Ubungen zur Quantenmechanik

Übungen zur Quantenmechanik
SS11, Peter Lenz, 1. Blatt
13. April 2011
Abgabe (Aufgabe 2) bis 18.4.07, 12:00 Uhr, Übungskästen RH 6
Aufgabe 1:
Gegeben sei ein Wellenpaket der Form
Z
i
h 1
~
~
e
Ψ(~x, t) = √
Ψ(k) exp i k · ~x − ωt d3 k ,
3
8π
(1)
e ~k)||~k|n → 0 für |~k| → ∞.
wobei ω = ω(~k) und |Ψ(
a) Beweisen Sie die Identität
E
D
d
~
~
~vs ≡
h~xiΨ = ∇~k ω(k) ≡ ~vG
dt
Ψ̃
in der der Erwartungswert definiert ist als
R ∗
~ ξ)
~ ϕ(ξ)d
~ 3ξ
ϕ (ξ)A(
hAiϕ ≡
2
R ~ d3 ξ
ϕ(ξ)
,
(ξ~ = ~x, ~k) .
(2)
b) Berechnen Sie ~vG speziell in folgenden zwei Fällen
i) ω(~k) =
~ ~2
k
2m
e ~k) ist ”konzentriert” um ~k0 , so daß ω(~k) in (1) um ~k0 entwickelt werden
ii) Ψ(
kann:
~
~
~
ω(k) ≈ ω0 + ~v · k − k0
c) Die Wellenfunktion (1) kann sowohl Lösung der Schrödingergleichung
i~
∂
~2
Ψ=−
4Ψ
∂t
2m
als auch der Wellengleichung
1 ∂2
Ψ = 4Ψ
c2 ∂t2
sein. Bestimmen Sie in beiden Fällen die Dispersionsrelation ω = ω(~k), die Phasengeschwindigkeit ω/|~k| und die Gruppengeschwindigkeit ~vG für ein um ~k0 konzene ~k).
triertes Ψ(
Aufgabe 2: Hausaufgabe (6 Punkte)
Gegeben sei zur Zeit t = 0 das eindimensionale Wellenpaket
x2
1
Ψ(x, 0) = p √ exp − 2 + ik0 x
2α
α π
a) Bestimmen Sie mit Hilfe der eindimensionalen Variante von Gl. (1) die zeitliche
Entwicklung des Wellenpakets, wenn gilt
ω(k) =
~
~
~k 2
~k02
+ k0 (k − k0 ) +
(k − k0 )2 =
.
2m m
2m
2m
Hinweis: Verwenden (ud beweisen) Sie die Beziehung
r
2
Z ∞
π
b
2
exp
exp −ax + bx dx =
a
4a
−∞
(Re(a) > 0)
b) Ausgehend vom Erwartungswert (2) definiert man die Standardabweichung als
q
4A ≡ hA2 i − hAi2 .
Berechnen Sie für das gegebene Wellenpaket die Erwartungswerte hxit , hx2 it , hki , hk 2 i
und die Standardabweichungen 4x, 4k. Untersuchen Sie die Bedeutung der Größe
α und bilden Sie das Unschärfeprodukt 4x4k für Zeiten t ≥ 0.
Übungen zur Quantenmechanik
SS11, Peter Lenz, 2. Blatt
20. April 2011
Abgabe (Aufgabe 5) bis 26.4.07, 12:00 Uhr, Übungskästen RH 6
Aufgabe 3:
Gegeben seien die Elemente |ui und |vi eines Vektorraums mit Skalarprodukt. Beweisen
Sie die Schwarz’sche Ungleichung
|hu | vi|2 ≤ hu | ui hv | vi
.
Wann genau gilt das Gleichheitszeichen?
Anleitung: Definieren Sie |pi ≡ |ui − α |vi mit geeignetem α ∈ C und wenden Sie die
Definition des Skalarproduktes an.
Aufgabe 4:
Gegeben seien die hermiteschen Operatoren  und B̂ und ihre Erwartungswerte hÂi bzw.
hB̂i bezüglich eines Zustandes |Ψi.
