Trigonometrie und Planimetrie

Trigonometrie und Planimetrie
Hinweis: Die Aufgaben sind in 3 Gruppen gegliedert
• (G): Grundlagen, Basiswissen → einfache Aufgaben
• (F): Fortgeschritten → mittelschwere Aufgaben
• (E): Experten → schwere Aufgaben
Vorzeigeaufgaben:
Block
Stunde
1
1
Aufgabe
(G) Gymnasium Bäumlihof, Basel, Maturaprüfung 2011, siehe Seite 3
(G) Gymnasium Bäumlihof, Basel, Maturaprüfung 2009, siehe Seite 4
2
(F) Kantonsschule am Burggraben, St. Gallen, Maturaprüfung 2009, siehe Seite 5
3
(F) Kantonsschule Heerbrugg, St. Gallen, Maturaprüfung 2010, siehe Seite 6
4
(F) Kantonsschule Heerbrugg, St. Gallen, Maturaprüfung 2010, siehe Seite 7
Empfohlene Bearbeitungsreihenfolge für eigenständiges Lösen:
Block
Stunde
Aufgabe
1
1
(G/F) Gymnasium Bäumlihof, Basel, Maturaprüfung 2008, siehe Seite 8
2
(F) Kanton Obwalden, Maturaprüfung 2013, siehe Seite 9
3
(F) Kanton Obwalden, Maturaprüfung 2012, siehe Seite 10
4
(E) Kantonsschule am Burggraben, St. Gallen, Maturaprüfung 2011, siehe Seite 11
Zusatzaufgaben Vektorgeometrie in Ebene:
• (F) Kantonschule Reussbühl, Luzern, Maturaprüfung 2012, siehe Seite 12
• (F) Kantonschule Reussbühl, Luzern, Maturaprüfung 2009, siehe Seite 13
• (F) Kantonsschule Heerbrugg, St. Gallen, Maturaprüfung 2012, siehe Seite 14
• (F) Kantonsschule Heerbrugg, St. Gallen, Maturaprüfung 2012, siehe Seite 15
gebrauchte Formeln:
1
Sinus / Cosinus / Tangens / Cotangens im rechtwinkligen Dreieck:
a
c
b
cos(α) =
c
b
tan(α) =
a
sin(α) =
2
Trigonometrie und Planimetrie
Gymnasium Bäumlihof, Basel, Maturaprüfung 2011 Trigonometrie
[(G)]
Gegeben sind 4 Quadrate mit Seitenlänge 1. Berechnen Sie die Winkel α und β.
Lösung:
α = 18.43◦ , β = 45◦
3
Trigonometrie und Planimetrie
Gymnasium Bäumlihof, Basel, Maturaprüfung 2009 Trigonometrie
Berechne die Länge der mit u bezeichneten Viereckseite!
Lösung:
u ≈ 8.15
4
[(G)]
Planimetrie / Stereometrie / Analysis
Kantonsschule am Burggraben, St. Gallen, Maturaprüfung 2009 Planimetrie und Analysis
[(F)]
Einer Halbkugel mit Radius R wird ein gerader Kreiskegel mit minimalem Volumen umbeschrieben. Bestimme die
Höhe x und das Volumen des Kegels.
Gibt es einen solchen Kegel mit maximalem Volumen ? (Begründung!)
Hinweis: Leiten Sie mit Hilfe der Trigonometrie das Volumen her.
Lösung:
...
5
Trigonometrie / Planimetrie
Kantonsschule Heerbrugg, St. Gallen, Maturaprüfung 2010 Trigonometrie und Planimetrie
Der Kreis mit dem Radius r = 1 berührt die beiden Geraden y = ±2x.
a) Berechne den Winkel α.
b) Welche y-Koordinate hat das Kreiszentrum M ?
c) Wie gross ist der Flächeninhalt des markierten Gebietes?
Lösung:
...
6
[(G)]
Trigonometrie / Analysis
Kantonsschule Heerbrugg, St. Gallen, Maturaprüfung 2010 Kugel und Kegel
[(G)]
Einer Kugel mit dem Radius 1 wird ein gerader Kreiskegel einbeschrieben wie in der nebenstehenden Zeichnung.
Berechne x, so dass das Kegelvolumen möglichst gross wird.
