Indifferenzwahrscheinlichkeiten und Nutzenfunktion Ref.-L.1

SS 2009
Nochmal: Indifferenzwahrscheinlichkeiten und Nutzenfunktion
Reihung: Selbständigkeit Erfolg
Geschäftsführer
Vorstandsassistent
Insolvenz
π=1
Ref.-L.1:
Selbst.
Erfolg
1-π = 0
Sicher
(300000)
Selbständigkeit
Erfolg
π = 0.8
Geschäftsführer
(150000)
Insolvenz
1-π = 0.2
Finanzierung, Investition und
Kapitalmärkte Vorlesung 4
Selbständigkeit Erfolg
π = 0.5
Insolvenz
1
SS 2009
Referenzlotterie 3 und 4
Selbständigkeit
Erfolg
π =0.4
π =0.166
VorstandsAssistent
(50000)
1-π =0.6
π=0
Selbständigkeit Erfolg
Ref.-L. 4
Insolvenz
(0)
Insolvenz
1-π = 1
Finanzierung, Investition und
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Insolvenz
2
SS 2009
Welche Nutzenfunktion folgt aus den
Indifferenzwahrscheinlichkeiten?
Resultate und Nutzenwerte
1.2
Nutzenwerte
1
0.8
Konvexe Nutzenfunktion
0.6
0.4
0.2
0
0
50000 100000 150000 200000 250000 300000 350000
Resultate
Konkave Nutzenfunktion
Lineare Nutzenfunktion
Finanzierung, Investition und
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3
SS 2009
Die Indifferenzwahrscheinlichkeiten π aus den
Referenzlotterien sind Nutzenwerte.
Unsere konkave Nutzenwerte: risikoaverser Entscheider
Π = [0, 0.4, 0.8, 1]
U(x)
Unsere linearen Nutzenwerte (Indifferenzwahrscheinlichkeiten):
Risikoneutraler Entscheider
Π = [0, 1/6, 0.5, 1]
U(x)
Unsere konvexen Nutzenwerte (Indifferenzwahrscheinlichkeiten):
Π = [0, 0.08, 0.35, 1]
U(x)
Diese Nutzenwerte werden gewichtet mit ihren
faktischen Eintrittswahrscheinlichkeiten q: Erwartungsnutzen
Finanzierung, Investition und
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SS 2009
Beispiele von Nutzenfunktionen
Positive monotone Transformationen der
Indifferenzwahrscheinlichkeiten
Konvex: Risikofreude
Konkav: Risikoaversion
Linear: Risikoneutralität
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Arten der Risikoeinstellung
z
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SS 2009
Weitere Analyse der Risikoeinstellung:
Untersuchung des Zusammenhang zwischen Risikoeinstellung und
persönlichem Reichtum für konkrete Nutzenfunktionen (und deren
positive Lineartransformationen)
Ermittlung der Risikokennzahlen
• absolute Risikoaversion (ARA) und
• relative Risikoaversion (RRA)
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SS 2009
Definition von ARA
oder
Definition von RRA
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SS 2009
ARA: Maßzahl für den Zusammenhang zwischen Risikoeinstellung
und absoluter Höhe des riskant angelegten Betrags in unserem
gesamten Vermögensportfolio
Beispiel
Ausgangsportfolio:
Gesamtportfolio = 1 Mio Euro
Riskant angelegter Betrag: 250 000
Sicher angelegter Betrag: 750 000
ARA bezieht sich auf den absoluten Betrag
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SS 2009
RRA: Maßzahl für den Zusammenhang zwischen Risikoeinstellung
und Anteil des riskant angelegten Betrags in unserem gesamten
Vermögensportfolio
Beispiel: Gesamtportfolio = 1 Mio Euro
Riskant angelegter Betrag: ¼ = 250 000
Sicher angelegter Betrag: ¾ = 750 000
RRA bezieht sich auf den riskanten Anteil
Finanzierung, Investition und
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SS 2009
Anwendung der beiden Kennzahlen (Arrow-Pratt-Masse)
Ableitung der Kennzahlen geben Antwort auf die Frage, wie sich die
riskant angelegte Summe (der riskante angelegte Anteil) im
Vermögensportfolio verändert, wenn sich das Vermögen verändert.
