Didaktik der Algebra

Didaktik der Algebra
gelesen von Prof. Dr. Weigand
Wintersemester 07/08
LATEX von Maximilian Michel
(überarbeitet)
19. März 2009
Inhaltsverzeichnis
0 Erste Stunde - organisatorisches
0.1 Ziele . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.1.1 Gliederung . . . . . . . . . . . .
0.2 Organisatorisches . . . . . . . . . . . .
0.2.1 Anmeldungen . . . . . . . . . .
0.2.2 benötigte Programme: . . . . .
0.2.3 Magische Momente . . . . . . .
0.2.4 Scheinbedingungen . . . . . . .
0.3 Erklärung der wichtigen Abkürzungen
1 Ziele des Algebra Unterrichts
1.1 Warum Algebra Unterricht? . . .
1.2 Inhaltsziele . . . . . . . . . . . .
1.3 Prozessziele . . . . . . . . . . . .
1.4 Die KMK Standards . . . . . . .
1.4.1 Kompetenzen . . . . . . .
1.4.2 Inhaltsbezogene Leitideen
1.4.3 Anforderungsbereiche . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2 Geschichte der Algebra
2.1 Die Babylonische Algebra (ab 3.000 v-Chr.) . . . . . . .
2.2 Griechische Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Die arabische Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Die Gleichung 3. Grades x3 + px = q . . . . . . . . . . .
2.5 Negative Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7 Übersicht über die Algebra der einzelnen Jahrgangsstufen
2.8 Fachsprache . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.1 Bruchrechen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Begriffe der Algebra
3.1 Aspekte und Variablenbegriff . . . . . . . . . .
3.2 Die Schwierigkeiten einer formalen Sprache . . .
3.2.1 Beim Lernen einer neuen Sprache werden
3.2.2 Warum werden Fehler gemacht . . . . .
3.3 Wozu sind Terme da? . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Der Zugang zu Termen - Aufstellen von Formeln
3.5 Termumformungen . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
. . . .
Fehler
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. . . . . .
. . . . . .
gemacht:
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
6
6
6
7
7
7
7
7
7
.
.
.
.
.
.
.
8
8
9
9
9
9
10
10
.
.
.
.
.
.
.
.
.
11
11
12
12
13
13
13
14
14
14
.
.
.
.
.
.
.
23
23
23
24
24
24
25
25
4 Negative und Reelle Zahlen
26
4.1 Negative Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3
Inhaltsverzeichnis
4.2
4.1.1 Kleine Geschichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Einführung im MU: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.3 Addieren und Subtrahieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.4 Multiplikation negativer Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . .
Die reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Einführung im MU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Der Menon-Dialog (Sokrates) . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.3 Die Zahl x mit x2 = 2 ist eine irrationale Zahl! . . . . . . . .
4.2.4 Wie rechnet der Taschenrechner? Der HERON-Algorithmus
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
26
26
26
27
28
28
28
29
30
5 Funktionen
31
5.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.2 Beispiele für Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.2.1 In der Umwelt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.2.2 Funktionen in der Grundschule: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.2.3 Zweistellige Funktionen (zweier Veränderlicher): . . . . . . . . . . . . . . 33
5.2.4 Funktionen mehrerer Veränderlicher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.3 Folgen sind spezielle Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.4 Funktionen: R → R × R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.5 Funktionen: R × R → R × R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.6 Zur Geschichte des Funktionsbegriffs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.7 Proportionale und antiproportionale Funktionen (7. Klasse) . . . . . . . . . . . . 35
5.7.1 Zugang zum Funktionsbegriff ab der 1. Grundschulklasse . . . . . . . . . 35
5.7.2 Proportionale und antiproportionale Funktionen (8. Klasse) . . . . . . . 35
5.8 Lineare Funktionen (8. Klasse) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.8.1 Beispiele: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.8.2 Beispiel für eine Stückweise lineare Funktionen: . . . . . . . . . . . . . . 36
5.9 Quadratische Funktionen (9./10. Kl.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.9.1 Beispiele: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.9.2 Allgemeine Gleichung und Scheitelpunktsform . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.9.3 Eine Extremwertaufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.9.4 Wurzelfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.9.5 Umkehrfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.9.6 Potenzfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.9.7 Die Logarithmusfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.10 Trigonometrische Funktionen: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.11 Arbeiten mit Funktionen als Objekten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.12 Spezielle Funktionen: Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.13 Funktionales Denken: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.14 Ein Stufenprinzip zum Lernen des Funktionsbegriffes . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.14.1 Intuitives Begriffsverständniss: Der Begriff als Phänomen . . . . . . . . . 41
5.14.2 Inhaltliches Begriffsverständnis: Der Begriff als Träger von Eigenschaften 41
5.14.3 Ein Stufenprinzip zum Lernen des Funktonsbegriffs: . . . . . . . . . . . . 41
6 Gleichungen und Ungleichungen
43
6.1 Historischer Rückblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
6.2 Was sind Gleichungen? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
6.3 Gleichungen im MU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4
Inhaltsverzeichnis
6.4
6.5
6.6
6.7
Methoden des Gleichungen lösen im heutigen MU . . . . . . . . . . . . . .
6.4.1 Lösen durch systematisches Probieren (Grundschule, 5. Klasse) . . .
6.4.2 Lösen mit der Streifenmethode: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.3 Lösen mit Operatoren und Gegenoperatoren: . . . . . . . . . . . . .
6.4.4 „Lösen“ mit der Balken- oder Rechenwaage gelöst. . . . . . . . . . .
6.4.5 Äquivalenzumformungen: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.6 Graphisches Lösen von Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.7 Gleichungen werden mit Formeln gelöst: Quadratische Gleichungen
6.4.8 Gleichungen werden mit dem Computer auf Knopfdruck gelöst. . .
Aktuelle Ansätze in der Gleichungslehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zum Lernen von Lösungsalgorithmen für Gleichungen und Ungleichungen.
Gleichungen im Unterricht: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
44
44
45
45
45
45
45
46
46
46
46
47
5
0 Erste Stunde - organisatorisches
0.1 Ziele
1. Inhalte der Algebra im Matheunterricht
2. Fähigkeit des kritischen Betrachtens des Matheunterrichtes im Bereich der Algebra
muss jeder die meisten Gleichungen kennen?
wie schaut die Zukunft der Algebra aus?
welche Auswirkungen haben die neuen Taschenrechner?
3. Methodische Hilfen zur Erstellung und Halten von Unterrichtsstunden
4. Inhaltliche und methodische Veränderungen des Algebra Unterrichts durch Einbeziehung
der neuen Technologien
0.1.1 Gliederung
1. Ziele des AU
2. Zahlen Bruchrechnung
3. Zahlenbereichserweiterungen Z, Q, R
Literatur:
• „Algebra in der Sekundarstufe“ Vollrath, Weigand, (≈ 21 Euro)
• Bildungsstandards Mathematik Konkret Werner Blum, Christian Drüke-Noe Ralph Hartung
• Computer im Mathematikunterricht „Neue Wege zu alten Zielen“ H-G-Weigand, Thomas
Weth
• Zeitschrift „Mathematiklehren“
Informationen unter
Didaktik der Mathematik im Wintersemester 2007/2008
oder unter:
www.dmuw.de
und noch mehr:
www.madin.net
6
0.2 Organisatorisches
0.2 Organisatorisches
0.2.1 Anmeldungen
Anmeldung zum Kurs der „Grundlagen der Schul-Arithmetik“ bei der www.vhb.de
Dann Kurs belegen, schließlich anmelden bei „Everlearn“
0.2.2 benötigte Programme:
• Geogebra (neueste Version) kostenlos unter www.geogebra.net
• Excell oder andere Tabellenkalkulation (z.B.: „Open Office“)
0.2.3 Magische Momente
Jahr der Mathematik 2008
Gesucht werden besondere Stunden, die der Öffentlichkeit präsentiert werden können. Informationen auf der Didaktik-Homepage der Universität Würzburg. Bearbeiten der Mathemagischen
Momente im Wiki-System
0.2.4 Scheinbedingungen
Was zählt zum Schein?
1. 50% der Übungsaufgaben gelöst zu haben
2. Beteiligung am Wikisystem
3. Abschlusstest ähnlich zu den Übungsaufgaben (Test, voraussichtlich am Mittwoch 30.1.08)
0.3 Erklärung der wichtigen Abkürzungen
• TIMMS Third International Mathematik and Science Studies
• PISA Programm for International Student Assessment
Keine Orientierung an Lehrplänen
Erfassung von Basiskompetenzen
7
1 Ziele des Algebra Unterrichts
1.1 Warum Algebra Unterricht?
1. Erkenntnistheoretischer Aspekt, „Die Welt mit anderen Augen sehen“
parabelförmige Brückenbögen
Springbrunnen
schiefer Wurf
Flächenberechnung (Garten, Wände tapezieren,. . . )
Verpackungen
2. Pragmatischer Aspekt
Algebra Grundlage vieler Berufsausbildungen, . . . der Analysis,. . . der Studienfächer
3. Schöpferischer Aspekt, kreativer Aspekt: Algebra als eine Schule des Problemlösens.
Welches Rechteck mit gegebenen Umfang hat den größten Flächeninhalt?
