Anhang 54: Pascal-Dreieck Unterrichtseinheit Variieren

Anhang 54: Pascal-Dreieck
Unterrichtseinheit Variieren mit dem Pascal-Dreieck
durchgeführt von StD Annelies Paulitsch (Hamburg)
Lerngruppe: Klasse 5 am Gymnasium
Zeit: 2-3 Stunden
1. Einbettung in den Unterricht - Verlauf
Im vergangenen Schuljahr führte ich in einer 5. Klasse kurz vor den Sommerferien eine Unterrichtseinheit ‘Rund ums Pascal-Dreieck’ durch.
Während einer Unterrichtsstunde kam mir spontan die Idee, die Schüler ihr eigenes ‘Pascal-Dreieck’ erfinden zu lassen. Jeder sollte sich zwei Regeln bzw.
Vorschriften ausdenken (eine für die Bildung der Zahlen am Rand und eine für
die Berechnung der ‘inneren’ Zahlen) und nach seinen Regeln die Zahlen der
ersten Reihen berechnen. Mit Eifer gingen die Schüler ans Werk und präsentierten mir stolz ‘ihre’ Dreiecke. Die Idee, die anderen Schüler die eigenen Vorschriften herausfinden zu lassen, kam von den Schülern. Drei Schüler - für mehr
reichte die Zeit in dieser Stunde nicht - schrieben ihre ersten Reihen an die Tafel; die Klasse musste die Regeln erraten.
In der nächsten Stunde ging es weiter mit dem Erfinden von eigenen Zahlendreiecken, nun erleichtert durch einen von mir erstellten Übungsbogen (s. Anhang). Die folgende Stunde war dem Erraten von Vorschriften vorbehalten.
Die Ideenvielfalt war überwältigend (s. nächster Abschnitt).
2. Schülervorschläge: Variationen des Pascal-Dreiecks
Im folgenden fasse ich die Vorschläge der Schüler in Auszügen in einer Tabelle
zusammen (ich zitiere wörtlich). Einige Vorschläge können hier nicht wiedergegeben werden, weil zu ihrem Verständnis Skizzen oder verschiedene Farben
vonnöten sind.
Vorschrift zur Bestimmung der
Randzahlen
An den Rändern sind natürliche Zahlen.
inneren Zahlen
Die Summe aus den beiden oberen Zahlen!
Man muss an den Rändern zweimal die gleiche Man muss die Zahlen über einem Kästchen addieren.
Zahl der Reihe nach schreiben.
Am Rand stehen nur Fünfen.
Man addiert.
An den Rändern: 1. Rand gerade, 2. Rand
ungerade Zahlen
Die Zahlen über einem Kästchen werden addiert.
227
An den Rändern stehen die natürlichen Zahlen. Man nimmt das 3-fache der Zahl und addiert es mit dem
anderen 3-fachen.
Am Rand steht nur die Zahl 4.
Es funktioniert alles wie im normalen Pascaldreieck.
Außen stehen die geraden Zahlen
Man rechnet drei Zahlen zusammen: die beiden Zahlen
über dem Kästchen und die Zahl über diesen beiden.
Außen stehen alle ungeraden Zahlen der Reihe
nach.
Wenn man von zwei Zahlen die kleinere von der größeren
abzieht, kommt als Ergebnis die darunterstehende Zahl
heraus.
An den Rändern stehen die natürlichen Zahlen
der Reihe nach.
Es wird immer die Quersumme addiert.
Am Rand stehen ungerade Zahlen.
Man nimmt die Zahlen mal. Das Ergebnis wird durch 2
geteilt. Den Rest schreibst du in das nächste Kästchen.
Außen stehen die Primzahlen.
Man muß die Quersumme zweier Zahlen zusammenzählen.
Am Rand steht das 1x2.
In den anderen Feldern steht immer das kgV der darüberstehenden Zahlen.
Am Rand stehen die natürlichen Zahlen.
Man addiert die Zahlen und schreibt die nächst kleinere
Primzahl in das Kästchen.
Am Rand stehen Einsen.
Man addiert und schreibt in das Kästchen, wieweit es noch
bis zur nächsten Zehnerzahl ist.
Am Rand stehen die Zahlen der Reihe nach.
Man addiert und schreibt die Quersumme davon ins Kästchen.
Die Versuche der Schüler, die ‘zu nichts’, bzw. zu einem ‘langweiligen’ Dreieck
führten, sind hier nicht aufgeführt, da die Schüler die zugehörigen Zettel nicht
abgegeben haben. Sie haben aber gemerkt - und darüber wurde gesprochen - ,
dass z. B. die Bildung des ggT anstelle des kgV sehr bald nur noch Einsen liefert, dass man die Ränder des ursprünglichen Pascaldreiecks verändern muss,
wenn man die Multiplikation oder die Division ins Spiel bringen will.
3. Fazit
Die Schüler waren vom Anfang bis zum Ende mit Eifer am Werk. Es machte
ihnen großen Spaß, das Pascaldreieck ganz nach ihren Wünschen und Vorstellungen abändern zu dürfen. Besonders spannend war es für sie, ihre Ideen dann
auch vorführen zu können und die Mitschüler knobeln zu sehen! (Sie durften
übrigens ‘ihren’ Dreiecken auch einen Namen geben.)
