1 Universität Regensburg Didaktik der

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Universität Regensburg
Didaktik der Mathematik
Seminar für Examenskandidaten Hauptschule
SS 2012
Dozent: Andreas Eberl
Referentin: Ramona Gruber
25.06.2012
Examensaufgabe 2010/I, 2: Dezimalbrüche
1. Erläutern Sie die Kommadarstellung reeller Zahlen im Dezimalsystem!
2. Beschreiben Sie Möglichkeiten, Dezimalbrüche im Unterricht einzuführen!
3. Beschreiben Sie Schwierigkeiten und Fehler von Schülern beim Umgang mit Dezimalbrüchen! Geben Sie Maßnahmen zur Vorbeugung bzw. Behebung an!
4. Erläutern Sie die Umwandlung von Dezimaldarstellungen reeller Zahlen in gewöhnliche Brüche
und umgekehrt!
Schülerschwierigkeiten, daraus resultierende Fehler und Maßnahmen zur
Vorbeugung bzw. Behebung
1. Schwierigkeit: Problematische Sprechweise:
Im Alltag wird 2,13 oft „zwei Komma dreizehn“ gelesen und gesprochen.
Daraus resultierende Fehler:
-
beim Größenvergleich:
2,5 und 2,13:
-
bei der Addition:
2,13 + 0,4 = 2,17 , da 13 + 4 = 17
-
bei der Subtraktion:
2,13 – 0,2 = 2,11 , da 13 – 2 = 11
-
je nach Anzahl der Dezimalen Zuweisung eines anderen Stellenwertes:
0,5 „null Komma fünf“ / 0,51 „null Komma einundfünfzig“ / 0,521 „null Komma
fünfhunderteinundzwanzig“ obwohl 5 immer erste Nachkommastelle ist und immer
5
den Wert
hat
10
2,5 < 2,13, da 5 < 13
Maßnahmen zur Vorbeugung/Behebung:
-
ziffernweise Sprechweise im Unterricht: „zwei Komma eins drei“
-
bei Rechenoperationen exaktes Untereinanderschreiben:
1
2,13
+ 0,40
ß Auffüllen mit Endnullen
2,53
-
Stellenwerttabellen:
Beispielübung: Stellenwerttabelle: Trage folgende Zahlen richtig in die Stellenwerttabelle ein: 76,25 1,08 0,75 8009,12 357,053 85212,01 18,003 458999,6 HT ZT T H Z E , z h t 2. Schwierigkeit: Stellenwerte:
Bei der Übertragung der dezimalen Stellenwertschreibweise von den natürlichen Zahlen
auf die Dezimalbrüche ergeben sich für die Schüler Schwierigkeiten durch fehlerhafte
Transfers. So stehen in  die Zehner an zweiter, die Hunderter an dritter, die Tausender
an vierter Stelle vor dem Komma, dagegen stehen bei Dezimalbrüchen die Zehntel an
erster, die Hundertstel an zweiter und die Tausendstel an dritter Stelle nach dem Komma.
In  orientiert sich der Stellenwert also an der letzten Stelle und man zählt die Stellen von
rechts nach links ab. Bei den Dezimalen muss man sich allerdings am Komma orientieren
und die Stellen von links nach rechts abzählen.
Daraus resultierende Fehler:
2
als Dezimalbruch dar!“ → 0,200 anstatt 0,02
100
-
„Stelle
-
„Markiere die Zehntelstelle des Dezimalbruches 7,654!“ → 7,654 anstatt 7,654
-
Bezeichnung der ersten Nachkommastelle als „Eintel“
Maßnahmen zur Vorbeugung/Behebung:
-
Durch die bewusste Kontrastierung der Unterschiede zwischen natürlichen Zahlen
und Dezimalbrüchen werden fehlerhafte Übergeneralisierungen vermieden.
-
gerade bei Einführung der Dezimalbrüche vermehrt folgende Übungsform:
2
Trage die Dezimalbrüche in die Stellenwerttafel ein und schreibe sie als Summe
bzw. schreibe umgekehrt die Summen als Dezimalbruch in Kommaschreibweise.
