Einführung SS11.odp

FH Köln Ingenieurwissenschaften F.10
Mathematik für Studienanfänger
Fachhochschule Köln
Ingenieurwissenschaften
Einführungswoche SS2011
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Jürgen Böhm-Rietig, 2011
Einführung SS11.odp
1
SS 2011
FH Köln Ingenieurwissenschaften F.10
Prof. Böhm-Rietig
Prof. Lau
Fr. Breiderhoff
Internet:
http://www.gm.fh-koeln.de/~boehm
http://www.gm.fh-koeln.de/~lau
Lernplattform: https://ilias.fh-koeln.de
Dort Faktultät 10 und dann Mathematik 1
Password: Gauss11
Email: [email protected]
Heute: Einweisung, Arithmetik
Morgen: Geometrie
Nächste Woche: Einstufungstest, Mengenlehre, Logik
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2
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Langweilige Vorlesung?
Fragen?
Anregungen?
Jederzeit
... aber bitte höflich!
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Literatur
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Für den Vorkurs und zum Auffrischen:
Michael Knorrenschild: Vorkurs Mathematik.
Ein Übungsbuch für Fachhochschulen.
Fachbuchverlag Leipzig, 2004,
ISBN: 3-446-22818-7 .
9,90€. Sehr elementarer Einstieg!
Wolfgang Schäfer, Kurt Georgi, Gisela Trippler:
Mathematik- Vorkurs
Teubner-Verlag, Erscheinungsdatum: 2006,
ISBN: 383510036X .
29,90€.
Musteraufgaben mit Lösungsweg.
Sehr viele Aufgaben! Hilfe für das ganze erste
Semester.
www.stefanbartz.de: Kernwissen!
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Literatur
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Schulformelsammlungen:
„Das große Tafelwerk - Formelsammlung für die
Sekundarstufe I, II“ Cornelsen Verlag, ISBN 3-06020785-2.
H. Sieber und L. Huber: „Mathematische Formeln“
(erweiterte Ausgabe E) Klettverlag ISBN 3-12717900-6
Lehrbuch für das erste Semester:
Lothar Papula:
Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler.
Band 1
ISBN 3834802247
Verlag Vieweg, Fachbücher der Technik, ca. 30€
Mathem. Formelsammlung, ca. 25€ .
Klausur- und Übungsaufgaben sehr zu empfehlen: ca.32€.
Zusammen ewas günstiger.
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Was wird hier vorausgesetzt ?
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Grundrechenregeln, bes. Bruchrechnen,
Prozentrechnung.
Rechnen mit Termen : Ausdrücke mit Zahlen,
Rechenzeichen und Symbolen
Gleichungskalkül, insbesondere auch die
Umsetzung von Textaufgaben!
Grundfunktionen der Analysis
Grundstrukturen : Logik (Und/Oder/Implikationen)
Mengen, Abbildung, Invertieren
Kenntnisse des Zahlbereiches ℝ (z.B. Grenzwerte)
Geometrie: Abstände, Gerade, Kreis, Drei- und
Vielecke, Flächeninhalte, Winkellehre,
Trigonometrie, Strahlensätze
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➢
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6
Hinweis auf den Vorkurs
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Vom 28.2.-3.3. fand hier ein gut besuchter Vorkurs
statt. Die Unterlagen bitte von Kommilitonen
besorgen.
Themen dort:
Rechnen in reellen Zahlen, Klammern, Summen.
Betrag, Potenz, Wurzel, Logarithmen und
Gleichungslehre
Die Grundfunktionen wie Parabel, ganzrationale
und einfache gebrochen rationale Fkt. ex und ln(x)
Folgen und Grenzwertbegriff
Geometrie: Winkel, Strahlensätze, Dreieckslehre,
Körper, trigonometrische Funktionen, Sinus- und
Kosinussatz.
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Schlüsseltechnologie
Warum Mathematik?
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Mathematik ist eine Schlüsseltechnologie !
●
●
●
Jürgen Rüttgers, Ex-Ministerpräsident NRW in einer
seiner vorherigen Positionen:
Mathematik ist so etwas wie eine gemeinsame
Sprache. Sie schafft die Möglichkeit der genauen
Kommunikation zwischen den Naturwissenschaften
und den Ingenieurwissenschaften und immer mehr
auch den Sozial- und Wirtschaftswissenschaften.
Mathematik ist darüber hinaus eine
Schlüsseltechnologie der Gegenwart. Ein Land, das den
globalen Wettlauf um Wissen und seine Verwertung
bestehen will, benötigt Mathematik von höchster
wissenschaftlicher Qualität. Es braucht aber auch eine
mathematisch gebildete Bevölkerung.
Zitat: Rüttgers, J., Bundesminister für Bildung, Wissenschaft, Forschung und Technologie,
Grußadresse zum Internationalen Mathematiker-Kongress 1998. Berlin, Deutschland (1998).
