aufgaben - wicTronic
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aet/nik Aufgaben 1 AUFGABEN Aufg1-1: Mit den gegebenen Grössen sollen folgende Gleichungen numerisch ausgewertet werden. Von jedem Resultat ist auch die zugehörige Einheit zu bestimmen. v = 2 ⋅ g ⋅ R0 Gegebene Grössen num. Wert Einheit Erdradius Erdbeschleunigung Induktion Stromstärke Länge Ladung Geschwindigkeit Masse Spannung R0 = 6370 g = 9.81 B = 0.5 I = 12 l = 18 Q = 2⋅10-16 v = 104 m = 2⋅10-27 U = 10 ? ? T A m As km/s kg kV F1 = B ⋅ I ⋅ l F2 = Q ⋅ v ⋅ B ω= Q ⋅B m r1 = m v ⋅ Q B r2 = 2 ⋅ m ⋅U Q ⋅ B2 Aufg1-2: Es fliesse ein Gleichstrom von I = 1 A. Wie viele Elektronen fliessen pro Sekunde durch den Leiterquerschnitt? Aufg1-3: In einer Vakuumkammer der Länge l bewegt sich ein Elektronenstrahl mit konstanter Geschwindigkeit v = 106 m/s. Die Anzahl der Elektronen beträgt n/l = 1010 pro Zentimeter Weglänge. Wie gross ist der Strom Ie? Aufg1-4: Im Elektronenstrahl des vorherigen Beispiels befindet sich zusätzlich die gleiche Anzahl positiver Ionen je cm Weglänge (Ladung +e), die sich mit konstanter Geschwindigkeit v = 104 m/s in entgegengesetzter Richtung bewegen. Wie gross ist jetzt der gesamte Strom? Aufg1-5: Finden Sie für Kupfer heraus, wie viele Atome sich ungefähr in einem cm3 befinden. ________________________________________________________________________________ Aufg2-1: Berechnen Sie die Anziehungskraft zwischen zwei Bleikügelchen, die an vernachlässigbaren Fäden im Abstand von 1 cm aufgehängt sind; die Massen seien je 50 g. Aufg2-2: Berechnen Sie die Abstossungskraft zwischen zwei positiven Punktladungen, die sich im Abstand von 1 cm im Vakuum befinden und je mit 12 nC geladen sind. Aufg2-3: Bestimmen Sie mit (2.3) oder (2.4) die Einheit der elektrischen Feldstärke. Überlegen Sie sich ebenfalls die Einheit der Gravitationsfeldstärke. Aufg2-4: Bestimmen Sie auf der Erdoberfläche die Gravitationsfeldstärken verursacht durch a) die Erde selbst, b) die Sonne, c) den Mond. aet/nik Aufgaben 2 Vorgängig sind die Massen von Erde, Sonne und Mond nachzuschlagen (Informationsbeschaffung ist Teil der Ingenieurarbeit). Aufg2-5: Wie gross ist die elektrische Feldstärke (Betrag) in Luft im Abstand von 5 m von einer Punktladung mit Q1 = 2 µC? Welche Kraft würde dort auf eine Probeladung mit q2 = 15 pC wirken? Aufg2-6: Diskutieren Sie die Definition und die Berechnung der Arbeit. Aufg2-7: Sie wandern von Küssnacht (440 m ü.M.) auf die Rigi-Kulm (1798 m ü.M.). Welche Arbeit haben Sie dabei verrichtet? Aufg2-8: Sie heben einen 35 kg schweren Stein vom Boden auf und deponieren den Stein auf einem 80 cm hohen Tisch. Welche „Lageenergie“ (potentielle Energie) besitzt jetzt der Stein? Wo steckt diese Energie? Aufg2-9: Nun fallen die beiden Punkte A und B zusammen, d.h. A = B. Wie gross wird für diesen Fall die Spannung UAA? Aufg2-10: Von zwei Wolken in einem Gewitter sind verschiedene Fälle für die Potentialverteilung gegeben. Geben Sie für jeden Fall die gesuchten Spannungen an. Uab Va Vb Ua0 Ub0 Va [kV] Vb [kV] 3 3 –3 –3 2 –2 2 –2 Uab [kV] Uba [kV] Potentialnullpunkt mit V0 = 0 Aufg2-11: Diskutieren Sie den Begriff „Lageenergie“ = potentielle Energie für das Gravitationsfeld. Führen Sie für das Gravitationsfeld ein Potential ein. Berechnen Sie numerisch das Potential für folgende Orte auf der Erde (Potentialnullpunkt auf Meereshöhe): a) Mount Everest mit 8846 m b) Windisch mit 355 m c) Marianengraben mit –10888 m Aufg2-12: Eine Batterie lieferte 3 Tage lang einen konstanten Strom von I = 1.2 A. Wie gross ist die von der Batterie abgegebene Ladung (Elektrizitätsmenge)? Aufg2-13: Zeichnen Sie für die Gleichströme I1 = 15 mA und I2 = 6 mA die Graphen I = f(t) und q = g(t) massstäblich für die Zeit 0 < t < 30 s. Dabei soll zur Zeit t = 0 die Ladung q = 0 sein. Aufg2-14: Ein Gleichstrom von 1 kA soll durch eine Sammelschiene mit quadratischem Querschnitt geleitet werden. Wie ist ihre Kantenlänge a für eine zulässige Stromdichte von Jmax= 5 A/mm2 zu wählen? aet/nik Aufgaben 3 Aufg2-15: Wir haben berechnet, dass bei Kupfer etwa 0.8⋅1023 Leitungselektronen pro cm3 mit der Ladung –e vorhanden sind. Berechnen Sie die mittlere Driftgeschwindigkeit der Elektronen bei einer Stromstärke I = 1 A durch einen Draht mit Querschnitt von 1 mm2. Aufg2-16: Eine Leiterbahn mit der Breite von 1 mm und der Dicke von 10 µm führt einen Gleichstrom von 0.5 A. Berechnen Sie die Stromdichte in der Leiterbahn. Diskutieren Sie das Resultat. Aufg2-17: Welche maximale Drahtlänge l kann man aus einem Kilogramm Wolfram herstellen, wenn der kleinste Drahtdurchmesser 7 µm beträgt? Welchen Widerstand hat dieser Draht pro Meter Länge? Welchen Strom I kann dieser Draht führen, wenn bei Wolframdrähten in diesem Durchmesserbereich Stromdichten von 12 A/mm2 zulässig sind? Daten für Wolfram: Dichte γ = 19300 kg/m3, σ = 1.82⋅107 1/(Ωm) Aufg2-18: Eine Kupferleitung mit Querschnitt A = 10 mm2 soll durch eine widerstandsgleiche Aluminiumleitung ersetzt werden. Welchen Querschnitt muss die Alu-Leitung erhalten und wie verhalten sich die Leitermassen, wenn folgende Dichten vorausgesetzt werden: Kupfer: 8900 kg/m3 Alu: 2700 kg/m3 Aufg2-19: Für einen gewickelten Drahtwiderstand (Konstantan) wird R = 100 Ω gemessen. Der Draht ist mit N = 210 Windungen auf einen Keramikzylinder (D = 62 mm) aufgebracht. Gesucht ist der Drahtdurchmesser. Welche vereinfachenden Annahmen treffen Sie und wie gross ist prozentual der dadurch bedingte Fehler? Aufg2-20: Die Spule eines Gleichstrommagneten hat bei der Temperatur 20°C einen gemessenen Widerstand R20 = 84.7 Ω. Im Betrieb werden an ihren Klemmen aber 92.4 Ω gemessen. Wie hoch ist demnach die Betriebstemperatur? (Werkstoff Kupfer) Aufg2-21: Für einen Wolframdraht mit dem Durchmesser von 24 µm und einer Länge von 620 mm soll für die Temperaturen 20°C, 200°C und 2200°C der ohmsche Widerstand berechnet werden. Verwenden Sie beide Näherungen (2.13), (2.14) und kommentieren Sie die Resultate. Zeichen Sie mit der Näherung (2.14) die Funktion Rw/R20 = f(Tw) graphisch auf für 0 < Tw < 2500°C. aet/nik Aufgaben 4 Aufg2-22: Für unten skizzierte Eintore ist anzugeben, ob es sich um Quellen oder Verbraucher handelt. Mit welchen Zählpfeilsystemen sind die Eintore bepfeilt? 2A -7 V 1 1A 2 -2 A 3 5V 10 V -10 V 20 V -5 A -2 A 1V 6 5 4 1A 2A -3 A 7 9 2V 3V 8 -2 A 4V 5A 12 11 -5 V 10 6V -2 A -20 V 2A Aufg2-23: Durch einen ohmschen Widerstand fliesst bei 14 V ein Strom von 250 mA. Gesucht ist der Widerstandswert und der Strom bei 37 V. Aufg2-24: Eine Glühlampe hat die Aufschrift 230 V, 60 W. Es sind Strom I, Leitwert G und Widerstand R zu berechnen. Aufg2-25: An die konstante Klemmenspannung U = 24 V ist ein zwischen 0 und 6 kΩ veränderbarer Widerstand R angeschlossen. Es ist der Strom I in Funktion vom Widerstand R zu berechnen und graphisch darzustellen. Aufg2-26: Bei Erwärmung von 20°C auf 100°C steigt der Widerstand eines Drahtes auf das 1.2fache des ursprünglichen Wertes an. Wie gross ist der Temperaturkoeffizient des Drahtmaterials? Aufg2-27: Auf den beiden Seiten einer 6 mm dicken Glasplatte befinde sich je eine 1 m x 2 m = 2 m2 grosse Metallbelegung. Das Glas habe den spezifischen Widerstand ρ = 1011 Ωm. Welcher Strom I fliesst durch das Glas, wenn zwischen den Belägen die Spannung U = 3 kV anliegt? aet/nik Aufgaben 5 Aufg2-28: Im skizzierten Netzwerk sind die Ströme I1 = 2 A, I2 = –5 A und die Spannungen U1 = 12 V und U2 = –5 V gegeben. Berechnen Sie mit Hilfe vom Knoten- und Maschensatz den Strom I3 und die