Für mich als Lehrerin war es vor allem wichtig, das Maß an Phantasie, das bei
dieser Aufgabenstellung zu Tage trat, zu erleben. Daneben habe ich erfreut zur
Kenntnis genommen, dass ein Großteil der Klasse sicher mit Begriffen wie gerade Zahlen, ungerade Zahlen, Primzahlen, Quersumme , ggT und kgV umzugehen in der Lage war.
Das oben beschriebene Variieren am Pascal-Dreieck war mit Sicherheit eine
lohnende Sache! Ich kann es zur Nachahmung empfehlen.
228
Arbeitsblatt
Mein eigenes „Pascaldreieck“
Ich nenne es
Regeln zum Bestimmen der Zahlen:
1)
2)
229
Anhang 55: Addition von Nachbarzahlen
Unterrichtseinheit Variation einer Arithmetik-Aufgabe
durchgeführt von OStR Wilhelm Hein und
OStR Hans Knichel (Saarbrücken)
Lerngruppen: eine Klasse 5 und zwei Klassen 6
Zeit: je 4 Schulstunden
Im Folgenden beschreiben wir einen Unterrichtsversuch, bei dem Schüler eine
von uns gestellte Aufgabe eigenständig abgewandelt, die Varianten untersucht
und ihre Arbeit abschließend bewertet haben.
Unsere Planung ...
An unserem Versuch waren die Klasse 5d4 (Gymnasium am Rotenbühl, Saarbrücken), sowie die Klassen 6r und 6e (Marienschule, Saarbrücken) mit insgesamt 95 Schülern beteiligt.
Als Initialaufgabe wählten wir:
Nimm zwei aufeinanderfolgende natürliche Zahlen und addiere
sie.
Der sich an die Aufgabenstellung anschließende fragend-erörternde Unterricht
sollte folgende Phasen umfassen:
1. Sammeln von Beispielen
2. Aufstellen der Vermutung „Wir erhalten stets eine ungerade Zahl.“
durch
3. Kontrollieren, Plausibel machen und Sichern durch
•
Nachrechnen am Beispiel
4 + 5 = 4 + (4 + 1) = (4 + 4) + 1 = 2⋅4 + 1
•
Allgemeines Nachrechnen
n + (n + 1) = (n + n) + 1 = 2⋅n + 1
230
•
Bauklötze zum Be-greifen
=
+
•
Bildhafte Darstellung
+1
ungerade
gerade
Uns war wichtig, dass die Schüler die Lösung auf allen Darstellungsebenen
verinnerlichen sollten. Für die Umsetzung unseres Plans war eine Unterrichtsstunde vorgesehen.
... und was die Schüler daraus machten
In allen drei Klassen verlief der Unterricht zunächst nach Plan. Als neuartige
Aufgabe formulierten wir:
Nimm die Aufgabe und ändere sie ab.
Wir erklärten mündlich: “Ihr baut euch damit zum ersten Mal selbst Aufgaben.
Bisher habt ihr immer nur die Aufgaben gelöst, die der Lehrer euch vorgegeben
hat, oder die im Buch, so wie sie da stehen.”
Alle Vorschläge der Schüler wurden vom Lehrer ohne Kommentar (!) an die
Tafel geschrieben. Jede Klasse sammelte etwa 20 Aufgaben. Die folgende Tabelle enthält von den Schülern der drei Klassen erzeugte Aufgabenvariationen
(AV), wobei wir die meisten inhaltsgleichen und einige von denen, die offensichtlich keine Ergebnisse liefern, weggelassen haben.
231
AV 1 Addiere eine Zahl und ihren Vorgänger.
AV 15 Nimm zwei aufeinanderfolgende
ganze Zahlen, multipliziere sie und
bilde ihre Quersumme
AV 2 Addiere zwei aufeinanderfolgende AV 16 Nimm zwei aufeinanderfolgende
negative Zahlen.
natürliche Zahlen und dividiere sie.
AV 3 Nimm zwei negative ganze Zahlen AV 17 Nimm eine Zahl, ihren Nachfolger
und addiere sie.
und ihren Vorgänger und addiere
sie.
Nimm drei aufeinanderfolgende
Zahlen und addiere sie.
AV 4 Nimm zwei Zahlen, die 2 auseinAV 18 Nimm zwei aufeinanderfolgende
ander liegen und addiere sie.
natürliche Zahlen, addiere sie und
ziehe den Vorgänger der Zahl, die
rauskommt, ab.
AV 5 Nimm zwei Zahlen im Dreierschritt AV 19 Multipliziere drei aufeinanderfolund addiere sie.
gende Primzahlen.
AV 6 Nimm zwei Zahlen im FünferAV 20 Nimm vier aufeinanderfolgende
schritt und addiere sie.
Zahlen und addiere sie.
AV 7 Nimm eine Zahl aus − und eine
AV 21 Multipliziere vier aufeinanderfolgende Zahlen , ziehe die Zahl 2 ab
aus + und addiere sie.
und multipliziere das Ergebnis mit
sich selbst.
AV 8 Nimm eine Zahl aus + und ihre
AV 22 Nimm fünf Zahlen aus + , addiere
Gegenzahl und addiere sie.
zwei davon und ziehe die anderen
drei von der Summe ab.