Beweisen Sie für die Standardabweichungen 4A, 4B die allgemeine Unschärferelation
1 4A · 4B ≥ h[Â, B̂]i
2
Anleitung: Beweisen Sie zunächst mit Hilfe der Schwarz’schen Ungleichung die Beziehung
1
1
(4A)2 (4B)2 ≥ h{α̂, β̂}i2 − h[α̂, β̂]i2
4
4
wobei α̂ ≡ Â − hÂi, β̂ ≡ B̂ − hB̂i und [α̂, β̂], {α̂, β̂} Kommutator bzw. Antikommutator
von α̂ und β̂ sind.
Aufgabe 5: (6 Punkte)
Bei einer Compton-Streuung werden Photonen an einem ursprünglich als ruhend gedachten Elektron (z. B. im Eigensystem des Elektrons) gestreut.
a) Zeigen Sie mit Hile des Energie- und Impulssatzes, dass die Wellenlänge λ̃ der gestreuten Photonen um
∆λ = λ̃ − λ = λc [1 − cos θ] ,
verschoben ist.
mit λc ≡
h
m0 c
b) Berechnen Sie die relative Wellenlängenänderung ∆λ/λ bei Strenung unter θ = π/2
für sichtbares Licht (λ ≈ 600nm), Röntgenstrahlung (λ ≈ 50pm) und γ-Strahlen
(λ ≈ 1pm).
c) Zeigen Sie, dass ein Photon in einem Stoß mit einem freien Elektron nicht seine
gesamte Energie auf das Elektron (relativistisch) übertragen kann.
Übungen zur Quantenmechanik
SS11, Peter Lenz, 3. Blatt
27. April 2011
Abgabe (Aufgaben 8 und 9) bis 9.5.11, 14:15 Uhr, Übungskästen RH 6
Aufgabe 6:
Bestimmen Sie alle diejenigen Zustandsfunktionen Ψ(x), für die 4x4p =
~
2
ist.
Hinweis: Erinnern Sie sich an den Lösungsweg von Aufgabe 5.
Aufgabe 7:
Der lineare Operator A sei auf einem komplexen Hilbertraum H definiert und es gelte
hu | A | ui = 0 für jedes |ui ∈ H. Beweisen Sie, daß A der Nulloperator in H ist.
Aufgabe 8: (8 Punkte)
In einem zweidimensionalen Hilbertraum mit der orthonormalen Basis {|1i, |2i} sei der
Operator
A ≡ λ1 |1ih2| + λ2 |2ih1|
mit λ1 , λ2 ∈ C gegeben.
a) Für welche λ1 , λ2 ist A hermitesch? Berechnen Sie für diesen Fall die Eigenwerte und
die normierten Eigenvektoren von A. Stellen Sie den Operator A in seiner Eigenbasis
als Matrix dar (“A-Darstellung”).
b) Wie lautet der Operator U (in Dirac-Schreibweise), der die Basis {|1i, |2i} in die
Eigenbasis von A überführt? Beweisen Sie, daß U unitär ist. Wie hängt die {|1i, |2i}Darstellung von A mit der Eigendarstellung von A zusammen? Geben Sie die MatrixDarstellungen von U und U + in der {|1i, |2i}-Darstellung und in der A-Darstellung
an.
Aufgabe 9: (8 Punkte)
Beweisen Sie die folgenden Eigenschaften des Kommutators der Operatoren A, B, und C:
(i) [A, B] = −[B, A]
(ii) [A, B + C] = [A, B] + [A, C]
(iii) [A, BC] = [A, B]C + B[A, C]
(iv) [A, [B, C]] + [B, [C, A]] + [C, [A, B]] = 0 (Jacobi Identität)
Berechnen Sie die folgenden Kommutatoren zwischen dem Ortsoperator x und dem Im∂
:
pulsoperator px = ~i ∂x
(v) [x, px ]
(vi) [x2 , px ]
(vii) [xn , px ]
(viii) [p2x , x]
Übungen zur Quantenmechanik
SS11, Peter Lenz, 4. Blatt
4. Mai 2011
Abgabe (Aufgabe 12) bis 16.5.11, 14:15 Uhr, Übungskästen RH 6
Aufgabe 10:
a) M(m, C) sei die Menge der (m × m)-Matrizen mit Einträgen aus C. Eine Funktion
A : R → M(m, C) ,
t 7→ A(t)
heiße stetig, differenzierbar, integrierbar, . . ., falls alle Komponentenfunktionen ai,j (t)
die jeweilige Eigenschaft besitzen.
