Lösungen zu AVWL III

Universität Ulm
Institut für Betriebswirtschaft
Hellwig/Meuser
SS 2007
13.06.2007
Blatt 4
Lösungen zu AVWL III
Aufgabe 16 (Kreuzpreiselastizität der Nachfrage)
a) Die Kreuzpreiselastizität der Nachfrage zwischen Gut j und Gut i beschreibt, wie
sich Preisänderungen eines Gutes j auf die Änderung der Nachfrage nach Gut i
auswirken. Die Formel dafür ist
e(pj , xi ) =
∂xi pj
∂pj xi
b) Bei komplementären Gütern gilt:
Preiserhöhungen des einen Gutes bewirken eine Nachfragereduzierung des anderen Gutes (Beispiel: Benzin und ”Spritschlucker”). Daher ist
e(pj , xi ) < 0.
Bei substitutiven Gütern (Beispiel: Butter und Margarine) gilt:
e(pj , xi ) > 0.
Bei unverbundenen Gütern (Beispiel: Kinobesuch und Bleistifte) gilt:
e(pj , xi ) = 0.
c) Ist die Kreuzpreiselastizität positiv, dann handelt es sich bei den betrachteten
Gütern um Substitutionsgüter. Steigt also der Preis von Speiseeis an, dann steigt
die Nachfrage nach den substitutiven Erfrischungsgetränken.
Umgekehrt führt ein Anstieg des Preises von Speiseeis zu einem Rückgang auch
der Nachfrage nach Eiswaffeln. Im Falle von Komplementärgütern ist die Kreuzpreiselastizität negativ. Dasselbe gilt für den Preis von Autos und die Nachfrage
nach Benzin.
Aufgabe 17 (Produktion)
a) In einer Produktionsfunktion wird die Beziehung zwischen Produktionsergebnissen (Output, Ausbringung) und Faktoreinsatz (Input wie Rohstoffe, Energie,
Arbeitsleistung) offengelegt. Ist die Produktionsfunktion bekannt, so erlaubt jede
beliebige Faktoreinsatzmenge Rückschlüsse auf die Höhe des Produktionsergebnisses.
Im eindimensionalen Fall gibt es einen Inputvektor x = (x1 , . . . , xn ) mit x ≥ 0
und aus Outputvektor die Zahl y. Die Produktionsfunktion ist y = f (x).
b) Ein Vektor z aus allen Input- und Outputvariablen heißt Produktionsprozess.
Falls zi < 0 ist, ist i Inputvariable und falls zi > 0 ist, ist i Outputvariable.
Im eindimensionalen Fall ist
z = (y, −x1 , . . . , −xn )
c) Die Menge aller technisch möglichen Produktionsprozesse heißt Technologiemenge. Im eindimensionalen Fall ist die Technologiemenge
Z = {z
mit y ≤ f (x) , x ≥ 0}
Aufgabe 18 (Gewinnmaximierung mit Kostenminimierung)
Ein Unternehmen produziert ein Produkt y mit dem Einsatz von zwei Produktionsfaktoren (x1 , x2 ). Die Produktionsfunktion lautet
3
1
y = x14 x24
a)
3
1
y(40; 640) = 40 4 640 4 = 80
∂y
3 −1 1
= x1 4 x24
∂x1
4
3
3 4 −1 14
=
x x2
4 1
3
=
y
4x1
y10 =
analog
y20 =
1
y
4x2
3
80 = 1.5
4 · 40
1
y20 (40; 640) =
32
⇒ y10 (40; 640) =
d.h. bei Erhöhung der Einsatzmenge von Faktor 1 um eine infinitesimale Einheit wird
die Ausbringungsmenge um den Faktor 1.5 erhöht. Bei Gut 2 beträgt der Faktor lediglich 1/32. Die Grenzproduktivität von Faktor 1 ist bei der gewählten Einsatzkombination also deutlich höher.
b) Die Faktorpreise betragen w1 = 30 GE und w2 = 10 GE.
i) Das Optimierungsproblem zur Berechnung der Minimalkostenkombination lautet für beliebiges festes y > 0