AV 9 Bilde das Quadrat einer Zahl und
AV 23 Multipliziere fünf aufeinanderfoladdiere dazu den Nachfolger der
gende Fünferpotenzen.
Zahl.
AV 10 Nimm zwei aufeinanderfolgende
AV 24 Multipliziere alle negativen Zahlen
natürliche Zahlen und subtrahiere
bis (–100).
sie.
AV 11 Nimm zwei aufeinanderfolgende
AV 25 Nimm die Zahl 56, dividiere sie
Zahlen und multipliziere sie.
durch 6 und multipliziere den Rest
mit deiner Lieblingszahl.
AV 12 Multipliziere zwei aufeinanderfolAV 26 Nimm eine Zahl und ihre Schnapsgende gerade Zahlen.
zahl* und multipliziere sie.
AV 13 Multipliziere zwei aufeinanderfolAV 27 Addiere die erste und die letzte Zahl
der Fünferreihe.**
gende Potenzen, z. B. 2 2 und 2 3 .
AV 14 Nimm zwei Quadratzahlen und
multipliziere sie.
* Schülererklärung: “14 hat als Schnapszahl 141414, denn Betrunkene sehen alles dreifach.”
** Einige Schüler protestierten sofort.
Nun teilten wir die Bearbeitung der Vorschläge als Hausaufgabe unter den
Schülern auf. In den beiden folgenden Stunden stellten sie ihre Ergebnisse zu
den einzelnen Variationen (AV) vor. Sie sind nachfolgend aufgelistet, so wie die
Schüler sie formuliert haben.
232
AV
AV
AV
AV
1
2
3
4
AV 5
AV 6
AV 7
AV 8
AV 9
AV 10
AV 11
AV 12
AV 13
AV 14
AV 15
AV 16
AV 17
Das ist dasselbe wie in der Ausgangsaufgabe.
--Es kommt immer eine negative Zahl raus.
1. Das Ergebnis ist immer eine gerade Zahl.
2. Für alle a ∈ ZZ+ gilt a + (a+2) = 2⋅a +2 .*
Es kommt immer eine ungerade Zahl heraus.
Kein Ergebnis gefunden.
Wenn der Betrag der negativen Zahl größer ist als der Betrag der positiven, so
kommt eine negative Zahl raus; im umgekehrten Fall eine positive.
1. Das Ergebnis ist immer 0.
2. Für alle a ∈ ZZ+ gilt a + (−a) = a − a = 0 .*
Kein Ergebnis gefunden.
1. Wenn man von einer Zahl ihren Nachfolger subtrahiert, kommt (–1) raus.
2. Es kommt immer 1 oder (–1) heraus.
3. Für alle a ∈ IN gilt: a − (a+1)* = a − a − 1 = −1 . *
4. Da kommt das Quadrat der Zahl plus die Zahl raus.
5. Da kommt immer eine gerade Zahl heraus.
6. Es kommen nur die Endziffern 0, 2 und 6 vor.
Das Ergebnis ist eine gerade Zahl.
--Das Ergebnis ist wieder eine Quadratzahl.
Es fällt nichts Besonderes auf.
Für b ∈ IN*\{1} gilt (b+1) : b = 1 Rest 1 .*
1. Die Summe von 3 aufeinanderfolgenden Zahlen ist stets ein Vielfaches von 3.
2. a + (a + 1) + (a + 2) = 3⋅a + 3 = 3⋅(a+1) *
3. Z. B. 253 + 254 + 255 . 253 ist 1 weniger als 254, aber 255 ist 1 mehr als 254.
Diese 1 addieren wir zu 253 und erhalten: 254 + 254 + 254=3 254.
4.
AV 18 1. Es kommt immer 1 heraus.
2. Für alle a ∈ IN gilt [a + (a+1)] − [a + (a+1) − 1] = 1 . *
AV 19 --AV 20 1. Es kommt stets eine gerade Zahl heraus.
2. Die Summe ist kein Vielfaches von 4, denn es gibt keine Mitte.
Bei 5 Zahlen geht es wieder.
AV 21 --AV 22 Es fällt nichts Besonderes auf.
AV 23 --AV 24 --AV 25 Es kommt die doppelte Lieblingszahl raus.
AV 26 Kein besonderes Ergebnis.
AV 27 Nicht machbar!
* Laut saarländischem Lehrplan werden Gesetzmäßigkeiten bereits ab Klassenstufe 5 mit
233
Quantoren und Variablen formuliert.
Am Ende dieses Unterrichtsversuchs kommentierten die Schüler:
•
•
•
•
•
•
•
•
•
“Man kann unendlich viele Beispiele machen.”
“Es ist schön, mit vielen Beispielen rumzubasteln.”
“Es gab langweilige Aufgaben.”
“Manchmal war es zu leicht.”
“Das Ganze war harte Arbeit.”
“Es war viel zu schreiben.”
“Manche Probleme sind interessant.”
“Der Unterricht war abwechslungsreich.”
“Ich fand es gut, dass man Aufgaben selbst machen darf.” *
* In diesem Sinne äußerten sich viele Schüler.
Wir stellen fest ...
