Grundlagen der Elektrotechnik 3 Übungsaufgaben

Campus Duisburg
Grundlagen der Elektrotechnik 3
Übungsaufgaben
Fakultät für Ingenieurwissenschaften
Abteilung Elektrotechnik und Informationstechnik
Fachgebiet Allgemeine und Theoretische Elektrotechnik
Bismarckstraße 81
47057 Duisburg
Version Januar 14
Grundlagen der Elektrotechnik 3
Übungsaufgaben
Übungsaufgabe 1:
Skizzieren Sie maßstäblich den zeitlichen Verlauf der nachfolgend gegebenen
jeweiligen Signale s(t)!
a)
s(t ) = A ⋅ rect ( t − t0 )
T0
mit den Größen: A = 6 V, t0 = 2 s und T0 = 1 s.
b)
s(t ) = ε (t − T1) ⋅ sin(ω 0 ⋅ t + ϕ 0 )
mit den Größen:
c)
s(t ) = Λ ( t − 2) + Λ ( t + 2)
T2
T3
mit den Größen:
d)
T2 = 1 s und T3 = 1 s.
s(t ) = r (− t ) ⋅ rect ( t
T4
mit den Größen:
e)
2π
2π
und T1 =
.
3
ω0
ϕ0 =
s(t ) = rect (
T5
+
1
)
2
T4 = 1 s und T5 = 1 s.
t
) ⋅ sin(ω 6 t )
2 ⋅ T6
mit den Größen:
T6 = 0.5 s und ω6 =
Seite 1
2π
T6
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Übungsaufgabe 2:
Gegeben sei eine periodische Zeitfunktion f(t) mit f(t) = f(t+nT) mit den nicht
negativen ganzen Zahlen n und der Periodendauer T.
Bestimmen Sie die Fourier-Reihenentwicklung für die in Bild 2 auszugsweise
im Zeitintervall 0 < t < 2T dargestellte periodische Zeitfunktion f(t)!
Bild 2
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Übungsaufgabe 3:
Gegeben sei eine periodische Zeitfunktion f(t) mit f(t) = f(t+nT) mit den nicht
negativen ganzen Zahlen n und der Periodendauer T.
Der zeitliche Funktionsverlauf ähnelt dem einer durch Einweggleichrichtung
einer sinusförmigen Spannung gewonnenem Spannungsverlauf.

 A ⋅ sin(ωt )
f (t ) = 

0

für 0 ≤ t ≤
für
T
2
T
≤t ≤T
2
Bestimmen Sie die Fourier-Reihenentwicklung für die auszugsweise im
Zeitintervall 0 < t < T beschriebene periodische Zeitfunktion f(t)!
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Übungsaufgabe 4:
Gegeben sei die in Bild 4 dargestellte periodische Spannung u1(t ) .
Bild 4
a) Berechnen Sie die Koeffizienten der Fourierreihe in komplexer
Schreibweise und skizzieren Sie das Amplitudenspektrum.
b) Berechnen Sie die Koeffizienten der Fourierreihe der Spannung u2 (t ) ,
wenn u1 (t ) jeweils an einer der Schaltungen nach den Abbildungen a-d
angelegt wird. Bestimmen Sie die zugehörigen Amplitudenspektren.
Abbildung a
Abbildung b
Abbildung c
Abbildung d
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Übungsaufgabe 5:
Der dargestellte Strom i (t ) fließt durch den gezeigten Schwingkreis.
b)
T2
4ω 2C 16π 2C
Berechnen Sie die Koeffizienten der Fourierreihe von i (t ) und u (t ) in
komplexer Schreibweise.
Skizzieren Sie die Amplitudenspektren von i (t ) und u (t ) , wenn die Güte des
c)
Schwingkreises Q = 1 bzw. Q = 10 ist.
Bestimmen Sie für Q = 1 und Q = 10 :
Es soll gelten:
a)
L=
a.
b.
c.
1
=
die Effektivwerte I eff , U eff ,
den Schwingungsgehalt und Grundschwingungsgehalt von i (t )
und u (t ) ,
den Oberschwingungsgehalt von i (t ) und u (t ) .
