Trigonometrie und Planimetrie

Trigonometrie und Planimetrie
Hinweis: Die Aufgaben sind in 3 Gruppen gegliedert
• (G): Grundlagen, Basiswissen → einfache Aufgaben
• (F): Fortgeschritten → mittelschwere Aufgaben
• (E): Experten → schwere Aufgaben
Vorzeigeaufgaben:
Block
Stunde
1
1
Aufgabe
(G) Gymnasium Bäumlihof, Basel, Maturaprüfung 2011, siehe Seite 3
(G) Gymnasium Bäumlihof, Basel, Maturaprüfung 2009, siehe Seite 4
2
(F) Kantonsschule am Burggraben, St. Gallen, Maturaprüfung 2009, siehe Seite 5
3
(F) Kantonsschule Heerbrugg, St. Gallen, Maturaprüfung 2010, siehe Seite 6
4
(F) Kantonsschule Heerbrugg, St. Gallen, Maturaprüfung 2010, siehe Seite 7
Empfohlene Bearbeitungsreihenfolge für eigenständiges Lösen:
Block
Stunde
Aufgabe
1
1
(G/F) Gymnasium Bäumlihof, Basel, Maturaprüfung 2008, siehe Seite 8
2
(F) Kanton Obwalden, Maturaprüfung 2013, siehe Seite 9
3
(F) Kanton Obwalden, Maturaprüfung 2012, siehe Seite 10
4
(E) Kantonsschule am Burggraben, St. Gallen, Maturaprüfung 2011, siehe Seite 11
Zusatzaufgaben Vektorgeometrie in Ebene:
• (F) Kantonschule Reussbühl, Luzern, Maturaprüfung 2012, siehe Seite 12
• (F) Kantonschule Reussbühl, Luzern, Maturaprüfung 2009, siehe Seite 13
• (F) Kantonsschule Heerbrugg, St. Gallen, Maturaprüfung 2012, siehe Seite 14
• (F) Kantonsschule Heerbrugg, St. Gallen, Maturaprüfung 2012, siehe Seite 15
gebrauchte Formeln:
1
Sinus / Cosinus / Tangens im rechtwinkligen Dreieck:
sin(α) =
a
c
cos(α) =
b
c
tan(α) =
b
a
Sinus-Satz in allgemeinen Dreiecken:
a
sin(α)
=
b
sin(β)
a
sin(α)
=
c
sin(γ)
b
sin(β)
=
c
sin(γ)
Cosinus-Satz in allgemeinen Dreiecken:
a2 = b2 + c2 − 2bc cos(α)
b2 = a2 + c2 − 2bc cos(β)
c2 = a2 + b2 − 2ab cos(γ)
Theoreme:
sin(α ± β) = sin(α) cos(β) ± cos(α) sin(β)
cos(α ± β) = cos(α) cos(β) ∓ sin(α) sin(β)
tan(α ± β) =
2
tan(α) ± tan(β)
1 ∓ tan(α) tan(β)
Trigonometrie und Planimetrie
Gymnasium Bäumlihof, Basel, Maturaprüfung 2011 Trigonometrie
[(G)]
Gegeben sind 4 Quadrate mit Seitenlänge 1. Berechnen Sie die Winkel α und β.
Lösung:
α = 18.43◦ , β = 45◦
3
Trigonometrie und Planimetrie
Gymnasium Bäumlihof, Basel, Maturaprüfung 2009 Trigonometrie
Berechne die Länge der mit u bezeichneten Viereckseite!
Lösung:
u ≈ 8.15
4
[(G)]
Planimetrie / Stereometrie / Analysis
Kantonsschule am Burggraben, St. Gallen, Maturaprüfung 2009 Planimetrie und Analysis
[(F)]
Einer Halbkugel mit Radius R wird ein gerader Kreiskegel mit minimalem Volumen umbeschrieben. Bestimme die
Höhe x und das Volumen des Kegels.
Gibt es einen solchen Kegel mit maximalem Volumen ? (Begründung!)
Hinweis: Leiten Sie mit Hilfe der Trigonometrie das Volumen her.
Lösung:
V (x) =
πR2
3
·
x3
x2 −R2
6 ∃ MAX Volumen , minimales Volumen: x = R ·
5
√
3
Vmin π
√
3R3
2
Trigonometrie / Planimetrie
Kantonsschule Heerbrugg, St. Gallen, Maturaprüfung 2010 Trigonometrie und Planimetrie
Der Kreis mit dem Radius r = 1 berührt die beiden Geraden y = ±2x.
a) Berechne den Winkel α.
b) Welche y-Koordinate hat das Kreiszentrum M ?
c) Wie gross ist der Flächeninhalt des markierten Gebietes?
Lösung:
a) α = 26, 565o
b) yM ≈ 2, 2
c) F == 0, 892
6
[(G)]
Planimetrie / Analysis
Kantonsschule Heerbrugg, St. Gallen, Maturaprüfung 2010 Kugel und Kegel
[(G)]
Einer Kugel mit dem Radius 1 wird ein gerader Kreiskegel einbeschrieben wie in der nebenstehenden Zeichnung.
