rechtwinkliges Dreieck, Satz von Thales

rechtwinkliges Dreieck, Satz von Thales
1. (a) Konstruiere die Mittelsenkrechte der waagrecht liegenden Strecke [P Q] und
zeichnen den Kreis, der [P Q] als Durchmesser hat.
(b) R ist derjenige Schnittpunkt von Mittelsenkrechte und Kreis, der oberhalb der
Strecke [P Q] liegt. Das Dreieck △P QR ist dann gleichschenklig, wenn R auf
der Mittelsenkrechten von [P Q] liegt und deshalb von P und Q gleich weit
entfernt ist. Begründe, dass das Dreieck △P QR auch rechtwinklig ist.
(c) Es gilt: In jedem gleichschenklig-rechtwinkligen Dreieck zerlegt die Mittelsenkrechte der Basis das Dreieck in zwei kongruente Teildreiecke.
Welche der folgenden Argumentationen ist richtig?
Die zwei Teildreiecke sind kongurent, . . .
• . . . weil man zeigen kann, dass die Teildreiecke in allen drei Winkeln übereinstimmen und Dreiecke, die in allen drei Winkeln übereinstimmen, immer kongruent sind.
• . . . weil man zeigen kann, dass die Teildreiecke in allen drei Seiten übereinstimmen und Dreiecke, die in allen drei Seiten übereinstimmen, immer
kongruent sind.
• . . . weil man zeigen kann, dass die Flächeninhalte der Teildreiecke gleich
groß sind und Dreiecke, die den gleichen Flächeninhalt besitzen, immer
kongruent sind.
• . . . weil die Mittelsenkrechte Symmetrieachse des gleichschenklig-rechtwinkligen
Dreiecks ist.
Bayerischer Mathematik Test für die 8. Klasse, 2007
Lösung: (a)
(b) △P QR ist rechtwinklig, weil R auf dem Thaleskreis über [P Q] liegt.
(c) Die zweite und vierte Aussage sind richtig.
2. Figuren legen
Welche Drei- und Vierecke lassen sich mit zwei gegebenen rechtwinkligen Dreiecken
legen?
Schneide die vorgegebenen Dreiecke aus und lege sie so aneinander, dass eine neue
Figur entsteht. Benenne jeweils Ihre Eigenschaften.
Mögliche Verallgemeinerung: Welche Drei- und Vierecke lassen sich aus zwei gegebenen Dreiecken legen?
Lösung:
• z. B. kann aus zwei rechtwinkligen (nicht gleichschenkligen) Dreiecken ein Rechteck,
Drachen oder (zwei nicht-kongruente) Parallelogramme entstehen, ebenso zwei nichtkongruente gleichschenklinge Dreiecke:
1
• aus zwei rechtwinkligen und gleichschenkligen Dreiecken ein Quadrat oder (zwei kongruente) Parallelogramme entstehen, ebenso ein rechtwinkliges Dreieck:
• aus zwei rechtwinkligen Dreiecken: nur Raute, Drachen mit einspringender Ecke oder
(zwei kongruente) Parallelogramme:
• aus zwei glechseitigen Dreiecken: nur eine Raute:
• aus zwei beliebigen Dreiecken (nicht gleichwinkling, gleichschenkling und gleichseitig):
drei nicht-konguente Drachen, ebenso (drei nicht-konguente) Parallelogramme:
3. Florians Zimmer ist rechteckig und hat 4,60 m Länge und 3,00 m Breite. Florian leiht
sich von seinem Vater dessen Weitwinkelkamera, die eine Brennweite von 18 mm
besitzt. Mit dieser Kamera, deren Öffnungswinkel 90◦ beträgt, möchte er jeweils
genau eine Wand photographieren.
(a) Konstruiere im Maßstab 1 : 50 die Kamerastandorte, von denen aus er seine
Aufnahmen machen muss, so dass auf den Bildern jeweils genau eine Wand zu
sehen ist.
(b) Gilt die gefundene Lösung so für alle Zimmer mit rechteckiger Grundfläche?
Literatur: Sinnstiftende Kontexte, Staatsinstitut für Schulpädagogik und Bildungsforschung München, 2000
Lösung: (a) 4,6 m =9,2
b
cm, 3 m =6
b cm
Florian muss auf den Thaleskreisen über den jeweiligen Seiten des Rechtecks stehen.
2
A
H
y
D
3
2
1
E
G
x
0
−3
−2
0
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
−1
B
−2
F
C
−3
−4
−5
−6
−7
−8
−9
(b) Ja
4. Ermittle alle mit griechischen Buchstaben gekennzeichneten Winkelmaße.
C
D
45
o
δ
ϕ
ε
E
ψ
B
M
α
A
Lösung: δ = 90◦
α = 45◦
ε = 126,86◦
26,57
ϕ = 63,43◦
3
o
ψ = 81,86◦