Herunterladen - Mathematik alpha

Schriftliche Abschlußprüfung Klasse 10 (DDR)
1957
1.
Die Abbildung zeigt den Achsenschnitt eines Nietes aus Eisen. Entnehmen
Sie daraus die Maße, und berechnen Sie das Gewicht von 1000 Stück!
(γ = 7,8 p/cm3)
d = 13 mm
R = 11 mm
l = 70 mm
h = 8,5 mm
h
R
l
d
2.
Zwei Kräfte P1 und P2 greifen unter dem Winkel α an einem Punkt an.
a) Wie groß ist ihre Resultierende R?
b) Prüfen Sie das Ergebnis durch eine maßstäbliche Zeichnung nach!
P1 = 75,3 kp;
P2 = 129,4 kp;
α = 50,3°
3.
Lösen Sie die folgende Gleichung!
6 x − 2 35 x ² + 23 x + 8 4 x + 4
=
−
2x + 3
16 x ² − 36
8 x − 12
Schriftliche Abschlußprüfung Klasse 10 (DDR)
1958
1.
In einem Steinkohlenbergwerk sind von einem Punkt aus in gleicher Höhe zwei horizontal
verlaufende Stollen von 162,5 m und 200 m Länge vorangetrieben worden. Sie schließen
einen Winkel von 70,5° ein. Die Endpunkte sollen durch einen Stollen verbunden werden.
a) Berechnen Sie die Länge des Verbindungsstollens der beiden Endpunkte!
b) Berechnen Sie, unter welchen Winkeln der Verbindungsstollen von den Hauptstollen
abzweigt!
c) Prüfen Sie die Ergebnisse durch eine maßstäbliche Zeichnung!
2.
Lösen Sie die folgende Gleichung, und machen Sie die Proben!
(4x + 1)(2x – 2) – (x + 0,5)(6x – 5) = 3
60
4.
Wieviel kp wiegt der in der Abbildung dargestellte
runde Maschinenzapfen aus Stahl? Entnehmen Sie die
Maße in mm aus der Skizze! (Wichte des Stahls 7,8
p/cm3;)
70
3.
Länge und Breite eines Rechtecks verhalten sich wie 5 : 3. Der Umfang beträgt 72 cm. Wie
lang sind die Seiten?
48
147
Schriftliche Abschlußprüfung Klasse 10 (DDR)
1959
1.
Lösen Sie die folgende Gleichung, und machen Sie die Proben!
4x2 = 2 – 7x
Span
nseil
5
Au
sle
g
,0
β
er
6,0
α
2,1
2.
Ein Dunglader hat bei einer bestimmten
Arbeitsstellung die in der vereinfachten Zeichnung
angegebenen Maße in Meter. Um die
Belastungsverhältnisse berechnen zu können,
benötigt man die Größe der Winkel. Berechnen Sie
a) den Winkel α zwischen Ausleger und Gehäuse,
b) den Winkel β zwischen Spannseil und Gehäuse!
3.
Die galvanische Abteilung eines volkseigenen Betriebes hat die Aufgabe, die Oberfläche von
Stahlkugeln zu vernickeln. Das Volumen einer Kugel wurde auf Grund ihres Gewichtes mit V
= 3,053 dm3; festgestellt. Zur Berechnung der galvanischen Lösung ist es notwendig, die
Größe der Oberfläche einer Kugel zu bestimmen. Berechnen Sie diese logarithmisch!
Schriftliche Abschlußprüfung Klasse 10 (DDR)
1960
1.
Berechnen Sie logarithmisch!
93,8 ⋅ 3 0,0299
6,152 ⋅ 0,0398
20
h
2.
Zum Schleifen eines Spiralbohrers von 20 mm Durchmesser
soll eine Lehre gemäß Abbildung angefertigt werden.
Berechnen Sie die Spitzenhöhe h und den Winkel α für die
dort eingetragenen Maße!
α
11
3.
Ein Feld hat die Form eines Dreiecks. Die Seiten haben folgende Abmessungen: 65,8 m; 89,7
m; 73,3 m.
Wie groß sind
a) ein Winkel und
b) die Fläche des Feldes in ha?
4.
Zwei Rohrleitungen von 15 mm bzw. 25 mm lichter Weite (innerer Durchmesser) sollen
durch ein einziges Rohr ersetzt werden. Der Querschnitt des neuen Rohres soll mindestens so
groß sein wie die Summe der Querschnitte der beiden anderen Rohre. Dadurch soll
gewährleistet werden, daß im neuen Rohr mindestens dieselbe Wassermenge wie in den
beiden alten Wasserrohren fließen kann. Wie groß ist der Durchmesser des neuen Rohres?
Schriftliche Abschlußprüfung Klasse 10 (DDR)
1961
1.