Spannung U3. I1 I2 U3 I3 U1 U2 Aufg2-29: Im unten skizzierten Netzwerk sind U4 und I4 zu berechnen. I4 = ? U4 = ? -1V 1A 5.5 A 3V 4V 2A Aufg2-30: Eine nicht festgeschraubte Sicherung hat einen Übergangswiderstand von 1 Ω. Welche Wärmemenge entsteht stündlich durch diesen Übergangswiderstand bei I = 20 A? Aufg2-31: Die Belastbarkeit eines Widerstandes von R = 100 Ω beträgt nach Angabe P = 2 W. Mit welcher Stromstärke darf der Widerstand maximal belastet werden? Aufg2-32: Ein Generator (ηG = 82%) mit der Nennleistung PN =15 kW speist über eine Leitung mit 5% Verlusten einen Motor (ηM = 80%). Welche Arbeit kann dieser in 24 h verrichten? Welche Energie muss dem Generator in dieser Zeit zugeführt werden? Aufg2-33: Ein Boiler mit dem Anschlusswert 1.2 kW hat den Wirkungsgrad 75%. Er soll 30 l Wasser von 20°C auf 80°C erwärmen. Welche Zeit ist hierfür erforderlich? aet/nik Aufgaben 6 Aufg2-34: Im skizzierten Netzwerk sollen die Betriebszustände der Eintore untersucht werden. Für drei verschiedene Fälle sind Ströme und Spannungen gegeben. Tragen Sie in die Tabelle ein, ob das entsprechende 1-Tor als Quelle oder Last wirkt. Mit welchen Zählpfeilsystemen sind die 1-Tore bepfeilt? I1 ? I2 U2 U1 ? 1-Tor A 1-Tor B U1 I1 U2 I2 10 V 2A 8V 1A 10 V 2A 8V –1 A 1-Tor A 1-Tor B 10 V –2 A 15 V –3 A Aufg2-35: Beim skizzierten Netzwerk berechne man das Verhältnis U2/U1 allgemein. R1 U1 R2 Aufg2-36: Beim skizzierten Netzwerk berechne man das Verhältnis I2/I allgemein. R3 R4 U2 I2 R2 I R1 R3 R4 aet/nik Aufgaben 7 Aufg2-37: Die gegebene Schaltung besteht aus einer Quelle, einem Übertragungsglied (T-Struktur) und einer Last. Der Lastwiderstand variiert im Bereich von RL = 0...∞. Gesucht werden alle Ströme und Spannungen im Netzwerk. Die vorbereitete Tabelle soll ausgefüllt werden. Skizzieren Sie P2 und η in Funktion von RL. (η = P2/P1) Re, Ge Rq=3 Ω I1 P1 Uq=48 V U1 R1=1 Ω R3=2 Ω I2 U2 R2=24 Ω P2 RL I3 Übertragungsglied Quelle RL Ω Re Ω Ge mS I1 A I2 A I3 A Last U1 V U2 V P1 W P2 W η 0 1 6 10 14 22 38 46 70 ∞ Aufg2-38: Folgendes Widerstandsnetzwerk sei ∞-lang. Berechnen Sie den Ersatzwiderstand Rx. R1 R1 R1 Rx R2 R2 R2 unendlich-lang Aufg2-39: Ein Netzwerk besitzt eine Leerlaufspannung von 48 V und einen Innenwiderstand (Ersatzwiderstand) von 12 Ω. Berechnen Sie den Kurzschlussstrom. Wieviel Strom fliesst in einem Lastwiderstand von 65 Ω ? aet/nik Aufgaben 8 Aufg2-40: Im skizzierten Netzwerk sind die Knoten von a bis d bezeichnet. Es werden jeweils an zwei Knoten Klemmen angeschlossen. Geben Sie für die folgenden Klemmenpaare die Ersatzschaltungen nach Thevenin an. a) b) c) d) Klemmenpaar Klemmenpaar Klemmenpaar Klemmenpaar R1 a c-d a-b a-d c-b U1 b R2 R3 c R4 d Aufg2-41: Wann bezeichnen Sie eine Quelle als Spannungsquelle, wann als Stromquelle? Eine Quelle hat einen Innenwiderstand von 1.5 Ω. Ist das nun eine Spannungs- oder Stromquelle? Diskutieren Sie die Begriffe und machen Sie sich „klare Konventionen und Bilder“. Aufg2-42: Eine Quelle hat eine Leerlaufspannung von 12 V und einen Innenwiderstand von 0.75Ω. Es wird ein Lastwiderstand im Bereich von 0.8 Ω ... 1.5 Ω angeschlossen. Skizzieren Sie die QKL und die beiden extremen Lastgeraden. Geben Sie den Arbeitsbereich an. Aufg2-43: Eine Quelle mit Kurzschlussstrom Iq = 140 mA und Rq = 257.1 Ω wird nacheinander mit Ra1 = 600 Ω und Ra2 = 200 Ω belastet. Skizzieren Sie die QKL und tragen Sie beide Arbeitspunkte ein (numerische Werte). Aufg2-44: Eine Quelle mit Uq = 4 V und Rq = 1 Ω wird mit einem nichtlinearen Widerstand belastet. Vom nichtlinearen Widerstand ist die Strom-Spannungskennlinie als Formel gegeben: U = −0.47 ⋅ I 4 + 4.9 ⋅ I 3 − 15 ⋅ I 2 + 14.66 ⋅ I Skizzieren Sie beide Kennlinien im Bereich I = 0...4 A und bestimmen Sie den Arbeitspunkt. Aufg2-45: Für folgende sieben Netzwerke (Quellen zusammengeschaltet) sind die Ersatzquellen zu bestimmen (Thevenin oder Norton): Uq R1 Uq R R2 Uq R1 a R 10R1 Uq b c R1 Iq1 Iq1 Uq1 Iq2 Iq d Uq2 Iq2 R e R2 f Rq1 g aet/nik Aufgaben 9 Aufg2-46: Geben Sie von einer Quelle mit Innenwiderstand 50 Ω und einer verfügbaren Leistung von 0.1 W die Leerlaufspannung Uq an. Aufg2-47: Geben Sie von einer Quelle mit Iq = 45mA und Rq = 600 Ω die verfügbare Leistung PAV an. Aufg2-48: Welche Bedingung erfüllen zwei verschiedene Lastwiderstände RL1 und RL2, die beide gleichviel Leistung von einer identischen Quelle aufnehmen? Aufg2-49: Die gezeigte Schaltung besteht aus einem π-Glied, das als 2-Tor zwischen Quelle und Last betrieben wird. An dieser Schaltung werden jetzt verschiedenen Übertragungsfunktionen definiert und berechnet. Rq=50 Ω 75 Ω 1 2 R2 Uq=10 V U1 P1 R1 100 Ω 100 Ω R3 U2 P2 1' RL= 0...∞ 2' - Berechnen Sie U2/U1 allgemein - Berechnen Sie U2/Uq allgemein - Berechnen Sie P2/PAV in Funktion von RL und machen Sie eine Skizze - Berechnen Sie P1/PAV in Funktion von RL und machen Sie eine Skizze - Berechnen Sie η = P2/P1 in Funktion von RL und machen Sie eine Skizze - Gibt es einen bestimmten Wert für RL, für den an den Klemmen 1-1´ Leistungsanpassung herrscht? - Gibt es einen bestimmten Wert für RL, für den an den Klemmen 2-2´ Leistungsanpassung herrscht? Aufg2-51: Man kontrolliere die Formeln (2.26) und (2.27) durch verschiedene „Gedankenexperimente“ an den beiden äquivalenten Netzwerken. Aufg2-52: Bestimmen Sie für die skizzierten Netzwerke den Ersatzwiderstand Rx zwischen den Klemmen A und B. 125 Ω A B 37 Ω 91 Ω 39 Ω 100 Ω A 47 Ω 13 Ω 56 Ω B 25 Ω 50 Ω aet/nik Aufgaben 10 Aufg2-53: Wandeln Sie das 2-Tor links (π-Glied) in ein äquivalentes 2-Tor rechts (T-Glied) um. 1 2 1 35 2 ? ? ? 71 71 1' 2' 1' 2' alle Widerstände in Ω Aufg2-54: Geben Sie für das überbrückte T-Glied zwei äquivalente 2-Tore mit nur je drei Widerständen an. 220 Ω 1 2 100 Ω 47 Ω 120 Ω 1' Aufg2-56: In der Schaltung sind folgende Grössen gegeben: U2 = 6 V, R1 = 8 Ω, U1 =10 V, R2 = 4 Ω, R3 = 6Ω, R5 = 10 Ω R1 Aufg2-57: Berechnen Sie die Ersatzquelle Uqe, Rqe bezüglich der Klemmen 1-1´ (ohne Lastwiderstand RL). 22 Ω R3 10 A R5 U1 1 47 Ω RL 1' U2 I R2 2' 120 Ω R4 a) Wie gross ist R4 zu wählen, damit I = 0 wird? b) Wie gross ist R4 zu wählen, damit I = 200 mA wird? 68 Ω a) Bestimmen Sie RL so, dass die Leistung in RL maximal wird. b) Wie gross wird dann diese maximale Leistung Aufg2-58: Im folgenden Netzwerk ist der Strom Ix mit Hilfe der Superposition zu berechnen. −8 A 3Ω 16 Ω Ix 4.7 Ω 20 V aet/nik Aufgaben 11 Aufg2-59: Berechnen Sie den Strom Iy allgemein. I1 R1 U1 I2 R2 Iy Aufg2-60: Im skizzierten Netzwerk ist der Ersatzwiderstand an den Klemmen A-B zu bestimmen. Alle Widerstände besitzen den gleichen Wert (z.B. 10 Ω). Das Netzwerk ist in alle Richtungen unendlich weit ausgedehnt. A RAB = ? B Aufg2-61: In der Schaltung sind die Spannungen U1 und U2 sowie der Strom IA gegeben. Berechnen Sie die Ströme I1 und I2 allgemein. R2 IA R1 R3 I2 U1 U2 R4 I1 Aufg2-63: Machen Sie sich bei Ihrem Taschenrechner mit dem Vorgehen zum Lösen linearer Gleichungssysteme vertraut. Aufg2-64: Lösen Sie folgende zwei Gleichungssysteme mit dem Taschenrechner. Bitte Kontrolle der Resultate durch einsetzen (mindestens in eine Gleichung!). LM 1 MM−91 MN 1 OP P 1P P 5Q 2 3 4 −2 0 5 8 7 1 5 ⋅ OP P x P P x Q x1 x2 3 4 = OP P −1P P 4 Q 1 7 LM2 MM1 N9 OP 1 P 7 PQ 2 3 1 8 OP x P x PQ x1 ⋅ 2 3 OP 11 P 12 PQ 10 = aet/nik Aufgaben Aufg2-65: 2 −3 2 3 1 6 Alle Leitwerte in S Alle Ströme in A - Berechnen Sie alle Knotenpotentiale und damit die Ströme durch die Leitwerte. 5 −5 4 6 8 7 7 −7 Aufg2-66: Im folgenden Netzwerk sind die Ströme IA, IB und IC numerisch zu berechnen. 