Die Schüler haben alle kennzeichnenden Elemente der Aufgabe erkannt und sie
systematisch einzeln oder kombiniert abgewandelt. Hier eine Übersicht:
Nimm zwei
AV:
drei
17,18,19
vier
20,21
aufeinanderfolgende
AV:
im 2er Schritt 4,12
im 3er Schritt
5
fünf
viele
im 5er Schritt
beliebige
22,23
24
6
3
natürliche Zahlen
AV:
gerade Zahlen
12
Primzahlen
19
und addiere sie.
AV:
subtrahiere
10
multipliziere 11,12,13
14,19,23
24,26
Quadratzahlen
14
dividiere
16
Potenzen
13,23 mehrere Re- 9,15,18
chenopera- 21,22,25
tionen
ganze Zahlen
7,8
15
negative Zahlen 2,3
24
Schnapszahlen
26
Die Schüler haben erfahren, dass das Ändern auch nur eines einzigen Wortes
einer Aufgabe dazu führen kann, dass unlösbare oder unsinnige Probleme entstehen, dass leichte Probleme zu schwierigen werden und umgekehrt.
Das Erzeugen neuer Aufgaben aus einer vorgegebenen Initialaufgabe führte zu
einer längeren kreativen Phase in unserem Unterricht, in die alle Schüler eingebunden waren. Gerade leistungsschwächere und sonst eher demotivierte Schüler
zeigten Interesse und arbeiteten rege mit. Dies bezieht auch die häusliche Bearbeitung der selbsterfundenen Aufgaben ein.
234
Beim Erzeugen der Aufgaben war niemand ausgeschlossen und es gab auch keine Inhalte und Methoden, die nicht zugelassen waren. So entstand ein vielfältiges Angebot von Aufgaben unterschiedlichen Anspruchs, darunter auch Aufgaben zum Wiederholen länger zurückliegender Stoffe. Die Schüler lösten die
Probleme auf verschiedenen Niveaus und Darstellungsebenen. Die Ergebnisse
wurden im Unterricht vorgestellt, einige vertieft oder verglichen. “Besonders im
Vergleich qualitativ unterschiedlicher Lösungswege, ihrer Begründungen und
Probleme kann sich Verständnis entfalten”. (BLK, S.89)
... und meinen
Schüler, die mit der Methode der Aufgabenvariation vertraut sind, gehen bewusst mit Aufgabenstellungen um; sie wissen, dass es hier auf jedes Wort ankommen kann. Hausaufgaben werden nicht so schnell als nicht gekonnt beiseite
gelegt, vielmehr ist zu erwarten, dass sich Schüler aufmerksam und intensiv mit
der eigentlichen Aufgabenstellung beschäftigen. Sie sind eher in der Lage, die
wichtigen Elemente der gestellten Aufgabe zu erkennen. Dies führt in vielen
Fällen zum Auffinden einer Lösung. Zumindest sind die Schüler für den Lösungsvorschlag eines Mitschülers oder des Lehrers besser vorbereitet.
Für uns ist Aufgabenvariation eine Methode, den Mathematikunterricht anders
und lebendig zu gestalten und vielleicht auch wesentlich zu machen. Bleibt zu
hoffen, dass unsere Schüler auch von sich aus hin und wieder Aufgaben variieren.
Übrigens
Im Anschluss an unseren Unterrichtsversuch stellte einer von uns folgende Aufgabe (als Umkehrung von AV 17) in einer Klassenarbeit (5d4):
Lässt sich die Zahl 1000 als Summe dreier aufeinanderfolgender
Zahlen schreiben? Begründe Deine Antwort.
Die Aufgabe wurde von der Hälfte der Schüler richtig bearbeitet. Hier die Lösung einer Schülerin:
Es geht nicht. Begründung: Denn 1000 durch 3 das geht nicht und
man muss die Zahl erst durch drei teilen können. Dann hat man drei
gleiche Zahlen. Man nimmt von der einen Zahl, die der Vorgänger
sein soll, eine 1 weg und gibt sie dem Nachfolger dazu. Also hätte
man drei aufeinanderfolgende Zahlen.
235
Anhang 56: Kreise im Dreieck
Unterrichtseinheit Kreise im Dreieck
durchgeführt von OStR Hans Knichel (Saarbrücken)
Lerngruppe: Klasse 10
Zeit: 3 Schulstunden
Das Problem
In ein gleichschenkliges Dreieck mit
der Basis c = 8 cm und den Seiten a =
b = 12 cm werden fortwährend Kreise
mit möglichst großen Radien so einbeschrieben, dass der nächstkleinere
Kreis die Seiten a und b und den vorhergehenden Kreis berührt.
Welchen Flächeninhalt haben
Kreise zusammen?
alle
Zunächst die Lösung eines Schülers
Wir betrachten das Ausgangsdreieck und den ersten einbeschriebenen Kreis.