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Schlüsseltechnologie
Video zum Thema auf Youtube (4 Teile) :
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http://www.youtube.com/watch?v=d02utMTgdS4
Mathematik-“Portale“ für Interessierte:
www.mathematik.de
matheplanet.com oder auch matheplanet.de
Mathematik lernen im Netz (alle kostenlos!):
http://www.matheboard.de/
http://www.mathe-online.at/
http://www.mathe-trainer.com/
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Semesterüberblick
1 Woche Einstieg, Mengenlehre, (Un-)Gleichungen
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2 Wochen Vektorrechnung
1,5 Wochen komplexe Zahlen und Anwendungen
2 Wochen Funktionen, Grenzwerte, Stetigkeit. Dann
besonders gebrochen rationale Funktionen.
1,5 Woche Kurven auch in Polarkoordinaten,
Wurzeln, Exponential- und Logarithmenfunktion
sowie Gleichungen damit.
2 Woche Ableitungen und Anwendungen,
besonders Optimierung
1,5 Wochen Integration und Anwendungen
0,5 Musterklausur und Wiederholungen.
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Semesterüberblick
Dazu 3 verpflichtende Praktika im Raum 2.112:
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Woche des 11.4.: Taschenrechner, Winkelfunktionen
Woche des 16.5.: Funktionen und Gleichungen mit
Maple.
Woche des 14.6.: Kurvendiskussion sowie eine
Optimierungsaufgabe mit Maple.
Termine
Terminefür
fürHausarbeiten
Hausarbeitengenau
genaubeachten!
beachten!
Mathematik-frei vom 22.-29.4.11
Klausurwochen zwischen dem 4. und dem 15.7.11
Die verbindlichen Testatbedingungen hängen an
meinem Büro (1.245) und am Labor (2.112) aus.
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Unser Lernangebot
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Vorlesungen zur Themenfestlegung und
Einführung.
Aktivübungen (Dr. Lau): Besprechung der
Übungen. Verbesserte Diskussionsmöglichkeiten
wegen kleinerer Gruppen. Dort auch Vorrechnen
mit Sonderpunkten für den nächsten
Klausurtermin.
Basiskurs (Hr. Großmann) zur Aufarbeitung der
fachlichen Voraussetzungen. Besonders, wenn
keine sinnvolle und erfolgreiche Teilnahme im
normalen Tempo möglich erscheint.
Tutorien bei Studierenden höherer Semester in
Gruppen zu 6-8 bei hinreichenden Vorkenntnissen!
Anmeldung ab nächste Woche, siehe
www.gm.fh-koeln.de/~boehm.
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Unser Lernangebot
Dr.Lau und ich teilen das Büro 1.245
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Meine Sprechstunde: Mi. 10-11 oder nach
Vereinbarung. Auch immer kurz vor/nach den
Veranstaltungen
Kontaktaufnahme per Email: jederzeit willkommen!
Bitte: erkennbare Namen und Betreffzeilen!
Feedback bitte dort oder auch ins Postfach 7.
Nutzen Sie unsere Lern-Angebote im Ilias:
https://ilias.fh-koeln.de
Vorlesungsaufzeichnungen, Übungen, Tests.
Zwei ausdrückliche Bitten:
kommen Sie immer pünktlich!
Quasseln/telefonieren/stören Sie nie im Unterricht.
Aktive Teilnahme ist aber immer sehr erwünscht.
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Noch einige Lernhinweise
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Lernen tut man nur selber und auch nur, wenn man
sich anstrengt und konzentriert.
Lernen kann durch Gruppenarbeit befördert
werden. Man kann sich allerdings auch gegenseitig
herabziehen/behindern.
Lernen heißt aktiv werden. Es ist eine willentliche
Tätigkeit, keine passive Beschäftigung!
„Learn by doing“!
Es hat keinen Sinn, sich den Anfang jeder Aufgabe
zeigen zu lassen und dann nur selber weiter zu
machen. In der Klausur müssen Sie auch selber
anfangen. Aufgabenstellungen abschreiben ist da
ein ganz doofer Trick und bringt keinerlei Punkte!
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Noch einige Lernhinweise
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Machen Sie sich Check-Listen und To-Do-Listen!
Fangen Sie mit den Inhalten der Folien 6, 7 an!
Lernen Sie immer!!!
Der Lernfortschritt lässt sich nicht durch Gewalt
oder Willensstärke oder gar Medikamente
beschleunigen.
Das bedeutet, dass Sie sofort anfangen sollten,
mögliche Defizite zu vermerken und sie möglichst
umgehend und gründlich ab zu stellen.
Wiederholen Sie nicht die Fehler Ihrer Schulzeit...
Sie wissen selber am besten, welche!
Bedenken Sie, es gibt auch noch weitere Fächer!