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Übungsaufgabe 6:
Gegeben ist ein im Zeitbereich einmaliger Impuls der Form:
0

C 
 π 
f (t ) =  ⋅ 1 + cos  t  
 T 
2 
0
für − ∞ < t < −T
für − T < t < T
für
T <t<∞
Berechnen Sie die Fourier-Transformierte von f (t ) und bestimmen Sie das zugehörige
Amplituden- und Phasenspektrum. Vergleichen Sie diese mit den entsprechenden Spektren
des Rechteckimpulses gleicher Amplitude, aber halber Pulsdauer.
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Übungsaufgabe 7:
Berechnen Sie die Laplace-Transformierte der gezeigten Impulsfunktion der Impulsdauer T ,
indem Sie den Impuls als Überlagerung zweier Sprungfunktionen darstellen.
Bestimmen Sie anschließend die Laplace-Transformierte des um die Zeit t0 zeitverschobenen
Impulses.
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Übungsaufgabe 8:
Bestimmen Sie die Laplace-Transformierten der folgenden Zeitfunktionen
a) g (t ) =
t2
T2
b) g (t ) = 1 − eσ1t
(σ 1 < 0)
c) g (t ) = cos(ω1t + ϕ )
d) g (t ) = eσ1t ⋅ cos(ω1t + ϕ )
(σ 1 < 0)
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Übungsaufgabe 9:
Berechnen Sie die Laplace-Transformierte der dargestellten Zeitfunktion.
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Übungsaufgabe 10:
Gegeben sind die folgenden Laplace-Transformierten:
a) G ( s ) =
b) G ( s ) =
(s
ab
2
)(
− a ⋅ s − b2
2
(
a2
s ⋅ s + a2
2
2
2
)
)
mit reellen Werten a , b . Bestimmen Sie die zugehörigen Zeitfunktionen.
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Übungsaufgabe 11:
Gegeben ist die Schaltung:
Der Schalter wird zu der Zeit t = 0 geschlossen. Bestimmen Sie die Spannung uC (t ) und die
Ströme i1 (t ) und i2 (t ) für 0 < t < ∞
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Übungsaufgabe 12:
Gegeben ist die Schaltung:
Der Schalter wird zu der Zeit t = 0 geschlossen und zu der Zeit
L
t = t1 =
R ⋅R
R2 + 1 3
R1 + R3
wieder geöffnet. Berechnen Sie die Ströme i1 (t ) , i2 (t ) und i3 (t ) , sowie die Spannung uL (t ) .
Skizzieren Sie den zeitlichen Verlauf von i1 (t ) , i2 (t ) und i3 (t ) für R1 = R2 = R3 = R .
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Übungsaufgabe 13:
Gegeben ist die Schaltung:
Berechnen Sie die Spannung u (t ) , sowie die Ströme iC (t ) , iG (t ) und iL (t ) , wenn der Schalter
zu der Zeit t = 0 umgeschaltet wird und der Kondensator im Zeitbereich t < 0 ungeladen ist
a) für den periodischen Fall,
b) für den aperiodischen Fall,
c) für den aperiodischen Grenzfall.
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Übungsaufgabe 14:
Gegeben ist die Schaltung:
Im Zeitpunkt t = 0 wird der Schalter umgeschaltet. Bestimmen Sie die Spannung uL (t ) .
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Übungsaufgabe 15:
In der gegebenen Schaltung wird der Schalter zu der Zeit t = 0 umgeschaltet.
Bestimmen Sie mit Hilfe der Laplace-Transformation die Ströme i (t ) und i1 (t ) für den
Zeitbereich 0 < t < ∞ .
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Übungsaufgabe 16:
Gegeben ist ein invertierender Verstärker mit einem idealen Operationsverstärker
Die symmetrische Versorgungspannung besitzt den Wert U B = 15V .
a) Welchen Wert muss der Widerstand R0 besitzen, damit der Eingangswiderstand des
Verstärkers 100 kΩ beträgt?
b) Welchen Wert muss der Widerstand R1 besitzen, damit der Verstärker eine
Spannungsverstärkung von A = 50 besitzt?
uɵ
Hinweis:
A= a
uɵ
e
Die Eingangsspannung ue (t ) sei nun sinusförmig mit dem Scheitelwert uɵ e = 0,4V .
c) Skizzieren Sie die Ausgangsspannung ua (t ) .