Summenschreibweise
3
8
140 +
+
10 1000
7
4
1
56 +
+
+
10 100 1000
Zeile
groß
2
6
981 +
+
100 10000
Zeile
groß
1
9
6
+
+
10 100 1000
Zeile
groß
Zeile
groß
H
1
Z
4
E
0
,
,
z h
3 0
t
8
zt
Dezimalbruch
140,308
9,5788
767,006
27,0543
0,6801
3. Schwierigkeit: Umwandeln:
Das Umwandeln von Brüchen in Dezimalbrüche und umgekehrt bereitet vielen Schülern
große Schwierigkeiten, vor allem dann, wenn die Brüche keine Zehnerpotenz im Nenner
28
haben oder wenn sie eine haben, aber das Komma überschritten wird (Bsp:
= 2,8 nicht
10
0,28!). Durch Verständnisschwierigkeiten und fehlerhafte Umrechnungen ergeben sich oft
falsche Umwandlungsergebnisse. Grundsätzlich gelten folgende Umwandlungsregeln, die
mit den Schülern intensiv eingeübt werden müssen, um Fehler zu vermeiden:
Brüche in Dezimalbrüche
Besonders einfach: bei Brüchen, die bereits eine Zehnerpotenz im Nenner haben oder die
sich auf Zehnerpotenzen erweitern lassen. Dies ist jedoch nur möglich, wenn die
Primfaktorzerlegung des Nenners nur Zweien und Fünfen enthält.
Vorgehensweise:
1. Erweitern des Bruches, so dass eine Zehnerpotenz im Nenner steht.
2. Zählen, wie viele Nullen die Zehnerpotenz hat. Genau so viele Nachkommastellen hat
die Ergebniszahl.
Beispiel:
2
4
=
= 0,4
5 10
Kann man den Bruch nicht so erweitern, dass sich im Nenner eine Zehnerpotenz ergibt,
wird der Bruch soweit wie möglich gekürzt und der Zähler anschließend durch den Nenner
dividiert.
Beispiel:
4 2
= = 2 : 3 = 0,6
6 3
3
Während bei der oberen Umwandlungsvariante eher vor allem schwächere Schüler
Schwierigkeiten haben, fällt die untere Variante allen Schülern gleichermaßen schwer.
Dezimalbrüche in Brüche:
Einfach umzuwandeln sind endliche Dezimalbrüche.
37
42
342
Beispiele:
3,7 =
3,42 = 3
oder
10
100
100
Nicht ganz so einfach lassen sich periodische Dezimalbrüche umwandeln.
Vorgehensweise (entwickelt von zwei 7. Klässlern für alle „Leidensgenossen“):
In den Zähler schreibe einfach alle Ziffern des Dezimalbruchs einschließlich der Ganzzahl
und ohne Komma und subtrahiere davon den nichtperiodischen Teil. Der Nenner setzt
sich aus so vielen Neunen zusammen, wie der periodische Teil lang ist, gefolgt von so
vielen Nullen, wie der nichtperiodische Teil hinter dem Komma lang ist.
Beispiel:
———
4,32451762 =
432451762 - 432451
432019311
144006437
———————————————————— = ——————————— = ———————————
99900000
99900000
33300000
4. Schwierigkeit: Vergleichen:
Das Vergleichen von Dezimalbrüchen und die Zuordnung von > und < hängt vom richtigen
Verständnis des Stellenwertsystems von Dezimalzahlen ab.
Auftretende Fehler:
-
Komma-trennt-Strategie: Das Komma trennt den Dezimalbruch in zwei natürliche
Zahlen, die getrennt verglichen werden.
Beispiel:
-
2,2 und 2,13: 2,2 < 2,13, da zwar 2 = 2, aber 2 < 13
Je-mehr-Dezimalen-desto-kleiner-Strategie: Die Zahl mit mehr Dezimalen ist kleiner
bzw. die Zahl mit weniger Dezimalen ist größer.
