Zusatzbeispiele zur UE Analysis mit Schwerpunkt VWL

Zusatzbeispiele zur UE Analysis mit Schwerpunkt VWL
9. Januar 2013
Angaben beziehen sich auf: Sydsaeter, Hammond: Math. f. Wirtschafstwissenschaftler, 3. Auage
1. (Elastizitäten, Sydsaeter S. 281)
3
Die Nachfragefunktion für ein Gut X ist gegeben durch d(p) = 8000p− 2 , wobei d die nachgefragte
Menge nach X und p den Preis von X darstellt. Berechnen Sie die Elastizität der Nachfrage und
bestimmen Sie damit die Änderung der nachgefragten Menge, wenn der Preis um 1% von p = 4 aus
ansteigt.
2. (Elastizitäten)
Zeigen Sie, dass jede Elastizität =
dy
dx
·
x
y
auch als =
d(ln y)
d(ln x)
dargestellt werden kann.
3. (CD)
P
Eine Cobb-Douglas-Produktionsfunktion f : Rn → R sei gegeben als f (x) = xα1 1 ·...·xαnn mit ni=1 αi =
1 (xi > 0, αi > 0, i = 1, ..., n). Man sagt eine Produktionsfunktion hat konstante Skalenerträge (oder
ist homogen vom Grad 1), wenn die Bedingung γf (x) = f (γx) für beliebiges γ 6= 0 erfüllt ist. Zeigen
Sie, dass die Produktionsfunktion konstante Skalenerträge aufweist!
4. (Optimierung GleichheitsNB, Sydsaeter S.581)
Ein Konsument lebt in einer Welt, die nur zwei Güter kennt, nämlich Brot und Kuchen. Sein Nutzen
√
durch den Konsum (von Brot und Kuchen) kann durch u(x, y) = x + y beschrieben werden, wobei
x die Menge an Brot und y die Menge an Kuchen angibt. Weiters sei die Nebenbedingung (Budgetbeschränkung) x + 4y = 100 gegeben.
(a) Bestimmen Sie das Güterbündel (x∗ , y ∗ ), für das der Nutzen des Konsumenten am gröÿten ist!
(b) Nehmen Sie an, die Budgetbeschränkung wird auf px + qy = m abgeändert, die Nutzenfunktion
q2
bleibt gleich: Bestimmen Sie die nachgefragten Mengen der zwei Güter, wenn m > 4p
.
5. (Optimierung UngleichheitsNB)
Lösen Sie Beispiel (4) exakt, indem sie die Nutzenfunktion gleich lassen, aber die Nebenbedingungen
auf x + 4y ≤ 100 sowie x ≥ 0 und y ≥ 0 abändern!
6. (CRRA, wikipedia risk aversion)
00 (c)
Das Arrow-Pratt measure of relative risk aversion (RRA) ist deniert als R(c) = − cuu0 (c)
, wobei c die
Menge des Konsums angibt und u(c) den dadurch erlangten Nutzen. Zeigen Sie, dass die Nutzenfunk1−ρ
tion u(c) = c 1−ρ−1 , ρ > 0, ρ 6= 1 ein konstantes RRA aufweist, dh. R(c) = const., und geben Sie den
Wert von R(c) an!
1
7. (Nachfrage-Angebot, implizites Dierenzieren, S487)
Die Nachfrage nach einem Gut lässt sich durch die Funktion D = f (t, p) beschreiben, wobei p der
Preis ist und t eine Verkaufssteuer. Die Angebotsfunktion des Gutes ist durch S = g(p) gegeben. Im
Marktgleichgewicht sind zwei Punkte erfüllt. 1. D = S (Angebot ist gleich groÿ wie die Nachfrage)
und 2. p = p(t) (der Gleichgewichtspreis ist eine Funktion der Verkaufssteuer). Bestimmen Sie mit
Hilfe des impliziten Dierenzierens die Ableitung dp
dt im Marktgleichgewicht!
8. (Produktionsfunktion, imlizites Dierenzieren,Optimierung, S.491)
Ein Unternehmen produziert Q = f (L) Einheiten eines Gutes unter Einsatz von L Arbeitseinheiten.
Wir nehmen an, dass f 0 (L) > 0 (streng monoton wachsend) und f 00 (L) < 0 (strikt konkav) gilt.
(a) Geben Sie die Gewinnfunktion π(L) an, wenn das Unternehmen p Euro pro Einheit des Gutes
erhält und w Euro für eine Arbeitseinheit zahlt. Bestimmen Sie dann die Bedingung erster
Ordnung für die Maximierung des Gewinns an der Stelle L∗ > 0. Hinweis: Der Gewinn des
Unternehmens ist Einnahmen minus Ausgaben!
(b) Untersuchen Sie durch implizites Dierenzieren der Bedingung erster Ordnung wie Änderungen
∗
∂L∗
in p und w die optimale Wahl von L∗ beeinussen, dh. bestimmen Sie ∂L
∂p und ∂w ! Hinweis:
Setzen Sie die Aufgabe als F (p, w, L∗ ) = ”Bed.1.Ord.” = 0 an!
9. (Homogenität, S.501)
Man sagt eine Funktion ist homogen vom Grad k, wenn die Bedingung γ k f (x) = f (γ k x) für beliebiges
γ 6= 0 und alle Werte x erfüllt ist. Zeigen Sie, dass die Funktion f (x, y) = x3 + xy für keinen
grad k homogen sein kann. Hinweis: Finden Sie zwei Werte für γ und konstruieren Sie damit einen
Widerspruch!
10. (Produktionsfunktion, Optimierung, S.566)
Ein Unternehmen verwendet Kaptial k, Arbeit l und Land t um q Einheiten eines Gutes herzustellen,
2
1
1
wobei q = k 3 + l 2 + t 3 . Nehmen Sie an, dass das Unternehmen p Euro für jede produzierte Einheit
erzielt und dass die Kosten pro Einheit Kapital, Arbeit und Land r,w bzw. s sind.
(a) Bestimmen Sie diejenigen Werte von k, l und t (als Funktionen der vier Preise), die den Gewinn
π = pq − rk − wl − st des Unternehmens maximieren (Alle Variablen und alle Konstanten sind
positiv und sie können annehmen, dass ein Maximum existiert).
(b) Es bezeichne q ∗ die optimale Anzahl produzierter Einheiten und k∗ den optimalen Kapitalstock.
∗
∂k∗
Zeigen Sie, dass ∂q
∂r = ∂p .