Kongruenz- und Ähnlichkeitsuntersuchungen und die Nutzung des Satzes
von Pythagoras liefern:
h=8 2
8
r =2 2 =h/4
h
x
x
x=2
r
Und damit ergeben sich die Flächeninhalte vom ersten Kreis und seinem
umbeschriebenen Trapez:
A1.Kreis = 8π
und
A1.Trapez = 24 2
4
r
4
4
Und nun zur Strategie: Der Flächeninhalt des ersten Kreises verhält sich zum
Flächeninhalt des ersten Trapezes (aufgrund der Ähnlichkeit) wie der Flächeninhalt des zweiten Kreises zum Flächeninhalt des zweiten Trapezes und damit wie
der Flächeninhalt des dritten Kreises zum Flächeninhalt des dritten Trapezes und
so weiter. Also gilt:
236
Aalle Kreise
Aalle Kreise
A1.Kreis
8π
=
=
=
A1.Trapez 24 2 Aalle Trapeze
ADreieck
2 π Aalle Kreise
=
6
32 2
32
Aalle Kreise = π
3
Das entspricht etwa 75% der gesamten Dreiecksfläche.
Und jetzt der alternative (direkte )Weg des Lehrers
Die Kreise gehen jeweils durch Streckung mit dem Faktor k =
1
aus ihren Vor2
gängern hervor:
aHerleitung wie obenf
A1.Kreis = 8 π
F1 I ⋅ 8π
H2 K
2
A2.Kreis = k 2 ⋅ A1.Kreis =
F1 I ⋅ 8π + F1 I ⋅ 8π + F1 I ⋅ 8π +
H2 K H2 K H2 K
F1 + 1 + F1 I + F1 I + IJ
= 8π G
H 4 H4 K H4 K K
2
4
6
Aalle Kreise = 8 π +
2
3
?
Da Folgen und Reihen in den Lehrplänen für normale1 Gymnasien im Saarland
nicht vorkommen, steht hier keine Formel zur Bestimmung der geometrischen
Reihe zur Verfügung. Eine der üblichen Herleitungen liefert:
1+
FI + F1 I +
HK H4 K
1
1
+
4
4
2
3
=
1
1−
1
4
=
4
3
und somit:
Aalle Kreise =
32
π
3
1
Geometrische Folgen und Reihen können an mathematisch-naturwissenschaftlichen Zweigen als Zusatzthema behandelt werden.
237
Die Schüler variieren die Aufgabe1
1. Das Dreieck wird an der Basis gespiegelt.
2. Das Ausgangsdreieck soll gleichseitig
oder rechtwinklig sein.
3. Statt Kreise werden “auf dem Kopf
stehende” gleichseitige Dreiecke
einbeschrieben.
4. Welchen Umfang haben alle Kreise
zusammen?
5. Es werden nur die ersten drei Kreise
betrachtet.
6. Welchen Inhalt hat die Ergänzungsfläche zu den ersten drei Kreisen?
7. Bestimme das Verhältnis der Flächeninhalte von Inkreis (erster
Kreis) und Dreieck.
8. Berechne den Flächeninhalt des
Umkreises.
9. Wann hat ein Viereck einen Umkreis?2
10. Statt Kreise werden Quadrate einbeschrieben. Welchen Flächeninhalt und welchen Umfang haben
alle Quadrate zusammen?
Die Bearbeitung der Vorschläge wird
als schriftliche Hausaufgabe unter den
Schülern aufgeteilt.
1
Die Klasse hat Erfahrung mit dem Variieren von Aufgaben; es gibt keine Lenkung seitens
des Lehrers.
2
Diese Frage stellte sich den Schülern wohl beim Versuch, in der Variante 8 das Dreieck
durch ein Viereck zu ersetzen.
238
Die Meinung des Lehrers
Das am Anfang stehende Problem “Kreise im Dreieck” ist für alle Beteiligten
(Lehrer wie Schüler) eine anspruchsvolle Aufgabe. Für den Mathematikunterricht in Klassenstufe 10 bietet es vielfältige Aktivitäten (Skizzieren, Konstruieren, Schätzen, Messen, Rechnen, ...), eine gute Möglichkeit zum Aufgreifen bereits behandelter Inhalte (Kongruenz- und Ähnlichkeitsbetrachtungen, Flächeninhalte, Satz des Pythagoras, trigonometrische Beziehungen, ...) in neuem Zusammenhang und ist Ausgangspunkt für die Entwicklung neuer Verfahren (Verhältnisbetrachtungen, Berechnung unendlicher Summen, ...). Hinzu kommt die
stets verblüffende (anschauliche und rechnerische) Betrachtung unendlich vieler
Kreise mit insgesamt doch nur endlichem Flächeninhalt (und Umfang).
Es geht auch einfach
Der folgende Lösungsweg (Vorschlag
einer Schülerin) zur Variation Nr.4
überraschte die Schüler und - einige
Wochen vorher - auch den Lehrer:
.
.
.
d3
h
d2
U = U1.Kreis + U2.Kreis + U3.Kreis + ...
= π d1 + π d2 + π d3 + ...
d1
= π ( d1 + d2 + d3 + ...)
=πh
= 8 2π
Hier noch weitere Varianten: Dreiecke im Kreis, Kreise im Quadrat, Quadrate
im Kreis, Kugeln im Tetraeder, Kugeln im Kegel, andere Dreiecke mit der Umfangssumme U = 8 2 π , ... .