Problemlösung anderer Art, zum Beispiel
0, 999 . . . = 1??
x = 0, 999 . . .
10x − x = 9x = 9
10x = 9, 999 . . .
⇒x=1
da:
∞
X
9
9
+
+ ··· =
0, 9 =
10 100
i=1
1
10
i
4. Kultureller Aspekt
Algebra hat eine 10.000 jährige Geschichte
Satz des Pythagoras (Pythagoreische Zahlen: 32 + 42 = 52 bzw.
oder (3k)k + (4k)2 = (5k)2 , k ∈ N)
Fermat’sche Zahlen: x3 + y 3 = z 3 x, y, z ∈ N
allgemein: xn + y n = z n ,
8
n ∈ N Beweis dieses Satzes (1995?)
3 2
n
+
4 2
n
=
5 2
n
1.2 Inhaltsziele
1.2 Inhaltsziele
1. Grundlegende Einsichten in den Aufbau des Zahlensystems
2. Erlernen der Formelsprache
3. Kennenlernen wichtiger Begriffe wie Formel und Funktion
4. Kennenlernen wichtiger Kalküle oder Algorithmen (Umformen und Lösen von Gleichungen)
1.3 Prozessziele
1. Erlernen mathematischer Tätigkeiten: formalisieren, beweisen, mathematisieren
2. Lernen die Bedeutung neuer Technologien einzuschätzen
3. Mathematik anwenden lernen
4. Mathematik als „Problemlösen“ kennen lernen
5. Modellieren lernen
1.4 Die KMK Standards
Ziel:
Zentralabitur in Deutschland
1.4.1 Kompetenzen
Was heißt Kompetenz? Es gibt keine genaue Definition. Inhalte dieser „Kompetenzen sollten
sein:
• Probleme mathematisch lösen
• Mathematisch modellieren
• Mathematische Darstellungen verwenden
Tabellen, Graphen, Statistiken,. . .
• Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen
Taschenrechner, Tabellenkalkulation,. . .
• Kommunizieren
Richtiges Verwenden der mathematischen Grundbegriffe
Projekt bearbeiten, Präsentationen,. . .
erlernen der mathematischen Fachsprache
• Mathematisch argumentieren
Begründungen und Beweise
Schüler müssen diese erlernten Kompetenzen nachweisen
9
1 Ziele des Algebra Unterrichts
1.4.2 Inhaltsbezogene Leitideen
• Zahl
• Messen
• Raum und Form
• Funktionaler Zusammenhang
• Daten und Zufall
Weiteres im Skript
1.4.3 Anforderungsbereiche
1. Reproduzieren
2. Zusammenhänge darstellen
3. Verallgemeinern und reflektieren
10
2 Geschichte der Algebra
Literatur „4000 Jahre Algebra“ (Springer Verlag)
• 3.000 v. Chr. Ägypter Keilschrift, Symbolhafter Schrift
Addieren einfach neu sortieren der Zahlenssymbole
Multiplizieren sehr schwer!!
• Babylonier 60er System (60 ist eine schöne Zahl, da sie durch die meisten Zahlen Teilbar
ist), Potenzen bilden
Problem Anzahl der Leerzeichen nicht festgelegt
⇒ Zahlen lesen aus „Erfahrung“
Heute noch: Uhr, Gradeinteilung des Kreis
• Chinesen:
Rechenbretter, mit Stäbchen legen
Erstes Kulturvolk mit Dezimalsystem
immer noch keine Null
• Inder (von den Chinesen gelernt)
Null als „Loch“ entstanden
• 1202 Buch „Liber abbaci“ Einführung der arabischen Zahlen in Europa von Fibonacci
vorher: Römische Zahlen
• Adam Ries(e) „Rechnung der Linien und Federn“ (16.Jhd)(Übersetzung von den Rechentafeln auf arabisches Zahlensystem)
2.1 Die Babylonische Algebra (ab 3.000 v-Chr.)
Formeln in Wortform:
Ein Balken, 30 lang
Von oben ist er 6 herab gekommen.
Von unten hat er sich entfernt?
30 quadriere, 15 siehst du.
6 von 30 abgezogen, 24 siehst du.
24 quadriere, 9 36 siehst du.
9 36 von 15 ziehe ab. 5 24 siehst du.
11
2 Geschichte der Algebra
5 24 hat was als Quadratwurzel? 18.
18 am Boden hat er sich entfernt.
b = 30
h=6
302 = 900 = 1 · 600 + 5 · 60
30 − 6 = 24
242 = 576 = 9 · 60 + 36
900 − 576 = 324 = 5 · 60 + 24
√
324 = 18
⇒ a = 18
Heute:
a=
p
b2 − (b − h)2
2.2 Griechische Algebra
Gleichung werden geometrisch gelöst. Lösung der Gleichung a · x = bċ (bei Diophant um 250 n.
Chr.) Graphisch gelöst
a·x=b·c
A(
ABCD) = A(
DEF G)
2.3 Die arabische Algebra
q
2
Al Chwarizmi löst x2 + px = q geometrisch mit x1,2 = ± pq2 + q
12
2.4 Die Gleichung 3. Grades x3 + px = q
2.4 Die Gleichung 3. Grades x3 + px = q
Cardano’sche Formel
2.5 Negative Zahlen
Al Chwarizmi schließt beim Lösen quadratischer Gleichungen negative Zahlen aus. Cardano
unterscheidet zwischen „wahren“ (positiven) und „falschen“ (negativen) Lösungen. „Da positio
auf eine Linie, quadratum auf eine Fläche und cubum auf einen Körper hinweisen, wäre es sehr
töricht, über dieses hinauszugehen; denn die Natur erlaubt es nicht.“ (Cardano 1663). Trotzdem:
Cardano betrachtete aber biquadratische Gleichungen! René Descartes (1595 – 1650) und das
„kartesische Koordinatensystem“ D’Alembert ist (1717 – 1783): lehnt negative Zahlen ab.
2.6 Komplexe Zahlen
Descartes: Er schreibt als erstes „i“ für eine komplexe Zahl. „Man kann sich bei jeder Gleichung
so viel Wurzeln einbilden wie der Grad angibt, nur entspricht diesen eingebildeten Wurzeln
manchmal keine reelle Lösung“. Euler (1707 – 1783): Eulersche Formeln: Gauss (1777 – 1855):
Gauss’sche Zahlenebene: In einem Brief an Bessel schrieb er 1811: „So wie man sich das ganze
Reich aller reellen Grössen durch eine unendliche gerade Linie denken kann, so kann man das
ganze Reich aller Grössen, reeller und imaginärer Grössen sich durch eine unendliche Ebene
sinnlich machen, worin jeder Punkt, durch Abscisse = a, Ordinate = b bestimmt, die Grösse
a + bi gleichsam repräsentirt.“
13
2 Geschichte der Algebra
2.7 Übersicht über die Algebra der einzelnen
Jahrgangsstufen
Jrg.
5
Zahlen
N
Grundrechenarten
teilweise
(bay. Gymn.) Z
Terme
Funktionen
Einfache Terme;
Tabellen;
Einsetzungen
Tabellen mit
Variablen;
Operatoren
6
B = Θ+
Bruchrechnung
Dezimalbrüche
Einfache Terme
mit Brüchen;
Einsetzungen
7
Z=Θ
Grundrechenarten
Einfache Terme
mit pos. & neg.
Zahlen
8
Θ
Grundreceharten;
Potenzen mit
nat. Exponenten
Termumformungen;
„ganze“ Terme,
Bruchterme
9
P
Quadrieren u.
Wurzelziehen;
Irrationalität
10
P
Potenzrechnung
Tabelle mit
Variablen;
Bruchoperatoren
Proportionale,
antiproport. Fkt.;
empirische Fkt.
Lineare Fkt.;
Fkt.-Gleichungen;
Eigenschaften
v. Funktionen
quadratische Fkt.;
Terme mit
Wurzelfkt.;
Quadraten u.
Eigenschaften
Wurzeln
quadr. Fkt.;
Umkehrfunktionen
Terme m. Potenzen;
Potenz-Fkt.;
Vereinfachung;
Exponential- u.
Terme m.
Logarithmus-Fkt.;
trigonometrischen
trigonometrische
Funktionen
Funktionen
Gleichungen
Lösen einfacher
Gleichungen durch
Probieren, Überlegen,
Gegenoperatoren
Lösen einfacher
Gleichungen durch
Gegenoperatoren
Lösen einfacher
Gleichungen durch
Gegenoperatoren
Lösen v. Gleichungen
durch ÄquivalenzUmformungen;
Bruchgleichungen;
einfache Gleichungssysteme;
Aufstellen u.
Umformen v. Formeln
graph. Lösungen
Quadr. Gleichungen;
graphische Lsg;
Näherungs-Lsg;
Wurzelgleichungen
Potenzgleichung;
Exponentialgleichung;
trigonom.