Beweisen Sie für differenzierbare C(t), D(t) ∈ M(m, C) die Produktregel
d
d
d
(CD) = C
D +
C D
,
dt
dt
dt
und berechnen Sie
d
[A(t)]m , m ∈ N0 .
dt
d
Wie lautet die letzte Formel im Fall [ dt
{A(t)}, A(t)] = 0?
b) Für A ∈ M(m, C) sei die Matrix eA definiert durch die Reihe
∞
X
1 n
A
e :=
n!
n=0
A
.
Beweisen Sie, daß für differenzierbares f ∈ CR , gilt:
d f (t)A
d
e
=
f (t) A ef (t)A
dt
dt
.
Aufgabe 11:
a) Seien A, B ∈ M(m, C) mit [A, B] = 0. Zeigen Sie, daß dann gilt:
eA+B = eA eB = eB eA
.
Hinweis: Erinnern Sie sich an das Cauchyprodukt von Reihen. Gilt die binomische
Formel für A, B?
b) Seien A, B ∈ M(m, C). Es ist zu zeigen, daß
eA Be−A =
∞
X
1
[A, B](n) ,
n!
n=0
h
i
mit [A, B](0) = B und [A, B](n+1) = A, [A, B](n) n ∈ N gilt.
Hinweis: Es bezeichne RA (LA ) die Rechts- (Links-)multiplikation einer Matrix mit
der Matrix A:
LA (B) := AB
RA := BA .
Wie wirkt [LA , RA ] auf ein B ∈ M(m, C) und gilt die binomische Formel für LA , RA ?
Wie hängt schließlich (LA − RA ) mit [A, B](n) zusammen?
c) Beweisen Sie unter der Voraussetzung [A, [A, B]] = [B, [A, B]] = 0 die Beziehung
eA+B = eA eB e−[A,B]/2
.
Hinweis:Stellen Sie eine Differentialgleichung für H(A, B, x) := exA exB auf und verwenden Sie b).
Aufgabe 12: (6 Punkte)
H1 und H2 seien Teilräume eines Hilbertraums H auf die die Projektoren P1 bzw. P2
projizieren. Beweisen Sie notwendige und hinreichende Bedingungen dafür, daß folgende
Operatoren Projektoren (d.h., daßP 2 = P und P † = P gilt) sind:
α) 1 − P1 ,
β) P1 P2 ,
γ) P1 + P2
Auf welche Teilmengen von H projizieren sie? (Beweis!)
Übungen zur Quantenmechanik
SS11, Peter Lenz, 5. Blatt
11. Mai 2011
Abgabe (Aufgabe 15) bis 23.5.11, 14:15 Uhr, Übungskästen RH 6
Aufgabe 13:
Als ein eindimensionales Modell für ein Elektron in einem Festkörper werde eine Kette
von L Atomen im Abstand a betrachtet, die sich am Rand periodisch wiederholt. Der
normierte Zustand |li beschreibe den Zustand, in dem sich das Elektron mit der Energie
E0 am isoliert gedachten Atom l aufhält. Die Randbedingung lautet somit
|l ± Li = |li
für l = 1, ..., L .