239
Anhang 57: Rösselsprung
Unterrichtseinheit Variation des Rösselsprungproblems
durchgeführt von StR Matthias Heidenreich (Calw)
Lerngruppe: Leistungskurs 12
Zeit: 2 Schulstunden
1. Das Initialproblem
Eines der ältesten und berühmtesten Probleme aus den Bereich „Schach und
Mathematik“ ist die Forderung an den Springer, nacheinander alle Felder des
Schachbretts zu durchlaufen, so daß jedes Feld genau einmal betreten wird. Die
Ursprünge dieses Problems liegen rund 1000 Jahre zurück; die erste mathematische Darstellung sowie Ansätze zur Lösung lieferte Euler 1759. Das Problem ist
erschöpfend gelöst; es existieren etliche Lösungsmethoden basierend auf geeigneten Zerlegungen und Zusammensetzungen.
Die bedeutendste empirische Regel zur Erzeugung eines vollständigen Rösselsprungs stammt von Warnsdorf 1823:
a) Bei jedem Zug wählt man das Feld, von welchem unter den zur Wahl stehenden Feldern die wenigsten Springerzüge nach anderen, noch unbesetzten Feldern
möglich sind.
b) Ergeben sich mehrere Felder mit gleichen Minimalzahlen, so ist die Wahl
unter ihnen frei.
Beispiel eines Rösselsprungs nach dieser Regel:
48
19
42
5
50
9
40
7
43
4
49
20
41
6
51
10
18
47
44
61
52
59
8
39
3
54
21
56
45
62
11
58
22
17
46
53
60
57
38
29
35
2
55
26
37
30
63
12
16
23
36
33
14
25
28
31
34
15
24
27
32
13
64
1
240
Seit jeher wurde die Aufgabenstellung variiert. Die Brettgröße und -form wurde
verändert, der Springer wurde zum Koch, Janus oder zu einem anderen Phantasiegebilde transformiert. An den Rösselsprung wurden Zusatzbedingungen gestellt oder die Forderungen der ursprünglichen Aufgabe wurden abgeschwächt.
Jede einzelne Veränderung läßt sich mit anderen kombinieren, so daß der Aufgabenreichtum fast unerschöpflich ist. Viele der neue entstandenen Probleme
sind ungelöst bzw. wurden noch nicht näher untersucht.
2. Warum das Rösselsprungproblem?
Warum gerade die Variation eines klassischen Problems der Unterhaltungsmathematik? Schon der Begriff „Unterhaltungsmathematik“ bewirkte bei einigen
Schülern (und vielleicht auch Mathematikern) staunendes Kopfschütteln. Wie
kann ein theoretisches und nüchternes, teilweise sogar sprödes Fach (so die
meist einhellige Meinung) gleichzeitig unterhaltend sein?
Die gewählte Aufgabe verbindet beides: Gleichzeitig unterhaltend und doch
reich an mathematischen Inhalten. Zudem: Nicht der Stoff, sondern die Methode
bestimmt, was Inhalt ist.
Die Aufgabe umgeht ein Problem, mit dem sich der Mathematikunterricht von
jeher auseinandersetzen muß. Durch Erfahrung bedingte und sich verstärkende
Leistungsunterschiede sind hier nahezu ausgeschaltet. Aktiver Schachspieler
oder Regelunkundiger - sie alle starten an der gleichen Linie, da die Zugregel für
den Springer auch einem völligen Laien sofort zu erklären ist.
Neben den o.a. Argumenten für die Aufgabenvariation bestechen bei diesem Initialproblem vor allem die schier unerschöpfliche Anzahl von möglichen Variationen. Zugleich unterscheiden sich die Anschlußprobleme nach Neuigkeits- und
Schwierigkeitsgrad beträchtlich vom Original.
3. Rahmenbedingungen und Einführungsstunde
Als Versuchsklasse wurde ein Leistungskurs 12 ausgewählt. Mit 16 (weiblichen
und männlichen) Schülern besaß er fast ideale Größe. Neben „Sprachflüchtlingen“ befanden sich auch solche Schüler in dem Kurs, die schon an mathemtischen Wettbewerben teilgenommen hatten. Es konnte also von einer inhomogenen Zusammensetzung gesprochen werden.
Zu Beginn der Stunde wurden die Schüler über die Ziele der Unterrichtseinheit
informiert. Anhand eines einfacheren Beispiels sollten sie Grundtechniken des
Variierens kennenlernen. Hier bot sich das Initialproblem aus Anhang 11 an.
Auf eine genauere Darstellung des zugehörigen Unterrichtsgeschehens soll hier
verzichtet werden.
Im zweiten Abschnitt der Stunde wurde die Rösselsprungaufgabe vorgestellt (s.
Arbeitsblatt auf der nächsten Seite).
241
242
Einzelne Schüler erinnerten sich an die Aufgabe, ohne jedoch die genaue Formulierung zu kennen. Nachdem das Problem dargestellt war, folgte ein kurzer
historischer Abriß. Nun sollte jeder Schüler durch Probieren versuchen, einen
vollständigen Rösselsprung zu finden.
Schon nach dieser kurzen Berührungsphase machten die Schüler erste Vorüberlegungen zu Lösungsstrategien oder Lösbarkeitsbedingungen Bereits hier wurde
(unbewußt oder bewußt?) variiert:
- Hängt die Lösbarkeit von dem Anfangs- und Endfeld ab?
- Gibt es eine Lösung für das 4×4-Brett?
Wenn ja, läßt sich daraus eine Lösung für das Schachfeld konstruieren?
- Wie kann man aus einem festgefahrenen Versuch durch Rücknahme von Zügen eine Lösung gewinnen (also ein Backtracking-Verfahren)?