Gleichungen
2.8 Fachsprache
2.8.1 Bruchrechen
Bruch 43 mit 3 als Zähler und 4 als Nenner ist eine „Schreibfigur“. Der Dezimalbruch 0, 75
(in Deutschland) bzw. 0.75 (international) beschreiben die selbe Zahl. 43 heißt gewöhnlicher
(gemeiner) Bruch.
1. Geschichtliche Betrachtung zur Bruchrechnung:
• Babylonier schrieben Brüche bereits im 60er System
• Ägypter: kannten (im wesentlichen) nur Stammbrüche.
14
2.8 Fachsprache
• bei den Griechen (Euklid) gab es keine Brüche, es wurden aber Verhältnisse von
natürlichen Zahlen dargestellt.
• Inder (500 n. Chr) schrieben schon Zahlen übereinander - aber ohne Bruchstrich.
• die Araber (800 n. Chr) verwendeten dann den Bruchstrich
• Leonardo v. Pisa (1200 n. Chr) führte den Bruchstrich in Europa ein
• mit dem Aufkommen des Buchdrucks, wurde dann auch 3/5 geschrieben
• manchmal wurde dann auch 3 : 5 (Leibniz – 17. Jahrhundert) oder 3÷5 geschrieben.
2. Fachsprache
• Bruch - Dezimalbruch
• Bruchzahl
• Bruchwert
• Gewöhnlicher Bruch (gemeiner Bruch)
• Dezimalbruch oder Dezimaldarstellung eines Bruchs (einer Bruchzahl).
3. Die Sinnfrage: Warum sollen im MU Brüche behandelt werden?
• Brüche kommen im täglichen Leben vor
0.25l = 41 l = 1/4l; 43 l; 21 km; 0, 33l, 27% =
27
100
Notenwerte der Musik. . .
• Brüche braucht man in der Mathematik (Gleichungen, Prozentrechnung, Wahrscheinlichkeitsrechnung,. . . )
Brüche in der Mathematik: 2 · x = 5
Vorbereitung der Algebra a · x = b ⇒
b
a
(a 6= 0) A = 21 g · h
• Bruchrechnung ist eine Vorbereitung der Algebra
• Zahlbereichserweiterung stellt eine kognitive Leistung dar
4. Vorteile von gemeinen Brüchen:
• leichter zu veranschaulichen (3/8 - 0.375)
• es wird mit exakten Werten gerechnet: 1/3 statt 0.3333...
• keine unendlichen periodischen Brüche
• Multiplikation ist einfacher als bei Dezimalzahlen
Vorteile von Dezimalbrüchen
• Im ’täglichen Leben’ kommen fast ausschließlich Dezimalbrüche vor!
• Erweiterung der bekannten Stellenwertschreibweise
• Grundrechenarten stimmen (bis auf Kommasetzung) mit den Grundrechenarten bei
N überein.
• Größenvergleich zweier Bruchzahlen ist einfacher 3/4, 18/25 - 0.75, 0.72
Stellenwertsystem (Dezimalschreibweise) wird erweitert
5. Verschiedene Bedeutungen von Brüchen - Vorstellungen
Das Größenkonzept: Kuchen, 1/2 l, 1/2 m, ...
15
2 Geschichte der Algebra
• Die Bruchzahl m/n ist die Größe m/n E (Einheit). Wir sprechen hier auch von
konkreten Brüchen.
• Wichtig: Eine Größe kann durch verschiedene Brüche ausgedrückt werden. Beispiel:
Papier zunächst längs, dann quer falten. Man erhält eine feinere Unterteilung.
Problem: Multiplikation kann nicht erklärt werden!
Der Verhältnisaspekt Ein Bruch gibt das Verhältnis zweier Größen an: 3l:5l.
Der Operatoraspekt
Im täglichen Leben: „Die Hälfte von“, „das Doppelte von“, „ein Viertel von“: „ 13 der Klasse
sind Mädchen“ „Der Anteil der Mädchen an der Gesamtschülerzahl ist 31 “.
1
4
von 8 kg bedeutet die Zuordnung:
8kg → 2kg
man schreibt:
8kg ·
1
4
= 2kg oder
1
4
8kg →
2kg
„ 14 “ kann als Funktion - oder Operator - aufgefasst werden. Parallele zum Maschinenmodell
in der Grundschule.
von 1 kg bedeutet, 1 kg erst durch 4 zu dividieren und dann das Ergebnis mit 3 zu
multiplizieren. Man schreibt dafür gern:
1
4
6. Bruchzahlen
• Von den natürlichen Zahlen kennt der Schüler Vorstellungen wie:
Eine Zahl hat einen Namen
Man kann zählen.
Man kann addieren und multiplizieren durch Zählen
Multiplizieren macht größer, dividieren macht kleiner.
• Der Übergang zu den Bruchzahlen ist eine echte Erweiterung – auch intellektuell.
• Ebenso wie die natürlichen Zahlen, kann man Brüche wie 1/2, 3/4 am Zahlenstrahl
darstellen. Man nennt deshalb 1/2, 3/4,
Bruchzahlen (nichtnegative rationale Zahlen). - Bruchzahl ist ein nichtdefinierter
Grundbegriff!
0 3/4 1 2
Kürzen von Bruchzahlen. Motiv für Kürzen: Eine einfachere Darstellung zu gewinnen.
Erweitern von Bruchzahlen: Vergleich von Bruchzahlen - Addition
16
2.8 Fachsprache
Beispiel:
Bruchzahlen sind abzählbar - aber nicht in der natürlichen Anordnung!
1
1
2
1
3
1
4
1
..
.
1
2
2
2
3
2
4
2
..
.
1
3
3
2
3
3
4
3
1
4
3
3
3
4
4
4
...
...
...
...
7. Addition und Subtraktion von Bruchzahlen
a) Schritt: gleichnamige Brüche - Man schreibt gelegentlich auch: 2 Fünftel + 3 Fünftel
= ...
b) Schritt: ungleichnamig Brüche
1/2m + 1/4m
Es muß eine gemeinsame Unterteilung gefunden werden.
c) Bruch + natürliche Zahl
Empirische Untersuchung von Padberg
d) Addition „gemischter Zahlen“: 17/4 = 4 1/4 = 4 + 1/4.
17/4 + 12/5 = 4 1/4 + 2 2/5 = 6 + 1/4 + 2/5
8. Typische Schülerfehler und Gegenmaßnahmen
2 3
5!!
+ =
5 7
12!!
9!!
7
+2=
12
12
Gegenmaßnahmen
Anschauliche Grundvorstellung der Addition aufbauen
(a) Größenordnungen stimmen??
(b) Einfache Beipsiele wählen
1
2
+ 2 =?
(c) Anschauliche Grundvorstellungen aufbauen
1
2
+
1
4
(d) N ⊂ B
• Vergleich Addition und Multiplikation
• Fälle +n nicht unterschätzen
• Nicht zu frühzeitige Regelableitung - nicht zu formal, kalkülmäßig rechnen!
• Einbettung der Bruchzahlen in die natürlichen Zahlen
17
2 Geschichte der Algebra
• Prüfen ob die Größenordnung stimmen kann.
• Anlegen einer Klassenliste mit Schülerfehlern
Problem: Die Subtraktion gemischter Zahlen ist schwieriger als die entsprechende
Addition!
9. Die Multiplikation
Natürliche Zahl mal Bruchzahl: Zurückführung auf die fortgesetzte Addition
n·
p
p p p p
= + + + + ...
q
q q q q
|
{z
}
n-mal
Bruchzahl mal natürliche Zahl:
p
p
p p p p
· n = n · = + + + + ...
q
q
q q q q
{z
}
|
n-mal
a) Möglichkeit
b) Möglichkeit: der ’von-Ansatz’
p
q
„ pq von n“ bedeutet n → n · [n · pq ] Problem: Warum ist von gleich mal ? Allgemein
gilt das nicht! Etwa: 2 von 10 Äpfel!
Bruchzahl mal Bruchzahl
Beispiel: Hans benötigt 23 einer 45 m2 großen Platte.
oder: Wie viele 38 l-Becher lassen sich aus 1 12 l-Flasche füllen?
a) Zurückführung auf Operatoren
4 ÷3 4 ·2 8
→
→
5
15
15
b) Geometrische Veranschaulichung des von-Ansatzes
von
von 4/5
2
3
4
5
bedeutet: 54 · 23 Veranschaulichung durch ein Rechteck!!! (Skizze ) 4/5 2/3
c) Erklärung über Gleichungsketten
3
150
· 50 =
7
7
3
30
· 10 =
jeweils ÷ 5
7
7
3
6
·2=
7
7
3
3 2 6
6
· = ÷ 5 = 7 = 27
7 5 7
5
5
Beachte: Die Multiplikation von Brüchen wirkt nicht unbedingt vergrößernd!
wie bei der Multiplikation in N.
18
2.8 Fachsprache
10. Typische Schülerfehler und Gegenmaßnahmen
Häufige Fehler:
15
5 3
· =
7 7
7
Oder:
7
3·7
=
!!