Beispiel:
2,15 und 2,573:
2,573 < 2,15
Maßnahmen zur Vorbeugung/Behebung:
Lehrer muss Schülern verdeutlichen, dass bei unterschiedlichen Zehntelstellen, die
größere Zehntelstellen-Ziffer den größeren Dezimalbruch anzeigt (2,2 > 2,1). Bei gleicher
Zehntelstelle bestimmt die nachfolgende Hundertstelstellen-Ziffer den größeren Dezimalbruch (2,20 < 2,25). Dabei können / müssen die Dezimalzahlen zur Verdeutlichung mit
Endnullen aufgefüllt werden (Bsp: 7,8 und 7,89 → 7,8 kann auch 7,80 geschrieben werden,
dann ist besser erkenntlich, dass 7,8 < 7,89 ist).
4
5. Schwierigkeit: Addition und Subtraktion:
Neben Flüchtigkeitsfehlern bildet hier vor allem, wie bereits in Punkt 1 und 4 beschrieben,
die getrennte Anschauung der Zahl vor und der nach dem Komma die größte
Schwierigkeit.
Daraus resultierende Fehler:
Die Stellenwerte nach dem Komma werden falsch verrechnet und die Übergänge vor dem
Komma sind fehlerhaft.
Beispiele:
4,5 + 3,84 = 7,89
und
5,69 – 3,2 = 2,67
Maßnahmen zur Vorbeugung/Behebung:
Das exakte Untereinanderschreiben der zu manipulierenden Zahlen und die Auffüllung mit
Endnullen, können die Stellenwerte, die miteinander verrechnet werden sollen besser
darstellen. Wichtig für Schüler: Orientierung an den Kommas, nicht an den Stellen davor
und dahinter und wie bei natürlichen Zahlen Rechenoperationen von rechts nach links!
Beispiele:
4,5 + 13,689:
4,500
+ 13,689
Auffüllen mit Endnullen
18,189
21,56 – 3,264:
-
21,560
3,264
Auffüllen mit Endnullen
18,296
6. Schwierigkeit: Multiplikation:
Schwierigkeitsfaktoren und typische Schülerfehler: Kommasetzung, Stellenwertfehler,
Anzahl und Größe der Behalteziffern, Vorkommen von Nullen, Anzahl der Dezimalen,
gleich viel oder unterschiedlich viel Dezimalen der Faktoren, Ergänzung von Nullen im
Ergebnis, fehlerhafter Transfer von Addition und Subtraktion, Schwierigkeit, wenn das
Komma überschritten wird, mangelhafte Vorstellung, dass etwas durch Multiplikation
„kleiner“ wird (Bsp: 2,5 · 0,8 = 2)
Maßnahmen zur Vorbeugung/Behebung:
-
Üben, Üben, Üben
Überschlagsrechnen schulen, um Ergebnisse richtig einordnen zu können
Runden schulen
richtige Kommasetzung kann bei Multiplikation mit einer ganzen Zahl durch
schriftliche Addition veranschaulicht werden
5
7. Schwierigkeit: Division:
Schwierigkeitsfaktoren und typische Schülerfehler: Kommasetzung, selbe Verständnisfehler wie schon bei schriftlicher Division von ganzen Zahlen, End- und Zwischennullenfehler, Herunterholen mehrerer Ziffern, Größe des Divisors, gleich oder
unterschiedlich viele Dezimalen von Dividend und Divisor, getrennte Operationen der Vorund Nachkommastellen (Bsp: 8,24 : 4 = 2,6), je mehr Dezimalen, umso schwieriger
Maßnahmen zur Vorbeugung/Behebung:
-
Üben, Üben, Üben
Überschlagsrechnung schulen
Schlussbemerkung:
Zur Überprüfung der Fähigkeiten und Fertigkeiten der Schüler im Bereich Dezimalzahlen /
Rechnen mit Dezimalzahlen hat Friedhelm Padberg den „Diagnostischen Test zur Analyse
von Problembereichen bei Dezimalbrüchen“ erstellt, der unter folgendem Link verfügbar
ist:
https://pub.uni-bielefeld.de/luur/download?func=downloadFile&recordOId=1781116&fileOId=2313169
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