Hier läßt sich die These formulieren, daß gerade die Variation des Initialproblems - also das Wenden, Begreifen, Hindurchschauen, Umzentrieren usw. - ein
wesentlicher Bestandteil einer Lösungsstrategie sein kann. Schon bei der Lösung
eines Problems kann also dessen Veränderung Wesentliches beitragen. Etwas
mutiger formuliert: Variation ist Problemlösen.
Der Gong beendete die erste kreative Phase und ließ die Schüler mit einer Reihe
offener Fragen zurück. Sie hatten nun die Aufgabe, sich bis zur nächsten Stunde
mit dem Problem auseinanderzusetzen. Hierzu sollte weiter eifrig gerösselt und
über mindestens eine Variation des Originals nachgedacht werden. Eine Begebenheit am Rand: Schon auf dem Nachhauseweg überraschte mich eine Schülerin freudig damit, sie habe die langweilige Englischstunde mit dem Problem
verbracht und sei immerhin auf 62 Züge gekommen.
4. Variationen
Zu Beginn der nächsten Stunde berichteten die Schüler von ihren Ergebnissen.
Eine Schülerin hatte durch Backtracking (Sackgassen werden bis zur nächsten
Verzweigung gestrichen) und einer Art Warnsdorf-Regel relativ schnell eine
Lösung gefunden. Eine andere Schülerin fand durch geeignete Klasseneinteilungen der Felder auf konstruktive Weise einen vollständigen Rösselweg.
Nach diesen ermutigenden Resultaten wurde den Schülern jetzt die Warnsdorfsche Regel vorgestellt und plausibel gemacht. Es war für sie nun ein Leichtes,
eine vollständige Lösung zu erzielen.
Jetzt folgte die eigentliche Variationsphase. Geplant war zunächst ein Sammeln
von Vorschlägen an der Tafel. Erst danach sollten sich die Schüler über Konsequenzen, mehr oder minder sinnvolle Variationen, Niveau und Schwierigkeit,
Lösbarkeit, Beweisskizzen etc. Gedanken machen. Tatsächlich lief der Unter-
243
richt anders. Meist wurden die Variationen direkt nach Vorschlag diskutiert, als
unsinnig verworfen, als schwierig oder trivial bewertet oder abermals variiert.
Ich mochte hier nicht steuernd eingreifen, weil es möglicherweise der Motivation geschadet hätte. Zudem bringt die Diskussion über die Konsequenzen einer
Abänderung neue Spielarten hervor.
Unerwartet waren bereits die ersten Vorschläge von gewagtem Ausmaß: In Anlehnung an die in der vorangegangenen Stunde gelernte Strategie, jedes Wort
abzuändern bzw. zu negieren, veränderten die Schüler folgerichtig zunächst den
Springer, d.h. seine „Gangart“:
Analogisieren 1
Ersetze den (1;2)-Springer durch den (1;3)-Springer.
Nach kurzer Zeit kam der Hinweis, daß die neue Aufgabe nicht lösbar sei, da der
Springer dabei nur gleichgefärbte Felder besetzen kann. Als nächster Vorschlag
kam ein naheliegendes
Abschwächen
Ersetze den (1;2)-Springer durch den (1;3)-Springer und
mache alle Felder gleichfarbig.
Jetzt lagen die nächsten Abänderungen auf der Hand: (2;3)-Springer; (5;5)Springer usw.. Also:
Verallgemeinern 1 Ersetze den (1;2)-Springer durch den (n;m)-Springer.
Weiter wurde eifrig die Gangart des Springers manipuliert.
Verallgemeinern 2 Ersetze den Springer durch 2 (n) abwechselnd ziehende
Springer.
Hier erkannte ein Schüler unmittelbar, daß diese Variante trivial ist, da zu einer
Lösung lediglich die Mitte eines vollständigen Rösselweges aufgesucht und von
dort aus gegenläufig gewandert werden muß (bei den Springern analog).
Der nächste Vorschlag der Schüler war für mich Neuland:
Verschärfen
Überlaufene Felder (Rechtecke) gelten als besetzt.
Wir erkannten schnell, daß diese Aufgabe für das herkömmliche Brett nicht lösbar ist. So gelangte man zur Frage nach Form und Größe des Bretts:
Analogisieren 2
Ersetze das quadratische Brett durch ein rechteckiges.
Analogisieren 3
Ersetze das quadratische Brett durch ein nichtrechteckiges.
Verallgemeinern 3 Ersetze das quadratische Brett durch ein m×n-Brett.
Die Lösung dieser Aufgaben ist nicht leicht. Jedoch erkannten die Schüler bereits, daß das Rösselsprungproblem für bestimmte Brettformen nicht lösbar ist
(z.B. nicht für das 3×3-Brett und für das 2×n-Brett). Hier ließ ich jedoch nicht
locker, da kurz zuvor das Beweisprinzip der vollständigen Induktion mit ihnen
behandelt worden war. Tatsächlich äußerte eine Schülerin nach einigermaßen
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gezielter Fraugestellung, daß ein Nachweis für beliebige quadratische Bretter so
vielleicht möglich sei.