9
3·7
Geringste Fehlerquote bei Aufgaben des Types:
3·
4 7
·
5 13
Multiplikation gleichnamiger Brüche:
m p
m·p
· =
n n
n
m·p
m
· pn =
n
n+n
Gegenmaßnahmen wie bei Addition!
Multiplikation ungleichnamiger Brüche:
geringsten Schwierigkeiten!
Natürliche Zahl mal Bruchzahl:
n·
(n · a)
a
=
b
(n · b)
Gegenmaßnahmen:
• Prinzip des Kontrasts: Gegenüberstellen von Addition und Multiplikation
• Gründliche Einbettung der natürlichen Zahlen in die Bruchzahlen
• Ausführlichere Behandlung des ’von’-Ansatzes und zwar auch in der umgangssprachlichen nicht-formalisierten Formulierung.
11. Die Division
Division durch eine natürliche Zahl
Aus einer Kanne mit 3/4 l werden 3 Becher aufgefüllt.
3
l ÷ 3;
4
3
1
l → l.
4
4
Wir können auch schreiben: 34 l · 13 = 14 l
Merke: Dividieren durch n bedeutet Multiplizieren mit n1 !
Natürliche Zahl durch Bruch über die Umkehroperation:
6kg ·
2
2
=4kg → 4kg ÷ = 6kg
3
3
·2
÷3
6kg →
12kg → 4kg
÷2
6kg ←
·3
12kg ← 4kg
÷ 32
←
·3
2
←
19
2 Geschichte der Algebra
Bruch durch Bruch
Begründung der Regel über Gleichungsketten:
3
3
÷ 500 =
2
1000
3
3
÷ 100 =
jeweils · 5!!
2
200
3
3
÷4=
2
8
3 4 3
15
÷ = ·5=
2 5 8
8
Sonderfälle:
1
1
=x ⇒ 0 = · x also x = 0
2
2
1
1
÷ 0 =x ⇒ = x · 0 unlösbar
2
2
0 ÷ 0 =x ⇒ 0 = x · 0 fehlende Eindeutigkeit
0÷
Schülerfehler
a
n
÷n=a·
b
b
a
aṅ
÷n=
b
b·n
Hinweise und Gegenmaßnahmen:
• Betonung der anschaulichen Grundvorstellungen
• Gegenüberstellen: Multiplikation und Division
• Fehleranfälligkeit von Bruch durch natürliche Zahl
• Anschauliche Bruchvorstellungen aufbauen
• Nicht zu frühzeitige formale Regel ableiten
12. Dezimalbrüche
Wichtig: Aufzeigen, dass Dezimalbrüche nur eine andere Schreibweise für Bruchzahlen sind, dass es sich nicht um neue Zahlen handelt.
Schüler kennen Dezimalzahlen aus der GS 3, 24m = 3m+24cm Suchen von Dezimalzahlen
in der Umwelt: 100 m Lauf: 0,987 s - Lastwagen: Länge 4,765 m
Wir erweitern nun das Stellenwertsystem nach rechts - Zehntel, Hundertstel
T H Z E z h t ...
- Hier muss auf die Bedeutung von Nullen (auch Endnullen) hingewiesen werden. - Im
Unterricht sprechen wir 0,234 „Nullkommazweidreivier “
11.1 Umwandlung: Gemeiner Bruch in Dezimalbruch
a) Durch Erweitern: 2/5 = 4/10, 1/20 = 5/100,
20
2.8 Fachsprache
b) Durch fortlaufendes Dividieren:
1 ÷ 8 = 0, 125
1 ÷ 7 = 0, 142857142 . . .
Rest 0 → endlicher Bruch
Es wiederholt sich ein Rest → periodischer Dezimalbruch
Beim Dividieren können nur endlich viele Reste auftreten! Daraus folgt:
Satz. Jeder Bruch lässt sich als endlicher oder periodischer Dezimalbruch darstellen.
Hintergrundwissen des Lehrers!
Endlicher Dezimalbruch: Der Nenner besitzt nur die Primfaktoren 2 und 5. (Denn: Der
Nenner muss sich auf eine Zehnerpotenz erweitern lassen → N = 2k · 5l !!)
Reinperiodischer Dezimalbruch: Der Nenner besitzt weder den Primfaktor 2 noch 5
Gemischtperiodischer DB: Nenner besitzt sowohl die Primfaktor 2 und 5 und noch andere.
ˆ 1666)
( 16 = 0, 166666 . . . =0,
11.2 Umwandlung von Dezimalbrüchen in gemeine Brüche.
a) Rückgriff auf gewöhnliche Brüche /10, /100
b) Durch eine Gleichungskette
x = 0, 16666
10 · x = 1, 6666
100 · x = 16, 6666
⇒ 90 · x = 15
1
→x=
6
13. Kurzer Ausblick auf die Prozentrechnung
12.1 Anteile in Prozent
Klasse:
7a 7b
Einführendes Beispiel: Anzahl der Sportabzeichen: 20 15 Welche Klasse hat also mehr
Gesamtzahl der Schüler:
25 20
erfolgreiche Sportler?
20/25 = 80/100
15/20 = 75/100
Für 1/100 sagt man auch 1 Prozent = 1 %
12.2 Grundaufgaben der Prozentrechnung
40 % einer Salami-Wurst sind Fett. Wie viel Fett enthalten 250 g Salami?
40 % von 250 g = 40/100 von 250g: 40/100 von 250 g: 250 g ·40/100 = 100 g
Prozentsatz
100g
z
}|
{
z}|{
40%
250g
−→
Prozentwert
Grundwert
(a) Berechnen des Prozentwertes (wie Bruchrechnung)
(b) Berechnen des Prozentsatzes (Dividieren)
21
2 Geschichte der Algebra
(c) Berechnen des Grundwertes
12.3 Zins- und Zinseszinsrechnung – Computereinsatz
22
3 Begriffe der Algebra
• Algebra:
Al Chwarizmi (um 800 n.Chr.)
⇒ al dschabr rückversetzen, gleichsetzen
• Wortbedeuting Variable
variabilis (lat.) = veränderlich
rechnen mit Variablen erst ab etwa 17.Jhd durch Fibonacci
3.1 Aspekte und Variablenbegriff
1. Einzelzahlaspekt: Variable als eine feste Zahl
(a) Gesucht ist eine Zahl, wir nennen sie x
(x + 3) · 2 = 50 ⇒ x = 22
(b) Variable sind „Platzhalter“ für Zahlen: 2+? = 5
2. Bereichsaspekt:
(α) Simultanaspekt: Für alle a, b ∈ R gilt: a + b = b + a
(β) Veränderlichenaspekt: y = x + 3, funktionale Betrachtungen
vor allem bei zeitabhängigen Funktionen: s = v · t
Terme sind aus Zahlen und Variablen gebildete zulässige Rechenausdrücke oder Rechenvorschriften
Syntax: Legt fest, welche Rechenausdrücke zulässig sind: nicht: x + ÷2
Semantik: Betrifft die Bedeutung behandelter Ausdrücke: x+2, x ∈ N, aber x ∈
/ {Hund, Katze}
3.2 Die Schwierigkeiten einer formalen Sprache
Mit der Algebra lernen wir eine neue Sprache, eine formale Sprache, eine Formelsprache.
23
3 Begriffe der Algebra
3.2.1 Beim Lernen einer neuen Sprache werden Fehler gemacht:
• Punkt vor Strichrechnung
Schülerfehler (Konzentrationsfehler)
3 + x · 5 = 15 + 5x ⇒ 3 + 4 · 5 = 35
4x − (3x + 2a − b) = 4x − 3x − 2a-b
3x + 2a = 5ax
5x − 3x = 2
x+2
=x
2
√
x2 + 16 = x + 4
• Auflösen von negativen Klammern
• ...
3.2.2 Warum werden Fehler gemacht
• leichtsinn
• schlechte Schrift
• unverstandenes hantieren mit fremden Symbolen
• fehlendes Verbalisieren
Beispiel:
5x − 3x
x · (5 − 3)
Vorstellung von Variablen aufbauen ⇒ 5 Äpfel-3 Äpfel
Ziel ist es, die syntaktische mit der semantischen Ebenen zu verknüpfen. Mit Fehlern konstruktiv umgehen:
√
?
z.B.: a2 + b2 = a + b
3.3 Wozu sind Terme da?
1. Beschreibung innermathematischer Prozesse
3 · (x + 2) = . . .
2. Beschreibung außermathematischer Vorgänge
Zinnsrechnung: Z1 = K0 · p mit K-Kapital und p-Prozentsatz
K1 = K0 + Z1
Bremsweg sBr =
24
v2
2a
3.4 Der Zugang zu Termen - Aufstellen von Formeln
3. Formeln geben Einblicke in Situationen
Physik:
Wel = U · I · t
= R · I2 · t
Geschäftswesen:
Brutto = Netto + MWS
4. Mit Formeln kann man Probleme lösen
5. Mit Formeln kann man Beweise führen
6. Mit Formeln kann über die Landesgrenzen hinweg kommuniziert werden.
3.4 Der Zugang zu Termen - Aufstellen von Formeln
Prämisse: Variable und Terme sind in sinnvollen Sachzusammenhängen einzuführen, um den
Sinn von Formeln deutlich werden zu lassen.