1A 5A 2 IC IA 10 IB 2 4 5 1 alle Widerstände in Ohm 4 5 10 7A 3A 1 2 5V Aufg2-68: Im folgenden Netzwerk sind alle Zweigströme I1 bis I5 gesucht. R1 I4 I1 U1 = 12 V U2 = 18 V I5 I2 U1 R2 U2 R3 I3 R4 R5 R1 = 12 Ω R2 = 7 Ω R3 = 14 Ω R4 = 4 Ω R5 = 5 Ω 12 aet/nik Aufgaben 13 Aufg2-69: Berechnen Sie im skizzierten Netzwerk die Maschenströme und damit die Zweigströme I1, I2 und I3. U1 = 24 V R3 U2 = 25 V U3 = 23 V R1 R2 R4 I1 I3 I2 U1 U2 R1 = 10 Ω R2 = 10 Ω R3 = 1 Ω R4 = 2.5 Ω U3 Aufg2-72: Konstruieren Sie für das folgende Netzwerk das duale Netzwerk. Berechnen Sie die Leistung in der Last im Originalnetzwerk und im dualen Netzwerk. 50 Ω 25 Ω 600 Ω 25 V 300 Ω 100 Ω RL ________________________________________________________________________________ Aufg3-4: Folgender periodische Strom i(t) fliesst durch einen Widerstand von R = 100 Ω. i(t) 0.15 A 1 2 t [ms] -0.15 A - Berechnen Sie die Spannung u(t) - Berechnen Sie die Leistung p(t) und machen Sie eine quantitative Skizze - Wie gross sind pmax und pmin ? - Gibt es Zeitpunkte, wo R Leistung abgibt? Aufg3-5: An einem Widerstand von R = 10 Ω liegt die Spannung u(t) = Û⋅cos(ωt), mit Û = 2 V und ω = 2π⋅50 s–1. Berechnen Sie die Leistung p(t) und machen Sie eine quantitative Skizze. Diskutieren Sie den Verlauf von p(t) (pmax, pmin, Mittelwert von p, trigonometrische Zusammenhänge!!). Aufg3-6: Folgender periodische Strom i(t) fliesst durch eine Spule von L = 100 mH. i(t) 25 mA 1 3 t [ms] - Berechnen Sie die Spannung u(t) (Skizze) - Berechnen Sie die Leistung p(t) und machen Sie eine quantitative Skizze - Wie gross sind pmax und pmin ? - Gibt es Zeitpunkte, wo L Leistung abgibt? aet/nik Aufgaben 14 Aufg3-7: An einem ungeladenen Kondensator mit C = 100 nF werden je die folgenden skizzierten Ströme eingespeist (unabhängige Aufgaben). Berechnen und skizzieren Sie u(t) für beide Fälle. Berechnen und skizzieren Sie p(t) für beide Fälle. Diskutieren Sie die Besonderheiten. i2(t) i1(t) 1A 1 2 1A 3 t [µ s] 1 -1 A 2 t [µ s] 3 Aufg3-8: Bei einer Serieschaltung von R und L wird der skizzierte Strom eingespeist. Berechnen Sie die Spannung u(t) und die Leistung p(t) = u(t)⋅i(t). Skizzieren Sie beiden Grössen. Tragen Sie markante Punkte numerisch in die Skizzen ein. Gibt es Zeitpunkte, wo L Leistung abgibt? R=100Ω i(t) L= 0.3H 0.1 A i(t) 2 u(t) 4 t [ms] 8 6 Aufg3-9: Der skizzierte Stromimpuls fliesst durch eine RLC-Serieschaltung. Skizzieren Sie die Einzelspannungen sowie die Gesamtspannung. Skizzieren Sie die Einzelleistungen sowie die Gesamtleistung. Tragen Sie markante Punkte numerisch in die Figuren ein. Welche Energie ist nach dem Abschalten des Stromes (t > 2 ms) noch in der Schaltung gespeichert? Wo? i(t) R=20Ω L= 0.1H C=20µ F i(t) 0.1 A 0 1 2 t [ms] Aufg3-10: Zwei Spannungen sind gegeben: u1 = Û1⋅cos(ω1t+ϕu1) und u2 = Û2⋅cos(ω2t+ϕu2) mit Û1 = 5 V, Û2 = 2 V, f1 = 50 Hz, f2 = 150 Hz, ϕu1 = –π/3, ϕu2 = –π/3. Machen Sie eine quantitative Skizze der beiden Spannungen. Tragen Sie auch die Addition der beiden Spannungen in die gleiche Figur ein. Aufg3-11: Die skizzierte harmonische Spannung ist gegeben. Bestimmen Sie die zugehörige Zeitfunktion (numerische Wert für Û, ω und ϕu). u [V] 4 0 2 ms t [ms] -3 -4 Aufg3-12: An einem 1-Tor wird folgender Strom und Spannung gemessen: u(t) = 2⋅cos(10⋅t – π/3), i(t) = 3⋅cos(10⋅t). Berechnen Sie die Leistung p(t) und skizzieren Sie die Leistung zusammen mit Strom und Spannung. aet/nik Aufgaben 15 Aufg3-13: Für die harmonische Zeitabhängigkeit u(t) = Û⋅cos(ω⋅t) sind die folgenden Grössen zu berechnen: - Linearer Mittelwert - Betragsmittelwert - Effektivwert - Form- und Scheitelfaktor Aufg3-14: Für den Strom i(t) = A+B⋅sin(ω⋅t) sind der lineare Mittelwert und der Effektivwert zu berechnen. Aufg3-15: Berechnen Sie von folgender Zeitfunktion den linearen Mittelwert, den Betragsmittelwert und den Effektivwert. Unterscheiden Sie die Fälle i): A > 0, B < 0 ii): A > 0, B > 0 Aufg3-16: Berechnen Sie von folgender Zeitfunktion den Betragsmittelwert, den Effektivwert und den Formfaktor. x(t) x(t) A A T/2 T B T t −A t Aufg3-17: Berechnen Sie von der folgenden Spannung (zweiweggleichgerichtet) den linearen Mittelwert und den Effektivwert. T/2 Aufg3-18: Berechnen Sie von folgendem Strom (einweggleichgerichtet) den linearen Mittelwert und den Effektivwert. u(t) i(t) Û Î t t Aufg3-19: Ein sägezahnförmiger Strom (siehe Skizze) fliesst durch einen Widerstand mit R=47 Ω. Skizzieren Sie den Verlauf von p(t). Berechnen Sie die mittlere Leistung P. Berechnen Sie den Effektivwert des Stromes und damit die Wirkleistung P. i(t) 2A 0 2 4 t [ms] aet/nik Aufgaben 16 Hilfreiche Integrale x(t) x = a⋅t 0 t T1 z T1 1 2 x (t )dt = ⋅ a ⋅ T1 2 0 z T1 1 3 x 2 (t )dt = ⋅ a 2 ⋅ T1 3 0 x(t) x = A⋅sin(π /T1⋅t) A 0 T1 t z T1 2 x (t )dt = ⋅ A ⋅ T1 π 0 z T1 0 x 2 (t )dt = 1 2 ⋅ A ⋅ T1 2 ________________________________________________________________________________ Aufg4-1: Der Strom i (t ) = I ⋅ cos(ω t + ϕ i ) fliesst durch die Serieschaltung von Widerstand und Spule. Berechnen Sie die Gesamtspannung u(t). Geben Sie Û und ϕu allgemein an. Aufg4-2: Die Spannung u(t ) = U ⋅ cos(ω t + ϕ u ) liegt an der Parallelschaltung von Widerstand und Kondensator. Berechnen Sie den Gesamtstrom i(t). Geben Sie Î und ϕi allgemein an. Aufg4-3: Der Strom i (t ) = I ⋅ cos(ω t + ϕ i ) fliesst durch die Serieschaltung von Widerstand, Spule und Kondensator. Berechnen Sie die Gesamtspannung u(t). Geben Sie Û und ϕu allgemein an. Aufg4-4: An der Serieschaltung von R und C liegt die Spannung u(t ) = U ⋅ cos(ω t ) . Berechnen Sie den Strom i(t). Geben Sie Î und ϕi allgemein an. Berechnen Sie auch die Kondensatorspannung uC(t). Geben Sie das Verhältnis ÛC/Û allgemein in Funktion von R, C und ω an. Aufg4-5: Der Strom i (t ) = I ⋅ cos(ω t + ϕ i ) fliesst durch die Serieschaltung von Widerstand und Spule. Berechnen Sie die Momentanleistung p(t) (pmax=?, pmin=?) und die mittlere Leistung P. Aufg4-6: Der Strom i (t ) = I ⋅ cos(ω t + ϕ i ) fliesst durch die Serieschaltung von Widerstand, Spule und Kondensator. Berechnen Sie die Momentanleistung p(t) (pmax=?, pmin=?) und die mittlere Leistung P. Aufg4-7: Bei einer Serieschaltung von Widerstand und Kondensator wird p(t) ausgewertet: pmax= 79.8 W und pmin= –19.8 W. Der Strom durch die Serieschaltung mit I = 0.5 A weist eine Frequenz von 10 KHz auf. Bestimmen Sie numerisch die beiden Netzwerkelemente R und C. Aufg4-8: Durch eine Spule mit L = 25 mH fliesst ein sinusförmiger Strom mit I = 12 A und einer Frequenz von 50 Hz. Skizzieren Sie i(t), u(t), p(t) und w(t). Wie gross ist die maximal gespeicherte Energie wmax in der Spule? aet/nik Aufgaben 17 Aufg4-9: Durch die Serieschaltung von Widerstand und Spule fliesst der Strom i (t ) = I ⋅ cos(ω t ) . maximal gespeicherte Energie Berechnen Sie das Verhältnis 2π ⋅ =? verheizte Energie in einer Periode Aufg4-10: Mit den beiden komplexen Zahlen z1 = a1 + jb1 und z 2 = a2 + jb2 sind folgende Grössen zu berechnen (alle Resultate in Rechteckform): * * A = z1 ⋅ z 2 B = z1 / z 2 C = z 1 + z1 D = z2 − z2 Aufg4-11: Wandeln Sie die folgenden komplexen Zahlen und Ausdrücke in die Polarform um: r 1 = 3 + 4 j , r 2 = −3 + 4 j , r 3 = −3 − 4 j , r 4 = 4 j , r 5 = cos(ϕ ) − j sin(ϕ ) , r 6 = −2 , * r7 = 1/ r5 , r 8 = r1 r1 , r 9 = ln(r 1 ) , r 10 = e r 6 , r 11 = e r 3 Aufg4-12: Geben Sie die folgenden komplexen Werte in Rechteck- und Polarform an: b g z1 = −1 z7 = j2 , 2 , b g π b g z 2 = −1 , z 3 = −1 z8 = j 3 , z9 = j4 6 8 , z 4 = cos(5 + j 6) , bg z 5 = arcsin 2 , Aufg4-13: Es sei r = x + jy und M = 3 + j . Zeigen Sie, dass der Ausdruck Kreis in der komplexen Ebene beschreibt. z6 = 1 j r − M = 2 einen Aufg4-14: Geben Sie für die Serieschaltung von R und L die Impedanz und die Admittanz an (allgemeine Resultate). Geben Sie die Werte numerisch an für R = 47 Ω, L = 25 mH und ω =103 s–1. Aufg4-15: Geben Sie für die Parallelschaltung von R und C die Impedanz und die Admittanz an (allgemeine Resultate). Geben Sie die Werte numerisch an für R = 22 Ω, C = 25 nF und ω = 106 s–1. Aufg4-16: Von einer Spule und von einem Kondensator sind die Reaktanzen XL bzw. XC anzugeben. Geben Sie auch die Ausdrücke für die Suszeptanzen an. Aufg4-17: Der Strom i (t ) = I ⋅ cos(ω t + ϕ i ) fliesst durch die Serieschaltung von Widerstand und Spule. Berechnen Sie die Spannung U. Geben Sie damit die Gesamtspannung u(t) an. (Vergleichen Sie mit Aufg4-1). Aufg4-18: Die Spannung u(t ) = U ⋅ cos(ω t + ϕ u ) liegt an der Parallelschaltung von Widerstand und Kondensator. Berechnen Sie den Gesamtstrom I. Geben Sie damit den Gesamtstrom i(t) an. Aufg4-19: Der Strom i (t ) = I ⋅ cos(ω t + ϕ i ) fliesst durch die Serieschaltung von Widerstand, Spule und Kondensator. Berechnen Sie die Gesamtspannung U. (Vergleichen Sie mit Aufg4-3). Aufg4-20: An der Serieschaltung von R und C liegt die Spannung u(t ) = U ⋅ cos(ω t ) . Berechnen Sie den Strom I. Berechnen Sie auch die Kondensatorspannung UC. Geben Sie das Verhältnis UC/U allgemein in Funktion von R, C und ω an. (Vergleichen Sie mit Aufg4-4). aet/nik Aufgaben 18 Aufg4-21: Gegeben ist die Spannung u(t ) = 39.6 V ⋅ sin(ω t − π 5) , mit f = 625 Hz. Diese Spannung liegt an der Serieschaltung von R = 9600 Ω und C = 90.9 nF. Gesucht sind: a) der Zeiger U b) die Impedanz Z und die Admittanz Y c) der Zeiger I und die Zeitfunktion i(t) d) der sog. Drehzeiger it(t) e) der Zeitpunkt t1, für den i erstmals gleich Null wird f) der Zeitpunkt t2, für den i erstmals gleich Î wird g) der Zeitpunkt t3, für den p erstmals gleich Null wird h) der Zeitpunkt t4, für den p erstmals maximal wird Aufg4-22: Am skizzierten Netzwerk wird die Spannung u(t) angelegt: u(t ) = U ⋅ cos(ω t ) , Û = 10 V, ω1 = 2π⋅1 MHz, ω2 = 2π⋅2.3 MHz I U IR R IL L IC C L = 10 µ H C = 500 pF R = 200 Ω Z - Berechnen Sie für beide Frequenzen die Impedanzen Z(ω1) und Z(ω2). - Berechnen Sie für beide Frequenzen die Ströme IR, IL, IC und I. Tragen Sie die Spannung U und die Ströme in einem Zeigerdiagramm ein. Aufg4-23: Man berechne numerisch die Impedanz des skizzierten Eintores: C ω = 1000 s–1 C = 500 nF L=1H Z1 = (1+j2) kΩ R1 = 1 kΩ R2 = 2 kΩ R3 = 1 kΩ Z2 = (2-j) kΩ R1 Z2 R2 Z1 Z=? R3 L Aufg4-24: Ein Strom i = I ⋅ cos(ω t + ϕ ) fliesst durch ein unbekanntes Eintor mit der Impedanz Z. Über dem Eintor fällt eine Spannung u = U ⋅ sin(ω t + ψ ) ab. Wie gross ist Z (Betrag und Phase) ? Lösung allgemein und mit folgenden numerischen Werten: Î = 1 A, Û = 10 V, ϕ = 30°, ψ = –10°. aet/nik Aufgaben 19 Aufg4-25: Bestimmen Sie von folgendem Netzwerk die Norton-Ersatzschaltung bezüglich der Klemmen 2-2´. − j5 kΩ 2 Iq j3 kΩ (2+j2) kΩ 2 6 kΩ Zq j5 V 10 mA /-45° 2' 2' Aufg4-26: Bestimmen Sie das Thevenin-Ersatzschaltbild (Uqe, Zqe) bezüglich der Klemmen 1-1´. 40− j10 10+j10 1 20 50+j50 10− j40 1 /30° − j40 20+j10 20− j30 1' Aufg4-27: Durch die Serieschaltung von R= 10 Ω und L= 20 mH fliesst der Strom I = 5 A ∠0° . Die Frequenz beträgt f = 50 Hz. Folgende Aufgaben sind zu lösen: a) Berechnen Sie die Impedanz Z des 1-Tores b) Berechnen Sie allgemein und numerisch P, Q und S c) Berechnen und skizzieren Sie die Momentanleistung im Widerstand pR(t) = uR(t)⋅i(t) d) Berechnen und skizzieren Sie die Momentanleistung in der Spule pL(t) = uL(t)⋅i(t) e) Skizzieren Sie die gesamte Momentanleistung p(t) = pR(t) + pL(t). f) Bestimmen Sie Mittelwert, Maximum und Minimum von p(t) g) Zeigen Sie allgemein, dass folgende Zusammenhänge gelten: ∧ pmax = p = P + S , ∨ ∧ pmin = p = P − S , ∨ Q = − p⋅p Aufg4-28: An einer unbekannten Impedanz Z wird der Strom i (t ) = 10A ⋅ cos(ω t ) eingespeist. Der folgende Verlauf der Leistung p(t) wurde gemessen: p(t) 3700 W t − 1700 W 500 µ s a) Bestimmen Sie P und Q (induktiv oder kapazitiv?) b) Bestimmen Sie die unbekannte Impedanz Z numerisch. c) Geben Sie numerisch die Elemente für eine Serie-Ersatzschaltung von Z an. aet/nik Aufgaben 20 Aufg4-29: Ein Verbraucher nimmt bei einer Sinusspannung U = 230 V den Strom I = 10 A und die Leistung P = 1500 W auf. Wie gross sind Scheinleistung S, Leistungsfaktor cosϕ, Blindleistung Q und Impedanz Z ? Welche maximale (pmax) und minimale Leistung (pmin) nimmt der Verbraucher auf? Aufg4-30: In der skizzierten Verbraucher-Schaltung sind gegeben: R = 10.56 Ω, XL = 14.08 Ω, XC = –35.20 Ω und U = 220V ∠0° I IL IC R S U C Ze L Berechnen Sie bitte: a) IL, IC und I b) P, QL, QC und Q c) die Scheinleistung S = P + jQ mit obigen Werten d) die Scheinleistung mit S = U ⋅ I * (Vergleich mit oben?) Aufg4-31: Bei der folgenden Schaltung sind die beiden Impedanzen und die gesamte Wirkleistung gegeben. P b g = b80 − j 60g Ω I2 Z 1 = 120 + j50 Ω I1 Z1 Z2 Z2 P = 2.12 W S a) Berechnen Sie die Ströme I1 und I2. b) Wie gross ist die gesamte Scheinleistung S ? Aufg4-32: Im skizzierten Netzwerk wird ein DC-Widerstand von RDC = 10 Ω gemessen. Bei der Frequenz f = 1 MHz werden zusätzlich folgende Messungen gemacht: f = 1 MHz R2 I I = 2A R1 P = 143.30 W Q = 197.25 VAr L - Bestimmen Sie die unbekannten Elemente R1, R2 und L. Aufg4-33: Welchen Strom zeigt das Amperemeter an, wenn die Scheinleistung im Zweig 2 der Schaltung 1490 VA beträgt? A I=? 2Ω 3Ω j3 Ω j6 Ω 1 2 aet/nik Aufgaben 21 Aufg4-34: Betrachten Sie die Leistungsformel (4.5) für p(t). Zeigen Sie, dass sich der Ausdruck für p(t) auch wie folgt schreiben lässt: p(t ) = S ⋅ cos 2ω t + ϕ u + ϕ i + P Diskutieren Sie obige Schreibweise für p(t). Graphische Interpretation? b g Aufg4-35: Folgendes Netzwerk und die Spannung U sind gegeben: I1 I I2 R L U C R = 10 Ω L = 10 µH C = 40 pF ω = 50.01⋅ 106 s-1 b g U = 5 + j0 V Z1 a) b) c) d) Berechnen Sie numerisch die Gesamtimpedanz Z1 Berechnen Sie numerisch die Ströme I1, I2 und I Welche Wirkleistung P wird im Netzwerk in Wärme umgewandelt? Berechnen Sie die maximal gespeicherte Energie Wmax in der Spule Aufg4-36: Die skizzierte Brückenschaltung wird mit einer Spannung U1 gespeist. Die Spannung U2 ist zu berechnen (unbelastete Brücke). Was passiert mit U2 (komplexe Ebene), wenn ω den Bereich von 0...