Escher-Parkettierungen
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Maurits Cornelis Escher Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Analyse einiger bekannter Bilder Parkettierunge Escher-Parkettierungen Manfred Dobrowolski Universität Würzburg Maurits Cornelis Escher Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Analyse einiger bekannter Bilder Parkettierunge Escher-Parkettierungen 1 Maurits Cornelis Escher 2 Symmetrien periodischer Parkettierungen 3 Escher-Parkette 4 Analyse einiger bekannter Bilder 5 Parkettierungen der hyperbolischen Ebene Maurits Cornelis Escher Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Analyse einiger bekannter Bilder Parkettierunge Maurits Cornelis Escher (1898-1972) Selbstporträt, Lithographie 1929 Maurits Cornelis Escher Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Analyse einiger bekannter Bilder Parkettierunge Frühe Werke Selbstporträt im Stuhl Holzschnitt 1920 Papagei Linolschnitt 1919 Maurits Cornelis Escher Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Analyse einiger bekannter Bilder Parkettierunge Erstes Parkett Acht Köpfe, Holzschnitt 1922 Maurits Cornelis Escher Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Analyse einiger bekannter Bilder Parkettierunge Italienische Periode 1922-1935 Die Brücke Lithographie 1930 Castrovalva Lithographie 1930 Maurits Cornelis Escher Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Analyse einiger bekannter Bilder Parkettierunge Im Spiegel Stilleben mit sphärischem Spiegel, Lithographie 1934 Maurits Cornelis Escher Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Analyse einiger bekannter Bilder Parkettierunge Unmögliche Figuren Belvedere, Lithographie 1958 Maurits Cornelis Escher Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Analyse einiger bekannter Bilder Parkettierunge Unmögliche Figuren Druckgallerie, Lithographie 1956 Maurits Cornelis Escher Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Analyse einiger bekannter Bilder Parkettierunge Unmögliche Figuren Wasserfall, Lithographie 1961 1 Maurits Cornelis Escher Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Analyse einiger bekannter Bilder Parkettierunge Aus dem Alhambra-Palast Maurits Cornelis Escher Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Analyse einiger bekannter Bilder Parkettierunge Beispiele symmetrischer Kacheln Spiegelsymmetrische und drehsymmetrische Kacheln Maurits Cornelis Escher Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Analyse einiger bekannter Bilder Parkettierunge Beispiele periodischer Parkette v u v Translationssymmetrie Maurits Cornelis Escher Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Analyse einiger bekannter Bilder Parkettierunge Beispiele periodischer Parkette u u Gleitspiegelsymmetrie Maurits Cornelis Escher Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Analyse einiger bekannter Bilder Parkettierunge Beispiele periodischer Parkette Dreh- und Spiegelsymmetrie Maurits Cornelis Escher Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Analyse einiger bekannter Bilder Parkettierunge Definition des periodischen Parketts Jede Abbildung, die ein Parkett auf sich selber abbildet, heißt Symmetrie des Parketts. Maurits Cornelis Escher Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Analyse einiger bekannter Bilder Parkettierunge Definition des periodischen Parketts Jede Abbildung, die ein Parkett auf sich selber abbildet, heißt Symmetrie des Parketts. Ein Parkett heißt periodisch, wenn es in zwei Richtungen translationssymmetrisch ist. Maurits Cornelis Escher Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Analyse einiger bekannter Bilder Parkettierunge Definition des periodischen Parketts Jede Abbildung, die ein Parkett auf sich selber abbildet, heißt Symmetrie des Parketts. Ein Parkett heißt periodisch, wenn es in zwei Richtungen translationssymmetrisch ist. Ob es nichtperiodische Parkette mit einer Kachel gibt, weiß man nicht. Maurits Cornelis Escher Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Analyse einiger bekannter Bilder Parkettierunge Definition des periodischen Parketts Jede