Verschiedene Zugänge zu Termen bzw. Formeln.
(a) mit Hilfe des TR:
(b) Über Zahlenspiele:
(c) Über Umweltbeispiele
(d) Über mathematische Beispiele
(e) Über Tabellen: etwa: Stromrechnung:
Verbrauch (kWh)
Einzelpreis (€/kWh)
Zwischenergebnis (€)
Grundpreis (€)
Netto-Rechnungsbetrag (€)
MWSt. (19%)
Rechnungsbetrag (€)
Mit Hilfe eines Tabellenkalkulationsprogrammes kann die Tabelle auf einem Computer dargestellt werden. Vorteil von TK: Trennung von Namen und Inhalt
3.5 Termumformungen
25
4 Negative und Reelle Zahlen
4.1 Negative Zahlen
4.1.1 Kleine Geschichte
• Bei Griechen, Ägyptern,. . . gab es keine negative Zahlen
• 14./15. Jhd. lösen von quadratsichen Gleichungen
• heute: ax2 + . . . ⇒ x1/2 =
√
−b± ...
2a
• Früher: „Falsche Lösungen“ → negative Lösungen
• 16./17. Jhd. Entdeckung der Formelsprache „x = −5“
• Bis 19. Jhd wird die Existenz von negativen Zahlen geleugnet
d’Alambert (−1) · (−1) = 1 ⇒
1
−1
=
−1
1
4.1.2 Einführung im MU:
• Thermometer
• Wasserstandsanzeiger
• Höhenmesser
• Fahrstuhl im Kaufhaus
• Guthaben und Schulden
Ziel: Der Zahlenstrahl wird erweitert!
4.1.3 Addieren und Subtrahieren
Sinnvoll mit dem Pfeilmodell erklärbar:
Addition:
(6) + (−2),
(6) + (−9) = (−3)
Subtraktion:
(6) − (4) = 6 − 4 = 2
(6) − (−4) = 6 + 4 = (+10)
• Das Temperaturmodell
• Das Guthaben-Schuldenmodell
• Das Zahlenstrahlmodell
26
4.1 Negative Zahlen
4.1.4 Multiplikation negativer Zahlen
4 · (−3) = −3 + −3 + ... = −(−3) + (−3) + ... = −(4 · 3)
Allgemein:
a · (−b) = −(a · b)
(−a) · b = −(a · b)
Warum ist (−) · (−) = + . . .?
Fünf Erklärungen
1. Erklärung:
3 · (−4) = −12
2 · (−4) = −8 | +4
1 · (−4)6 = −4 | +4
0 · (−4) = 0
(−1) · (−4) = 4
2. Erklärung:
!
(−3) · (4 + (−4)) = 0
!
(−3) · 4 + (−3) · (−4) = 0
!
−12 + (−3) · (−4) = 0
| {z }
+12
3. Erklärung: Bekannt:
(−3) · 4 = −3 · 4
(−a) · b = −(a · b)
also:
(−a) · (−b) = −(a(−b))
= −(−a · b)
=a·b
4. Erklärung:
• 5: Jan verdient 5€ pro Stunde
• -5: Jan verliert 5€ pro Stunde
• 3: in drei Stunden
• -3: vor drei Stunden
also (−5) · (−3): Jan verliert 15€ in der Stunde in drei Stunden.
(−5) · (−3) Jan hatte vor drei Stunden 15 € mehr
5. Erklärung (fachwissenschaftlich):
27
4 Negative und Reelle Zahlen
Beispiel. Ein Ring (R, +, ·) ist (R, +) ist eine abelsche Gruppe: insbesondere. (−a)+a = 0
Es gilt Assoziativität der Multiplikation!
Es gilt das Distributivgesetz: a · (b + c) = a · b + a · c Die ganzen Zahlen bilden einen Ring!
In jedem Ring gilt:
Satz 1. : 0 · a = 0
Beweis. Wegen 0 + 0 = 0 gilt: 0 · a + 0 · a = (0 + 0) · a = 0 · a; also 0 · a = 0
Satz 2. : −(−a) = a
Beweis. : a ist invers zu −a!
Satz 3. : (−a) · (−b) = a · b
Beweis. : a · b + a · (−b) = a · (b + (−b)) = a · 0 = 0
Also ist a · (−b) invers zu a · b: also a · (−b) = −(a · b), analog (−a) · b
Damit gilt: (−a) · (−b) = −((−a) · b) = −(−a · b) = a · b!
4.2 Die reellen Zahlen
4.2.1 Einführung im MU
Wie groß ist x, wenn x2 = 2?
Lösung:
12 < 2
1, 42 < 2
1, 412 < 2
22 > 2
[1; 2]
2
1, 5 > 2
[1, 4; 1, 5]
1, 422 > 2 [1, 41; 1, 42]
..
.
Taschenrechner 8-10 Stellen: Excel bis 15 Stellen!
Bekannt: Jede rationale Zahl kann als endlicher oder unendlicher periodischer Dezimalbruch
dargestellt werden:
Gilt bei einem Näherungsverfahren:
(1) das folgende Intervall liegt im Vorhergehenden,
(2) die Intervalllängen werden beliebig klein, so sagt man, die Intervalle bilden eine Intervallschachtelung.
4.2.2 Der Menon-Dialog (Sokrates)
Gegeben ist das Quadrat mit der Seitenlänge a und dem Flächeninhalt A = a2 . Welche Seitenlänge hat ein Quadrat, dessen Flächeninhalt 2A ist?
⇒ Menon Dialog!
28
4.2 Die reellen Zahlen
4.2.3 Die Zahl x mit x2 = 2 ist eine irrationale Zahl!
Der Beweis des Euklid (≈ 300 v. Chr) über die irrationalität von
Annahme x2 = 2 und x = pq , q, p ∈ N, p, q Teilerfremd
Also
p2
= 2 ⇒ p2 = 2q 2 ⇒ p2 gerade.
2
q
√
2
(4.1)
Einschub: p gerade ⇔ p2 gerade.
„⇒:“ p gerade ⇒ p = 2k ⇒ p2 = 4k 2 gerade
„⇐:“ p ungerade ⇒ p = k + 1 ⇒ p2 = (2k + 1)2 = 4k 2 + 4k + 1 ungerade, also p2 gerade und p
ungerade!? (Wiederspruch)
Aus Einschub folgt: p gerade, also p = 2m mit m ∈ N
Aus 4.1 folgt:
(2m)2 = 2q 2 ⇒ 4m2 = 2q 2
2m2 = q 2 gerade ⇒ q gerade! (Wiederspruch)
Alternativbeweis:
Annahme: x2 = 2 und x = pq ,
(4.2)
⇒ p2 = 2q 2
PFZ (=
ˆ PrimFaktorZerlegung) von p:
p = 2α1 · 3α2 · 5α3 . . .
mit αi = 0, 1, 2 . . .
p2 = 22α1 · 32α2 · 52α3 . . .
also kommt PF(2) ind gerader Anzahl vor. Analog gilt dies für q 2 !
In 4.2 kommt PF(2) links in gerader und rechts in ungerader Anzahl! (Widerspruch zur Eindeutigkeit der PFZ!)
1. Der „klassische“ Beweis: Annahme. . .
2. Der Beweis mit der eindeutigen PFZ – Vorteil dieses Beweises!
3.
√
10 ist irrational: Annahme. . . 10q 2 = p2 . Betrachten der Endnullen!
Beachte:
√
2 ist diejenige Zahl, die beim Quadrieren 2 ergibt.
√
x ist diejenige nichtnegative Zahl, die beim Quadrieren x ergibt.
Aber: Die Gleichung x2 = 2 hat die Lösungen x =
√
√
2 und x = − 2
29
4 Negative und Reelle Zahlen
4.2.4 Wie rechnet der Taschenrechner? Der HERON-Algorithmus
√
Berechenen von 2 mit dem Taschenrechner:
Idee: Asugangspunkt: Rechteck mit
a1 · b 1 = 2
2
⇒ b2 =
a1
⇓
a1 + a2
a2 =
2
⇓
a2 + b2
⇒ a3 =
2
30
b2 =
...
2
a2
5 Funktionen
5.1 Grundlagen
Warum brauche ich überhaupt Funktionen?
• M sein Menge:
M × M = {(x; y)|x ∈ M ∩ y ∈ M }
Darstellung in einem Koordinatensystem
Darstellung von M = Z. Schnittpunkte der grauen Linien sind die Bildmenge.
Relation R ⊂ M × M .
Beispiel 5.1.1.