∞ durchläuft? (Skizze!) R C U2 U1 R C L Aufg4-37: Berechnen Sie für das skizzierte Netzwerk die Übertragungsfunktionen T V = U 2 U 1 und T R = U 1 U 2 . Aufg4-38: Berechnen Sie für das skizzierte Kreuzglied die Übertragungsfunktion T = U 2 U1 . (Beide Widerstände = R, beide Kondensatoren = C) U1 U1 C R1 R2 U2 U2 aet/nik Aufgaben 22 Aufg4-42: Vom skizzierten RC-Netzwerk ist die Übertragungsfunktion T = U2/U1 zu berechnen. Skizzieren Sie die Ortskurve T(ω). Tragen Sie markante Punkte ein. R U1 C T= U2 U2 =? U1 bg T ω = ? (Ortskurve) Aufg4-43: Vom skizzierten CR-Netzwerk ist die Übertragungsfunktion T = U2/U1 zu berechnen. Skizzieren Sie die Ortskurve T(ω). Tragen Sie markante Punkte ein. C U1 R T= U2 U2 =? U1 bg T ω = ? (Ortskurve) Die folgenden Aufgaben sind mit Hilfe von „Matlab“ zu lösen. Vor der numerischen Rechnung sind die Verläufe der Ortskurven zu überlegen (extreme Werte für ω verwenden, z.B. ω = 0 und ω = ∞). Aufg4-44: Von den skizzierten Netzwerken sind die Ortskurven der Impedanz und Admittanz zu zeichnen. Tragen Sie markante Punkte ein. 5000 Ω 10 nF 500 Ω 10 mH a) 10 mH 10 nF d) 5000 Ω 10 nF 500 Ω 10 mH 10 nF 10 mH 10 nF 20 kΩ 10 kΩ e) b) 200 Ω 10 mH 10 mH 100 Ω c) 10 nF f) aet/nik Aufgaben 23 b Aufg4-48: Berechnen Sie vom skizzierten Netzwerk die Leistungsübertragung a = PL PAV g dB (mit Hilfe von Matlab). U0 24.5 µ H PAV - Stellen Sie a im Bereich von 40-60KHz mit linearer Frequenzachse dar. 17 nF 600 µ H 50 Ω 417 nF 26 Ω PL - Stellen Sie a im Bereich von 5 KHz bis 500 KHz mit logarithmischer Frequenzachse dar. Aufg4-51: Als Beispiel einer symmetrischen Dreiecks-Last sind gegeben: U 12 = 400 V ∠0° und für die Lastimpedanz Z = (92 + j 77) Ω . Bestimmen Sie alle Spannungen und Ströme und stellen Sie diese Grössen in einem Zeigerdiagramm dar. Berechnen Sie auch die Scheinleistung S mit (4.46). Kontrollieren Sie obige „Spezialformeln“ für symmetrische Last. Aufg4-52: In einem Dreiphasennetz ist U12 = 400 V. Das Netz wird von einem Verbraucher in Dreieckschaltung belastet, wobei Z 12 = (10 + j 0) Ω, Z 23 = (8.66 + j5) Ω und Z 31 = (13 − j 7.5) Ω . Gesucht sind alle Ströme sowie Wirk-, Blind- und Scheinleistung in jeder der drei Verbraucher-Impedanzen. Aufg4-53: Eine Schieflast in Y-Schaltung (mit Mittelpunktsleiter) ist gegeben mit: Z 1 = (2.77 + j 0) Ω, Z 2 = (151 . + j1.46) Ω und Z 3 = (4.00 − j183 . ) Ω . Das Netz ist symmetrisch mit U 1M = (230 + j 0) V . Gesucht sind alle Ströme, Leistungen und ein vollständiges Zeigerbild. Aufg4-54: Für eine symmetrische Y-Schaltung ist die Leistung p(t ) = p1 (t ) + p2 (t ) + p3 (t ) zu berechnen. Kommentieren Sie das Resultat. Berechnen Sie numerisch p(t) auch für Aufg4-53 (unsymmetrische Last); skizzieren Sie p(t). Aufg4-55: Für eine Sternschaltung (ohne Mittelpunktsleiter) sind die Spannungen zwischen den Phasen gegeben: URS = UST = UTR = 400 V. Die Last wird durch folgende unsymmetrische Verbraucher gebildet: Z R = (10 + j17.32) Ω Z S = (0 + j 40) Ω Z T = (8.66 − j5) Ω Bestimmen Sie alle Spannungen, Ströme und Leistungen (Wirk-, Blind- und Scheinleistungen). aet/nik Aufgaben 24 Aufg4-56: Gegeben ist folgende Anordnung (Dreieck- versus Sternschaltung): Generator Last Zi I1 1 u U1 U12 Zi I2 2 Zux v Zvy x U2 w Zwz y z U23 Zi 3 I3 U3 Last: Z ux = (3 + j 4) Ω, Z vy = (3 + j 4) Ω, Z wz = (5 + j8) Ω Generator: Im Leerlauf kann man folgende verkettete Spannungen messen: U12 = U23 = U31 = 400 V, Z i = (0.1 + j 0.2) Ω a) b) c) d) e) f) h) Bestimmen Sie im Leerlauf U23, U31, U1, U2, und U3 mit U 12 = 400V ∠0 Zeichnen Sie die Last in Stern- und in Dreieckschaltung Sie müssten mit einem Schalter (Schütz) die Last von Stern zu Dreieck umschalten: Zeichnen Sie das zugehörige Schema auf. Bestimmen Sie die Stranggrössen Iux, Ivy, Iwz, Uux, Uvy, Uwz und die Grössen I1, I2 und I3 für die Stern- und die Dreieckschaltung. Wieviel Scheinleistung muss der Generator jeweils liefern? Bestimmen Sie jeweils die Wirkleistungen pro Strang. Vergleichen Sie Stern- und Dreieckschaltung (Diskussion). Aufg4-60: Ein Erzeuger (mit Quellenimpedanzen) wird durch eine unsymmetrische Dreieckslast so belastet, dass die Aussenleiterspannungen nicht mehr symmetrisch sind. Gegeben sind die Aussenleiterspannungen und die Lastimpedanzen. Berechnen Sie die Phasenströme. Berechnen Sie auch die Wattmeteranzeigen PWI und PWII (Figur 4-34). Erstellen Sie ein Zeigerdiagramm mit allen Strömen und Spannungen. „Visualisieren“ Sie im Zeigerdiagramm PWI und PWII. U 12 = 400 V ∠0° Z 12 = (50 − j 25)Ω U 23 = 430 V ∠ − 140° [U 31 = 285.27 V ∠104.33° ] Z 23 = (30 + j15)Ω Z 31 = (10 + j 75)Ω Aufg4-62: Mit einer Spule von L = 10 µH mit einem Seriewiderstand von Rs = 0.8 Ω soll bei der Frequenz f = 2 Mhz ein Schwingkreis gebaut werden. Der (totale) Gütefaktor des Schwingkreises muss grösser als Qtot ≥ 100 sein. Bestimmen Sie den minimalen Gütefaktor des Kondensators. Modellieren Sie die Verluste durch einen einzigen Parallelwiderstand, so dass der Gütefaktor des Schwingkreises Qtot = 100 wird. Aufg4-63: Zeigen Sie mit Hilfe der Ortskurven, dass die Serie-Parallel-Umformung (Figur 4-36) nur bei einer Frequenz (oder schmalbandig) gültig ist. aet/nik Aufgaben 25 Aufg4-64: Ein Kondensator mit C = 50 pF weist bei der Frequenz f0 = 35 MHz einen Gütefaktor von Qc = 250 auf. Geben Sie den zugehörigen Seriewiderstand Rs oder den zugehörigen Parallelwiderstand Rp an. Aufg4-65: Eine Spule mit L = 0.4 µH weist bei der Frequenz f0 = 35 MHz einen Gütefaktor von QL = 120 auf. Geben Sie den zugehörigen Seriewiderstand Rs oder den zugehörigen Parallelwiderstand Rp an. Aufg4-66: Mit obigen beiden Elementen wird ein Schwingkreis gebaut. Wie gross ist der resultierende Gütefaktor für den Schwingkreis? Geben Sie den entsprechenden Serie- oder Parallelwiderstand für den Schwingkreis an, der die Verluste repräsentiert. Aufg4-67: Ein realer Kondensator liegt an U = 12 V bei f = 1.5 KHz. Der Strom beträgt I = 1.38 A, die zugeführte Wirkleistung ist P = 0.11 W. Berechnen Sie mit diesen Angaben Rp, C, Q und tan(δ). Aufg4-70: Ein Serieschwingkreis ist gegeben mit ω0 = 2π⋅1MHz, L C = 120Ω und Q = 80. Bestimmen Sie die Netzwerkelemente des Schwingkreises. Skizzieren Sie Z(ω) und ϕZ(ω) (Matlab). Tragen Sie markante Punkte in die Figuren ein. Aufg4-71: Vollziehen Sie die Herleitung der Formeln (4.60) ... (4.63) nach. Aufg4-72: Ein Serieschwingkreis ist gegeben mit L = 60 µH, C = 2 nF und Rs = 10 Ω. Berechnen Sie ω0 und Q. Geben Sie die Grenzfrequenzen und die Bandbreite an. Wieso bezeichnet man die Grenzfrequenzen oft auch mit „3dB-Frequenzen“? Aufg4-73: Wie hängen die Formeln (4.51), (4,52) und (4.58) zusammen? Aufg4-74: Ein Serieschwingkreis mit Verlusten ist gegeben: L C L = 2 mH C = 8 nF Rp = 2.5 kΩ Rp - Berechnen Sie die Resonanzfrequenz ωr (Definition von „Resonanzfrequenz“ verwenden). Geben Sie Z(ωr) an (numerisch) - Wandeln Sie das Netzwerk so um, dass die Verluste durch einen Seriewiderstand modelliert werden - Skizzieren Sie die Ortskurven (Originalnetzwerk und umgewandeltes Netzwerk) Tragen Sie die Resonanzfrequenz in die Ortskurven ein aet/nik Aufgaben 26 Aufg4-75: Ein Serieschwingkreis hat folgende Daten: Resonanzfrequenz ω0 = 2π⋅10 MHz, Gütefaktor Q = 150. R U1 - Berechnen Sie die Spannungsübertragungsfunktion Uc/U1 allgemein in Funktion von ω L - Berechnen Sie Uc/U1 (Betrag) numerisch für ω = ω0 (Resonanz) C Uc Aufg4-76: Für die skizzierte Schaltung bestimme man: R C - Y(ω) in allgemeiner Form L Y(ω) - die Resonanzfrequenz fr numerisch für R = 5 Ω, L = 1 mH und C = 12 µF - die Ortskurve für Y(ω) für obige Werte (Skizze) Aufg4-77: Ein Serieschwingkreis hat die Resonanzfrequenz f0. Bei der Frequenz f = 1.2⋅f0 beträgt die Phase zwischen Strom und Spannung −85°. Berechnen Sie die Güte des Schwingkreises (Formel herleiten). Aufg4-78: Ein Parallelschwingkreis besteht aus einem Kondensator und einer Spule, welche vorgängig einzeln auf einer Messbrücke gemessen wurden: C = 12 nF, L = 3 mH, QC = 150 (f = f0) QL = 50 (f = f0) - Berechnen Sie die Resonanzfrequenz f0 des Schwingkreises - Welche Bandbreite (-3dB) weist der Parallelschwingkreis auf? - Welchen zusätzlichen Widerstand RZ müsste man dem Kreis parallel schalten, um die Bandbreite um 20% zu erhöhen? Aufg4-79: Ein Parallelschwingkreis mit Resonanzfrequenz f0 = 25 MHz und Verlustwiderstand Rp = 10 kΩ weist bei der Frequenz f1 = 24 MHz eine Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung von ∆ϕ = 76.24° auf. Berechnen Sie die restlichen Elemente (L, C) des Parallelschwingkreises. Aufg4-80: Mit einer Spule von L = 25 µH und QL = 150 soll ein Parallelschwingkreis