Lösung:
...
7
Trigonometrie und Planimetrie
Gymnasium Bäumlihof, Basel, Maturaprüfung 2008 Trigonometrie
[(G / F)]
In einem gleichschenkligen Dreieck sind die Basis 7.0 cm und die Schenkel 12.0 cm lang.
a) Konstruieren Sie das Dreieck, seinen Inkreis I und seinen Umkreismittelpunkt M . Die Konstruktionslinien
müssen ersichtlich sein (Handskizze genügt).
b) Überprüfen Sie rechnerisch, ob M auf dem Inkreis liegt oder nicht.
Wir ändern die Teilaufgabe b) leicht ab:
• Bestimmen Sie den Inkreis ri und den Inkreismittelpunkt I.
• Bestimmen Sie den Umkreis rm und den Umkreismittelpunkt M .
Versuchen Sie, alles mittels der Grundline a und c auszudrücken.
Lösung:
...
8
Trigonometrie
Kanton Obwalden, Maturaprüfung 2013 Trigonometrie
[(F)]
Dem Rechteck mit den Seiten 7cm und 5cm sind ein Halb- und ein Viertelkreis einbeschrieben. M1 und M2 sind ihre
Mittelpunkte, r = 3cm und x sind ihre Radien.
a) Berechnen Sie x.
b) Berechnen Sie die Winkel des Dreiecks M1 M2 P .
9
Trigonometrie
Kanton Obwalden, Maturaprüfung 2012 Trigonometrie
[(F)]
Das gleichschenklige Dreieck ABC hat die Basis AB = 24cm. Die gekrümmte Linie CD ist ein Kreisbogen mit
Zentrum A, die gekrümmte Linie AF D ist ein Halbkreis mit Zentrum E. Berechne die Längen der Strecken CF und
CG.
Lösung:
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10
Trigonometrie / Stereometrie / Analysis
Kantonsschule am Burggraben, St. Gallen, Maturaprüfung 2011 Trigonometrie
Einem regulären Oktaeder mit Kantenlänge
Lösung:
√
[(E)]
2 wird ein Würfel einbeschrieben. Welche Seitenlänge hat dieser Würfel?
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11
Trigonometrie / Vektorgeometrie
Kantonschule Reussbühl, Luzern, Maturaprüfung 2012 Kreis und Tangente
[(F)]
Der Kreis k: x2 +y 2 +6y−16 = 0 schneidet die x-Achse im Punkt P (xP > 0/0) und die y-Achse im Punkt Q(0/yQ > 0).
Die Tangente t an k in P schneidet die y-Achse im Punkt T . Berechnen Sie die Koordinaten des Mittelpunktes M von
k und der Punkte P , Q und T . Machen Sie dann eine saubere Zeichnung der Situation in einem Koordinatensystem.
Lösung:
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12
Trigonometrie / Vektorgeometrie
Kantonschule Reussbühl, Luzern, Maturaprüfung 2009 Kreis und Tangente
[(F)]
Der Kreis k wird von der Geraden t: y = −2x − 19 im Punkt B(−10|yB ) berührt. Sein Mittelpunkt M liegt auf der
Geraden g durch die Punkte P (2|4) und Q(6|3). Bestimmen Sie die Koordinatengleichung des Kreises k.
Lösung:
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13
Trigonometrie / Vektorgeometrie
Kantonsschule Heerbrugg, St. Gallen, Maturaprüfung 2012 Kreis und Tangente
[(F)]
Die beiden Kreise k1 : x2 + y 2 − 8x + 2y − 8 = 0 und k2 haben einen gleichen Radius. Sie berühren sich in einem auf
der y-Achse liegenden Punkt B (für B ist der Punkt mit der grösseren y-Koordinate zu nehmen). Bestimmen Sie eine
Gleichung von k2 .
Lösung:
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14
Trigonometrie / Vektorgeometrie
Kantonsschule Heerbrugg, St. Gallen, Maturaprüfung 2012 Kreis und Segment
[(F)]
 
 
−2
2
Die Gerade g: ~r =   + t ·   schneidet vom Kreis k: (x + 4)2 + (y − 1)2 = 100 ein kleines Segment ab.
10
−1
Berechne die Segmentfläche.
Lösung:
...
15