R = {(x; y)|x, y ∈ M ∩ x > 0 ∩ y > −1}
Schule
K = {(x; y)|x, y ∈ R ∩ x2 + y 2 = 1}
U = {(x; y)|2x + y > 1}
T = {(x; y)|x, y ∈ N ∩ x|y }
Definition 5.1.2. Eine Funktion ist eine rechtseindeutige Relation, das heißt:
XxRy1 ∩ xRy2 ⇒ y1 = y2
Andere Erklärung:
31
5 Funktionen
5.2 Beispiele für Funktionen
Beispiel 5.2.1.
y
y
y
y
y
y
= 5x + 1
= ex
= 3x2
= sin x
=7
= |x|
1
A= g·h
2
U = 2πr
4
V = r3 π
3
P (k) = B(n, k%)
Zufallsgröße A 7→ ω
s
v=
t
Vektoren (x; y; z) 7→ ~v
~x = ~a + λ~b
Spiegelung R × R 7→ R × R
+ : R × R 7→ R
5.2.1 In der Umwelt
1. Alter → Körpergröße
2. Gewicht → Körpergröße
3. Die Portofunktion: Stufenfunktion
4. Zeit → Tagestemperatur
5. Uhrzeit → Wasserverbrauch während des Fußball-Länderspiels
6. Uhrzeit → Fieber
7. Sessellift oder Gondel: Zeit → Anzahl der beförderten Personen
8. Formel 1 Strecke: Ort → Geschwindigkeit
5.2.2 Funktionen in der Grundschule:
(a) (+3)-Operator: x → x + 3
(b) Preis-Ware-Tabellen
(c) Busfahrplan
32
5.3 Folgen sind spezielle Funktionen
Beachte: Wir unterscheiden zwischen der Funktion und der Darstellung der Funktion (Formel, Gleichung, Graph, Tabelle, Pfeildiagramm).
5.2.3 Zweistellige Funktionen (zweier Veränderlicher):
(a) +: R × R → R
(b) U = I · R
(c) A =
g·h
2
(d) A = a · b
(e) F (x, y) = xy
5.2.4 Funktionen mehrerer Veränderlicher
(a) V = a · b · c
(b) W = I · U · t
5.3 Folgen sind spezielle Funktionen
(a) an:N → R etwa mit an =
1
n2
(b) Reihen sind Funktionen: N → R, etwa: s(n) = 1 + 2 + ... + n =
n(n+1)
2
5.4 Funktionen: R → R × R
(a) Kurven in der Ebene t → (cos(t), sin(t))
(b) Kurven im Raum: Funktionen: t → (cos(t), sin(t), t)
5.5 Funktionen: R × R → R × R
(a) Abbildungen: Verschiebungen, Drehungen
(b) Spiegelung an der x-Achse: f (x, y) = (x, −y).
(c) Komplexe Funktionen: f (x + iy) = f (z) = z 2 = (x + iy)2 = x2 − y 2 + i2xy.
5.6 Zur Geschichte des Funktionsbegriffs
Babylonier verwendeten Sinustabellen! Die Griechen kannten keine Funktionen!
Galilei (1564 - 1643) zeichnete Bahnkurven (Zeitfunktionen) und betrachtete Abhängigkeiten
von der Zeit.
33
5 Funktionen
Grundlage des rechnerischen Funktionsbegriffs war die Einführung von Koordinaten (Analytische Geometrie) nach Descartes (1596 - 1650) und Fermat (1601 - 1655)
Leibniz (1646 - 1716) tritt erstmals der Name ’functio’ auf: „eine aus Veränderlichen und irgendwelchen Konstanten zusammengesetzte Größe“.
Newton (1643 - 1727) spricht im Zusammenhang mit Bewegungen (Himmelskörper) von Fluenten und Fluxionen (Ableitungen):
Euler (1707 - 1783): Funktion ist jeder analytische Ausdruck in x und jede „freihändig gezeichnete Kurve“
Dirichlet (1805 - 1859): Funktionen sind kontinuierliche Kurven und kein „Flickwerk“.
[Frage:] Ist das eine Funktion? Gibt es hierfür einen analytischen Ausdruck?
(
1, falls x irrational
f (x) =
0, falls x rational
Hankel (1839 - 1873): „Eine Funktion heißt y von x, wenn jedem Werte der veränderlichen Größe x innerhalb eines gewissen Intervalls ein bestimmter Wert von y entspricht; gleichviel,
ob y in dem ganzen Intervall nach demselben Gesetzte von x abhängt oder nicht; ob die
Abhängigkeit durch mathematische Operationen ausgedrückt werden kann oder nicht.“
Dedekind (1831 - 1916) und Cantor (1845 - 1918): Funktionen werden mit Hilfe von Mengen
definiert.
Bemerkung. Bis 1900 wurden Funktionen nur auf der Universität unterrichtet! Dies änderte
sich 1906 mit den Meraner Beschlüssen (Felix Klein: 1849 - 1925): Fusion von Algebra
und Geometrie: Der Funktionsbegriff soll als Leitbegriff die gesamte Schulmathematik durchziehen. Ein Leitbegriff ist ein Begriff, der sich wie ein roter Faden durch den gesamten Lehrgang
zieht und unter verschiedenen Aspekten als auch auf verschiedenen Niveaus betrachtet wird.
Ab ca. 1960:
• Es wird zwischen Kurve, Graph und Funktion unterschieden.
• Es wird zwischen f und f (x) unterschieden
• es werden verstärkt empirische Funktionen behandelt.
• Mit der Mengenlehre werden Relationen betont und Funktionen als spezielle Relationen
eingeführt:
Kritiker: Freudenthal.
Heute Relationen sind wieder aus dem Unterricht verschwunden.
34
5.7 Proportionale und antiproportionale Funktionen (7. Klasse)
5.7 Proportionale und antiproportionale Funktionen (7.
Klasse)
5.7.1 Zugang zum Funktionsbegriff ab der 1. Grundschulklasse
Beispiel 5.7.1. (a) Operatormodell
(b) Schaudiagramme
(c) Tabellen
(d) Graphen
5.7.2 Proportionale und antiproportionale Funktionen (8. Klasse)
Es sollen proportionale und antiproportionale Funktionen als Spezialfälle von Funktionen erkannt werden. Deshalb werden vorher zunächst ausführlich allgemeine Funktionen behandelt.
Vom Allgemeinen zum Besonderen!
Proportionale Funktion
• x, y-Diagramm und die daraus reslutierende Veranschaulichung x 7→ m · x
• Übertragung in das Koordinatensystem → Gerade
Antiproportionale Funktion
• x, y-Diagramm und die daraus resultierende Veranschaulichung x 7→
m
x
• Übertragung in das Koordinatensystem → Hyperbel
Beispiel 5.7.2.
Kennzeichen
(a) Das n-fache . . .
(b) Funktionalgleichung
(c) Quotient und Produkt . . .
(d) graphische Darstellungen
(e) Termdarstellungen
(f) Gleichungen
Eine interessante Aufgabe: Wie viel Zeit spart man auf der Strecke Würzburg – München, wenn
man mit dem Auto 30 km/h schneller fährt?
35
5 Funktionen
5.8 Lineare Funktionen (8. Klasse)
5.8.1 Beispiele:
• eine Zeitung verlangt bei Anzeigen für die erste Zeile 8,36 €, für alle weiteren Zeilen je
4,24.
• wiegen von Flüssigkeiten mit Glas!
• Gesamtgewicht einer Kabelrolle: Kabel und Rolle
• Flugzeug. Flugdauer → Kraftstoffrest
• Kerze: Brenndauer → Kerzenlänge
• ...
Es geht um lineare Funktion x → mx + b,
m, b ∈ R
bzw. der Funktionsgleichung y = mx + b
5.8.2 Beispiel für eine Stückweise lineare Funktionen:
Gebühren in einem Parkhaus:
• bis 1 Std. 2 €
• bis 2 Std. 3,50 €
• bis 3 Std. 4,50 €
• bis 4 Std. 6,00 €
5.9 Quadratische Funktionen (9./10. Kl.)
5.9.1 Beispiele:
• Bremsweg eines PKWs. Regel: „Dividiere die Geschwindigkeit in km/h durch 10 und quadriere“.
• Geschwindigkeit → Luftwiderstand
• Form einer Parabolantenne
• Flug eines Basketballs
36
5.9 Quadratische Funktionen (9./10. Kl.)
5.9.2 Allgemeine Gleichung und Scheitelpunktsform
5.9.3 Eine Extremwertaufgabe
Beispiel. Welches unter den Umfangsgleichen Rechtecken hat den größten Flächeninhalt?
U = 2(a + b) ⇒ b =
U
−a
2
A=a·b
U
Ua
⇒ A(a) = a ·
− a = −a2 +
2
2
U
U
⇒ SP a =
⇒b=
⇒ Quadrat
4
4
5.9.4 Wurzelfunktion
• Pendelschwingung: T = c ·
√
l mit l: Pendellänge
5.9.5 Umkehrfunktionen
• Zu jeder Relation kann die Umkehrrelation gebildet werden.
• Eine Funktion heißt umkehrbar, wenn die Umkehrrelation wieder eine Funktion ist.
• Beispiel: Umkehrfunktion von f mit f (x) = x2 .
• Vorgehensweise:
gegeben f mit y = f (x)
Vertauschen der Variablen x, y : x = f (y).
Spiegelung des Graphen von f an y = x liefert die den Graph der Umkehrrelation.
ist die Umkehrrelation eine Funktion, dann liefert Auflösen nach y: y = g(x) = f −1 (x)
die Umkehrfunktion zu y = f (x).