 30x1 + 10x2 → min
3
1
4
4
 x1 x2 = y

 x ≥ 0, x ≥ 0
1
2
Aufstellen der Lagrange-Funktion:
3
1
L(x1 , x2 , λ) = 30x1 + 10x2 + λ(y − x14 x24 )
Nullsetzen der partiellen Ableitungen:
∂L
3 −1 1
= 30 − λ x14 x24 = 0
∂x1
4
∂L
1 3 −3
= 10 − λ x14 x24 = 0
∂x2
4
3
1
∂L
= y − x14 x24 = 0
∂λ
Umformen ergibt:
4 1 −1
x1 1
λ = 30 · x14 x24 = 40( ) 4
3
x2
x2 3
λ = 40( ) 4
x1
4
y
x2 = 3
x1
Gleichsetzen und Einsetzen
x41 1
)4
y4
x1
⇔
y
⇔ x1
⇒ x2
40(
= 40(
= (
= y
= y
y4 3
)4
x41
y 3
)
x1
(x1 , x2 > 0, da y > 0)
Die minimalen Produktionskosten betragen somit
c(y) = 30 · y + 10 · y = 40y
Für y = 80
c(80) = 40 · 80 = 3200
ii) Das Optimierungsproblem zur Berechnung der maximalen Produktion lautet
 3 1


 x14 x24 → max
30x1 + 10x2 = 7600


 x ≥ 0, x ≥ 0
1
2
Aufstellen der Lagrange-Funktion:
3
1
L(x1 , x2 , λ) = x14 x24 + λ(7600 − 30x1 − 10x2 )
Nullsetzen der partiellen Ableitungen:
1
∂L
3 −1
=
x14 x24 − 30λ = 0
∂x1
4
∂L
1 34 −3
=
x x 4 − 10λ = 0
∂x2
4 1 2
∂L
= 7600 − 30x1 − 10x2 = 0
∂λ
Umformen ergibt:
1 x2 1
( )4
40 x1
1 x1 3
λ =
( )4
40 x2
x2 = 760 − 3x1
λ =
Gleichsetzen und Einsetzen
1 x1 3
1 x1 −1
( )4 =
( )4
40 x2
40 x2
⇔ x2 = x1
⇒ x1 = 760 − 3x1
760
⇒ x1 =
= 190
4
⇒ x2 = 190
Somit
3
1
y = 190 4 190 4 = 190
iii) In der Ausgangssituation entstehen Kosten in Höhe von 7600 bei einer Produktionsmenge von y = 80. Es handelt sich somit um keinen optimalen Produktionsplan, denn:
– entweder kann der gleiche Output bei Kosten von nur 3.200 hergestellt werden (b(i))
– oder es kann bei gleichen Kosten ein erheblich höher Output von 190 erzielt
werden (b(ii)).
Aufgabe 19 (Gewinnmaximierung des Monopolisten)
Bestimmung der inversen Nachfragefunktion p(y)
1
y = 200 − p
2
⇔ p = −2y + 400
Die Erlösfunktion lautet:
r(y) = p(y) · y
= −2y 2 + 400y
Ein gewinnmaximierender Monopolist maximiert G(y) = r(y) − c(y).
Somit lautet die Optimalitätsbedingung Grenzerlös=Grenzkosten:
r0 (y) − c0 (y) = 0
r0 (y) = c0 (y)
⇒ −4y + 400 = 40
360
⇔y =
= 90
4
Überprüfung der hinreichenden Bedingung:
r00 (y) − c00 (y) = −4 < 0
Der Monopolist sollte somit 90 Stück zu einem Preis von p = 400−2·90 = 220 anbieten.
Der Gewinn beträgt dann
G(90) = −2 · 902 + 400 · 90 − 40 · 90 = 16200