Durch den Hinweis, daß die Brettform frei von jeglicher Konvention sei, faßten
einige Schüler neuen Mut:
Verallgemeinern 4 Ersetze das (zweidimensionale) Brett durch ein dreidimensionales Brett.
Hier wich der Kurs ein wenig vom Thema ab. Es wurde hitzig debattiert, wie
denn die Schachregeln für den dreidimensionalen Fall im Sinne eines Permanenzprinzips analogisiert werden könnten.
Nach meinem Vorschlag:
Verallgemeinern 5 Ersetze das (zweidimensionale) Brett durch ein n-dimensionales Brett.
war die Konfusion zunächst groß. Hier waren einige Schüler dankbar, daß zunächst nur variiert und nicht gelöst werden mußte.
Nun wurde in einer anderen Richtung fortgeschritten.
Analogisieren 4
Ersetze den Springer durch eine andere Figur.
Das Ausgangsproblem ist für den Bauer nicht sinnvoll. Für die Figuren Läufer,
Turm, Dame und König ist es trivial.
Die Frage nach einem vollständigen Rösselweg bei vorgegebenem Anfangs- und
Endfeld tauchte kurz auf, wurde aber nicht näher erfolgt. Solche Variationen
könnten lauten:
Geringfügiges
Ändern 1
Das Startfeld soll vom Endfeld direkt erreichbar sein
(geschlossener Rösselsprung).
Geringfügiges
Ändern 2
Das Startfeld (Endfeld, Start- und Endfeld) ist vorgegeben.
Den Schülern gingen nun langsam die Ideen aus. Daher ein erneuter Impuls:
Existiert so etwas wie eine inverse Aufgabe? Darauf folgender Vorschlag:
Umzentrieren
Nach wie vielen Feldern hat sich der Springer frühestens
festgefahren?
Hier beendete der unbarmherzige Gong eine interessante Stunde. Trotz der großen Ausbeute sind noch weitere Variationen möglich und lohnend:
Verstärken 1
In der Matrixschreibweise soll der vollständige Rösselweg
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zusätzlich ein magisches Quadrat bilden.
Verstärken 2
Der geometrische Kantenzug soll punktsymmetrisch sein.
Abschwächen
Der Springer soll möglichst viele Felder erreichen.
Iterieren
Wie läßt sich durch Umbilden eines Rösselweges ein neuer
Rösselweg ergeben?
Reagieren
Wie viele verschiedene Lösungen gibt es?
usw.
5. Nachbetrachtung, Ausblick
Auch wenn viele Fragen offen blieben und der geplante Unterrichtsverlauf nicht
zustande kam - den Schülern und mir hat diese Einheit viel Spaß gemacht.
Vielleicht sind wir etwas weiter mit der Frage: Was ist Mathematik?
Gerade nach dem langen und steinigen Weg durch die Unebenheiten der Epsilontik war die Unterrichtseinheit eine erfrischende Abwechslung. Positive
Rückmeldung erhielt ich auch von den Schülern: Neben Anfragen zu einer
Facharbeit über das Thema und zu weiterführender Literatur wünschten sich
viele Schüler eine Wiederholung solcher Einheiten.
Bei aller Freude müssen jedoch auch kritische Anmerkungen gemacht werden.
Gerade die schwächeren Schüler konnten dem Tempo und den sich fortgesetzt
ändernden Fragen teilweise nicht mehr folgen. Um auch ihnen gerecht zu werden, hätte man für den gleichen Stoff wohl die doppelte Zeit benötigt. Zudem
fiel auf, daß die im sonstigen Unterricht aktiven und motivierten Schüler auch
hier die meisten Beiträge beisteuerten.
Angesichts der geringen Erfahrungen mit Variationstechniken gab es erstaunlich
viele und vielfältige Vorschläge. Weitergehende Variationen (z.B. magische Eigenschaft) sind wohl nur bei größerer Vertrautheut mit dem Thema zu erwarten.
Je öfter die Schüler jedoch variierten, desto mehr erkannten sie, daß jede zunächst noch so abwegig erscheinende Idee einer näheren Untersuchung wert ist.
Hier hängt viel vom Umgang mit falschen Antworten bzw. unsinnigen (gibt es
die überhaupt?) Vorschlägen ab.
Die Stunde wäre sicherlich anders verlaufen, wenn ich mich nicht selbst schon
mit dem Thema Rösselsprung auseinandergesetzt hätte. Ein Lehrer auf dem
Wissensstand der Schüler läßt ihnen vielleicht noch mehr Freiraum, obgleich
natürlich auch die Risiken zunehmen (Aber was riskiert man schon?). Auch hier
stellt sich die sicherlich nicht neue Frage, wieviel der Lehrer zum Unterrichtsverlauf beisteuern sollte. Ideal ist sicher eine Funktion als Moderator, welcher
nur Impulse gibt. Tatsächlich sind die Schüler (zumindest die meines Kurses)
jedoch noch stark auf den Lehrer fixiert. Das muß indessen kein durchgehender
Nachteil sein. Am Ende der Stunde war es durchaus angebracht, selbst Variationen vorzuschlagen und damit für neue Anstöße zu sorgen.
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Anschließen sollte sich nun eine metakognitive Betrachtung. Dabei sollte deutlich werden, daß es sich beim Variieren nicht um einen Pausenfüller, sondern
um ernsthafte mathematische Arbeit handelt.
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