Absolute Risikoaversion
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SS 2009
Anwendung der beiden Kennzahlen: 1. ARA
Beispiel: Gesamtportfolio = 1,2 Mio Euro (1 Mio)
= Vermögenszunahme um 200 000
Zunehmende absolute Risikoaversion
Riskant angelegter Betrag: 200 000 (250 000)
Sicher angelegter Betrag: 1 000 000 (750 000)
Konstante absolute Risikoaversion
Riskant angelegter Betrag: 250 000
Sicher angelegter Betrag: 950 000
Abnehmende absolute Risikoaversion
Riskant angelegter Betrag: 400 000
Sicher angelegter Betrag: 800 000
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Relative Risikoaversion
d RRA/d x
Veränderung
der RRA
Riskant angelegter
Vermögensanteil
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SS 2009
Beispiel: Gesamtportfolio = 1,2 Mio Euro (Zunahme um 200 000)
Zunehmende relative Risikoaversion
Riskant angelegter Anteil: 1/5 = 200 000
Sicher angelegter Betrag: 4/5 = 1 000 000
Konstante relative Risikoaversion
Riskant angelegter Anteil: ¼ = 300 000
Sicher angelegter Betrag: ¾ = 900 000
Abnehmende relative Risikoaversion
Riskant angelegter Betrag: 1/3 = 400 000
Sicher angelegter Betrag: 2/3 = 800 000
Zunehmende und konstante absolute Risikoaversion implizieren
zunehmende relative Risikoaversion.
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SS 2009
Bisher rationale Entscheidungen unter Unsicherheit nach dem
Bernoulli-Prinzip: Nutzenfunktion abgeleitet aus
Indifferenzwahrscheinlichkeiten
Nun: eine andere Art der Nutzenfunktion
Klassische Entscheidungsregeln
Investoren, die auf der Grundlage dieser Regeln entscheiden,
praktizieren (unter bestimmten Bedingungen) einen eher pragmatischen
Umgang mit unsicheren Resultaten.
Finanzierung, Investition und
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SS 2009
Eine andere Art der Nutzenfunktion
Klassische Entscheidungsregeln
Investoren gehen davon aus, daß Verteilungen durch besondere
Kennzahlen, wie Erwartungswert und Varianz zu beschreiben sind.
Als Argumente in der Nutzenfunktion des Individuums steuern diese
Kennzahlen die Auswahl der besten Verteilung.
Frage: Sind Bernoulli–Prinzip und klassisches
Erwartungswert–Varianz–Kriterium miteinander vereinbar?
Wenn ja, dann gründet auch die Erwartungswert/Varianz
Nutzenfunktion auf Axiomen, die Konsistenz und Widerspruchsfreiheit
sichern.
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Vereinbarkeit
1. Quadratische Nutzenfunktion vom Typ
2. Lineare Nutzenfunktion vom Typ
3. Resultate sind normalverteilt
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SS 2009
Plausibilitätsdefizite quadratischer Nutzenfunktionen
1. Quadratische Nutzenfunktionen können nur verwendet werden,
wenn die Annahme getroffen wird, dass der Definitionsbereich
möglicher Konsumgüterverteilungen im Bereich der Nichtsättigung
liegt. Bei der Nutzenfunktion
muss z.b. unterstellt werden, dass
x<b/2a
da ansonsten der Grenznutzen negativ wird.
2. Es ergibt sich d ARA/dx > 0, d.h. mit zunehmendem Vermögen sinkt
der riskant angelegte Absolutbetrag.
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SS 2009
Präferenzfreie Bewertung von unsicheren Ansprüchen
Geht das?
Antwort ja, wenn Arbitragefreiheit herrscht.
Bewertung unter der Prämisse der Arbitragefreiheit
Vorbereitung auf die arbitragefreie Bewertung unter Unsicherheit
anhand eines Beispiels
Drei Titel A,B,C werden auf dem Markt gehandelt.
Es gibt in der Zukunft drei mögliche Zustände der Welt Z1, Z2, Z3.
.
Finanzierung, Investition und
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SS 2009
Präferenzfreie Bewertung von unsicheren Ansprüchen
.
