Mathematik I für die Fachrichtungen Biologie und Chemie

Universität Karlsruhe (TH)
Institut für Algebra und Geometrie
Dr. Klaus Spitzmüller
Dr. Andreas Weber
Mathematik I für die Fachrichtungen Biologie und Chemie
Übungsblatt 6
Wintersemester 07/08
Aufgabe 1. Linearfaktorzerlegung.
(a) Zerlegen Sie das Polynom
p(x) = x4 − 2x3 − 2x2 + 8x − 8
in seine komplexen Linearfaktoren.
(b) Zeigen Sie, dass 2 + i eine Nullstelle des Polynoms
q(x) = x4 − 6x3 + 23x2 − 50x + 50
ist, und zerlegen Sie q in seine Linearfaktoren.
Aufgabe 2. Polynominterpolation.
Bestimmen Sie das Polynom p vom Grad kleiner gleich 2 mit den Eigenschaften
p(1) = 1,
p(2) = 3,
p(3) = 2,
indem Sie
(a) die Interpolationsformel von Lagrange verwenden.
(b) ein lineares Gleichungssystem lösen.
Aufgabe 3. Rationale Nullstellen.
(a) Seien a0 , . . . , an ∈ Z ganze Zahlen mit an 6= 0 und p ∈ Z, q ∈ N teilerfremd. Zeigen Sie:
Ist pq eine Nullstelle des Polynoms
an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 ,
so ist q ein Teiler von an und p ein Teiler von a0 .
(b) Finden Sie alle Nullstellen des Polynoms
3x3 − 8x2 + 10x − 4.
Abgabe der Lösungen bis zum Dienstag, den 4.12.2007 um 8:00 Uhr in den entsprechenden Briefkasten
neben dem Seminarraum 32 im Mathematikgebäude. Bitte vermerken Sie auf Ihrer Abgabe jeweils
Name, Matrikelnummer sowie die Nummer Ihres Tutoriums. Jede Aufgabe wird mit maximal 4 Punkten
bewertet. Die Übungsblätter stehen auch unter
http://www.mathematik.uni-karlsruhe.de/iag2/lehre/m1biochem2007w/de
zum Download bereit.