : 2
√
√
3
√
a−b
a−b
16 · 4 8
3 √
√ −√
√
√
k)
(
i)
2
−
1)
·
5 2+7
l) √
12
a− b
a+ b
2
√
2+ 3 √
100
2
0,5
−0,5
√
√ − 3
n) (0,5x − 0,5x )
o)
m)
10 − 99
1+ 3