Das Elektron soll von einem Atom l zu seinen Nachbaratomen l ± 1 tunneln können. Der
gesamte Hamiltonoperator lautet also Ĥ = Ĥ0 + ĤW mit
Ĥ0 = E0
ĤW = −
L
X
|li hl| = E0 1̂
l=1
L
X
A
2
|li hl + 1| + |li hl − 1|
(A > 0).
l=1
a) Zeigen Sie, daß Ĥ auf dem durch {|li | l = 1, .., L} aufgespannten Hilbertraum hermitesch ist.
b) Betrachten Sie den Operator
T̂ =
L
X
|ni hn + 1|
.
n=1
Welchen Vorgang beschreibt er? Bestimmen Sie seine Eigenwerte und seine normierten Eigenvektoren
L
X
|Ψn i =
cn,l |li .
l=1
Zeigen Sie, daß die Zustände |Ψn i eine Orthonormalbasis des Hilbertraums bilden.
Anleitung: Untersuchen Sie zunächst die Wirkung von T̂ L auf die Basis {|li} und
beachten Sie, daß
L
L
X
X
cn,l |li =
cn,l±L |l ± Li
l=1
mit cn,l±L = cn,l ist.
l=1
c) Berechnen Sie Ĥ, T̂ und weisen Sie nach, daß die Eigenvektoren von T̂ auch Eigenvektoren von Ĥ sind. Bestimmen Sie die Eigenwerte von Ĥ.
Aufgabe 14: Betrachten Sie Elektronen (mit Spin= 12 ) in einem externen Magnetfeld B
(in z-Richtung). Der Hamiltonian des Systems ist gegeben durch
eB
H=−
Sz = ωSz ,
mc
mit ω ≡ |e|B/(mc). Beschreiben Sie die Dynamik eines Systems, das sich zum Zeitpunkt
t = 0 im Sx+ -Zustand befindet.
Aufgabe 15: (6 Punkte)
(a) Zeigen Sie
hp0 |x|αi = i~
∂ 0
hp |αi
∂p0
(b) Zeigen Sie
Z
hβ|x|αi =
dp0 Φ∗β (p0 )i~
∂
Φα (p0 )
∂p0
(c) Was ist die physikalische Bedeutung des folgenden Operators?
ixΞ
Z = exp
,
~
wobei x der Ortsoperator ist und Ξ eine Zahl mit der Dimension eines Impulses. Begründen
Sie Ihre Antwort.
Übungen zur Quantenmechanik
SS11, Peter Lenz, 6. Blatt
18. Mai 2011
Abgabe (Aufgabe 18) bis 30.5.11, 14:15 Uhr, Übungskästen RH 6
Aufgabe 16:
Berechnen sie mit Hilfe der Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren die Erwartungswerte hxi , hpi , hx2 i , hp2 i , hxp + pxi und das Unschärfeprodukt ∆x∆p in den Energieeigenzuständen |ni des eindimensionalen harmonischen Oszillators.
Aufgabe 17:
Gegeben sei der Hamilton-Operator
H=
p2
+ V (x).
2m
a) Geben Sie die Schrödinger-Gleichung in der Impulsdarstellung an.
(Benutzen Sie die Dirac-Schreibweise!)
b) Formulieren Sie das Eigenwertproblem von H in der Impulsdarstellung.
c) Spezialisieren Sie das Ergebnis von b) für den Fall des eindimensionalen harmonischen Oszillators.
Aufgabe 18: (6 Punkte)
Die totale zeitliche Ableitung des quantenmechanischen Erwartungswertes eines Operators
A ist gegeben durch
d
dA
1
∂A
hψ|A|ψit ≡
= hy|[A, H]|ψit + hψ|
|ψit .
dt
dt
i~
∂t
Der Hamilton-Operator ist
p2
+ V (r)
2m
und beschreibe die dreidimensionale Bewegung eines Teilchens im Potential V (r).
H=
a) Zeigen Sie, daß die klassische Beziehung p = mṙ für die quantenmechanischen Erwartungswerte gilt, d. h. es gilt
hpit = m
d
hrit
dt
1. Ehrenfestscher Satz.
b) Zeigen Sie weiterhin, daß die quantenmechanischen Erwartungswerte die folgende
Relation erfüllen
m
d2
d
hrit = hpit = h−∇V (r)it
2
dt
dt
2. Ehrenfestscher Satz.
c) Hat der 2. Ehrenfestsche Satz exakt die Form der Newtonschen Bewegungsgleichung? Welche Eigenschaft muß die Wellenfunktion ψ(r, t) haben, damit die klassische Mechanik möglichst gut erfüllbar ist?