realisiert werden. Die Resonanzfrequenz soll f0 = 750 KHz betragen. Der Parallelschwingkreis muss ein vorgegebenes QB = 50 aufweisen. - Bestimmen Sie die restlichen Elemente des Schwingkreises - Welche Wirkleistung P nimmt der Schwingkreis bei Resonanz auf, wenn die angelegte Spannung U = 2 V beträgt? aet/nik Aufgaben 27 Aufg4-81: Bei einer Resonanzfrequenz von 10 MHz beträgt die Phasenänderung 10° für eine Frequenzänderung von 10 KHz. Berechnen Sie den Gütefaktor für diese Resonanzfrequenz. Aufg4-82: Leiten Sie eine der beiden Formeln ((4.68) oder (4.69)) selber her. Beachten Sie in (4.68) und (4.69), dass die Spezialfälle mit Q → ∞ auch abgedeckt sind. Aufg4-83: Wie ist ein negativer Wurzelausdruck in (4.68) oder (4.69) zu interpretieren? Zeigen Sie, dass eine „Resonanzfrequenz“ für Q < 1 nicht mehr existiert (Skizze der Ortskurven für verschiedene Q). Aufg4-84: Vom skizzierten Netzwerk ist die Resonanzfrequenz zu berechnen. L Rs Rp C L = 4.03 mH C = 6.2 nF Rs = 5 Ω Rp = 5000 Ω Aufg4-85: Vom skizzierten Netzwerk ist die Resonanzfrequenz zu berechnen. Skizzieren Sie die Ortskurve von Y(ω) und tragen Sie markante Punkte ein. Y L Rp C Rs L = 4 mH C = 20 µF Rs = 6 Ω Rp = 12 Ω Aufg4-86: Für beide skizzierten Netzwerke ist die Impedanz bei Resonanz anzugeben (reell!). Vereinfachen Sie die Resultate so weit wie möglich. Rp Z(ωr) = ? L C Rs Z(ωr) = ? L C Aufg4-87: Das skizzierte Reaktanznetzwerk ist gegeben. Bestimmen Sie Typ und Grad des Netzwerkes. Skizzieren Sie den Reaktanzverlauf qualitativ. Bestimmen Sie alle Nullstellen und Pole von X(ω) allgemein und numerisch. C1 C2 L1 L2 L1 = 10 mH L2 = 3 mH C1 = 166 nF C2 = 16.6 µF aet/nik Aufgaben 28 Aufg4-88: Ein Reaktanznetzwerk A ist gegeben. Bestimmen Sie Typ und Grad des Netzwerkes. Skizzieren Sie den Reaktanzverlauf X(ω). Geben Sie numerisch die beiden Resonanzfrequenzen an. A L2 L1 C2 CB L1 = 25 µH L2 = 100 µH C2 = 100 pF LA LB B Bestimmen Sie vom äquivalenten Netzwerk B die Elemente LA, LB und CB numerisch. Aufg4-90: Eine Quellenimpedanz von Zq = (20–j10) Ω soll an eine Lastimpedanz von ZL = (100+j30) Ω angepasst werden. Berechnen Sie das nötige Anpassnetzwerk. „Absorbieren“ Sie die reaktiven Anteile von Quellen- und Lastimpedanz im Anpassnetzwerk. Aufg4-91: Kontrollieren Sie in Aufg4-90 ob die Bedingung (4.74) erfüllt ist? Schneiden Sie das Netzwerk an verschiedenen Stellen auf und berechnen Sie die Impedanzen, die Sie „nach links“ und „nach rechts“ sehen. Aufg4-92: Eine Quelle mit Impedanz Zq = Rq+jXq wird mit einem Widerstand belastet (reell!). Bestimmen Sie den Widerstand so, dass er maximale Leistung aufnimmt (allg. Formel herleiten). Aufg4-93: Eine 600Ω-Quelle soll bei der Frequenz f0 = 10 MHz an einen 10Ω-Lastwiderstand angepasst werden. Berechnen Sie ein Anpassnetzwerk. Skizzieren Sie die Leistungsübertragung (PL/PAV)dB im Bereich f = 0...20 MHz (Matlab). Ein (versierter) Kollege liefert Ihnen ein breitbandigeres Anpassnetzwerk mit vier Elementen (siehe Schema). Berechnen Sie von diesem Netzwerk ebenfalls die Leistungsübertragung (PL/PAV)dB und vergleichen Sie mit Ihrem Netzwerk (zwei Elemente). 600 Ω 3.41 µ H 0.446 µ H 73.5 pF 10 Ω 563 pF Aufg4-94: Beim skizzierten Netzwerk soll die an die Last gelieferte Leistung PL maximal werden (für f = f0). Rq C ? RL - Welches Element (R, L, C) wird parallel zu RL benötigt? - Berechnen Sie RL und dimensionieren Sie das unbekannte Element allgemein und numerisch für Rq = 300 Ω, C = 470 pF und f0 = 1 MHz. ________________________________________________________________________________ aet/nik Aufgaben 29 Aufg5-6: Von der skizzierten pulsförmigen Spannung up(t) sind die Fourierkoeffizienten Ak und ϕk zu berechnen. Tabellieren Sie die ersten 15 Werte für ein Tastverhältnis von τ/T = 0.25. Was passiert mit den Ak, wenn τ/T → 0 geht? Geben Sie das Amplitudenspektrum graphisch an für die Fälle τ/T = 0.25, τ/T = 0.1 und τ/T = 0.01. U0 up(t) τ − τ/2 τ/2 T/2 t T Aufg5-7: Die skizzierte Funktion g(t) ist als Fourierreihe darzustellen. Berechnen Sie die nötigen Koeffizienten. Kontrollieren Sie Ihre Rechnung mit einem Formelbuch (Fourierreihen). A −T g(t) 0 T t Aufg5-8: Von der skizzierten Impulsfolge sind die Fourierkoeffizienten zu berechnen (ak, bk, Ak und ϕk). Für T = 1 und τ = 0.005 sind Amplituden- und Phasenspektrum zu skizzieren (k = 1..200). Skizzieren Sie auch das Zeitsignal für die ersten 200 Harmonischen (Fouriersynthese). p(t) A A ⋅ e −t τ 0 T/2 T t τ << T 2 −A Aufg5-9: Stellen Sie sicher, dass Sie die Fourierreihen von „typischen Signalen“ in der Formelsammlung finden. Typische Signale (für den Elektroingenieur) sind z.B.: - Rechteck (mit und ohne DC-Anteil) - Dreieck ’’ - Sägezahn ’’ - Sinus/Kosinus „einweggleichgerichtet“ - Sinus/Kosinus „zweiweggleichgerichtet“ - ...... aet/nik Aufgaben 30 Aufg5-10: Die skizzierte Spannung wird mit einem Tiefpassfilter so begrenzt, dass nur die ersten fünf Harmonischen (ungedämpft) durchgelassen werden. (Alle restlichen Harmonischen werden gesperrt). Wieviel Leistung des Originalsignals steckt noch im Ausgangssignal? (Angabe in %). Beachte: Die Fourierreihe des Signals wurde schon im Bsp5-3 hergeleitet. u(t) U0 0 T/2 t T U0 = 10 V T = 5 ms Aufg5-11: Geben Sie für die skizzierten Signale an, wieviel Leistung in der 1. Harmonischen steckt im Verhältnis zur Gesamtleistung: P1H Ptot = ? t t t t t Aufg5-12: Die Signalformen von Aufg5-11 seien nun verzerrte Ausgangssignale von Übertragungssystemen. Berechnen Sie für jede Signalform den zugehörigen Klirrfaktor. Helfen die Berechnungen von Aufg5-11 (Leistung der 1. Harmonischen) dazu? Aufg5-14: Für eine rechteckförmige Spannung und einen dreieckförmigen Strom (siehe Skizze) ist die mittlere Leistung P zu berechnen. Skizzieren Sie die Momentanleistung p(t) und geben Sie mit Hilfe der Graphik P direkt an. Berechnen Sie (oder Formelbuch) für Strom und Spannung die Fourierreihen und verwenden Sie (5.14) zur Berechnung von P. Wie genau stimmt das Resultat für P, wenn Sie die ersten 13 Harmonischen der Fourierreihen verwenden? i(t) 2A −T/2 T/2 10 V u(t) −T/4 T/4 t t aet/nik Aufgaben 31 Aufg7-1: Studieren Sie die Definitionsgleichungen für die Z- ,Y- und A-Parameter (7.2...7.4). Überlegen Sie sich, mit welchen einfachen Betriebsbedingungen jeweils die einzelnen Parameter bestimmt werden können. Geben Sie so für jeden Parameter der obigen Matrizen eine Bestimmungsgleichung an. Zeichnen Sie zusätzlich für jede Bestimmungsgleichung den dazugehörigen Messaufbau auf. Aufg7-2: Verwenden Sie die Resultate der Aufgabe7-1 zur Bestimmung der Z-, Y- und A-Parameter der folgenden 2-Tore: 1 2 R1 1 R2 2 R2 R1 1' 2' 1 1' R1 2' a) 2 b) R2 1' 2' c) Aufg7-3: Bestimmen Sie von folgendem Netzwerk die Eingangsimpedanz Z1 mit Hilfe der 2-TorTheorie. Setzen Sie s = jω. L C Z1 RL Aufg7-4: Von einem 2-Tor werden 2 Betriebszustände gemessen (DC-Werte): 1. Zustand: U1 = 10 V, I1 = 0.4545 A, U2 = 5.4545 V, I2 = -0.1818 A 2. Zustand: U1 = 10 V, I1 = 0.3333 A, U2 = 6.6666 V, I2 = 0 A Bestimmen Sie numerisch die Z-Matrix des 2-Tores. Welche speziellen Eigenschaften weist dieses 2-Tor auf? Geben Sie ein möglichst einfaches Ersatzschaltbild des 2-Tores an. Aufg7-5: Bestimmen Sie mit Hilfe der 2-Tor-Theorie die Spannungsübertragungsfunktion U2/U0 = ? Setzen Sie s = jω. (Verwenden Sie das Resultat von Augabe7-3). R1 L U0 C U2 RL Aufg7-6: Von zwei hintereinander geschalteten RC-Gliedern ist die Leerlaufspannungsübertragungsfunktion U2/U1 zu bestimmen: R U1 R C C U2 Aufg7-7: Bestimmen Sie die Y-Matrix des