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Übungsaufgabe 17:
Gegeben ist ein Hochpass 2. Ordnung:
Bestimmen Sie die Werte der Bauelemente C1 , C2 , R1 , R2 für den Fall, dass die Verstärkung
der Hochpassschaltung gleich 10 und die untere Grenzfrequenz 5 kHz beträgt.
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Übungsaufgabe 18:
Gegeben ist ein Tiefpass 2. Ordnung:
Bestimmen Sie die Werte der Bauelemente C1 , C2 , R1 , R2 , R3 für den Fall, dass die
Verstärkung der Tiefpassschaltung gleich 10 und die obere Grenzfrequenz 25 kHz beträgt.
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Übungsaufgabe 19:
Ein idealer Operationsverstärker (OP) wird eingangs- und ausgangsseitig mit Zweitoren in
Form von T-Gliedern beschaltet.
a) Beschreiben Sie die Eigenschaften eines idealen Operationsverstärkers
(Bauelementtyp, Prinzipschaltbild und Kennlinie, Spannungen, Ströme, Verstärkung).
b) Berechnen Sie die Ströme ɵi und ɵi .
0
1
c) Ermitteln Sie den Frequenzgang bzw. die Übertragungsfunktion der Schaltung.
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Übungsaufgabe 20:
Die gegebene Schaltung stellt einen Differenzverstärker (Subtrahierer) dar. Der Verstärker ist
ein idealer Operationsverstärker (OP). Die Eingangsspannungen uɵ und uɵ sind gegeben.
e1
e2
Berechnen Sie die Ausgangsspannung uɵ a in Abhängigkeit der Widerstände R1 und R2 , wenn
gilt:
R3 R4
.
=
R1 R2
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Übungsaufgabe 21:
Gegeben ist ein idealer Operationsverstärker (OP), der wie folgt beschaltet ist:
a) Bestimmen Sie allgemein die Übertragungsfunktion vu =
uɵ a
der Schaltung.
uɵ e
b) Welche Übertragungsfunktion ergibt sich,
wenn: Z1 = R1 , Z 2 = R2 , Z5 = R3 , Z 3 = Z 4 = ( jω C ) −1 ? Welches Filter ist damit realisiert?
c) Welche Übertragungsfunktion ergibt sich für: Z1 = Z3 = Z 4 = R , Z 2 = Z 5 = ( jω C ) −1 ?
1) Welches Filter ist damit realisiert?
2) Wie groß sind Betrag und Phase der Übertragungsfunktion für ω0 = ( RC ) −1 ?
3) Welchen Wert hat der Betrag der Übertragungsfunktion an der Stelle ω = ω0 ?
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Übungsaufgabe 22:
Ein Sägezahngenerator, der die Spannung uq liefert (Abbildung b), ist in Reihe geschaltet mit
einer Si-Diode D und einem Lastwiderstand RL = 500Ω (Abbildung a). Die Diodenkennlinie
werde angenähert durch eine Ersatzkennlinie mit U S = 0,6 V und rf = 10 Ω .
Abbildung a: Diode als Gleichrichter
Abbildung c: Ersatzschaltbild
Abbildung b: Sägezahnspannung
a) Berechnen Sie den Maximalwert (Scheitelwert) ɵi des Stromes i .
b) Skizzieren Sie den zeitlichen Verlauf des Stromes i .
c) Berechnen Sie den Effektivwert (quadratischer Mittelwert) I des Stromes i .
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Übungsaufgabe 23:
Gegeben ist die abgebildete Schaltung. Die Spannung u1 wird über den Widerstand R
vollständig an die offenen Ausgangsklemmen übertragen, solange die Diode D gesperrt ist.