Übungen zur Quantenmechanik
SS11, Peter Lenz, 7. Blatt
25. Mai 2011
Abgabe (Aufgabe 20 & 21) bis 6.6.11, 14:15 Uhr, Übungskästen RH 6
Aufgabe 19: Betrachten Sie einen 1-dimensionalen Harmonischen Oszillator. Führen Sie
die folgenden Rechnungen algebraisch durch (also ohne Verwendung von Wellenfunktionen).
a) Konstruieren Sie eine Linearkombination von |0i und |1i mit maximalem hxi.
b) Jetzt sei der Oszillator zum Zeitpunkt t = 0 in dem in a) konstruierten Zustand.
Was ist der Zustandsvektor für t > 0 im Schrödingerbild? Berechnen Sie hxi als
Funktion der Zeit für t > 0 im (i) Schrödingerbild und im (ii) Heisenbergbild.
Aufgabe 20: (8 Punkte)
Ein kohärenter Zustand eines 1-dimensionalen Harmonischen Oszillators ist definiert als
Eigenzustand des (Nicht-Hermitischen) Vernichtungsoperators a
a|λi = λ|λi,
wobei λ eine komplexe Zahl ist.
a) Zeigen Sie, daß
|λi = e−|λ|
2 /2
†
eλa |0i,
ein normierter kohärenter Zustand ist.
b) Untersuchen Sie die Unschärferelation für diesen Zustand.
c) Schreiben Sie |λi als
|λi =
∞
X
f (n)|ni.
n=0
2
Zeigen Sie, daß |f (n)| einer Poisson-Verteilung genügt. Finden Sie den wahrscheinlichsten Wert für n.
d) Zeigen Sie, daß man einen kohärenter Zustand durch Anwendung des Translationsoperators e−ipl/~ (wobei l die Verschiebungslänge bezeichnet) auf den Grundzustand
erhält.
Aufgabe 21: (4 Punkte)
Seien ϕ(x) und ϕ̃(p) die Orts- bzw. Impulsdarstellung eines Zustandes |ϕi. Berechnen Sie
die Ortsdarstellung des Zustandes
|ϕa i ≡ exp −i a · p |ϕi
und die Impulsdarstellung des Zustandes
|ϕ̃b i ≡ exp −i b · x |ϕi
jeweils mit konstantem Vektor a und b.
Übungen zur Quantenmechanik
SS11, Peter Lenz, 8. Blatt
1. Juni 2011
Abgabe (Aufgaben 22-24) bis 14.6.11, 14:15 Uhr, Übungskästen RH 6
Aufgabe 22: (12 Punkte)
Betrachten Sie das eindimensionale quantenmechanische System mit dem Hamiltonopep2
+ V (x) und der potentiellen Energie
rator H = 2m
n
Aδ(x) für |x|≤a
(A ≥ 0).
V (x) = ∞
für |x|>a
a) Bestimmen Sie die normierten Eigenfunktionen von H und diskutieren Sie die zugehörigen Eigenwerte grafisch in Abhängigkeit von A (insbesondere für A = 0 und
A → ∞). Skizzieren Sie die Eigenfunktionen für die beiden niedrigsten Eigenwerte
für verschiedene A.
Anleitung:
i) Beweisen Sie zunächst die Sprungbedingung
ψ 0 (x = 0+ ) − ψ 0 (x = 0− ) =
2mA
Ψ(0)
~2
für die Ableitung der Eigenfunktionen an der Stelle x = 0.
ii) Lösen Sie die Schrödinger-Gleichung in den Gebieten I (x > 0) und II (x < 0)
und konstruieren Sie die Eigenfunktionen von H durch Anpassung an die Randbedingungen bei x = 0 und x = ±a. Nutzen Sie aus, daß die Eigenfunktionen
entweder symmetrisch oder antisymmetrisch sind.
b) Ein Teilchen im System werde durch die Wellenfunktion
hπ i
ϕ(x) = C sin3 x
a
beschrieben. Mit welcher Wahrscheinlichkeit befindet sich das Teilchen im n-ten
Eigenzustand von H?