Abbildung, die ein Parkett auf sich selber abbildet, heißt Symmetrie des Parketts. Ein Parkett heißt periodisch, wenn es in zwei Richtungen translationssymmetrisch ist. Ob es nichtperiodische Parkette mit einer Kachel gibt, weiß man nicht. Jedes periodische Parkett kann weitere Symmetrien besitzen: Spiegelungen, Gleitspiegelungen und Drehsymmetrien. Maurits Cornelis Escher Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Analyse einiger bekannter Bilder Parkettierunge Die Symmetriegruppe eines Parketts Die Symmetrien eines Parketts können hintereinander ausgeführt werden. Ferner gibt es zu jeder Symmetrie eine Umkehrung: Maurits Cornelis Escher Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Analyse einiger bekannter Bilder Parkettierunge Die Symmetriegruppe eines Parketts Die Symmetrien eines Parketts können hintereinander ausgeführt werden. Ferner gibt es zu jeder Symmetrie eine Umkehrung: Symmetrie: Umkehrung: Spiegelung an g Gleitspiegelung an u Drehung um den Winkel α Spiegelung an g Gleitspiegelung an −u Drehung um den Winkel −α Maurits Cornelis Escher Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Analyse einiger bekannter Bilder Parkettierunge Die Symmetriegruppe eines Parketts Die Symmetrien eines Parketts können hintereinander ausgeführt werden. Ferner gibt es zu jeder Symmetrie eine Umkehrung: Symmetrie: Umkehrung: Spiegelung an g Gleitspiegelung an u Drehung um den Winkel α Spiegelung an g Gleitspiegelung an −u Drehung um den Winkel −α Die Symmetrien bilden daher eine Gruppe, Operation ist die Hintereinanderschaltung der Abbildungen. Maurits Cornelis Escher Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Analyse einiger bekannter Bilder Parkettierunge Die Untergruppe der Translationen Sind Tu und Tv die Translationen in die beiden verschiedenen Richtungen u und v , so sind die Translationen um ein (auch negatives) Vielfaches von u und v ebenfalls Symmetrien. Maurits Cornelis Escher Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Analyse einiger bekannter Bilder Parkettierunge Die Untergruppe der Translationen Sind Tu und Tv die Translationen in die beiden verschiedenen Richtungen u und v , so sind die Translationen um ein (auch negatives) Vielfaches von u und v ebenfalls Symmetrien. Tij = Tiu Tjv , i, j ∈ Z sind dann ebenfalls Symmetrien, die zur Gruppe (Z2 , +) isomorph ist. Jede Symmetriegruppe eines periodischen Parketts enthält damit diese Untergruppe. Maurits Cornelis Escher Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Analyse einiger bekannter Bilder Parkettierunge Die kristallographische Beschränkung Schreibe Drehwinkel einer Drehung in der Form α= 2π 3600 = . n n n heißt Ordnung der Drehung. Maurits Cornelis Escher Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Analyse einiger bekannter Bilder Parkettierunge Die kristallographische Beschränkung Schreibe Drehwinkel einer Drehung in der Form α= 2π 3600 = . n n n heißt Ordnung der Drehung. Satz über die kristallographische Beschränkung: In jedem periodischen Parkett gibt es nur Drehungen der Ordnung 2, 3, 4 oder 6. Maurits Cornelis Escher Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Analyse einiger bekannter Bilder Parkettierunge Beweis der Kristallographischen Beschränkung Q’ P’ α P α Q Jede Kongruenzabbildung bildet ein Drehzentrum auf ein Drehzentrum gleicher Ordnung ab. Sei P ein Drehzentrum der Ordnung n und Q ein Drehzentrum der Ordnung n mit minimaler Entfernung zu P (=Extremalprinzip). Maurits Cornelis Escher Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Analyse einiger bekannter Bilder Parkettierunge Beweis der Kristallographischen Beschränkung Q’ P’ α P α Q Jede Kongruenzabbildung bildet ein Drehzentrum auf ein Drehzentrum gleicher Ordnung ab. Sei P ein Drehzentrum der Ordnung n und Q ein Drehzentrum der Ordnung n mit minimaler Entfernung zu P (=Extremalprinzip). Wir drehen P um Q mit Winkel α = 2π/n und erhalten den Punkt P ′ , der nach der vorausgeschickten Bemerkung ebenfalls ein Drehzentrum der Ordnung n ist. Maurits Cornelis Escher Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Analyse einiger bekannter Bilder