Die Ausgangsspannung u2 wird begrenzt, wenn die Diode leitet. Die Diodenkennlinie werde
idealisiert mit U S = 0,6 V und rf = 0 Ω .
a) In welchem Bereich der Spannung u1 ist die Diode D leitend bzw. gesperrt?
b) Berechnen Sie den Strom i in Abhängigkeit von der Spannung u1 .
c) Bestimmen Sie die Übertragungskennlinie der Spannung u2 in Abhängigkeit von der
Spannung u1 .
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Übungsaufgabe 24:
Gegeben ist ein additiver Dioden-Mischer:
Die Kondensatorwerte sind so groß gewählt, dass die an ihnen abfallende Wechselspannung
vernachlässigt werden kann. Die nichtlineare Kennlinie der Diode kann durch ein Polynom
n-ter Ordnung beschrieben werden.
Für die Eingangsspannungen gilt: ue1 = A ⋅ sin(ω1t )
ue 2 = B ⋅ sin(ω2t )
mit ω1 ≠ ω2
Berechnen Sie die entstehenden Kreisfrequenzen ωi in der Ausgangsspannung ue3 des
Mischers und skizzieren Sie das Frequenzspektrum der Ausgangsspannung.
Hinweis: Zur vereinfachten Berechnung sollen nur die ersten drei Terme des Polynoms für
einen willkürlich gewählten Arbeitspunkt berücksichtigt werden.
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Übungsaufgabe 25:
Gegeben ist ein Operationsverstärker OP, der mit den Betriebsspannungen U BP = +15 V bzw.
U BM = −15 V symmetrisch gespeist wird.
Der Operationsverstärker soll als inwertierender Verstärker mit einer Spannungsverstärkung
A = 200 betrieben werden. Dabei soll der Eingangswiderstand des Operationsverstärkers
etwa 10 kΩ betragen.
Eine Signalspannung u (t ) = 50 mV ⋅ cos(ω t + 135 °) wird mit dem Eingang des invertierenden
Verstärkers verbunden.
a) Zeichnen Sie ein Schaltbild der Anordnung mit den beiden (positiven bzw. negativen)
Betriebsspannungen und bestimmen Sie die Werte der dazu erforderlichen
Bauelemente.
b) Zeichnen Sie maßstäblich den Verlauf der Ausgangsspannung über eine
Periodendauer T und bestimmen Sie in der Zeichnung alle für den Verlauf der
Ausgangspannung charakteristischen Werte.
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Übungsaufgabe 26:
Gegeben ist ein Operationsverstärker OP, der mit den Betriebsspannungen U BP = +15 V bzw.
U BM = −15 V symmetrisch gespeist wird.
Der Operationsverstärker soll als inwertierender Verstärker mit einer Spannungsverstärkung
A = 100 betrieben werden. Dabei soll der Eingangswiderstand des Operationsverstärkers
etwa 10 kΩ betragen.
Eine Signalspannung u (t ) = 200 mV ⋅ cos(ω t − 45 °) wird mit dem Eingang des invertierenden
Verstärkers verbunden.
a) Zeichnen Sie ein Schaltbild der Anordnung mit den beiden (positiven bzw. negativen)
Betriebsspannungen und bestimmen Sie die Werte der dazu erforderlichen
Bauelemente.
b) Zeichnen Sie maßstäblich den Verlauf der Ausgangsspannung über eine
Periodendauer T und bestimmen Sie in der Zeichnung alle für den Verlauf der
Ausgangspannung charakteristischen Werte.
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Übungsaufgabe 27:
Gegeben ist ein Operationsverstärker OP, der mit den Betriebsspannungen U BP = +5 V bzw.
U BM = −5 V symmetrisch gespeist wird.
Der Operationsverstärker soll als inwertierender Verstärker mit einer Spannungsverstärkung
A = 100 betrieben werden. Dabei soll der Eingangswiderstand des Operationsverstärkers
etwa 1 kΩ betragen.
Eine Signalspannung u (t ) = 50 mV ⋅ cos(ω t + 45 °) wird mit dem Eingang des invertierenden
Verstärkers verbunden.
a) Zeichnen Sie ein Schaltbild der Anordnung mit den beiden (positiven bzw. negativen)
Betriebsspannungen und bestimmen Sie die Werte der dazu erforderlichen
Bauelemente.
b) Zeichnen Sie maßstäblich den Verlauf der Ausgangsspannung über eine
Periodendauer T und bestimmen Sie in der Zeichnung alle für den Verlauf der
Ausgangspannung charakteristischen Werte.
