Wurzeln

Wurzeln
Anna Heynkes
1. Dezember 2004, Aachen
Inhaltsverzeichnis
1 Wurzeln
1.1 Verallgemeinerung der Quadratwurzel . .
1.2 Das Verhältnis von Wurzeln zu Potenzen
1.3 Irrationale Wurzelwerte . . . . . . . . . .
1.4 Lösungsmengen . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Gebrochen rationale Exponenten . . . .
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2
2
2
3
2 Wurzelgesetze
3
3 Wichtige Umkehrungen der Wurzelgesetze
3
1 Wurzeln
1.1 Verallgemeinerung der Quadratwurzel
√
Unter einer n-ten Wurzel von a ( n a = x, n ≥ 2) versteht man eine nichtnegative Zahl
x, die mit n potenziert die Zahl a ergibt (xn = a). Dabei nennt man das n Wurzelexponent, a heißt Radikand und das x ist einfach der Wert der Wurzel. Eine zweite Wurzel
nennt man auch Quadratwurzel, während eine dritte Wurzel auch Kubikwurzel genannt
wird. Auch der Radikand muß zumindest bei Wurzeln mit geraden Wurzelexponenten
positiv sein, wenn eine Lösung innerhalb der rationalen Zahlen R möglich sein soll, da
ein geradzahliges Vielfaches einer rationalen Zahl nicht negativ sein kann.
1
1 Wurzeln
1.2 Das Verhältnis von Wurzeln zu Potenzen
Das Ziehen von Wurzeln ist eine von zwei möglichen Umkehrungen des Potenzierens.
Wenn
a die n-te Potenz von x ist (xn = a),
dann ist umgekehrt x die n-te Wurzel aus
√
√
n
n
a ( a = x). Man kann auch sagen, daß a = x eine der drei möglichen Auflösungen
der Gleichung xn = a ist.√Das Ziehen√
der n-ten Wurzel wird durch ein Potenzieren mit
n
n
n
n rückgängig gemacht (( a) = a = an ).
Das Umkehrungsverhältnis
von Potenzen und Wurzeln kommt auch dadurch zum Aus√
1
n
die gegenseitige Aufhebung
druck, dass man a auch als a n schreiben kann.
√ Dies macht
1
n
von Potenzen und Wurzeln noch deutlicher: ( n a)n = (a n )n = a n = a1 = a (a ≥ 0)
1.3 Irrationale Wurzelwerte
Nicht alle Wurzeln haben Lösungen
im Bereich der rationalen Zahlen R. Zum Beispiel
√
3
ist die dritte Wurzel aus 2 ( 2) keine rationale, sondern eine irrationale Zahl. Es gibt
√
3
,
m,
n
∈
N),
die
genau
2
nämlich keine aus ganzen Zahlen darstellbare Bruchzahl ( m
n
m m m
m3
3
entspräche. Ansonsten würde gelten: n · n · n = n3 = 2. Demnach müsste m genau
3
doppelt so groß wie n3 sein, sodaß sich der Bruch m
zu 21 kürzen lassen müsste. Es gibt
n3
aber keine natürliche Zahl, deren dritte Potenz 2 ergibt.
1.4 Lösungsmengen
Die Lösungsmenge der Gleichung xn = a kann 2, 1 oder kein Element enthalten, wenn
a zu den rationalen Zahlen R gehört
√
√ und n√gerade ist: √
L = { n a, − n a}
Für a > 0 gibt√es die Lösungen n a und − n a.
Für a = 0 ist n 0 = 0 die Lösung.
L = {0}
Für a < 0 gibt es keine Lösung.
L = {}.
Jede Gleichung der Form xn = a hat genau eine Lösung, die Lösungsmenge also nur
jeweils ein Element,
wenn a zu den rationalen
Zahlen R gehört und n ungerade ist:
√
√
n
Für a > 0 ist √
a die Lösung.
L = { n a}
Für a = 0 ist n 0 = 0 die Lösung.
L = n{0}
p o
p
n
L = − n |a| .
Für a < 0 ist − |a| die Lösung.
Die letzte Zeile macht deutlich, dass der Radikand nicht negativ werden darf. Genau aus
diesem Grund gibt es auch keine Lösung, wenn der Wurzelexponent gerade ist.
2
2 Wurzelgesetze
1.5 Gebrochen rationale Exponenten
Wie in Abschnitt 1.2 auf Seite 2 bereits kommentarlos benutzt, läßt sich der Potenzbegriff
auf gebrochen rationale Exponenten ausweiten.
Definition:
√
m
a n = n am ,
(für m ∈ Z, n ∈ N, a > 0)
2 Wurzelgesetze
Zwei Wurzeln mit gleichem Wurzelexponenten werden multipliziert, indem man die beiden Radikanden unter einer gemeinsamen Wurzel (mit dem gemeinsamen Wurzelexponenten) multipliziert.
(W2):
√
n
a·
√
n
b=
√
n
a·b
für a ≥ 0, b ≥ 0
Zwei Wurzeln mit gleichem Wurzelexponenten werden dividiert, indem man die beiden
Radikanden unter einer gemeinsamen Wurzel (mit dem gemeinsamen Wurzelexponenten)
dividiert.
(W2∗):
√
na
√
n
b
=
p
n a
für a ≥ 0, b ≥ 0
b
Besteht der Radikand einer Wurzel aus einer Wurzel, dann kann man die beiden Wurzeln
durch Multiplikation der beiden Wurzelexponenten zu nur noch einer Wurzel vereinigen.
(W3:
p
√
m
n
a=
√
m·n
a
für a ≥ 0
3 Wichtige Umkehrungen der Wurzelgesetze
Oft ist es notwendig, die Wurzelgesetze umgekehrt anzuwenden. Zum Beispiel kann man
das Wurzelgesetz W2 umkehren und den Radikanden so in zwei Faktoren
√ zerlegen,√daß
man aus einem der beiden Faktoren leicht die Wurzel ziehen kann ( n an · b = a · n b).
Zweckmäßig kann auch eine Zerlegung des Wurzelexponenten sein, wenn sich
√ einer√der
beiden Faktoren gegen einen Exponenten unter der Wurzel kürzen lässt ( m·n an = m a).
Manchmal ist es auch sinnvoll, den Bruch unter einer Wurzel so
daß man
q zu erweitern,
√
p
2
a
a·b
a·b
2
insbesondere aus dem Nenner die Wurzel ziehen kann ( 2 b = b·b = b ) .
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