Teilen Sie sich die Zeit gut ein → Stundenplan!
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Nun sind Sie dran!
Fragen, Wünsche?
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Rechnen mit Zahlen und Symbolen
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Prozentrechnung ist Bruchrechnung !
19% von
100€ sind (leider) 19€
P.-Satz
Grundwert
P.-Wert
schwieriger:
19% sind 38€. Was ist der Grundwert?
Nicht schwierig sondern ganz einfach mit Symbolen:
p*G=P
Also:
G = P/p
Wie rechnet man das? G = 38€/0,19 = 200€
Prozentsatz verrechnen als Dezimalbruch!
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Rechnen mit Zahlen und Symbolen
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Schwieriger:
Kontrollieren Sie, ob Sie es verstanden haben!
Grundwert („Netto“) und Prozentwert zusammen
(ja Fr. Merkel, das nennen wir „Brutto“)
sind 21€ bei einem P.-Satz von 19% (Mehrwertsteuer).
Wie hoch ist das „Netto“ ?
Richtig: 17,65€
Aber, wie geht das???
Symbolisch: Brutto = Netto + Netto*p
Also:
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Netto = Brutto/(1+p)
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Rechnen mit Zahlen und Symbolen
Versuchen Sie das:
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In einem fernen Land kostet etwas im Laden 25€
und man sagt Ihnen, dass darin 5€ Steuern
enthalten sind. Wie hoch ist dort der Steuersatz?
Falsch: nicht 20% !!!
Richtig: 25%.
Das kommt nur heraus, wenn Sie nicht „aus dem
Bauch“ entscheiden, sondern ganz nüchtern die
Formeln aufstellen:
Brutto
= Netto + Steuern
Steuern = Netto*p
s.o.: „P.-Wert“
Dumm nur, dass „Netto“ auch unbekannt ist!
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Rechnen mit Zahlen und Symbolen
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Wenn Sie 20% heraus hatten, haben Sie einfach
Netto und Brutto verwechselt (wie Fr. Merkel):
5/25 = 1/5 = 20%
Nochmal richtig:
Brutto
Brutto
= Netto + Steuern
= 25
Steuern = Netto*p
Steuern = 5
Also:
Netto = 20
Also wegen
(nicht gefragter Zwischenwert)
Steuern = Netto*p
p = 5/20 = 1/4 = 25%
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Rechnen mit Zahlen und Symbolen
Was haben wir gelernt?
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Rechnen mit Symbolen ist leicht und führt mit
Sicherheit zu richtigen Lösungen.
Gleichungen dienen der Bestimmung von
Zusammenhängen:
p*G =P
Brutto = Netto + Steuern
Gleichungen dienen der Zuordnung von Werten zu
Symbolen:
Netto = 20
Die Logik ist wichtig: Was ist gegeben, was ist
gesucht, was benötige ich nur als
Zwischenergebnisse („Netto“ im Bsp.) ?
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Rechnen mit Zahlen und Symbolen
Worauf müssen wir besonders achten?
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Die Umsetzung unscharfer sprachlicher Ausdrücke
in mathematische Symbole (Variablen) und
Rechenoperationen!
Zum Üben:
Milch ist 2006 um 20% teurer geworden und 2007
nochmals um 10% im Preis gestiegen (alles Brutto).
Anfang 2008 kostet der Liter 0,89€. Was hat er
Anfang 2006 gekostet?
Wie hoch war die mittlere Preissteigerung pro Jahr?
©
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Rechnen mit Zahlen und Symbolen
Haben Sie das so gelöst ?
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M2008 = 0,89
p2006 = 20%
p2007 = 10%
M2006 = ?
Vorgaben
gesucht
M2008 = M2006*(1+p2006)*(1+p2007)
Ansatz
Auf-Lösung :
M2006 = M2008/((1+p2006)*(1+p2007))
M2006 = 0,89 /( 1,20
* 1,10
)
M2006 = 0,67
Am Anfang von 2006 hat der Liter 0,67 gekostet.
©
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Rechnen mit Zahlen und Symbolen
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Bevor wir die zweite Frage beantworten zunächst
einige Beobachtungen:
Ohne die symbolische Formel im Kopf kann man
dieses Problem nicht lösen.
Auf-Lösen heißt immer Gleichungen umformen
bzw. umstellen.
Algebra
Die Rechenreihenfolge ist wichtig:
Brutto = Netto + Netto*p
≠ 2*Netto*p
Klammern sind ganz wichtig:
Brutto = Netto + Netto*p = Netto*(1+p)
Brüche sind allgegenwärtig :
©
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p = P/G
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Rechnen mit Zahlen und Symbolen
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Zurück zur Übung:
Wie hoch war die mittlere Preissteigerung pro Jahr?
Vorgaben:
M2006 = 0,67
M2008 = 0,89
ges.: Symbolische mittlere Preissteigerung :
p
Ansatz: M2008 = M2006 * (1+p) * (1+p)
= M2006 * (1+p)2
Womit wir bei der Potenzrechnung sind!
