Rund um den Würfel
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13 Rund um den Würfel
Hinweise:
Ein mögliches
Ergebnis wird mit
„𝝎“ (klein Omega)
bezeichnet, ähnlich
wie man eine
beliebige natürliche
Zahl mit „n“
bezeichnet.
Die Menge aller
Ergebnisse nennt
man
Ergebnismenge.
Kurz: „𝜴“ (groß
Omega)
𝜴 = {𝝎𝟏 , 𝝎𝟐 , …}
Die absolute
Häufigkeit eines
bestimmten
Ergebnisses 𝜔 wird
kurz „z“ genannt.
Sie gibt an, wie oft
das Ergebnis 𝜔
eingetreten ist.
Der Quotient aus
absoluter
Häufigkeit z und
Anzahl der aller
Durchläufe n, heißt
relative Häufigkeit
des Ergebnisses 𝜔
in der
Versuchsreihe.
Aufgabe 1
Anleitung (4er-Gruppe)
Jeder bekommt einen Würfel. Werft diesen
und notiert mithilfe einer Strichliste, wie oft
welche eine Zahl gewürfelt wurde, notiert
auch mit, wieviele Würfel ihr insgesamt schon
geworfen habt. Anschließend würfelt erneut.
Wiederholt das ganze mindestens zehn mal.
(Achtet bitte darauf vorsichtig zu würfeln,
sodass die Würfel am Ende auch auf dem
Tisch bleiben!)
1) Was erwartet ihr für die relativen Häufigkeiten?
2) Berechnet nun innerhalb der Gruppe die relativen Häufigkeiten der einzelnen
Zahlen und erklärt die Abweichung zu eurer Erwartung!
3) Stellt euch vor, eine andere Gruppe präsentiert euch die Zahlen, die sie
angeblich gewürfelt haben. Sie sehen wie folgt aus:
123456123456123456
Was meint ihr zu diesen Zahlen? Wieso würfelt man bei 6 Wiederholungen
nicht immer alle Zahlen von 1 bis 6? Was erwartest du für 60, 600, 6000 usw.
Wiederholungen für die absoluten Häufigkeiten der Augenzahlen?
4) Dein Freund will mit dir ein Würfelspiel durchführen. Unten siehst du seinen
„Würfel“. Er sagt zu dir: „Ich gewinne bei 1 und 6, du bei 2 und 5!“ Was
meinst du dazu? Ist das Spiel fair?
5) Welche Eigenschaften muss ein „Würfel“ erfüllen, um fair zu sein? Wie sähe
ein fairer „Würfel“ mit 4, 8 Seiten aus? Erfinde weitere Würfel mit
verschiedenen Seitenzahlen!
6) Wie könnte ein fairer dreiseitiger Würfel aussehen?
7) Gibt es noch andere, nicht geometrische Möglichkeiten, einen Würfel zu
„zinken“? Schätze, wie oft du werfen musst, um einigermaßen sicher zu sein,
dass ein Würfel „gezinkt“ ist oder nicht?
Aufgabe 2: Gummibärchen ärgere dich nicht
Ziel
Ziel
Ziel
Ziel
Ziel
Ziel
Ziel
Ziel
Ziel
Ziel
Ziel
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Spielanleitung: Jeder Spieler sucht sich eine Zahl (jede Zahl darf nur einmal vorkommen) aus,
auf die er ein Gummibärchen legt. Dann wird der Reihe nach gewürfelt (mit beiden Würfel
gleichzeitig) und die Summe der Augenzahlen gebildet – der größte Spieler in der Gruppe
beginnt. Wenn du deine eigene Startzahl würfelst, darfst du ein Feld weiterrücken und noch
einmal würfeln. Falls du die Startzahl eines anderen Mitspielers gewürfelt hast, darf
derjenige weiterrücken. Dann würfelt der nächste Spieler in der Reihe. Wenn du mit einem
Gummibärchen im Ziel angekommen bist, kannst du es aufessen und das nächste wieder auf
eine beliebige Startzahl legen. Wer als erster drei Gummibärchen im Ziel hat, hat gewonnen!
Aufgabe: Notiert mithilfe einer Strichliste, wie oft eine Zahl gewürfelt wurde (absolute
Häufigkeit 𝑧� ) und bestimmt die relative Häufigkeit ℎ� (𝜔), mit der die Zahl auftritt. Notiert auch,
wie oft ein Gummibärchen, das mit dieser Zahl gestartet ist, gegessen werden konnte
(absolute Häufigkeit 𝑧� ) und bestimmt die relative Häufigkeit ℎ� (𝜔) dazu.
𝜔
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Summe
𝑧�
ℎ� (𝜔)
𝑧�
ℎ� (𝜔)
Diskutiert in eurer Gruppe, wie hoch die Gewinnchancen mit jeder Startzahl sind. Wovon
hängt die Gewinnchance ab?
Aufgabe 3: Kniffel
Die Regeln
Kniffel wird mit 5 Würfeln gespielt. Ein Spiel geht über 13 Runden. Pro Runde darf jeder
Spieler 3 mal würfeln. Nach jedem Wurf kann er entscheiden, welche Würfel er liegen lässt
und mit welchen er weiter würfelt. Nach dem dritten Wurf muss er den Wurf in eines der
folgenden Felder eintragen lassen. Wenn alle Felder voll sind wird zusammengezählt. Wer
die meisten Punkte hat ist Sieger. Wird ein Kniffel gewürfelt, wenn das Feld bereits voll ist,
muss er anderweitig eingetragen werden, beispielsweise beim Full-House oder 4er-Pasch.
Spieler 1 Spieler 2
Punktberechnung
1
1er
1
0
Summe der Einsen
2
2er
8
6
Summe der Zweier
3
3er
9
9
Summe der Dreier
4
4er
16
12
Summe der Vierer
5
5er
20
15
Summe der Fünfer
6
6er
18
18
Summe der Sechser
Bonus
35
0
35 falls Summe bis hier >= 63, 0 sonst
7
3er-Pasch
21
26
Summe aller Würfel falls mindestens 3 gleiche, 0 sonst
8
4er-Pasch
0
26
Summe aller Würfel falls mindestens 4 gleiche, 0 sonst
9
Full-House
25
0
25 falls Wurf der Form xxxyy, 0 sonst
10 Kleine Strasse
30
30
30 falls 4 Würfel in Folge, 0 sonst
11 Grosse Strasse
0
40
40 falls 5 Würfel in Folge, 0 sonst
12
Kniffel
0
50
50 falls alle Würfel gleich, 0 sonst
13
Chance
24
17
Summe aller Würfel
Summe
207
249
Spieler 2 gewinnt
1) Welche Faktoren in dem Spiel sind durch Geschick beeinflussbar?
2) Spiele das Spiel mit einem Klassenkameraden durch. Versuche, möglichst geschickt
vorzugehen. Diskutiert miteinander, welche Entscheidungen geschickt oder weniger
geschickt waren und wieso.
3) Gehe auf die Website http://kniffel.holderied.de/ (von der auch die Spielanleitung stammt)
Dort findest du ein online-Kniffelspiel. Es simuliert einen Würfel und berechnet die Punkte,
die du durch nicht-optimale Entscheidungen verloren hast („Handicap“) – außerdem zeigt es
an, was die optimale Entscheidung gewesen wäre. Versuche, deine Handicap-Punktzahl zu
minimieren und versuche, nach jedem Spielzug zu begründen, wieso deine Entscheidung
optimal / nicht optimal war.