Ihr jetziges Vermögen beträgt 4761,50 Euro.
Sie möchten in der zukünftigen Periode folgende zustandsabhängige
Einkommen erzielen:
Z1: 3015 Euro, Z2: 2105 Euro und Z3: 3535 Euro.
Wie hoch muss der Rückfluss von C im Zustand 3 sein, wenn der
Markt arbitragefrei ist?
Ist der Markt auch arbitragefrei, wenn Kassenhaltung möglich ist?
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SS 2009
Präferenzfreie Bewertung von unsicheren Ansprüchen
Bewertung unter der Prämisse der Arbitragefreiheit
Notation:
Zwei Zeitpunkte Modell: t=0 und t=1
In t=1 können mehrere unsichere Zustände ZS eintreten
.
Es existiert ein Kapitalmarkt auf dem so viele Finanztitel J gehandelt
werden wie Zustände eintreten (d.h. vollständiger Kapitalmarkt)
Jeder Finanztitel j wirft in t=1 den Cashflow XjS = {XJ1……XjS} ab.
Der Preis des Finanztitels j beträgt p(Xj).
Kauf von n Finanztiteln vom Typ j: n p(Xj)
Kauf eines Portfolios aus mehreren Wertpapieren von Typ j:
J
p( ! n j X j )
1
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SS 2009
Präferenzfreie Bewertung von unsicheren Ansprüchen
Annahmen:
Homogene Erwartungen
• Alle Marktteilnehmer sind sich einig über die in den einzelen
Zuständen eintreffenden Zahlungen
• Alle Marktteilnehmer sind sich einig über die eintretenden Zustände
und deren Eintrittswahrscheinlichkeiten
.
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SS 2009
Präferenzfreie Bewertung von unsicheren Ansprüchen
Annahmen fortg. :
Reibungsloser Markt
Beliebige Teilbarkeiten, Keine Transaktionskosten und Steuern,
keine Marktzutrittsbeschränkungen, Zulässigkeit von Leerverkäufen.
Kompetitiver Markt
Marktteilnehmer sind Mengenanpasser.
Keine Arbitragegelegenheiten
Pure Transaktionen in existierenden Finanztiteln sind wertneutral.
.
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SS 2009
Anwesenheit von Arbitragegelegenheiten:
• Sichere Einnahmen, die nichts oder weniger als nichts kosten
• Wahrscheinlich Einnahmen, die weniger als nichts kosten
• Positive Mindesteinnahmen mit negativem Preis
• Preissumme der Finanztitel bei Einzelkauf ist ungleich Preis
eines Portfolios, das die gleichen Rückflüsse abwirft.
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SS 2009
Prüfung auf Abwesenheit von Arbitragegelegenheiten
Vorbereitungen: Reine Wertpapiere bei Unsicherheit
Reines Wertpapier ist ein Finanztitel,
der in nur einem Zustand genau eine Geldeinheit als Rückfluss gewährt;
in allen anderen Zuständen nichts.
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SS 2009
Reine Wertpapiere unter Unsicherheit
Beispiel: Zwei Zustände up und down
1 (u)
Typ 1:
!1
0 (d)
0 (u)
Typ 2: ! 2
1 (d)
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SS 2009
Duplikation von Finanztiteln mit reinen Wertpapieren
Finanztitel: Xj= {200, 50, 100}
Duplikation dieses Finanztitels mit einem Portfolio aus reinen
Wertpapieren (Arrow-Debreu-Papieren)?
Duplikation eines sicheren Finanztitels mit einem Portfolio aus reinen
Wertpapieren?
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SS 2009
Rückkehr zum Beispiel
Bewertung unter der Prämisse der Arbitragefreiheit
Ihr jetziges Vermögen beträgt 4761,50 Euro. Sie möchten in der
zukünftigen Periode folgende zustandsabhängige Einkommen erzielen:
Z1: 3015 Euro, Z2: 2105 Euro und Z3: 3535 Euro.
Wie gehen Sie auf einem arbitragefreien Markt vor.
.
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SS 2009
Gleichungssystem zur Bestimmung des fehlenden zustandsabhängigen
Cashflows
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