Parkettierunge Die 17 ebenen kristallographischen Gruppen werden folgendermaßen notiert: Spiegelachse Gleitspiegelachse Drehung der Ordnung 2 Drehung der Ordnung 3 Drehung der Ordnung 4 Drehung der Ordnung 6 Ein Escher-Parkett besitzt keine Spiegelachsen, daher kommen nicht alle 17 Gruppen vor. Maurits Cornelis Escher Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Analyse einiger bekannter Bilder Parkettierunge Gruppe p1 Es gibt nur Translationen, keine anderen Symmetrien. Maurits Cornelis Escher Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Analyse einiger bekannter Bilder Parkettierunge Gruppe p2 Hell: Dunkel: Translative Zelle Kachel Maurits Cornelis Escher Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Analyse einiger bekannter Bilder Parkettierunge Gruppe p3 Maurits Cornelis Escher Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Analyse einiger bekannter Bilder Parkettierunge Gruppe p4 Maurits Cornelis Escher Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Analyse einiger bekannter Bilder Parkettierunge Gruppe p6 Maurits Cornelis Escher Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Analyse einiger bekannter Bilder Parkettierunge Gruppe pg Maurits Cornelis Escher Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Analyse einiger bekannter Bilder Parkettierunge Gruppe pgg Maurits Cornelis Escher Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Analyse einiger bekannter Bilder Parkettierunge Laves-Netze charakterisieren periodische Parkette graphentheoretisch. Man geht im Gegenuhrzeigersinn die Kachel entlang und notiert von jedem Knoten die Zahl der Nachbarknoten. (6,3,3,3,3) Anzahl der Ecken der Kachel ist daraus auch zu ersehen. Maurits Cornelis Escher Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Analyse einiger bekannter Bilder Parkettierunge Die 11 Laves-Netze I (3,3,3,3,3,3) (6,3,3,3,3) (4,4,3,3,3) (4,3,4,3,3) (6,4,3,4) (6,3,6,3) Maurits Cornelis Escher Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Analyse einiger bekannter Bilder Parkettierunge Die 11 Laves-Netze II (12,12,3) (4,4,4,4) (12,6,4) (6,6,6) (8,8,4) Maurits Cornelis Escher Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Analyse einiger bekannter Bilder Parkettierunge Definition des Escher-Parketts Ein Escher-Parkett ist ein Laves-Netz, in dem es keine geraden Kanten und keine Spiegelsymmetrien gibt. Maurits Cornelis Escher Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Analyse einiger bekannter Bilder Parkettierunge Definition des Escher-Parketts Ein Escher-Parkett ist ein Laves-Netz, in dem es keine geraden Kanten und keine Spiegelsymmetrien gibt. Die Hälfte des Randes wird beliebig vorgegeben. Die andere Hälfte muss durch Symmetrieabbildungen aus der ersten Hälfte hervorgehen: Maurits Cornelis Escher Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Analyse einiger bekannter Bilder Parkettierunge Definition des Escher-Parketts Ein Escher-Parkett ist ein Laves-Netz, in dem es keine geraden Kanten und keine Spiegelsymmetrien gibt. Die Hälfte des Randes wird beliebig vorgegeben. Die andere Hälfte muss durch Symmetrieabbildungen aus der ersten Hälfte hervorgehen: T G C Cn Linie geht durch Translation aus einer anderen Linie hervor Linie geht durch Gleitspiegelung aus einer anderen Linie hervor Linie ist punktsymmetrisch zur Mitte Linie geht durch Drehung um 2π/n aus einer anderen Linie hervor, wobei n = 2, 3, 4, 6 Maurits Cornelis Escher Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Analyse einiger bekannter Bilder Parkettierunge Definition des Escher-Parketts Ein Escher-Parkett ist ein Laves-Netz, in dem es keine geraden Kanten und keine Spiegelsymmetrien gibt. Die Hälfte des Randes wird beliebig vorgegeben. Die andere Hälfte muss durch Symmetrieabbildungen aus der ersten Hälfte hervorgehen: T G C Cn Linie geht durch Translation aus einer anderen Linie hervor Linie geht durch Gleitspiegelung aus einer anderen Linie hervor Linie ist punktsymmetrisch zur Mitte Linie geht durch Drehung um 2π/n aus einer anderen Linie hervor, wobei n = 2, 3, 4, 6 Diese Notation und die Klassifizierung der Escher-Parkette stammt von Heinrich