Vektorgeometrie - mathcourses.ch

Vektorgeometrie
Hinweis: Die Aufgaben sind in 3 Gruppen gegliedert
• (G): Grundlagen, Basiswissen → einfache Aufgaben
• (F): Fortgeschritten → mittelschwere Aufgaben
• (E): Experten → schwere Aufgaben
Vorzeigeaufgaben:
(G) Kantonschule Aarau, Maturaprüfung 2008
(G) Kantonschule Zofingen, Aargau, Maturaprüfung 2011 (a, b, c und d)
(F) Kantonschule Zofingen, Aargau, Maturaprüfung 2011 (e, f und g)
(G) Gymnasium St. Antonius, Appenzell, Maturaprüfung 2011 (a, b, c)
(F) Gymnasium St. Antonius, Appenzell, Maturaprüfung 2011 (d, e, f)
(E) Kantonsschule Heerburg, St. Gallen, Maturaprüfung 2011
(E) Kantonsschule am Burggraben, St. Gallen, Maturaprüfung 2011
Empfohlene Bearbeitungsreihenfolge:
(G) Gymnasium St. Antonius, Appenzell, Maturaprüfung 2011
(F) Kantonschule Reussbühl, Luzern, Maturaprüfung 2011
(F) Gymnasium Bäumlihof, Basel, Maturaprüfung 2011
(F) Gymnasium Muttenz, Baselland, Maturaprüfung 2011 TEIL 2 / AUFGABE 5
(E) Kantonschule Aarau, Maturaprüfung 2008 AUFGABE 2
(E) Kantonschule Reussbühl, Maturaprüfung 2011 AUFGABE 2e
(E) Gymnasium Muttenz, Basel, Maturaprüfung 2011 AUFGABE 4.2.c
(E) Kantonsschule Heerburg, St. Gallen, Maturaprüfung 2012 AUFGABE 8 und 14
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Vektorgeometrie
Kantonschule Aarau, Maturaprüfung 2008) Parallelogramm (G)
Es sind die Punkte A(1/9/ − 1), B(5/8/10) und D(2/ − 2/0) gegeben.
a) Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes C so, dass ABCD ein Parallelogramm ist.
b) Ermitteln Sie den Flächeninhalt des Parallelogramms.
c) Durch A wird eine Parallele zur Diagonalen DB gelegt. Wo durchstösst diese Parallele die xy-Ebene?
Lösung:
a) C(x/y/z),
b) F=xyz
c) S(x/y/z)
2
Vektorgeometrie
Kantonschule Zofingen, Aargau, Maturaprüfung 2011) Gerade und Ebene
[(G): a) bis d) / (F): e) bis g)]
Gegeben sind die Punkte P (6/4/3), Q(8/9/ − 1), A(6/ − 5/3) und die Gerade g durch die Punkte P und Q.
a) Zeigen Sie, dass der Punkt A nicht auf der Geraden g liegt.
b) Die Ebene E enthält den Punkt A und ist senkrecht zur Geraden g. Geben Sie die Koordinatengleichung von E
an.
c) Eine zweite Ebene F ist gegeben als F : x + 3y − 2z − 7 = 0. Bestimmen Sie die Schnittgerade der beiden Ebenen.
d) Bestimmen Sie den Winkel φ zwischen der Ebene F und der Geraden g.
e) Die Gerade g und die z-Achse sind winschief. Wie gross ist der kärzeste Abstand zwischen g und der z-Achse?
f) Gesucht sind die Koordinaten jenes Punktes C, der auf g liegt und von A den kürzseten Abstand hat. Wie gross
ist dieser Abstand?
g) Die Spitze S einer Pyramide mit der Grundfläche OAP (wobei O der Nullpunkt ist) liegt auf der Geraden g.
Bestimmen Sie die Koordinaten von S so, dass das Volumen der Pyramide 90 beträgt.
Lösung:
a) b) c) d) e) f) g)
3
Vektorgeometrie
Gymnasium St. Antonius, Appenzell, Maturaprüfung 2011) Ebene, Gerade und Winkel

2


3
[(G) / (F)]

 
 
 
 
Gegeben sei die Gerade g: ~r =  1  + t ·  1  , der Punkt P (2/3/ − 4) sowie die Ebenen E: x + 2y − 2z = 13 und
 
 
−1
−1
F : x − y + z = 3.
a) Bestimmen Sie die Abstände der Ebene E vom Ursprung und vom Punkt P .
b) Legen Sie eine parallele Ebene zu E durch P .
 
 
 
−1
1
1
 
 
 
 
 
 
c) Wie heisst die Koordinatengleichung der Ebene H: ~r = 3 + u · 0 + v ·  0 ?
 
 
 
1
0
2
Beschreiben Sie die Lage von H.
d) Berechnen Sie die Schnittgerade s und den Schnittwinkel α von E und F .
e) Bestimmen Sie die Durchstosspunkte A und B der Geraden g mit den Ebenen E und F und berechnen Sie die
Länge der Strecke AB.
f) Wie gross ist der Einfallswinkel φ von g zur Ebene E ?
Lösung:
a) b) c) d) e) f)
4
Vektorgeometrie
Kantonsschule Heerburg, St. Gallen, Maturaprüfung 2011) Ebenen und Kugel (E)
G
H
E
F
D
C
A
B
Von einem Quader
  kennt man die Eckpunkte A(3/2/1) und C(1/4/5). Der Punkt B liege auf der
 ABCDEFGH
1
1
 
 
 
 
Geraden g: ~r = 2 + t ·  1 .
 
 
−2
9
a) Berechnen Sie die Koordinaten von B.
Verwenden Sie für die folgende Teilaufgabe nur den Punkt B mit der kleineren z-Koordinate. Falls Sie bei a)
den Punkt B nicht gefunden haben, verwenden Sie den falschen Punkt B ∗ (−2/1/1) .
b) Der Eckpunkt F liegt in der Ebene E: 4x + 8y + 5z − 38 = 0. Berechnen Sie seine Koordinaten.
Lösung:
a) b) c) d) e) f)
5
Vektorgeometrie
Kantonsschule am Burggraben, St. Gallen, Maturaprüfung 2011) Gerade und Ebenel (E)
1_V_G_Bild_1.png
Einem regulären Oktaeder mit Kantenlänge
√
2 wird ein Würfel einbeschrieben. Welche Seitenlänge hat dieser Würfel?
Lösung:
a) b) c) d) e) f)
6