Bloß nicht ausmultiplizieren!
Lös.: (1+p) = 0,89 = 1,152544
0,67
also p≈15,25%.

©
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P.S.: Wenn Sie mit 20% und
10% rechnen, dann kommt
nur 1,1489125... heraus!
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Einführung/Auffrischung Arithmetik
Was wollen wir heute noch machen:
➢
Etwas Klammer- und Bruchrechnung
darin eine kurze
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Pause
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Terme
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Terme sind z.B.:
2
23 7x 7x +23
!
Auch Terme:
ax by
cx d  y
2
a∙x +bx+c
für die
Eindeutigkeit
keine
Verwechslungsmöglichkeit
sin xy 23z
Arbeitsdefinition:
Terme sind Ausdrücke mit Bezug auf eine
Grundmenge, die nur aus Zahlen, Variablen,
Rechenzeichen, Funktionsnamen und Klammern
bestehen.
(Korrektheit vorausgesetzt)
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Terme und Variablen
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Arbeitsdefinition „Variable“:
Buchstaben oder Symbole, die an Stelle von Zahlen
einer Grundmenge verwendet werden.
Typisch:
a, b, ...
x, y, z, x1, x2, ...
i, j, k, ...
α, β, ...
a,b,...: Parameter, also vorgegebene, aber unbekannte
Werte; nicht zu bestimmende Variablen!
i, j, k,... : Index- oder Laufvariablen z.B. für Vektoren oder
Summen.
x, y, z, ... : teilweise noch Unterscheidung nach „freien“
und „gebundenen“ Variablen, z.B. y = x2 .
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Terme und Variablen
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Wichtig:
gleiches Symbol ↔ gleicher (unbek.) Inhalt
ungleiches Symbol ↔ ungleicher oder auch
gleicher Inhalt !
Beispiel:
a∙x - b∙x = c
Für a=b : 0∙x = c
kann unendlich viele oder keine Lösung haben!
Also : (a-b)∙x = c
nicht einfach durch (a-b) teilen !!!
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Klammern
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Gerade beim letzten Beispiel Zinsrechnung sah
man, wie einfach das Rechnen wird, wenn man
Klammern stehen läßt.
Klammern legen die Berechnungsreihenfolge fest:
(a+b)∙c
also zuerst die Summe!
Klammern legen fest, wo das Argument einer
Funktion steht und wo nicht:
sin(2x+1) ≠ sin 2x + 1
Klammern sind wichtig bei gemeinsamem
Vorzeichen:
ab −a−b
ab
−
=
=
c
c
−c
©
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30
Klammern
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Klammern machen manche Ausdrücke erst
a
eindeutig:
c
b
b =?
a =?
c
Versuchen Sie es:
 
24
6
3
=
≠
24

6
3
=
Symbole für öffnende Klammern :
Symbole für schließende Klammern
©
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( [ {
} ] )
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Klammern
Natürliche Reihenfolge von Rechenoperationen:
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Rechenz.
+, sin, f, f',...
*, : oder /
Rechnung
Vorrang/Priorität
Strichr.
geringste
Stufe
1.
Funktionen mittlere
nicht überall einheitlich!
2.
Punktr.
erhöht
3.
höchste
4.
^ (Potenzen)
Wurzeln Potenzr.
Die Rechnungen höherer Stufe werden immer vor
denen geringerer Stufe vollzogen.
Ansonsten Links-nach-Rechts-Regel.
Knorrenschild sieht das anders: S. 26
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Klammern
Gesetze
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(a+b)⋅c = ac + bc
(Distributivgesetz)
(a+b)⋅(c+d)=(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd
(Ausmultiplizieren)
–(–a) = a
Achtung bei Vorzeichen
–(a–b) = –a+b
Bei Funktionen fast immer erforderlich:
sin(2+7)
f(x) = g(h(x))
y = 2(3x+7)⋅((5-2x)2+sin2(2x+))
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Klammern
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Faktorisieren →
← Ausmultiplizieren
a2+2ab+b2 = (a+b)2
a2 −2ab+b2 = (a−b)2
a2 − b2
= (a+b)⋅(a−b)
Übrigens: allgemeine Binomische Formel:
n
(a+b)n
=
∑
i=1

n i n−i
⋅a ⋅b
i
¿
Nur in Summenschreibweise mit
Binomialkoeffizienten richtig !
100
Summen:
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z.B. a10 a11... a100 =
Einführung SS11.odp
∑
i =10
ai
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Klammern
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Klammern und das Faktorisieren sind vor allem
beim Gleichungslösen sehr hilfreich:
4
3
2
2
x −4x −3x 10x8 = x−4⋅x1 ⋅x−2
Nullstellen???