Heesch (1906-1995). Maurits Cornelis Escher Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Analyse einiger bekannter Bilder Parkettierunge Ein Beispiel C Typ 19 D TGTG Netz (4,4,4,4) Gruppe pg B A Maurits Cornelis Escher Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Analyse einiger bekannter Bilder Parkettierunge Die 28 grundlegenden Escher-Parkette Ecken 6 Netze 333333 p1 TTTTTT 5 63333 43433 4 44333 6363 6434 3 4444 666 884 12,12,3 TTTT 2 1 CCCC p2 4 TCCTCC 7 TCTCC 6 p3 pg TG1G1TG2G2 18 G1 G1 G2 G2 17 TG1G2TG2G1 20 TGTG 19 TCCTCC TCTGG 23 24 CG1CG2G1G2 28 CCGG 22 CGCG 25 pgg CG1G2G1G2 27 CC4C4 14 C4 C4 C4 C4 15 CC4C4C4C4 16 CC3C3 10 CC6C6 11 C3 C3 C6 C6 12 CC3C3C6C6 13 p4 5 C3 C3 C2 C2 8 C3 C3 C3 C3 C3 C3 9 p6 CCC 3 TCTC G1 G2 G1 G2 26 CGG 21 Maurits Cornelis Escher Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Analyse einiger bekannter Bilder Parkettierunge Ecken 6 Netze 333333 p1 TTTTTT p2 TCCTCC 5 63333 43433 4 44333 6363 6434 2 7 TCTCC 6 p3 p6 p4 C3 C3 C2 C2 8 C3 C3 C3 C3 C3 C3 9 C3 C3 C6 C 1 CC3C3C6C6 13 CC4C4C4C4 16 Maurits Cornelis Escher Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Analyse einiger bekannter Bilder Parkettierunge Beispiel Dreieck Da eine Dreiecksseite eine C-Linie sein muss, haben wir für periodische Parkette die folgenden Möglichkeiten: CCC , CC? C? , CGG . Maurits Cornelis Escher Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Analyse einiger bekannter Bilder Parkettierunge Beispiel Dreieck Da eine Dreiecksseite eine C-Linie sein muss, haben wir für periodische Parkette die folgenden Möglichkeiten: CCC , CC? C? , CGG . CTT kannn nicht vorkommen, da zwei Dreiecksseiten immer einen Punkt gemeinsam haben. Maurits Cornelis Escher Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Analyse einiger bekannter Bilder Parkettierunge Typ 3 Typ 3 A C CCC Netz (6,6,6) Gruppe p2 B Die Punkte A,B,C bilden ein beliebiges, nichtdegeneriertes Dreieck. Die Eckpunkte werden durch beliebige C-Linien miteinander verbunden. Maurits Cornelis Escher Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Analyse einiger bekannter Bilder Parkettierunge Typ 10: C Typ 10 CC3C3 A 1200 Netz (12,12,3) Gruppe p6 B Drehe die frei gewählte Linie AB in A um 120o in die Position AC und verbinde BC durch eine beliebige C-Linie. Maurits Cornelis Escher Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Analyse einiger bekannter Bilder Parkettierunge Typ 10: C Typ 10 CC3C3 A 1200 Netz (12,12,3) Gruppe p6 B Drehe die frei gewählte Linie AB in A um 120o in die Position AC und verbinde BC durch eine beliebige C-Linie. Dies ist der einzige Typ, der von Escher nie realisiert wurde. Maurits Cornelis Escher Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Analyse einiger bekannter Bilder Parkettierunge Typ 11 C Typ 11 CC6C6 A 600 Netz (6,6,6) Gruppe p6 B Drehe die frei gewählte Linie AB in A um 60o in die Position AC und verbinde BC durch eine beliebige C-Linie. Maurits Cornelis Escher Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Analyse einiger bekannter Bilder Parkettierunge Typ 14 Typ 14 C CC4C4 Netz (8,8,4) Gruppe p4 A 900 B Die Punkte A,B,C bilden ein rechtwinkliges gleichschenkliges Dreieck. Eine Kathete wird frei gewählt und auf die andere gedreht. Die dritte Seite besteht aus einer frei gewählten C-Linie. Maurits Cornelis Escher Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Analyse einiger bekannter Bilder Parkettierunge Typ 21 Typ 21 C CGG B Netz (6,6,6) Gruppe pgg A Gleitspiegele die frei gewählte Linie AB auf BC mit Achse parallel zu AC mit gleichem Abstand zu A und B. Verbinde A und C mit einer beliebigen C-Linie. Maurits Cornelis Escher Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Analyse einiger bekannter Bilder Parkettierunge B C D A TTTT Laves-Netz (4,4,4,4) Gruppe p1 Typ 1 Pegasus“, Symmetriezeichnung 105, 1959 ” Maurits Cornelis Escher Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Analyse einiger bekannter Bilder Parkettierunge C B D A G1 G1 G2 G2 Laves-Netz (4,4,4,4) Gruppe pg Typ 17 Reiter“, The Regular Division of the Plane, 1957 ” Maurits Cornelis Escher Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Analyse