überbrückten T-Gliedes: R3 R1 R1 R2 aet/nik Aufgaben 32 Aufg7-8: Die beiden skizzierten 2-Tore werden parallelgeschaltet. R1 1 1' 2 1 2' 1' 2 R2 2' - Geben Sie die Y-Matrix des resultierenden 2-Tores an. - Kommentieren Sie Ihr Resultat. Aufg7-9: Ein verlustloses Leitungsstück der Länge l hat folgende A-Matrix: cos( β l ) jRw ⋅ sin( β l ) β = 2π λ AL = , cos( β l ) j Rw ⋅ sin( β l ) LM N OP Q - Geben Sie die Leerlauf- und Kurzschluss-Eingangsimpedanz der Leitung an (Setzen Sie θ = β l ). - Zeichnen Sie die beiden Impedanzen (Imaginärteil) auf im Bereich 0 ≤ θ ≤ 4π (z.B. mit Matlab). - Kommentieren Sie diese Reaktanzverläufe. aet/nik Resultate der Aufgaben RESULTATE 1-1: 1-2: 1-3: 1-4: 1-5: DER 1 AUFGABEN v = 1118 . km / s, F1 = 108 N , F2 = 1⋅ 10−9 N , ω = 5 ⋅ 1010 s−1 , r1 = 2 ⋅ 10−4 m, r2 = 8.94 ⋅ 10−4 m n = 6.2 ⋅ 1018 Elektr./s I = 160 mA I = 161.6 mA Cu: 0.85 ⋅ 1023 ≈ 1023 Elektr./cm3 (Metalle) c h ________________________________________________________________________________ 2-1: 2-2: 2-3: 2-4: 2-5: 2-7: 2-8: 2-9: 2-11: 2-12: 2-14: 2-15: 2-16: 2-17: 2-18: 2-19: 2-20: 2-21: 2-23: 2-24: 2-26: 2-27: 2-28: 2-29: 2-30: 2-31: 2-32: 2-33: 2-35: 2-36: F = 1.67⋅10–9 N F = 1.29⋅10–2 N N V m N E = =... = , g = =... = 2 As m kg s 2 gErde = 9.82 m/s , gSonne = 0.0059 m/s2, gMond = 34.1⋅10–6 m/s2 E = 719 V/m, F = 1.0785⋅10–8 N W = 106 Ws (Annahme: m = 75 kg) W = 275 Ws (Energie steckt im Feld!) UAA = 0 V φMountEverest = 8.684⋅104 m2/s2 , φWindisch = 3.485⋅103 m2/s2, φMarianen = –1.069⋅105 m2/s2 Q = 311040 As = 86.4 Ah a = 14.14 mm v = 0.078 mm/s J = 50 A/mm2 l = 1346.3 km,R = 1428 Ω/m, I = 0.462 mA 2 AAl = 16.29 mm mAl/mCu = 0.494 Annahme: d << D: d = 0.5103 mm, exakt: d = 0.5124 mm TW = 42.7°C R20 = 75.3 Ω (75.3 Ω), R200 = 130.9 Ω (133.3 Ω), R2200 = 748.4 Ω (1106.2 Ω) R = 56 Ω, I = 0.6607 A R = 881.7 Ω, G = 1.134 mS α = 0.0025 1/°C I = 10 µA I3 = 3 A, U3 = 7 V U4 = 8 V I4 = 2.5 A, 6 W = 1.44⋅10 Ws I = 0.141 A WM = 9.85⋅108 Ws (273.6 kWh), Win = 1.58⋅109 Ws (439.02 kWh) ∆t = 8380 s = 2.33 h R2 R3 + R4 ⋅ R4 U2 R2 R4 = =... = U1 R1 R2 + R1 R3 + R1 R4 + R2 R3 + R2 R4 R1 + R2 R3 + R4 ⋅ R3 + R4 b b g gb g I2 1 R4 R1 R2 + R1 R3 = =... = I 1 R1 + 1 R4 + 1 R2 + R3 R2 R4 + R3 R4 + R1 R2 + R1 R3 + R1 R4 b g 2-37: Re = [2.846 3.666 7 9 10.6 13 16 17 19 25] Ω, P1 = [191.9 190.1 161.28 144.0 132.04 117 102.12 97.92 90.45 73.47] W aet/nik Resultate der Aufgaben 2 P2 = [0 40.96 77.76 71.11 62.782 49.5 34.105 29.44 20.826 0] W η = [0 .215 .482 .494 .475 .423 .334 .301 .230 0] 2-38: Rx = LM N OP Q 4 ⋅ R2 R1 ⋅ 1± 1+ R1 2 2-39: IKS = 4 A, IL = 0.623 A c h 2-40: a) Rq = R4 R2 + R1 R3 , U q = U 1 ⋅ b b R3 R2 + R4 R1 + R3 R2 + R4 g ⋅ g R1 R1 + R3 R2 + R4 h R3 R2 + R4 b) Rq = R1 R3 R2 + R4 , U q = U 1 ⋅ c) Rq = 0, U q = U 1 c b g d) Rq = R2 R4 + R1 R3 , U q = −U 1 ⋅ b b b g R1 + R3 R2 + R4 R4 R2 + R4 g g ⋅ R2 R2 + R4 2-42: RL = 1.5 Ω: I = 5.33 A, U=8V U = 6.19 V RL = 0.8 Ω: I = 7.74 A, 2-43: RL = 600 Ω: I = 42 mA, U = 25.2 V RL = 200 Ω: I = 78.8 mA, U = 15.75 V 2-44: Ua1 = 3.627 V, Ia1 = 0.373 A Ia2 = 1.461 A Ua2 = 2.539 V, Ia3 = 2.610 A (+Figur!!) Ua3 = 1.390 V, 2-45: a) Rqe = 0, U qe = U q 10 R1 , U qe = U q 11 e) Rqe = ∞, I qe = I q1 − I q 2 c) Rqe = b) Rqe = R1 R2 , U qe = U q ⋅ R2 R1 + R2 d) Rqe = ∞, I qe = I q f) nicht erlaubt (Widerspruch) ( Rqe = R1 + R2 ) g) Rqe = 0, U qe = U q 2 2-46: Uq = 4.472 V 2-47: PAV = 0.304 W 2 2-48: RL1 ⋅ RL 2 = Rq 2-49: 2-52: 2-53: 2-54: 2-56: 2-57: 2-58: 2-59: R3 RL U2 = , U 1 R2 + R3 RL c h U2 1 1 = ⋅ , Rx = R1 R2 + R3 RL Rq U q 1 + R2 1+ R3 RL Rx 4 RL = [0 20 33.33 52 100 500 10 ∞] Ω U2 = [0 0.889 1.25 1.600 2.105 2.899 3.183 3.200] V RL = 33.33 Ω → Leistungsanpassung bei 1-1' (Rx = Rq = 50 Ω) → Leistungsanpassung bei 2-2' RL = 52 Ω „links“: RAB = 58.771 Ω, „rechts“: RAB = 41.664 Ω R1 = R3 = 14.0395 Ω, R2 = 28.4802 Ω π-Glied: 186.16 Ω / 150.3917 Ω / 223.4 Ω, T-Glied: 50 Ω / 74.273 Ω / 60 Ω a) R4 = 7.5 Ω, b) R4 = 0.75 Ω a) RL = 50.475 Ω, b) PAV = 128.78 W Ix = –0.3846 A U + R1 I1 + R1 I 2 Iy = 1 R1 + R2 aet/nik Resultate der Aufgaben 3 2-60: RAB = R/2 − U 1 + U 2 + I A R2 + R3 U + U 2 + I A R1 + R4 2-61: I1 = , I2 = 1 R1 + R2 + R3 + R4 R1 + R2 + R3 + R4 b g b g b g 2-64: „links“: x1 = 1. 6, x2 = −2.1, x3 = 0, x4 = 0. 8 „rechts“: x1 = −88, x2 = 111, x3 = −12 2-65: V1 = 0.160876 V V2 = –0.758685 V V3 = 0 V5 = 0.007011 V V6 = –0.986980 V V4 = –0.981721 V 2-66: IA = –0.421655 A IB = –3.188682 A IC = 0.273702 A 2-68: I1 = –0.308661 A I2 = 1.203150 A I3 = 0.866172 A I5 = 1.174803 A I4 = 0.894488 A 2-69: Im1 = 0.038235 A Im2 = 0.176471 A I2 = –0.138235 A I3 = 0.176471 A I1 = –0.038235 A 2-72: PL = 1.402355 W (Originalnetzwerk und duales Netzwerk) ________________________________________________________________________________ 3-4: pmax = 2.25 W, pmin = 0 W (Widerstand nimmt immer Leistung auf) U 2 3-5: p( t ) = ⋅ 1 + cos(2ω t ) , p(t ) = 0.2 W 2R 3-6: pmax = 0.0625 W, pmin = –0.03125 W 3-9: W = 2.5⋅10–4 Ws 3-11: u(t ) = U ⋅ cos(ω t + ϕ u ), U = 4 V, ω = 2π ⋅ 250 s−1 = 1570.80 s−1 , ϕ u = −2.419 rad 2 ⋅ U U π 3-13: u = 0, u= , U eff = , FF = , SF = 2 π 2 2⋅ 2 3-14: i = A, 3-15: x= I eff = A2 + B 2 2 g X eff = b 1 ⋅ A+ B , 2 x = A 2, X eff = A 3 , U 2 ⋅ U 3-17: u = , U eff = π 2 I I 3-18: i = , I eff = π 2 3-19: I eff = I 3, P = 62.66W 3-16: h FF = 2 c 3-20: uR (t ) = U 0 ⋅ e − t τ , WQ = U 02 C , c 1 ⋅ A2 + B 2 , 2 WR = p( t ) = 3-23: i1 (t ) = U 0 ⋅ LM 1 NR + R 1 2 c 1 ⋅ A+ B 2 h WC = 1 CU 02 , 2 1 CU 02 2 1 WR = CU 02 2 + OP Q R2 ⋅ e −t τ , R1 R1 + R2 b g h 3 q (t ) = CU 0 ⋅ 1 − e − t τ , U 02 − 2τt ⋅e , R U − U 1 −t τ 3-22: i (t ) = 2 ⋅ e , τ = RC R 3-21: x = iC ( t ) = U 0 −t τ ⋅e R1 p( t ) = U 02 − t τ ⋅e R aet/nik Resultate der Aufgaben c h 4 u( t ) = I 0 R ⋅ e − t τ 3-25: i L (t ) = I 0 ⋅ 1 − e − t τ , τ = L R , 1 2 1 LI 0 , WR = LI 02 , WQ = WL + WR = LI 02 (von der Quelle abgegeben) 2 2 1 2 3-26: WR = L ⋅ I 2 − I1 = 1125 . Ws, t 0 = τ ⋅ ln 1 − I1 I 2 = 1.0986 ms 2 R2 L U 3-27: uL (t ) = U 0 ⋅ ⋅ e −t τ , τ = , i L (t ) = 0 ⋅ 1 − e −t τ R1 R2 R1 R1 + R2 WL = b g b g c h ________________________________________________________________________________ 4-1: 4-2: FG IJ b g H K i (t ) = I ⋅ cos(ω t + ϕ ), I = U ⋅ b1 Rg + bω C g , ϕ = ϕ + arctanbω RC g F 1 IJ , ϕ = ϕ + arctanFG ω L − 1 IJ U = I ⋅ R + G ω L − H ωCK H R ω RC K F 1 IJ , ϕ = arctanFG 1 IJ , U = 1 I = U R +G H ωCK H ω RC K U 1 + bω RCg ωL 2 u(t ) = U ⋅ cos(ω t + ϕ u ), U = I ⋅ R 2 + ω L , ϕ u = ϕ i + arctan R 2 2 i i u 2 4-3: 2 u i 2 4-4: 2 C i 2 4-5: 4-6: 4-7: 4-8: 4-9: siehe Formeln (4.6)...(4.8) im Skript siehe Formeln (4.6)...(4.8) im Skript C = 100 nF, R = 120 Ω wmax = 3.6 Ws ωL R 4-10: A = a1a2 − b1b2 + j a1b2 + a2b1 , b g B= b a1a2 + b1b2 + j a2b1 − a1b2 2 4-11: r 1 = 5 ∠0.9273, r 2 = 5 ∠2.2143, r 5 = 1 ∠ − ϕ , r 6 = 2 ∠π , r 7 = 1 ∠ϕ , r 10 = 01353 . ∠0, r 11 = 0.0498 ∠2.2832 4-12: z1 = −0.2663 − j 0.9639 = 1 ∠ − 18403 . , z 3 = −0.7071 + j 0.7071 = 1 ∠2.3562, z 5 = π 2 − j13170 . = 2.0498 ∠ − 0.6977, z 8 = − j = 1 ∠ −π 2 , 4-13: 4-14: 2 a2 + b2 r 3 = 5 ∠ − 2.2143, r 8 = 1 ∠18546 . , z2 z4 z6 z9 D = j 2b2 r4 = 4 ∠π 2 r 9 = 18575 . ∠0.5227 = −0.9027 − j 0.4303 = 1 ∠ − 2.6968 = 57.2191 + j193.4276 = 20117 . ∠1.2832 = − j = 1∠ −π 2, z 7 = −1 = 1 ∠ π = 1 = 1 ∠0 2 2 −3 −3 2 2 4-21: C = 2a1 , b x − 3g + b y − 1g = 4 (Kreisgleichung!) Z = R + jω L = b47 + j 25g Ω = 53.24 Ω ∠28.01° R − jω L Y= = b16.584 − j8.821g ⋅ 10 S = 18.785 ⋅ 10 S ∠ − 28.01° R + bω L g Y = 1 R + jω C = b0.045 + j 0.025g S = 0.0519 S ∠28.81° 1 R − jω C Z= b1 Rg + bω Cg = b16.89 − j9.29g Ω = 19.28 Ω ∠ − 28.81° U = 28 V ∠ − 126° = b −16.46 − j 22.65g V Z = 10 kΩ ∠ − 16.27° , Y = 100 µS ∠16.27° , I = 2.8 mA ∠ − 109.73° g = 3.96 ⋅ 10 ∠bω t − 19151 i (t ) = 3.96 ⋅ 10 ⋅ cosbω t − 1.9151g, i (t ) = 3.96 ⋅ 10 ⋅ e b . g 2 4-15: g, 2 −3 t −3 j ω t −1.9151 −3 aet/nik Resultate der Aufgaben 5 4-25: t1 = 0.088 ms, t 2 = 0.488 ms, t 3 = 0.088 ms, t 4 = 0.524 ms Z (ω 1 ) = 72.899 Ω ∠68.6235° , Z (ω 2 ) = 199.6268 Ω ∠ − 35 .