©
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Nullstellen: klar!
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Klammern üben:
(x+2y)·(y-x) =
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9x2+6x =
9x2+6xy =
9 x6  x=
©
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36
Brüche, Bruchterme
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Erstmal: keine Angst mehr vor Brüchen. Sie sind
viel praktischer bei vielen Dingen als
„Dezimalbrüche“ :
Können Sie sich unter
0,071428571428571428571428571428571
was vorstellen?
Können Sie!
Denken Sie an eine
Torte mit verbleibenden
14 Stücken.
Leider bekommen Sie
nur eines: 1/14
1/14=0,0714...
©
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37
Brüche, Bruchterme
Arbeitsdefinition „Brüche“:
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Brüche sind symbolisch geschrieben aber nicht
durchgeführte Auflösungen einfacher Gleichungen.
...also echt was für Faule!
Bsp.:
→
8x = 4
4
1
x= =
8
2
Die Doppeldeutigkeit rührt daher, dass x eben auch
Lösung von 2x=1 ist.
Das nennt man übrigens Kürzungsregel.
Alle Regeln resultieren aus dieser Überlegung:
©
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Brüche, Bruchterme :
Regeln
(B1)
a c
a±c
± =
b b
b
: gleichnamige Strichrechnung
(B2)
a c
ad±bc
± =
b d
bd
für b⋅d≠0
(B3)
(B4)
©
: ungleichnamig
a c
a⋅c
⋅ =
für b⋅d≠0 : Multiplikation
b d
b⋅d
a
b
a c
a⋅d
: =
=
für b⋅c⋅d≠0 : Division
b d
b⋅c
c
d
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

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39
Brüche, Bruchterme
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(B3´)
(B3´´)
a⋅c a
=
für c≠0 : kürzen/erweitern
b⋅c b
a
= 0 ∧ b≠0 ⇔ a=0 : Gleichungen lösen
b
(B3´´´) Ungleichungen lösen :
a
0∧b≠0 ⇔ a⋅b0 ⇔ a0∧b0 ∨ a0∧b0
b
Auf Deutsch:
Ein Bruch ist dann positiv,
wenn Zähler und Nenner
das gleiche Vorzeichen haben.
©
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bedeutungsgleich
oder äquivalent
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40
Brüche, Bruchterme
Wie kürzt man richtig?
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Die gemeinsamen Faktoren eindeutig herausstellen:
3⋅ x −2y 
3x −6y
=
= x −2y
3
3⋅1
(B3´) und Komm.
Wie kürzt man falsch ?
2
a −a
=a
a
Selber probieren:
3x 6y
=
x 2y
©
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Das Ergebnis ist nur
dann 3, wenn x+2y≠0
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41
Übung: Brüche, Bruchterme
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Hinweis Strichrechnung mit Brüchen:
Verwenden Sie nach Möglichkeit das kleinste
gemeinsame Vielfache („kgV“) der Nenner!
Rechnen Sie ohne Taschenrechner :
7 9
− =
6 14
Nun können Sie das auch mit Symbolen:
5
12
−
=
2
6a 9ab
5
12 5b−8a
−
=
2
6a 9ab
6a 2 b
©
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kgV ist 2·32·a2·b
42
Brüche, Bruchterme
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Beweis von (B3) durch die elementare Definition:
a c
⋅
b d
steht für x⋅y mit
a
x=
b
c
y=
d
Nach Definition der Brüche ist:
b⋅x =a
und d⋅y =c
Der Fall a=0 oder c=0 ist trivial. Ansonsten können
wir das Produkt bilden („Äquivalenzumformung“):
b⋅x⋅d⋅y =a⋅c
Kommutativgesetz:
b⋅d⋅x⋅y =a⋅c
©
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43
Brüche, Bruchterme
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Beweis von (B3) , Fortsetzung:
Setze
z = x⋅y, dann gilt:
b⋅d⋅z =a⋅c
Also, da b⋅d≠0 nach Voraussetzung:
a⋅c
z=
Etwas schwindelig
b⋅d
geworden?
„Das“ war zu zeigen!
Das ist Mathematik !
a c
a⋅c
⋅ = x⋅y = z =
Üben
Sie
den
Beweis
b d
b⋅d
für (B2) !
Tipp: die Gl. passend
erweitern, addieren.
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44
Brüche, Bruchterme
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Zum Nachdenken: Was ist hier falsch?
9 4
9−4
= − = 3−2 = 1
3 2
32
Richtig: überhaupt nichts!
Weitere Vorteile der Bruchrechnung:
222
⋅17=6,529⋅17=110,993
34
Das ist natürlich Unsinn! Das Ergebnis muß 111
lauten und geht mit Bruchrechnung auch im Kopf!
Hinweis Dezimalbrüche: immer auf ausreichende
Genauigkeit achten, also Zwischenergebnisse mit
mindestens einer zusätzlichen tragenden Stelle!