einiger bekannter Bilder Parkettierunge C D B A C4 C4 C4 C4 Laves-Netz (4,4,4,4) Gruppe p4 Typ 15 Symmetriezeichnung 104, 1959 Maurits Cornelis Escher Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Analyse einiger bekannter Bilder Parkettierunge C3 C3 C3 C3 C3 C3 Laves-Netz (3,3,3,3,3,3) Gruppe p3 Typ 9 Symmetriezeichnung 25, 1939 Maurits Cornelis Escher Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Analyse einiger bekannter Bilder Parkettierunge D C E F A B TG1 G1 TG2 G2 Laves-Netz (3,3,3,3,3,3) Gruppe pg Typ 18 K. Moser: Forellenreigen, 1899 Maurits Cornelis Escher Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Analyse einiger bekannter Bilder Parkettierunge B C A D C 3 C3 C 6 C 6 Laves-Netz (6,4,3,4) Gruppe p6 Typ 12 Symmetriezeichnung 56, 1942 Maurits Cornelis Escher Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Analyse einiger bekannter Bilder Parkettierunge D E A B C CG1 G2 G1 G2 Laves-Netz (4,3,4,3,3) Gruppe pgg Typ 27 Symmetriezeichnung 16, 1942 Maurits Cornelis Escher Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Analyse einiger bekannter Bilder Parkettierunge Karten Der Globus lässt sich nicht mit all seinen Eigenschaften auf eine Ebene abbilden. Eine Karte heißt winkeltreu, wenn sie die Schnittwinkel zweier Kurven erhält, Maurits Cornelis Escher Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Analyse einiger bekannter Bilder Parkettierunge Karten Der Globus lässt sich nicht mit all seinen Eigenschaften auf eine Ebene abbilden. Eine Karte heißt winkeltreu, wenn sie die Schnittwinkel zweier Kurven erhält, maßstabstreu, wenn die lokale Längenverzerrung in allen Richtungen die gleiche ist, Maurits Cornelis Escher Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Analyse einiger bekannter Bilder Parkettierunge Karten Der Globus lässt sich nicht mit all seinen Eigenschaften auf eine Ebene abbilden. Eine Karte heißt winkeltreu, wenn sie die Schnittwinkel zweier Kurven erhält, maßstabstreu, wenn die lokale Längenverzerrung in allen Richtungen die gleiche ist, flächentreu, wenn sie alle Flächeninhalte korrekt wiedergibt. Maurits Cornelis Escher Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Analyse einiger bekannter Bilder Parkettierunge Karten Der Globus lässt sich nicht mit all seinen Eigenschaften auf eine Ebene abbilden. Eine Karte heißt winkeltreu, wenn sie die Schnittwinkel zweier Kurven erhält, maßstabstreu, wenn die lokale Längenverzerrung in allen Richtungen die gleiche ist, flächentreu, wenn sie alle Flächeninhalte korrekt wiedergibt. Längentreue Karten des Globus kann es nicht geben. Maurits Cornelis Escher Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Analyse einiger bekannter Bilder Parkettierunge Karten Der Globus lässt sich nicht mit all seinen Eigenschaften auf eine Ebene abbilden. Eine Karte heißt winkeltreu, wenn sie die Schnittwinkel zweier Kurven erhält, maßstabstreu, wenn die lokale Längenverzerrung in allen Richtungen die gleiche ist, flächentreu, wenn sie alle Flächeninhalte korrekt wiedergibt. Längentreue Karten des Globus kann es nicht geben. Normale“ Karten sind winkel- und maßstabstreu. Es gibt beliebig ” viele solcher Karten (=Projektionen), bei denen die Kontinente immer etwas unterschiedlich aussehen. Maurits Cornelis Escher Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Analyse einiger bekannter Bilder Parkettierunge Geometrien Eine (ebene) Geometrie besteht aus einer Menge von Punkten, einer Menge von Linien (Geraden) und einer Funktion, Metrik genannt, die je zwei Punkten einen Abstand zuordnet. Maurits Cornelis Escher Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Analyse einiger bekannter Bilder Parkettierunge Geometrien Eine (ebene) Geometrie besteht aus einer Menge von Punkten, einer Menge von Linien (Geraden) und einer Funktion, Metrik genannt, die je zwei Punkten einen Abstand zuordnet. Für diese Geometrie gelten die üblichen Regeln: Durch zwei verschiedene Punkte lässt sich genau eine Linie ziehen, zwei Linien schneiden sich höchstens in einem Punkt, die Strecke ist die kürzeste Verbindung zweier Punkte und so weiter. Maurits