° I (ω 1 ) = 97 mA ∠ − 68.63° , I (ω 2 ) = 35.42 mA ∠35 .° Z = 1.6412 - j1.3353 kΩ = 2.1158 kΩ ∠ − 39.13° U Z = ∠ ψ − ϕ − π 2 = 10 Ω ∠ − 130° I Z qe = 2.9716 kΩ ∠17.74° , U qe = 20.9725 V ∠ − 94.61° 4-26: Z qe = 32.70 Ω ∠ − 19.1° , 4-27: Z = 1181 . Ω ∠32.142° P = 250 W, Q = 157.08 VAr , S = 250 + j157.08 VA pmax = 545.25 W, pmin = −45.25 W P = 1000 W, Q = 2507.99 VAr (induktiv) Z = 20 + j501597 . Ω, L = 7.98 mH , R = 20 Ω 4-22: 4-23: 4-24: 4-28: 4-29: 4-30: b g g b b b 4-36: 4-37: 4-38: 4-42: 4-43: 4-46: 4-51: S = 2300 VA , cos(ϕ ) = 0.652, Q = 174356 . VAr pmax = 3800 W, pmin = −800 W I L = 7.5 − j10 A , I C = j 6.25 A , I = 7.5 − j 3.75 A P = 1650 W, QL = 2200 VAr , QC = −1375 VAr , Q = 825 VAr S = 1650 + j825 VA I 1 = 0.09114 A ∠ − 22.62° , I 2 = 011849 . A ∠36.870° , S = 2.12 − j 0.427 VA R1 = 10 Ω, R2 = 119.987 Ω, L = 10 µH I = 42.557 A Z 1 = 25 kΩ ∠0.000344° ( ≈ reell) I 1 = 10 mA ∠88.854° , I 2 = 9.998 mA ∠ − 90° , I = 0.2 mA ∠ − 0.000344° −9 P = 1 mW, Wmax = 1⋅ 10 Ws jω RC − 1 U2 =U ⋅ jω RC + 1 jω R2 C jω R1C TV = , TR = 2 1 + jω ⋅ R2 C + L1 R1 − ω L1C ⋅ 1 + R2 R1 1 + jω R1C 1 − jω RC T= , (Halbkreis) 1 + jω RC 1 T= , (Halbkreis im 4. Quadrant) 1 + jω RC jω RC T= , (Halbkreis im 1. Quadrant) 1 + jω RC 100 Ω, 10 mH , 1000 Ω, 10 µF, 50 Ω, 20 mH, 5000 Ω, 500 pF U 12 = 400 V ∠0° , U 23 = 400 V ∠ − 120° , U 31 = 400 V ∠120° I 12 = 3.3341 A ∠ − 39.93° , I 23 = 3.3341 A ∠ − 159.93° , I 31 = 3.3341 A ∠80.07° I 1 = 5.7748 A ∠ − 69.93° , I 2 = 5.7748 A ∠170.07° , I 3 = 5.7748 A ∠50.07° S = 3068.2 + j 2567.9 VA I 12 = 40 A ∠0° , I 23 = 40 A ∠ − 150° , I 31 = 26.65 A ∠150° I 1 = 64.47 A ∠ − 12° , I 2 = 77.27 A ∠ − 165° , I 3 = 35.27 A ∠70.9° S 12 = 16000 + j 0 VA , S 23 = 13856 + j8000 VA , S 31 = 9232.8 − j5326.7 VA b g b g g b b b g b 4-52: g g b 4-31: 4-32: 4-33: 4-35: U qe = 7.3653 V ∠ − 13.70° g g g b g b g b g aet/nik Resultate der Aufgaben b 6 g S tot = 39088 + j 2673.3 VA 4-53: I 1 = 83.032 A ∠0° , I 2 = 109.503 A ∠ − 164.04° , I 3 = 52.288 A ∠144.58° I M = 64.861A ∠ − 017 . ° , S = 48139.6 + j125035 . VA 4-55: U RS = 400 V ∠0° , U ST = 400 V ∠ − 120° , U TR = 400 V ∠120° b g U 1 M = 400 3 V ∠ − 30° , U 2 M = 400 3 V ∠ − 150° , U 3 M = 400 U MM ' = 174.4670 V ∠ − 33.67° , S = 7490.5 + j 6355.9 VA b g 3 V ∠90° 4-56: U 12 = 400 V ∠0° , U 23 = 400 V ∠ − 120° , U 31 = 400 V ∠120° U 1 = 400 3 V ∠ − 30° , U 2 = 400 3 V ∠ − 150° , U 3 = 400 3 V ∠90° Sternschaltung: I 1 = 39.9977 A ∠ − 74.21° , I 2 = 416549 . A ∠146.22° , I 3 = 28.2549 A ∠32.85° S ux = 4799.4 + j 6399.3 VA , S vy = 5205.4 + j 6940.5 VA , S wz = 3991.7 + j 6386.7 VA b b b g g g b g g in der Last: S Last = 13996.5 + j19726.5 VA S tot = 14410.8 + j 20552.6 VA Generator: Verluste in Zi: S v = 414.3 + j8261 . VA Dreieckschaltung: U MM ' = 46.9786 V ∠36.7289° I 1 = 95.5101 A ∠ − 76.48° , I 2 = 122.3789 A ∠155.66° , I 3 = 98.7358 A ∠25.44° U 12 = 358.1591 V ∠ − 1.99° , U 23 = 3551132 . V ∠ − 12014 . ° , U 31 = 366.5578 V ∠119.34° I ux = 716318 . A ∠ − 5512 . ° , I vy = 710226 . A ∠ − 173.27° , I wz = 38.8550 A ∠6135 . ° b b b g b g g b g S ux = 15393.3 + j 20524.5 VA , S vy = 15132.6 + j 20176.8 VA , S wz = 7548.6 + j12077.7 VA b g in der Last: S Last = 38074.5 + j52779.0 VA S tot = 41459.8 + j59548.2 VA Generator: Verluste in Zi: S v = 3385.3 + j 6769.2 VA 4-57: Q = 364.97 VAr , cos ϕ = 0.799 Rs = 41709 . Ω, Cs = 10142 . µF, R p = 65.328 Ω, C p = 36.666 µF b b g bg g I 1 = 3.4112 A ∠31.6966° , I 2 = 19.8551 A ∠ − 1618693 . ° , I 3 = 16.5585 A ∠15.3610° PWI = 1160.9508 W, PWII = 64718656 . W 4-62: QC min = 275.2, R p = 12.57 kΩ (Qtot = 100) 4-60: 4-64: Rs = 0.364 Ω, R p = 22.74 kΩ 4-65: Rs = 0.733 Ω, R p = 10.56 kΩ 4-66: Qtot = 8108 . , R p = 7.252 kΩ, Rs = 1103 . Ω 4-67: R p = 1309.1Ω, C = 12.20 µF , Q = 150.5, tan(δ ) = 0.00664 4-70: L = 19.10 µH , C = 133 . nF, Rs = 150 . Ω 6 −1 4-72: ω 0 = 2.887 ⋅ 10 s , Q = 17.32, ω 1 ≈ 0.971⋅ ω 0 , ω 2 ≈ 1029 . ⋅ω 0 , 5 −1 ∆ω = ω 2 − ω 1 = ω 0 Q = 1667 . ⋅ 10 s 5 −1 4-74: ω r = 0.9798 ⋅ ω 0 = 2.449 ⋅ 10 s , Z (ω r ) = 100 Ω ( reell !!) 1 1 Uc Uc Uc jω C 4-75: = , = , = Q = 150 (!!) U U ω =ω 0 jω 0 RC U ω =ω 0 ω ω0 − R ⋅ 1 + jQ ⋅ ω0 ω LM N FG H IJ OP KQ aet/nik 4-76: 4-77: 4-78: 4-79: 4-80: Resultate der Aufgaben 7 f r = 1215566 . Hz tan(ϕ ) Q= = 312 . f f0 − f0 f f 0 = 26.53 KHz, ∆f = 707.4 Hz, Rz = 93.75 kΩ L = 1273 . µH , C = 3183 . pF C = 1801 . nF mit Qc = 75 ( R pc = 8836 Ω), P = 0.679 mW 4-81: Q = 87.3 4-84: f r = 0.9869 ⋅ f 0 = 3142 . KHz 4-85: ω r = 0.9055 ⋅ ω 0 = 3.20156 ⋅ 103 s −1 4-86: linkes Netzwerk: Z (ω r ) = Q 2 ⋅ Rs , rechtes Netzwerk: Z (ω r ) = Rp Q 2 4-87: ω 01 = 2.4544 ⋅ 104 s −1 , ω 02 = 5.0839 ⋅ 103 s −1 , ω 03 = 4.4811⋅ 103 s −1 4-88: ω p = 8.944 ⋅ 106 s −1 , ω s = 107 s −1 , LA = 20 µH , LB = 5 µH , CB = 2.5 nF 4-92: RL = Rq2 + X q2 4-94: RL = 682.23 Ω, L = 9619 . µH 4U 0 sin(ω 1t ) sin(3ω 1t ) sin(5ω 1t ) ⋅ + + + ... , u1 (t ) = 1 3 5 π 0, ak > 0 2U 0 ⋅ sin kπ ⋅ τ T Ak = ak = , ϕk = π , ak < 0 kπ 5-4: 5-6: LM N b OP Q RS T g LM 2 − 4 ⋅ FG cos(ω t ) + cos(2ω t ) + cos(3ω t ) + ...IJ OP, KQ 3⋅5 5⋅ 7 N π π H 1⋅ 3 OP, b = 4 A ⋅ LM kω OP, 4A L 1τ = ⋅M T MN b1 τ g + b kω g PQ T MN b1 τ g + b kω g PQ 5-7: g (t ) = A ⋅ 5-8: ak 1 2 1 k 2 1 0 2 0 b g b g 5-10: P1..5 Ptot = 0.9448 ( = 94.5%) 5-11, 5-12: P1H Ptot t 8 / π ≈ 81% k 43.5 % t 96 / π 4 ≈ 98.6 % 12.0 % 6 / π 2 ≈ 60.8 % 62.6 % 16 / (9π 2 ) ≈ 18 % 1 / 2 = 50 % 22.2 % 2 t t t P = 5+ ∞ 2 2π = 2π ⋅ 103 s−1 T ω1 = 2π T für k = ungerade 0 a k = 0, bk = 0, für k = gerade 4A 1 Ak = ⋅ , ϕ k = − arctan( kω 0τ ), 2 2 T 1 τ + kω 0 5-14: ω1 = b g 80 ⋅ −1 å 3 3 k =1, ungerade π k k −1 2 39.9 % Ak = 0 für k = gerade aet/nik 7-1: Resultate der Aufgaben Z11 = Z12 = U1 I1 U1 I2 I 2 =0 Y 12 = I1 =0 Y 21 = ( vorwärts ), 2 =0 I1 U2 U 1 U = 2 A11 U 1 Y 22 = ( rückwärts ), 1 =0 U2 I1 I 2 =0 U2 I2 I1 =0 ( vorwärts ) ( rückwärts ) I2 U1 U ( vorwärts ) 2 =0 I2 U2 U 1 U = 2 A21 I1 ( vorwärts ), I 2 =0 −I 1 = 2 A12 U 1 U 7-2: Z 22 = ( rückwärts ), I1 U1 U Y 11 = Z 21 = ( vorwärts ), ( rückwärts ) 1 =0 ( vorwärts ) I 2 =0 −I 1 = 2 A22 I1 U ( vorwärts ), 2 =0 8 ( vorwärts ) 2 =0 (alle vier A-Parameter werden in Vorwärtsrichtung bestimmt) 1 1 R − 1+ 1 R1 + R2 R2 R1 R1 R2 Za = Ya = Aa = , , 1 1 1 1 R2 R2 − + R1 R1 R2 R2 LM N Zb = OP Q LM R NR OP Q R1 , R1 + R2 1 1 OP LM MM PP MN PQ LM 1 + 1 − 1 OP R R R Y =M 1 1 MM − R R PPP, N Q LM 1 0 OP R Y =M MM 0 R1 PPP, N Q R c s LC + sL R + 1h = 1 b 2 2 Zc = LM R N0 OP Q 0 , R2 1 Ab 2 R1 2 2 1 2 1 A c existiert nicht 1 c OP P 1P PQ R O R P 1+ P RQ LM MM MN LM 1 = 1 MN R 2 2 7-3: Z1 = s2 RL LC + sL + RL sRLC + 1 7-4: Z= LM30 Ω N20 Ω 7-5: U2 RL 1 = 2 = 2 U 0 s RL LC + s L + R1 RLC + R1 + RL s LC + s L RL + R1C + R1 RL + 1 7-6: U2 U1 7-7: L s RLC + 1 OP 20 Ω Q 20 Ω 10 Ω b = I2 = 0 L 20 Ω g (reziprok) b 1 1 1 = = 2 2 A11 1 + s RC + sRC sRC + 3sRC + 1 Y11 = Y22 = b b g g 1 R1 + R2 R 2 + 2 R1 R2 + R1 R3 + R2 R3 + = 1 R3 R1 R1 + 2 R2 R1 R3 R1 + 2 R2 Y21 = Y12 = − b g R12 + 2 R1 R2 + R2 R3 R1 R3 R1 + 2 R2 b g b g g aet/nik 7-8: 7-9: Resultate der Aufgaben Y- und Z-Matrix sind nicht definiert, nur A-Matrix existiert: 1 0 A= 0 1 Z1L = − j RW cot(θ ), Z1K = j RW tan(θ ) LM OP N Q 9