• Pestalozzi (1746-1827)
Mehr Anschaulichkeit „mit Kopf, Herz und Hand lernen“
Ziel: den Menschen zu stärken, sich selbst zu Helfen
• Herbart, Johann Friedrich (1776-1841)
Funktionales Denken
„Größen soviel als möglich als fließend betrachten“
„Gewöhnt den Jüngling die Dinge der Welt also Größen und ihre Veränderungen als
Functionen der bewegendenn Kräfte zu betrachten“
„Mit Hilfe von Functionen wird die Einsicht in den notwendigen Zusammenhang des
Gegebenen gefördert“
37
5 Funktionen
• Felix Klein (1849-1925)
„Über eine Zeitgemäße Umgestaltung des mathematischen Unterrichtes an höheren
Schulen“ (1904)
„Der Funktionsbegriff soll den Lernstoff wie ein Ferment durchdringen“
• Weitere Informationen zu diesen Pädagogen auf Wikipedia.de
5.9.6 Potenzfunktionen
1. f (x) = x2 , y = x3 , y = x4 , . . .
2. y =
1
xn
√
√
3. y = n x. Für x = 0 und n ∈ N bezeichnet n x diejenige nicht-negative reelle Zahl, die mit
n potenziert x ergibt.
4. Erweitern der Potenzfunktionen auf negative Hochzahlen. Wir definierten: x−n :=
1
5. Potenzen mit rationalen Exponenten. Wir definierten x n :=
√
1
n
6. x m = (x n )m = ( n x)m
7. Potenzen mit reellen Exponenten. x
wendig!
√
2
1
xn
√
n
x . Damit ergibt sich
=????. Hierzu ist eine Intervallschachtelung not-
8. Exponentialfunktionen
f (x) = xn , n ∈ N
1
⇒ f (x) = n , n ∈ N
x
1
x−n = n ,
x
denn die Potenzgesetze sind weiterhin erfüllt!
xn · xm = xn+m m, n ∈ N
√
1
→ f (x) = n x = x n
√
√
Fragen: 3 −8 =?? Wir vereinfachen das Problem, in dem einfach allgemein für n x für alle
n ∈ N der Definitionsbereich von x ≥ 0 gesetzt wird.
m
→ f (x) = x n , m, n ∈ Z, n 6= 0
√
= n xm
→ f (x) = xr , r ∈ R
√
x
√
3
2
=??
2
=??
Beispiele:
1. Vermehrung einer Bakterienkultur,
38
5.10 Trigonometrische Funktionen:
2. radioaktiver Zerfall
3. ein Blatt Papier von 0,1 mm Dicke, wird 40mal gefaltet, Wie dick ist der Stapel?
4. in einem See verringert sich je 1 m Wassertiefe die Beleutungsstärke um 40%
5. Abnahme der Amplitude einer gedämpften Schwingung
6. barometrische Höhenformel: p = p0 e−c·h .
7. Höhe des Bierschaumes
8. Schachspiel und Reiskörner
Definition 5.9.1. Die Funktion f : x → ax mit a > 0 und D = R heißt Exponentialfunktion
zur Basis a.
Frage nach der Eulerschen Zahl e = (1 + n1 )n, e = 2, 71828 . . . Euler, Leonhard 1707 in Basel
– 1783 St. Petersburg). Hat die Hälfte seines Werkes blind geschrieben.
5.9.7 Die Logarithmusfunktionen
Löst man die Gleichung y = ax (a > 0, a 6= 1, x → R) nach x auf, so heißt x der Logarithmus
von y zur Basis a : x = loga y
Eigenschaften: loga a = 1, loga 1 = 0
Beispiele: Filmempfindlichkeit:
DIN ASA
15
25
18
50
21
100
24
200
27
400
Schallstärke
Lautstärke
Intensität
in Phon
10 (Hörschwelle)
0
100
20
1000
30
10000
40
5.10 Trigonometrische Funktionen:
5.11 Arbeiten mit Funktionen als Objekten
Addition von Potenzfunktionen
39
5 Funktionen
5.12 Spezielle Funktionen: Folgen
5.13 Funktionales Denken:
(1) Zuordnungscharakter
Durch Funktionen beschreibt oder stiftet man Zusammenhänge
zwischen Größen: Einer Größe ist dann eine andere zugeordnet, so dass die eine Größe als
abhängig von der anderen gesehen wird.
Beispiel: Durch die Termdarstellung x → x2 wird mit Hilfe des Terms x2 einer Größe
x die Größe x2 zugeordnet.
(2) Änderungsverhalten
Durch Funktionen erfasst man, wie sich Änderungen einer Größe
auf die abhängige auswirken.
Beispiel: Bei einer proportionalen Funktion führt z.B. Verdopplung des x-Wertes zu
einer Verdopplung des y-Wertes.
(3) Sicht als Ganzes
Mit Funktionen betrachtet man einen gegebenen oder gestifteten
Zusammenhang als Ganzes.
Beispiel: Man betrachtet nicht mehr nur einzelne Wertepaare, sondern die Menge
aller Wertepaare. Die Betrachtung des Graphen führt zu einer Sicht des Ganzen.
Zur Geschichte der Funktionen
• Babylonier: verwenden Sinustabellen.
• Griechen kannten keine Funktionen
• Galilei zeichnete Bahnkurven (zeitabhängige) und betrachtete Zeitabhängigkeit
• Descarte und Fermat legen rechnerische Grundlagen des Funktionenbegriffes
• Leibniz (1646-1716) verwendet erstmals den Begriff f unctio und definiert ihn als „eine aus
Veränderlichen bestehenden und irgendwelchen Konstanten zusammengesetzten Größe
• Newton (1643-1727) spricht im Zusammenhang mit Bewegung von Himmelskörpern von
„Fluenten“ und „Fluxionen“ (ihre Ableitung)
• Euler (1707-1783) Funktion ist jeder analytische Ausdruck “x“ und jede „freihändig gezeichnete Kurve“
• Dirichlet (1805-1859) Funktionen sind „kontinuirliche Kurve und kein „Flickwerk“
Frage: Dirichletfunktion ist eine Funktion??
1 falls x ∈ R\Q
f (x) =
0 falls x ∈ Q
• Hankel (1839-1873) „Eine Funktion heißt y von x, wenn jedem Wert der veränderlichen
Größe x innerhalb eines gewissen Intervalles ein bestimmter Wert von y enspricht....
40
5.14 Ein Stufenprinzip zum Lernen des Funktionsbegriffes
5.14 Ein Stufenprinzip zum Lernen des Funktionsbegriffes
5.14.1 Intuitives Begriffsverständniss: Der Begriff als Phänomen
Die Lernenden
• erkennen Zusammenhängen zw. Funktionen
• kennen Bsp für Funktionen
• kennen Darstellungen für Funktionen
• können Darstellungen zum Lösen von Problemen verwenden
5.14.2 Inhaltliches Begriffsverständnis: Der Begriff als Träger von
Eigenschaften
5.14.3 Ein Stufenprinzip zum Lernen des Funktonsbegriffs:
5.14.3.1 Intuitives Begriffsverständnis: Der Begriff als Phänomen
Die Lernenden:
• erkennen Zusammenhänge zwischen Größen
• kennen Beispiele für Funktionen (Prop., Linear)
• kennen Darstellungen für Funktionen.
• können Darstellungen zum Lösen von Problemen verwenden
5.14.3.2 Inhaltliches Begriffsverständnis: Der Begriff als Träger von Eigenschaften
Die Lernenden
• kennen Eigenschaften von Begriffen
• kennen Eigenschaften in verschiedenen Darstellungsformen
• begründen Eigenschaften mit Hilfe von Darstellungen
• Lösen mit Hilfe von Eigenschaften Probleme
5.14.3.3 Integriertes BV: Der Begriff als Teil eines Begriffsnetzes
Die Lernenden
• kennen Zusammenhänge zwischen Eigenschaften
• bilden Definitionen mit Hilfe von Eigenschaften
• sie kennen verschiedene Funktionstypen, ihre Definitionen und deren Beziehungen zueinander
41
5 Funktionen
5.14.3.4 Formales Begriffsverständnis: Der Begriff als Objekt
Die Lernenden
• kennen Verknüpfungen von Funktionen
• haben Vorstellungen von Verknüpfungen auch in den entsprechenden Darstellungsformen
• können Eigenschaften mit Hilfe der Eigenschaften von Verknüpfungen begründen
Oberstufe:
Kritisches Begriffsvertändnis:
Das operative Prinzip ist ein Spezialfall des funktionalen Denkens ist
42
6 Gleichungen und Ungleichungen
6.1 Historischer Rückblick
Ägypten: Hau-Rechnungen („Hau“ heißt Haufen): Nehme 10, davon musst du ein Viertel nehmen, Was tust du hinzu um 6 zu erhalten?
Griechen: Diophant beschreibt das Lösen von linearen Gleichungen („Auf beiden Seiten das
Gleiche tun.“). Betrachtet in Einzelfällen quadratische Gleichungen.