Cornelis Escher Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Analyse einiger bekannter Bilder Parkettierunge Geometrien Eine (ebene) Geometrie besteht aus einer Menge von Punkten, einer Menge von Linien (Geraden) und einer Funktion, Metrik genannt, die je zwei Punkten einen Abstand zuordnet. Für diese Geometrie gelten die üblichen Regeln: Durch zwei verschiedene Punkte lässt sich genau eine Linie ziehen, zwei Linien schneiden sich höchstens in einem Punkt, die Strecke ist die kürzeste Verbindung zweier Punkte und so weiter. Euklidisches Parallelenaxiom: Zu jeder Geraden g und jedem Punkt P, der nicht auf g liegt, gibt es genau eine Parallele g ′ durch P. Maurits Cornelis Escher Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Analyse einiger bekannter Bilder Parkettierunge Geometrien Eine (ebene) Geometrie besteht aus einer Menge von Punkten, einer Menge von Linien (Geraden) und einer Funktion, Metrik genannt, die je zwei Punkten einen Abstand zuordnet. Für diese Geometrie gelten die üblichen Regeln: Durch zwei verschiedene Punkte lässt sich genau eine Linie ziehen, zwei Linien schneiden sich höchstens in einem Punkt, die Strecke ist die kürzeste Verbindung zweier Punkte und so weiter. Euklidisches Parallelenaxiom: Zu jeder Geraden g und jedem Punkt P, der nicht auf g liegt, gibt es genau eine Parallele g ′ durch P. Hyperbolisches Parallelenaxiom: Zu jeder Geraden g und jedem Punkt P, der nicht auf g liegt, gibt es mindestens zwei Parallele g ′ und g ′′ durch P. Maurits Cornelis Escher Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Analyse einiger bekannter Bilder Parkettierunge Hyperbolische Geometrie Durch das hyperbolische Parallelenaxiom und die übrigen Axiome der euklidischen Geometrie ist die hyperbolische Geometrie eindeutig bestimmt. Es gibt keine einfache Darstellung dieser Geometrie, sondern nur unterschiedliche Karten wie es unterschiedliche Karten des Globus gibt. Maurits Cornelis Escher Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Analyse einiger bekannter Bilder Parkettierunge Karte der hyperbolischen Geometrie in der oberen Halbene P Q P Punkte“: Punkte der oberen Halbebene ohne die Punkte der ” Stützgeraden. Geraden“: Alle Halbstrahle und Halbkreise, die mit der ” Stützgeraden einen rechten Winkel bilden. Maurits Cornelis Escher Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Analyse einiger bekannter Bilder Parkettierunge Karte der hyperbolischen Geometrie in der oberen Halbene P Q P Punkte“: Punkte der oberen Halbebene ohne die Punkte der ” Stützgeraden. Geraden“: Alle Halbstrahle und Halbkreise, die mit der ” Stützgeraden einen rechten Winkel bilden. Diese Karte ist winkel- und maßstabstreu. Maurits Cornelis Escher Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Analyse einiger bekannter Bilder Parkettierunge J. Leys: Monsters, 2005 Maurits Cornelis Escher Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Analyse einiger bekannter Bilder Parkettierunge Transformation auf den Einheitskreis Wir bilden die obere Halbebene auf den Einheitskreis der Ebene mit Hilfe einer Möbius-Transformation ab, nämlich in komplexer Schreibweise z −i z 7→ , z +i was sich weniger elegant reell schreiben lässt, Ã ! Ã ! x2 + y2 − 1 x 1 . 7→ 2 x + (y + 1)2 −2x y Maurits Cornelis Escher Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Analyse einiger bekannter Bilder Parkettierunge Transformation auf den Einheitskreis Die Möbius-Transformation ist winkel- und maßstabstreu, sie bildet Kreise/Geraden auf Kreise/Geraden ab: (0,1) (0,0) (1,0) Maurits Cornelis Escher Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Analyse einiger bekannter Bilder Parkettierunge Transformation auf den Einheitskreis Die Möbius-Transformation ist winkel- und maßstabstreu, sie bildet Kreise/Geraden auf Kreise/Geraden ab: (0,1) (0,0) Punkte“: Punkte innerhalb des Einheitskreises ” Geraden“: Kreissegmente des Einheitskreises, die den Rand ” im rechten Winkel schneiden. (1,0) Maurits Cornelis Escher Symmetrien periodischer Parkettierungen Escher-Parkette Analyse einiger bekannter Bilder Parkettierunge Circle Limit III, 1959 Circle Limit IV, 1960