©
Jürgen Böhm-Rietig, 2011
Einführung SS11.odp
45
Brüche, Bruchterme
FH Köln Ingenieurwissenschaften F.10
Übung: vereinfachen Sie unter Angabe aller
verwendeter Regel und Voraussetzungen!
2
a
−abac
Leicht:
b−a−c
2
2
a b
b
a
Schwerer:
 − 2
−
b a a  ab abb2
Lösungshinweis: das
Ergebnis ist einfach!
©
Jürgen Böhm-Rietig, 2011
Einführung SS11.odp
46
Bruchgleichungen
FH Köln Ingenieurwissenschaften F.10
Arbeitsdefinition: Bruchgleichungen sind solche
Gleichungen, bei denen Vielfache der Unbekannten
im Nenner und evtl. Zähler von Brüchen ohne
(Potenzen oder) Funktionen auftreten.
x 52
=11
Beispiel:
x 2
Lösungsweg bei einfachen Formen:
1.Alle Terme mit x nach links!
2.Hauptnenner bilden (kgV) !
3.Unter der Bedingung Hauptnenner≠0 damit multiplizieren!
4.Alle Terme mit x nach links sollte eine algebraische
Gleichung ergeben.
©
Jürgen Böhm-Rietig, 2011
Einführung SS11.odp
47
Bruchgleichungen
FH Köln Ingenieurwissenschaften F.10
13
16
Beispiel :
= 15−
2x −7
x 4
13
16

= 15
2x −7 x 4
13⋅ x 4  16⋅2x−7
= 15
2x−7⋅ x 4
1.
2.
3.
13⋅ x 4  16⋅2x −7 = 15⋅2x −7⋅ x 4
unter der Voraussetzung (2x-7)(x+4)≠0, d.h.
x≠7/2 und x≠-4.
4. ... x2 - x - 12 = 0
©
Jürgen Böhm-Rietig, 2011
also x=4 oder x=-3.
Einführung SS11.odp
48
Bruchgleichungen
FH Köln Ingenieurwissenschaften F.10
Beobachtung: obgleich im Nenner nur x bzw. 2x
auftreten, resultiert dennoch eine quadratische
Gleichung.
Achtung: Beachten Sie immer den
x −2
Definitionsbereich! z.B.
=0
2
hat keine Lösung!
x −4
©
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Einführung SS11.odp
49
Bruchgleichung zur Übung
FH Köln Ingenieurwissenschaften F.10
Lösen Sie unter Angabe des Definitionsbereiches
und machen Sie eine (korrekte!) Probe :
5
x
1
−
=
2x4 4− x 2
Hinweis zur Probe:
Sie setzen jede Ihrer Lösungen in die gegebene
Gleichung (hier nur auf der linken Seite) ein und
formen solange mittels elementarer Bruchrechnung
um, bis klar ist, ob das Ergebnis auf beiden Seiten
übereinstimmt oder nicht!
©
Jürgen Böhm-Rietig, 2011
Einführung SS11.odp
50
Bruchgleichung zur Übung
FH Köln Ingenieurwissenschaften F.10
Diese Gleichung
5
x
1
−
=
2x4 4− x 2
hat genau diese beiden Lösungen: x1=1, x2=-12
Korrekte Schreibweise als Menge: IL ={1;-12}
©
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Einführung SS11.odp
51
Etwas Geometrie
Dreieckslehre:
FH Köln Ingenieurwissenschaften F.10
Alle Dreiecke haben eine Innenwinkelsumme von
180°
γ
α+β+γ = 180°
β
α
bes. für Physik: griechische Buchstaben lernen!
Die Dreicksfläche ist immer Grundseite mal Höhe
mal 0,5:
h
F=½·c·h
c
©
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Einführung SS11.odp
52
Geometrie: Dreiecke
FH Köln Ingenieurwissenschaften F.10
Seiten mit kleinen, Punkte mit großen Buchstaben:
C
b
A
a
c
B
Wichtige Dreiecksbedingung:
a < b+c
b < a+c
c < a+b
Das auch: a > |b-c|
©
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b > |a-c|
Einführung SS11.odp
c > |a-b|
53
Geometrie
Pythagoras:
FH Köln Ingenieurwissenschaften F.10
·
ausdrücklich
nur bei
rechtwinkligen
Dreiecken!!!
©
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Einführung SS11.odp
54
Geometrie : Dreieckslehre
FH Köln Ingenieurwissenschaften F.10
Dreieckslehre: Quelle: www.stefanbartz.de
©
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Einführung SS11.odp
55
Geometrie : Aufgaben zu Dreiecken
FH Köln Ingenieurwissenschaften F.10
Bestimmen Sie die Fläche eines gleichseitigen
Dreiecks der Seitenlänge a (>0)!