Al Khwarizmi (800 n. Chr): Gibt eine Lösungsformel der quadratischen Gleichung x2 +px = q.
p 2
p 2
q+4·
= x+
4
2
p 2 p 2
q+
= x+
2
r 2 p
p
x+ = q+
2
2
r
p p
x= p+
−
2
2
Gerolamo Cardano (1501 - 1576): Löst die Gleichung x3 + px + q = 0.
s r
s
r 2
3
q
p
q 2 p 3
3 q
3 q
x=
+
+
−
+
2
2
3
2
2
3
Cardano löst auch Gleichungen 4. Grades. Das „=“-Zeichen wird etwa ab dem 16 Jhd.
verwendet,
C. F. Gauß (1777 - 1855): Fundamentalsatz der Algebra
Abel (1802 - 1829): Für Gleichungen ab 5. Grades gibt es keine allgemeine Lösungsformel mehr.
Galois (1811 - 1832): Galoistheorie besagt, welche Gleichungen durch Formeln lösbar sind und
welche nicht.
Bemerkung. Bis zum Beginn unseres Jahrhunderts waren Gleichungen das zentrale Thema
der Algebra
43
6 Gleichungen und Ungleichungen
6.2 Was sind Gleichungen?
• T1, T2 Terme ? T1 = T2 Gleichung
• Beispiel: Jeder kennt genügend Beispiele für Gleichungen . . .
• Aussageform:
3x + 5 = 7
!?!
x = 1 ⇒ 3 · 1 + 5 = 7 Aussage!
...
• Aussage: beweisbare Annahmen! . . .
• Lösung einer Gleichung: Werte: Aussageformen ⇒ Wahre Aussage!
6.3 Gleichungen im MU
5. Klasse: 3x + 4 = 10, x ∈ N
6. Klasse: 1, 2 · x +
3
5
=4x∈B
7. Klasse.: Lineare Gleichungen und Ungleichungen
8. Klasse: Bruchgleichungen, Gleichungssysteme
9. Klasse. Quadratische Gleichungen, Wurzelgleichungen, Betragsgleichungen,
10. Klasse: . Potenzgleichungen, Exponentialgleichungen, Trigonometrische Gleichungen.
6.4 Methoden des Gleichungen lösen im heutigen MU
6.4.1 Lösen durch systematisches Probieren (Grundschule, 5. Klasse)
3 · x + 5 = 26
x = 5 ⇒ 3 · 5 + 5 = 20 < 26
x = 10 ⇒ 3 · 10 + 5 = 35 > 26
..
.
x = 7 ⇒ 3 · 7 + 5 = 26 = 26
Mathematische Idee: Intervallschachtelung
Ziel: - Mathematische Bedeutung - Realisierung mit Tabellenkalkulation:
44
6.4 Methoden des Gleichungen lösen im heutigen MU
6.4.2 Lösen mit der Streifenmethode:
Etwa 2x + 5 = 17 x ∈ N. Dafür Zeichnet man eine Strecke mit der Gesammtlänge der Lösung,
zieht alles ab, was man bereits kennt. Die restliche Strecke teilt man durch den Vorfaktor von x
6.4.3 Lösen mit Operatoren und Gegenoperatoren:
Operatorkästchen, beginnend bei x, weiteres Multiplizieren mit dem Vorfaktor von x, anschließendes addieren.
Umgekehrte Reihenfolge: Bestimmumg von x!
6.4.4 „Lösen“ mit der Balken- oder Rechenwaage gelöst.
3x + 4 = 10
Probleme mit dem „Waagemodell“:
• wichtige Grundvorstellung von Gleichung (Gleich =
ˆ ausbalanciert
• Probleme mit diesem Modell gibt es bei
negativen Zahlen
quadratischen Gleichungen
und beiBruchzahlen
Ideal zum Einführen, aber nicht zum Fortgeschrittenen rechnen geeignet
6.4.5 Äquivalenzumformungen:
Wagemodell ⇒ Regeln für Äquivalenzumformungen.
6.4.6 Graphisches Lösen von Gleichungen
x3 − 3x + 5 = 0
1. f (x) = x3 − 3x + 5
Ablesen des Schnittpunktes mit der x -Achse!
2. x3 = 3x − 5
45
6 Gleichungen und Ungleichungen
Schnittpunkte der beiden Funktionen
Ersichtlich, dass es mehrere Lösungen geben kann
Wegen der modernen graphikfähigen Taschenrechnern steht weniger die Lösung als vielmehr
die Lösungsstrategie im Vordergrund
6.4.7 Gleichungen werden mit Formeln gelöst: Quadratische
Gleichungen
Bedeutung in der Zukunft?
Nach wie vor sind Formeln wichtig, da selbst der Computer sonst nur Hieroglyphen ausgibt. Es
dient also zur Interpretation der Computeranzeigen im Allgemeinen!
6.4.8 Gleichungen werden mit dem Computer auf Knopfdruck gelöst.
6.5 Aktuelle Ansätze in der Gleichungslehre
• Intuitives Begriffsverständnis (BV): Probierverfahren,
• Integriertes BV entwickeln: Beziehungen zwischen Zahlen und Gleichungen, zwischen
Funktionen und Gleichungen.
• Inhaltliches BV: Bedeutung von Umweltbezügen, Geometrische Bedeutungen, . . .
• Gleichungen werden auf mehreren Ebenen gelöst.
• Graphische Verfahren reichen für Anwendungsaufgaben aus.
6.6 Zum Lernen von Lösungsalgorithmen für Gleichungen
und Ungleichungen.
Grundlage des Gleichungslösens ist das Erkennen von Termstrukturen und das Umgehen mit
diesen Strukturen.
Man sollte die Grenzen von Algorithmen kennen (Verlust- und Gewinnumformungen).
Sonderfälle von Gleichungen beachten:
(a) x = 3 ⇒ x2 = 9
(b) x2 + 2x = 0 ⇒ x + 2 = 0 oder x = 0
(c) 2x − (x − 4) = x + 7 ⇔
(d) 2x − (x − 7) = x + 7 ⇔
√
(e) Probe! 4x + 3 = 6 − x ⇒
46
6.7 Gleichungen im Unterricht:
6.7 Gleichungen im Unterricht:
5./6. Klasse: Inhaltliches Lösen von Gleichungen auch in IB!
• kennen lernen der Begriffe Variable, Term, Lösungsmenge.
• lernen des Umgangs mit den Zeichen =, <,. . .
• inhaltliches Lösen von Gleichungen: Streifenmethode, Probieren, Operatormethode, Waagenmodelle.
7. Klasse: Lineare Gleichungen und Ungleichungen
• Erarbeitung der Regeln für Äquivalenzumformung
• graphisches Veranschaulichen von Termumformungen:
• graphisches Lösen von Gleichungen: 3x + 4 = 0, 3x = 4
• insbesondere auch negative Lösungen von Gleichungen!
• Ungleichungen
• lösen von Text und Sachaufgaben:
• Schnitt zweier Geraden:
8. Klasse:
• |x − 4| = 7,
|3x−5|
x+2
< 5 muss man diese Ungleichung behandeln? Muss die jeder Schüler verstehen?
• einfache Bruchgleichungen:
1
x−1
+
1
x
=
3
2
⇒ x1 = . . . x 2 = . . .
• lineare Gleichungssysteme:
Einsetzungsverfahren
Gleichsetzungsverfahren
Additonsverfahren:
Graphisches Lösen von GS.
9. Klasse: Quadratische Gleichungen
• lösen reinquadratische Gleichungen
• (x + 3)2 = 25 Geometrische Interpretation
• lösen mit quadratischer Ergänzung
• graphisches Lösen
• lösen mit einer Lösungsformel
• quadratische Ungleichungen.
47
6 Gleichungen und Ungleichungen
• der Wurzelsatz von Vieta
• Wurzelgleichungen
10. Klasse: Größeres Spektrum an Gleichungen
• Gleichungen höheren Grades
• Exponentialgleichungen
• trigonometrische Gleichungen
Anm: Wer Fehler findet, bitte an [email protected] mailen!
Aktuellstes Skript unter http://www.uni.jock2.de
48
Index
Cardano’sche Formel, 13
Leibniz, 34
Abel, 43
Al Chwarizmi, 12, 13, 23
Al Khwarizmi, 43
Antiproportionale Funktion, 35
Meraner Beschlüssen, 34
Babylonier, 33
rechtseindeutige Relation, 31
Relation, 31
Cantor, 34
Cardano, 43
Dedekind, 34
Descartes, 13, 34
Diophant, 43
Dirichlet, 34
Newton, 34
Proportionale Funktion, 35
Sinustabellen, 33
Variable, 23
Euler, 34
Euler, Leonhard, 39
Exponentialfunktion, 39
Felix Klein, 34
Fermat, 34
Fibonacci, 11
Fluenten, 34
Fluxionen, 34
Freudenthal, 34
Funktion, 31
Galilei, 33
Galois, 43
Galoistheorie, 43
Gauß, 43
Gerade, 35
Griechen, 33
Hankel, 34
Hau-Rechnungen, 43
Hyperbel, 35
Intervallschachtelung, 28
Lösungsstrategie, 46
49