Berechne x, so dass das Kegelvolumen möglichst gross wird.
Lösung:
x=
1
3
7
Trigonometrie und Planimetrie
Gymnasium Bäumlihof, Basel, Maturaprüfung 2008 Trigonometrie
[(G / F)]
In einem gleichschenkligen Dreieck sind die Basis 7.0 cm und die Schenkel 12.0 cm lang.
a) Konstruieren Sie das Dreieck, seinen Inkreis I und seinen Umkreismittelpunkt M . Die Konstruktionslinien
müssen ersichtlich sein (Handskizze genügt).
b) Überprüfen Sie rechnerisch, ob M auf dem Inkreis liegt oder nicht.
Wir ändern die Teilaufgabe b) leicht ab:
• Bestimmen Sie den Inkreis ri und den Inkreismittelpunkt I.
• Bestimmen Sie den Umkreis rm und den Umkreismittelpunkt M .
Versuchen Sie, alles mittels der Grundline a und c auszudrücken. Legen Sie das Koordinatensystem (x/y) so an, dass
die Grundlinie c auf der x-Achse und die Höhe der Grundline auf der y-Achse liegt.
Lösung:
a) ... b) ri =
c
2
·
q
2a−c
2a+c
=
7
2
·
q
17
31
≈ 2.6 , I(0/ri ) / rm = √
8
a2
4a2 −c2
=
144
√
527
≈ 6.3, M (0/5.2)
Trigonometrie
Kanton Obwalden, Maturaprüfung 2013 Trigonometrie
[(F)]
Dem Rechteck mit den Seiten 7cm und 5cm sind ein Halb- und ein Viertelkreis einbeschrieben. M1 und M2 sind ihre
Mittelpunkte, r = 3cm und x sind ihre Radien.
a) Berechnen Sie x.
b) Berechnen Sie die Winkel des Dreiecks M1 M2 P .
Lösung:
a) x =
13
4
b) β = 98.53o
9
Trigonometrie
Kanton Obwalden, Maturaprüfung 2012 Trigonometrie
[(F)]
Das gleichschenklige Dreieck ABC hat die Basis AB = 24cm. Die gekrümmte Linie CD ist ein Kreisbogen mit
Zentrum A, die gekrümmte Linie AF D ist ein Halbkreis mit Zentrum E. Berechne die Längen der Strecken CF und
CG.
Lösung:
CG = 21.67
CF = 12.75
10
Trigonometrie / Stereometrie / Analysis
Kantonsschule am Burggraben, St. Gallen, Maturaprüfung 2009 Trigonometrie
Einem regulären Oktaeder mit Kantenlänge
Lösung:
√
[(E)]
2 wird ein Würfel einbeschrieben. Welche Seitenlänge hat dieser Würfel?
√
s = 2( 2 − 1)
11
Trigonometrie / Vektorgeometrie
Kantonschule Reussbühl, Luzern, Maturaprüfung 2012 Kreis und Tangente
[(F)]
Der Kreis k: x2 +y 2 +6y−16 = 0 schneidet die x-Achse im Punkt P (xP > 0/0) und die y-Achse im Punkt Q(0/yQ > 0).
Die Tangente t an k in P schneidet die y-Achse im Punkt T . Berechnen Sie die Koordinaten des Mittelpunktes M von
k und der Punkte P , Q und T . Machen Sie dann eine saubere Zeichnung der Situation in einem Koordinatensystem.
Lösung:
M (0/ − 3) , P (4/0) , Q(0/2), T (0/ 16
3 )
12
Trigonometrie / Vektorgeometrie
Kantonschule Reussbühl, Luzern, Maturaprüfung 2009 Kreis und Tangente
[(F)]
Der Kreis k wird von der Geraden t: y = −2x − 19 im Punkt B(−10|yB ) berührt. Sein Mittelpunkt M liegt auf der
Geraden g durch die Punkte P (2|4) und Q(6|3). Bestimmen Sie die Koordinatengleichung des Kreises k.
Lösung:
(x + 2)2 + (y − 5)2 = 80
13
Trigonometrie / Vektorgeometrie
Kantonsschule Heerbrugg, St. Gallen, Maturaprüfung 2012 Kreis und Tangente
[(F)]
Die beiden Kreise k1 : x2 + y 2 − 8x + 2y − 8 = 0 und k2 haben einen gleichen Radius. Sie berühren sich in einem auf
der y-Achse liegenden Punkt B (für B ist der Punkt mit der grösseren y-Koordinate zu nehmen). Bestimmen Sie eine
Gleichung von k2 .
Lösung:
(x + 4)2 + (y − 5)2 = 52 .
14
Trigonometrie / Vektorgeometrie
Kantonsschule Heerbrugg, St. Gallen, Maturaprüfung 2012 Kreis und Segment
[(F)]
 
 
−2
2
Die Gerade g: ~r =   + t ·   schneidet vom Kreis k: (x + 4)2 + (y − 1)2 = 100 ein kleines Segment ab.
10
−1
Berechne die Segmentfläche.
Lösung:
F = 46.36
15