Hinweise: zuerst eine Skizze, dann schauen, was
gegeben, was gesucht wird und was fehlt. Kann die
fehlende Größe aus den bekannten Größen durch
Anwendung eines der oben genannten Gesetze
bestimmt werden?
 3⋅a 2
Richtig: Lösung ist A=
4
©
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Einführung SS11.odp
56
Geometrie : Aufgaben zu Dreiecken
Bestimmen Sie die fehlenden Größen:
FH Köln Ingenieurwissenschaften F.10
C
2,5
2
3,307
2
1
8
1,4
?
=
x2
x1=?
B
·
6
A
©
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2,5
Einführung SS11.odp
α = 55,77°
β = 41,41°
γ=?
57
Geometrie : Aufgaben zu Dreiecken
x1: Verwenden Sie den Satz von Pythagoras!
FH Köln Ingenieurwissenschaften F.10
x2: Der Schwerpunkt teilt die Seitenmitten in einem
bestimmten Verhältnis!
Kein Tipp für γ !
Lösungen:
x1=2,25 (ganz genau sogar 27/12)
x2=2,963
γ=82,82°
Wem das zu einfach war:

175
Finden Sie selber die Formel für die Höhe (hc=
)
16
1
und die Länge der Seitenhalbierenden (sa=  106 ) (nur
2
mit dem Kosinussatz oder nach Formelsammlung)!
©
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Einführung SS11.odp
58
Geometrie : Dreiecke
FH Köln Ingenieurwissenschaften F.10
Kongruente Dreiecke:
Sie können durch Drehung und Verschiebung
genau übereinander gelegt werden.
Kongruenzsätze sind für alle Konstruktionen und
Nachweise sehr wichtig:
Seite, Seite, Seite (SSS)
2 Seiten und eingeschlossener Winkel (SWS)
(SSW)
(WSW)
©
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Einführung SS11.odp
59
Geometrie : Ähnlichkeit von 3-Ecken
FH Köln Ingenieurwissenschaften F.10
Ähnliche Dreicke: Sie entstehen durch
gleichmäßige Vergrößerung oder Verkleinerung:
Dabei bleiben alle Winkel gleich.
→ Sätze über Gegenund Wechselwinkel
α
β
·
β
α
·
Die Seitenverhältnisse ändern sich nicht!
→ Strahlensätze!
©
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Einführung SS11.odp
60
Geometrie : Strahlensätze
FH Köln Ingenieurwissenschaften F.10
Alle Strahlensätze haben diese Grundlage:
Quelle: www.stefanbartz.de
©
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Einführung SS11.odp
61
Aufgabe Strahlensätze
FH Köln Ingenieurwissenschaften F.10
Wie lang sind die nicht vermaßten Strecken?
1
3
5
7
Lösungen:
Die rote Strecke ist 18/5 lang.
Die Strecke 7 besteht aus den Stücken 35/6 und
7/6.
©
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Einführung SS11.odp
62
FH Köln Ingenieurwissenschaften F.10
Dreieckslehre - Kosinussatz
Ideal zur SWS
Berechnung!
Quelle: www.stefanbartz.de
©
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Einführung SS11.odp
63
Dreieckslehre - Sinussatz
FH Köln Ingenieurwissenschaften F.10
Ideal für WSWBerechnung.
„Peilungen über
Grundseite“.
Anwendung nicht
immer ganz
offensichtlich,
daher das
Symbol!
Quelle: www.stefanbartz.de
©
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Einführung SS11.odp
64
Sinus- und Kosinussatz
Lösungen der beiden Aufgaben
FH Köln Ingenieurwissenschaften F.10
Die Fährstrecke ist etwa 4,2(43) km lang.
Der dritte Winkel ist γ=76°, ohne ihn geht die
Rechnung nicht!
Die Seite a (rechts) ist 23,3m und die Seite
b=28,3m.
Als kleine Probe schaue ich mit immer an, ob die
kürzeste/längste Seite auch wirklich dem
kleinsten/Größten Winkel gegenüber liegt.
©
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Einführung SS11.odp
65
Kreise
FH Köln Ingenieurwissenschaften F.10
Kreis: Menge der Punkte in einer Ebene, die von
einem festen Punkt, dem Mittelpunkt M, alle den
gleichen Abstand r haben:
r
M
Umfang : U=2πr=πd
d
Fläche : A=πr2 .
©
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Einführung SS11.odp
66
Teilflächen des Kreises
Kreis-Sektor:
r
FH Köln Ingenieurwissenschaften F.10
Einfacher Dreisatz für

2
⋅r
die Fläche: AS=
360 °
φ
AS
b
Einfacher Dreisatz für

2 ⋅r
die Bogenlänge b=
360 °
Hinweis zur Rechnung mit Winkeln:
In der ganzen Analysis muss man mit Radiant
(Bogenmaß) rechnen und darf nicht die Winkelgrad
verwenden: Wir ersetzen den Winkel durch die
Länge des zugehörigen Kreisbogens mit r=1:
Umrechnung in Radiant „Rad“: Bogenmaß=Gradmaß ⋅
180 °
©
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Einführung SS11.odp
67
Kreissegmente und Kreissektoren
Aufgabe: bestimmen Sie die Fläche dieses
Kreissegments!