Aufgabe 23: (4 Punkte)
Betrachten Sie erneut das System aus der letzten Aufgabe. Es sei
und interpretieren Sie für diesen Fall die Zustände
1
ϕ∓ (x) := √ (χ1 (x) ∓ χ2 (x))
2
maA
~2
1. Skizzieren
wobei χ1 , χ2 die normierten Eigenfunktionen zu den beiden niedrigsten Eigenwerten seien.
Diskutieren Sie den zeitlichen Verlauf von |ψ(x, t)|2 mit ψ(x, 0) = ϕ+ (x) und interpretieren
Sie das Ergebnis.
Aufgabe 24: (13 Punkte)
Ein von negativem x her einfallender Strom von Teilchen der Masse m falle auf die Potentialbarriere
V (x) =
n
V0
0
für |x|< a2
für |x|> a2
mit a, V0 > 0 konstant.
a) Berechnen Sie für Einfallsenergien E ≤ V0 den Transmissionskoefizient T . Skizzieren
√
0
. Geben Sie
Sie seine Abhängigkeit von ε := VE0 für C 2 = 10, 1, 1/10 mit C := a 2mV
~
eine für V0 − E ~2
2ma2
gültige Näherungsformel für T an.
Hinweis: Benutzen Sie Hyperbelfunktionen.
b) Die Potentialbarriere habe eine Breite von a = 10−10 m und eine Tiefe von V0 = 2eV .
Berechnen Sie T für Elektronen, die mit der Energie E = 1eV auf die Barriere fallen.
Wie lautet das Ergebnis für Protonen?
c) Berechnen Sie im Bereich |x| <
a
2
die stationäre Lösung Ψ(x) der Schrödingergleiq
chung für den Fall, daß der einfallende Teilchenstrom die Dichte 2E
mit E ≤ V0
m
hat. Skizzieren Sie |Ψ(x)|2 . Berechnen Sie die Stromdichte im Bereich |x| < a2 .
Übungen zur Quantenmechanik
SS11, Peter Lenz, 9. Blatt
8. Juni 2011
Abgabe (Aufgaben 25-27) bis 20.6.11, 14:15 Uhr, Übungskästen RH 6
Aufgabe 25: (13 Punkte)
In einer Raumdimension sei ein Potential V (x) gegeben, welches aus n + 1 nicht-überlappenden Anteilen bestehe:
V (x) :=
n
X
vt (x) .
t=0
Dabei gelte vt = 0 auf dem Intervall R\[at , bt ] mit bt−1 < at ≤ bt < at+1 .
In der Region I mit x < a0 und der Region II mit x > bn gelte jeweils:
ΨI (II) (x) = AI (II) eikx + BI (II) e−ikx .
a) Zeigen Sie, dass gilt:
mit der Matrix M
(n) =
=
ben.
Qn
t=0
AII
BII
AI
=M
(n)
=
BI
,
M
, wobei die Matrizen M
die Streung an vt beschrei= t
= t
b) Die vt seien konkret gegeben durch die Deltafunktionen vt (x) = c δ(x − ts), mit dem
Abstand s > 0 und der Stärke c > 0.
(i) Berechnen Sie M
=M
(0) für n = 0. Benutzen Sie die Sprungbedingung aus
= 0
=
Aufgabe 22.
(ii) Verallgemeinern Sie das Ergebnis aus (i) indem Sie M
angeben für ein belie= j
biges j ∈ {0, 1, . . . , n}.
Berechnen Sie die Matrizen M
(0) und M
(1) und bringen Sie sie auf die in (iii)
=
=
angegebene Form.
(iii) Beweisen Sie, dass M
(n) gegeben ist durch
=
p
1 + (βUn )2 ei θn p−i(βUn )e−i nφ
,
M
(n) =
=
i(βUn )ei nφ
1 + (βUn )2 e−i θn
dabei ist β := mc/(~2 k), φ = ks sowie z := cos(φ) + β sin(φ). Die Un (z)
sind Chebyshevpolynome zweiter Art, welche die folgende Rekursionsbeziehung
erfüllen:
Un+2 (z) − 2z Un+1 (z) + Un (z) = 0 , n ∈ N0 .