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Übungsaufgabe 28:
Gegeben ist eine verlustbehaftete homogene Fernleitung der Länge L , mit dem komplexen
Leitungswellenwiderstand Z L und dem Ausbreitungskoeffizienten γ = α + j β .
Die Fernleitung sei an dem Ort ℓ = 0 mit einer Impedanz Z 0 abgeschlossen.
Bild 28
Bestimmen Sie für eine vorgegebene konstante Kreisfrequenz ω = 2 π f die Eingangsimpedanz Z E
der mit einer Impedanz Z 0 belasteten Fernleitung.
Seite 28
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Übungsaufgabe 29:
Gegeben ist eine homogene Fernleitung der Länge L , deren Verluste vernachlässigt werden sollen.
Von dieser Fernleitung sind der Induktivitätsbelag L ' und der Kapazitätsbelag C ' bekannt. Für die
Berechnungen soll die Fernleitung mit einer sinusförmigen Wechselspannung mit konstanter
Wellenlänge λ betrieben werden.
Bild 29
a) Bestimmen Sie ausgehend von den Leitungsgleichungen der verlustbehafteten Fernleitung
die Leitungsgleichungen für die verlustlose Fernleitung und deren charakteristischen Größen.
b) Bestimmen Sie die Eingangsimpedanz Z E einer mit Z 0 belasteten verlustlosen Fernleitung.
c) Zeigen Sie, dass für eine spezielle Länge L = 0, 25 ⋅ λ ein Widerstandswert Z 0 = R 1 in einen
Widerstandswert Z E = R 2 transformiert wird und bestimmen Sie den Zusammenhang
zwischen diesen Größen.
d) Berechnen und skizzieren Sie die Strom- und Spannungsverläufe auf der Fernleitung für den
Fall, dass für die Abschlussimpedanz Z 0 gilt:
1)
Z0 =0
(Kurzschluss) ,
2)
Z0 =∞
(Leerlauf) und
3)
Z 0 = ZL
(Anpassung).
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Übungsaufgabe 30:
Gegeben ist eine homogene Fernleitung der Länge L , deren Verluste vernachlässigt werden sollen.
Von dieser Fernleitung sind der Induktivitätsbelag L ' und der Kapazitätsbelag C ' bekannt.
Die Fernleitung ist mit einer Wechselspannungsquelle gemäß Bild 29 verbunden und mit einer
Impedanz Z 0 belastet, in der eine elektrische Wirkleistung P0 = 180 mW in Wärme umgewandelt
wird.
Bild 30
Folgende Größen sind bekannt:
Z 0 = 100 Ω , Z i = 100 Ω , L = 1, 25 m ,
Berechnen Sie den Scheitelwert
Wechselspannungsquelle!
C ' = 50
der
pF
µH
, L' = 2
und f = 10 MHz .
m
m
Leerlaufspannung
Seite 30
der
angeschlossenen
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Übungsaufgabe 31:
Gegeben sind zwei homogene Fernleitungen der Längen L1 und L 2 , deren Verluste vernachlässigt
werden sollen. Die Fernleitungen sind mit einer Wechselspannungsquelle gemäß Bild 30 verbunden
und mit einer Impedanz Z 0 belastet.
Die Fernleitung mit der Länge L1 besitzt einen Wellenwiderstand Z L1 und die Fernleitung mit der
Länge L 2 besitzt einen Wellenwiderstand Z L 2 .
Bild 31
Folgende Größen sind bekannt:
Z 0 = 80 Ω , L1 = 0,125 ⋅ λ , Z L1 = 100 Ω , L 2 = 0,725 ⋅ λ , Z L 2 = 80 Ω und f = 20 kHz .
1)
Berechnen Sie die Größe der Eingangsimpedanz Z E !
2)
Bestimmen Sie die Größe der Innenimpedanz Z i der Wechselspannungsquelle für den
Fall, dass die in der Impedanz Z 0 in Wärme umgesetzte Wirkleistung maximal wird!
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