FH Köln Ingenieurwissenschaften F.10
r
Hinweis: Vom Sektor
eine passende Dreicksfläche
(gleichseitiges Dreieck!)
abziehen.
Lösung:
φ
2
r
Fläche= ⋅ −sin  
2
φ muss in Rad gemessen sein!
©
Jürgen Böhm-Rietig, 2011
Einführung SS11.odp
68
Zusammenhang mit Dreiecken
FH Köln Ingenieurwissenschaften F.10
Der Satz von Thales sagt, das jedes Dreieck über
dem Druchmesser eines Kreises ein rechtwinkliges
ist, wenn denn der dritte Punkt auf dem Kreisbogen
liegt:
·
r
·
Es gibt weitere faszinierende Eigenheiten, z.B. den
Zusammenhang zwischen Zentriwinkel und
Peripheriewinkel über einem Bogen/einer Sehne
und die oben genannten Zusammenhänge mit den
Winkelhalbierenden und Mittelsenkrechten.
©
Jürgen Böhm-Rietig, 2011
Einführung SS11.odp
69
Vierecke
FH Köln Ingenieurwissenschaften F.10
Zu den allgemeinen Vierecken gibt es wenig
Regelmäßigkeiten!
Winkelsumme ist 360°.
Fläche wird durch zwei Dreiecksflächen bestimmt.
Diagonalen auch durch Rückgriff auf Dreiecke und
z.B. Kosinussatz.
Nur spezielle Vierecke haben auch interessantere
allgemeine Eigenschaften!
➢
Quadrat : alle Seiten gleich, Winkel ebenso
➢
Rechteck: Seiten parallel und alle Winkel gleich
➢
Rhombus/Raute: Alle Seiten gleich lang.
➢
©
Parallelogramm: Gegenseiten sind parallel und gleich
lang
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Einführung SS11.odp
70
Vierecke
FH Köln Ingenieurwissenschaften F.10
Interessant ist das Trapez: zwei gegenüber
liegende Seiten sind parallel.
c
h
d
b
a
Zerlege es in zwei Dreiecke gleicher Höhe :
ac
⋅h
Fläche: A=
2
dabei ist die Höhe h der Abstand der Parallelen.
©
Jürgen Böhm-Rietig, 2011
Einführung SS11.odp
71
Geometrie : Körper im Raum
FH Köln Ingenieurwissenschaften F.10
Für die folgenden Körper mit Radius r, Höhe h,
Grundfläche G gilt:
Kugel: Volumen V= 4  r 3
3
Oberfläche O=4π·r2
Prisma: alle Querschnitt
entlang der Achse sind gleich:
Volumen V=G·h
Zylinder: Prisma
mit kreisförmigem
Querschnitt:
V=π·r2·h O=2π·r2+π·r·h
©
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Einführung SS11.odp
72
Geometrie : Körper im Raum
FH Köln Ingenieurwissenschaften F.10
Volumen von Kegelkörpern:
Kegel haben immer eine Grundfläche und eine
Spitze. Sie müssen für dies Formel so geformt sein,
dass jeder Querschnitt in Richtung Spitze
entsprechend der Höhe proportional „ähnlich“ (also
proportional verkleinert) ist.
©
Jürgen Böhm-Rietig, 2011
Einführung SS11.odp
73
Geometrie : Körper im Raum
Aufgaben:
FH Köln Ingenieurwissenschaften F.10
Berechnen Sie die Länge der Raumdiagonale eines
Würfels mit der Kantenlänge a!
Auf einen Kreiszylinder mit Radius r=9 cm und der
Höhe 25 cm wird ein gerader Kreiskegel mit dem
gleichen Radius und der Höhe 10 cm aufgesetzt.
Berechnen Sie Volumen (in l!) und Oberfläche (in
cm²) des dadurch enstandenen Körpers.
Ein gerader Kreiskegel besitze den Radius r und die
Höhe h. In welcher Höhe h' muss der Kegel
horizontal geschnitten werden, so das beide
Restteile das gleiche Volumen aufweisen?
©
Jürgen Böhm-Rietig, 2011
Einführung SS11.odp
74
Geometrie : Körper im Raum
Lösungen:
FH Köln Ingenieurwissenschaften F.10
 3⋅a
V=7210 cm³ =7,210 l
O=2049 cm2.
Am besten mit dem Strahlensatz rechnen!
1
1−
h⋅
h'=
3 2

©
Jürgen Böhm-Rietig, 2011

Einführung SS11.odp
75