Hierbei ist U0 (z) = 1 und U1 (z) = 2z. Die spezielle Form der θn ist hier ohne
Relevanz.
Tipp:
- Zeigen Sie zuerst, dass diagonal gegenüberliegende Einträge in M
(n) konjugiert=
∗
∗
komplex zueinander sind: M11 = M22
und M12 = M21
.
(c) Berechnen Sie die Transmissionswahrscheinlichkeit Tn für den Fall BII = 0.
(i) Betrachten Sie Tn als Funktion von φ für die Fälle n ∈ {0, 1, 5, 10, 100} mit
mcs = 2~2 . Diskutieren Sie den Verlauf.
(ii) Wie verhält sich limn→∞ Tn für |z| > 1 und was bedeutet das physikalisch?
Aufgabe 26: (9 Punkte)
Betrachten Sie den Hamiltonoperator H0 eines eindimensionalen harmonischen Oszillators, der durch den Operator
V =λ
4m2 ω 3 4
x
~
(λ > 0)
gestört werde.
a) Bestimmen Sie die Energien in erster und die Grundzustandsenergie in zweiter
störungstheoretischer Näherung.
b) Verwenden Sie als Schar von Variationswellenfunktionen
|φ(α)i =
p
1 + cos (α)|0i −
p
1 − cos (α)|2i
wobei |ni die normierten Eigenzustände von H0 zum n-ten Eigenwert seien. Bestimmen Sie die variationelle Grundzustandsenergie E var (λ) von H = H0 + V und
vergleichen Sie diese graphisch mit dem Ergebnis der Störungstheorie aus a). Prüfen
Sie, ob beide Ergebnisse zur Ordnung λ2 übereinstimmen.
c) Sei E(λ) die exakte Grundzustandsenergie von H. Beweisen Sie, daß
∂
E(λ)
∂λ
≥ 0.
Hinweis: Rechnen Sie mit den abstrakten Zuständen |ni also nicht in der Ortsdarstellung.
Aufgabe 27: (8 Punkte)
Gegeben sei der Hamilton-Operator des anisotropen harmonischen Oszillators
3
mX 2 2
p2
H0 =
+
ω x ,
2m
2 k=1 k k
ωk ∈ R+ .
a) Bestimmen Sie die Eigenwerte und die Ortsdarstellung ψ(x) der Eigenfunktionen
von H0 in kartesischen Koordinaten.
Anleitung: Führen Sie das Problem mit dem Ansatz ψ(x) = ψ1 (x1 )ψ2 (x2 )ψ3 (x3 ) auf
die Eigenwertaufgabe des eindimensionalen harmonischen Oszillators zurück.
b) Bestimmen Sie den Entartungsgrad der drei niedrigsten Eigenwerte für folgende
Fälle:
α) ω1 = ω2 = ω3 ,
β) ω1 = ω2 = 13 ω3
γ) ω1 6= ω2 6= ω3 ,
ωi
ωk
∈
/ Q und ωi + ωk ∈
/ Q für i, k = 1, 2, 3.
c) Bestimmen Sie die Eigenwerte für den Oszillator mit dem Hamilton-Operator
H=
p2
m
+ ω02 [x21 + x22 + 9x23 ] + mω02 αx1 x2 ,
2m
2
α ∈ (−1, 1).
Anleitung: Führen Sie zunächst die folgende Transformation aus
1
x1 = √ (x01 − x02 ),
2
1
p1 = √ (p01 − p02 ),
2
1
x2 = √ (x01 + x02 ), x3 = x03 ,
2
1
p2 = √ (p01 + p02 ), p3 = p03 .
2
d) Drücken Sie den Hamiltonoperator H durch Auf- und Absteigeoperatoren a†k , ak
bezüglich der drei kartesischen Koordinaten k = 1, 2, 3 aus und diagonalisieren Sie
ihn mittels einer geeignete Transformation
a†k
=
3
X
uk,l c†l
,
ak =
l=1
auf neue Auf- und Absteigeoperatoren c†l , cl .
