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TECHNISCHE UNIVERSITÄT BERGAKADEMIE FREIBERG
Die Bernoullischen Zahlen
Der neunjährige Carl Friedrich Gauß soll seinen Lehrer Büttner verblüfft haben, indem er innerhalb
weniger Minuten die Summe aller natürlichen Zahlen von 1 bis 100 berechnete. Gauß’ Trick ist so einfach wie genial: Man fasst die erste und letzte Zahl zusammen und erhält 101, ebenso für die zweite
und vorletzte, usf. Insgesamt ergeben sich 50 Paare mit der Summe 101, so dass die Gesamtsumme
gleich 5050 ist.
Der Trick funktioniert auch allgemein zur Berechnung der Summe s der ersten n natürlichen
Zahlen. Durch Addition der Gleichungen
s=1+
+ . . . + (n − 1)+ n
s = n + ( n − 1) + . . . + 2
+1
2
erhält man nämlich 2s = n(n + 1), also ist s = n(n + 1)/2. Auch für die Summation der Quadratzahlen war bereits in der Antike eine explizite Formel bekannt:
12 + 22 + 32 + . . . + n2 = n(n + 1)(2n + 1)/6.
Erst gegen Ende des 17. Jahrhunderts gelang es Jakob Bernoulli, eine entsprechende Formel für
die Summe beliebiger Potenzen natürlicher Zahlen zu finden,
1m + 2m + . . . + n m =
1
m+1
B0 nm+1 −
m+1
m+1
m+1
B1 nm +
B2 nm−1 − . . . + (−1)m
Bm n .
1
2
m
( m +1) !
1
Hierbei sind (m+
k ) = k! (m+1−k )! die aus dem Pascalschen Dreieck bekannten Binomialkoeffizienten
und Bm bezeichnet die sogenannten Bernoulli-Zahlen. Die ersten davon lauten
B0 = 1,
B1 = −1/2,
B2 = 1/6,
B3 = 0,
B4 = −1/30,
B5 = 0,
B6 = 1/42, . . . .
Mit diesen Werten kann man zwar immerhin schon die Summen der sechsten Potenzen ausrechnen,
will man aber weiter gehen, braucht man ein allgemeines Bildungsgesetz der Bernoulli-Zahlen. Eine
Berechnungsmöglichkeit nutzt die Potenzreihe
ez
B
B
B
z
= B0 + 1 z + 2 z2 + . . . + k zk + . . . ,
−1
1!
2!
k!
die Funktion f (z) = z/(ez − 1) ist also die erzeugende Funktion der Zahlen Bk /k! (vergleiche dazu
das Kalenderblatt September).
Das Bild des Monats zeigt ein Phasenportrait der Funktion f (z). Man erkennt Polstellen, die
dort entstehen, wo der Nenner, aber nicht der Zähler von z/(ez − 1) verschwindet, das passiert in
den Punkten . . . , −4πi, −2πi, 2πi, 4πi, . . .. Der Punkt z = 0 fehlt in dieser Liste, weil sich dort die
Nullstellen von Zähler und Nenner gegenseitig aufheben.
Jakob I Bernoulli (1654–1705)
entstammt einer Baseler Kaufmannsfamilie und studierte in seiner Heimatstadt Philosophie und
Theologie. Gegen den Willen seines Vaters beschäftigte er sich selbstständig mit Mathematik und
Astronomie. Auf mehreren Reisen durch Holland, Großbritannien und Deutschland knüpfte er Kontakte zu bedeutenden Mathematikern seiner Zeit. Nach seiner Rückkehr hielt er an der Universität
Basel Vorlesungen und wurde 1687 zum Professor ernannt. Zusammen mit seinem jüngeren Bruder Johann I entwickelte er den Leibnizschen Kalkül der Differentialrechnung weiter. Jakob Bernoulli
entdeckte den Grenzwert limn→∞ (1 + 1/n)n , den Euler später mit e bezeichnete. Als Pionier der
Wahrscheinlichkeitsrechnung untersuchte er die nach ihm benannte Bernoulli-Verteilung und formulierte eine frühe Version des Gesetzes der großen Zahl.
Aus der Familie Bernoulli ist eine ganze Dynastie von Mathematikern hervorgegangen. Da sich
auch einige Vornamen gleichen, wird die Identifikation durch Zusatz einer Nummer ermöglicht. Auch
der Schriftsteller Hermann Hesse war mit einer direkten Nachfahrin von Jakobs Bruder Johann I
verheiratet.
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