3
X
l=1
uk,l cl
Übungen zur Quantenmechanik
SS11, Peter Lenz, 10. Blatt
15. Juni 2011
Abgabe (Aufgaben 28-30) bis 27.6.11, 14:15 Uhr, Übungskästen RH 6
Aufgabe 28: (9 Punkte)
Betrachten Sie erneut das eindimensionale System aus Aufgabe 22 und behandeln Sie das
Potential V (x) ∼ δ(x) als Störung zum Operator H0 des Teilchens im Potentialkasten.
a) Berechnen Sie die Grundzustandsenergie in zweiter und den Grundzustand in erster
Ordnung Störungstheorie.
b) Entwickeln Sie die gleichen Größen aus den exakten Ergebnissen und prüfen Sie
analytisch, ob diese mit den störungstheoretischen Resultaten übereinstimmen.
c) Skizzieren Sie den exakten und den störungstheoretischen Grundzustand für verschiedene Werte von maA
∈ {0, 0.1, 0.3, 0.9, 1.5}. Lösen Sie hierzu die exakte Eigen~2
wertgleichung numerisch, d.h. mit Hilfe eines Computers.
Aufgabe 29: (9 Punkte)
Auf einen axialsymmetrischen harmonischen Oszillator mit dem Hamilton-Operator
H0 =
p2
m + ω02 x21 + x22 + 9x23
2m
2
wirke eine Störung V = mω02 αx1 x2 mit α ∈ R.
a) Berechnen Sie für den Grundzustand die Energie in 1. und 2. störungstheoretischer
Ordnung und die Wellenfunktion in 1. Ordnung.
b) Berechnen Sie für die aus dem 1. angeregten Zustand des ungestörten Oszillators
hervorgehenden Zustände die Energien in 1. störungstheoretischer Ordnung und die
zugehörigen normierten “richtigen” Linearkombinationen. Zu welchem mit H0 und
V vertauschbarem Operator sind sie Eigenfunktionen?
c) Berechnen Sie für den 1. angeregten Zustand die Energien in 2. störungstheoretischer
Ordnung.
d) Vergleichen Sie die erhaltenen Energiewerte mit den bekannten exakten Werten.
Hinweis: Rechnen Sie nicht in der Ortsdarstellung, sondern führen Sie zunächst Auf- und
Absteigeoperatoren a†k , ak (k = 1, 2, 3) bezüglich der drei kartesischen Koordinaten ein.
Aufgabe 30: (10 Punkte)
Es sei J ein Drehimpulsoperator. Dann bezeichnet man V als ‘Vektoroperator’ bezüglich
3
P
J , falls [Jj , Vk ] = i~ εjkl Vl für j, k = 1, 2, 3 und Z als ‘skalaren’ Operator, falls [J , Z] =
l=1
0.
a) Zeigen Sie, daß der Ortsoperator x und der Impulsoperator p Vektoroperatoren
bezüglich des Bahndrehimpulsoperators L ≡ x × p sind.
b) A und B seien Vektoroperatoren bezüglich J . Zeigen Sie, daß A · B ≡
P
n
An Bn
ein skalarer Operator bezüglich J ist.
c) Sei Z skalarer Operator bezüglich J. Beweisen Sie, daß gilt
hj 0 m0 |Z|jmi = hjm|Z|jmiδjj 0 δmm0
und zeigen Sie, daß hjm|Z|jmi unabhängig von m ist.
d) Sei V Vektoroperator bezüglich J . Bestimmen Sie für jede seiner Komponenten
einzeln diejenigen m, m0 , für welche die entsprechenden Matrixelemente
hj 0 m0 |Vk |j mi ,
k = 1, 2, 3
in der Drehimpulsdarstellung für alle möglichen j und j 0 verschwinden.
e) Beweisen Sie die Relation
2 2 J , J , V = 2~2 V J 2 + J 2 V − 4~2 J (J · V )