Bei der Kartoffelernte erwartete man einen Hektarertrag von 240 dt. Das Feld hatte eine
Fläche von 15 ha. Da der ausgestreute Stallmist nicht rechtzeitig untergepflügt wurde, trat
eine Ertragsminderung von 7,5 % ein. Berechnen Sie den Ernteverlust!
2.
Lösen Sie folgendes Gleichungssystem rechnerisch oder grafisch!
x + y = 1 ; 3x – 2y = 8
3.
Lösen Sie folgende Gleichung, und machen Sie die Proben!
26 – (x + 3)2 = (x – 1)2
30
30
10
30
70
4.
Wieviel kp wiegt der in der Zeichnung dargestellte
Maschinenteil aus Stahl? Entnehmen Sie die Maße
aus der Abbildung (Wichte des Stahls 7,85 p/cm3)
56
56
5.
Unter welchem Winkel greifen die beiden Kräfte P1 = 34 kp und P2 = 82 kp an einem Punkt A
an, wenn ihre Resultierende R = 96 kp beträgt? Prüfen Sie das Ergebnis durch eine
maßstäbliche Zeichnung!
Schriftliche Abschlußprüfung Klasse 10 (DDR)
1962
2.
Berechnen Sie, wieviel cm2 Material für das in der
Abbildung dargestellte Stützblech benötigt werden!
50
1.
a) Berechnen Sie! (5a – 1)3
4r 2 16r 5
:
b) Berechnen Sie!
27t 54
c) Bestimmen Sie den Wert der Unbekannten! d : (d – 2) = 4 : 3
38º
94
3.
Lösen Sie die folgende Bestimmungsgleichung!
5x2 – 12x = 9
4.
Beim Ausschachten einer Baugrube läuft die ausgehobene Erde über ein Förderband. Dadurch
wird sie in Form eines Kegels auf der Baustelle gelagert. Zur Ermittlung der aufgeschütteten
Erdmenge werden mit dem Bandmaß der Umfang des Grundkreises u = 24,5 m und die
Mantellinie s = 4,7 m des Kegels gemessen. Fertigen Sie eine Skizze des Kegels, an, und
berechnen Sie die Erdmenge! Geben Sie die Zwischenergebnisse und das Endergebnis auf
eine Dezimalstelle genau an!
5.
Zwei Funkpeilstationen F1 und F2 der Nationalen Volksarmee liegen 12,80 km voneinander
entfernt. Ein feindlicher Sender S wird von F1 und F2 aus angepeilt. Der Winkel zwischen
dem Peilstrahl von F1 und der Standlinie F1F2 beträgt 40,50°; der Winkel zwischen dem
Peilstrahl von F2; und der Standlinie F1F2 beträgt 106,30°.
a) Berechnen Sie die Entfernung des Senders von F1 und F2!
b) Prüfen Sie das Ergebnis durch eine maßstabgerechte Zeichnung, und geben Sie den
gewählten Maßstab an!
Schriftliche Abschlußprüfung Klasse 10 (DDR)
1963
1.
7 a 2a 4a
−
−
15 3
5
b) Lösen Sie die Formel für die Berechnung des Volumens der Kegel nach d auf!
c) Berechnen Sie! (3a – 5b)2
a) Berechnen Sie!
2.
Lösen Sie die folgende Bestimmungsgleichung! x2 + 2x – 15 = 0
3.
Lösen Sie folgendes Gleichungssystem rechnerisch und grafisch!
6x + 2y = – 4 ; y = 2x + 8
4.
"Unwiederbringlich hat der Imperialismus die Herrschaft über einen großen Teil der Völker
verloren." (N. S. Chruschtschow auf dem XXII. Parteitag)
Vervollständigen Sie folgende Übersicht!
Bevölkerung
in Mill.
%
Welt insgesamt
3020
Sozialistische Welt
1070
Imperialistische Großmächte
18
Übrige Welt
1410
5.
Die Diagonale KM eines Parallelogramms KLMN hat eine Länge von 7 cm. Diese
Diagonale bildet mit den Seiten des Parallelogramms Winkel von 28° bzw. 115°.
a) Konstruieren Sie das Parallelogramm!
b) Beschreiben Sie die Konstruktion!
c) Berechnen Sie die längere Seite des Parallelogramms!
6.
Für eine große Vorrichtung wird aus einem Messingstab mit kreisförmigem Querschnitt von
28 mm Durchmesser ein Werkstück gefertigt, bei dem an einem Ende ein regelmäßiges
Sechskant von 800 mm Länge und 28 mm Eckenmaß zu fräsen ist.
Wieviel Kilopond Messingspäne können als Abfall der Verwendung wieder zugeführt
werden? (Wichte für Messing: γ = 8,3 p/cm3)
7.
Von einem Würfel ist die Kantenlänge a bekannt. Leiten Sie die Formel zur Berechnung der
Raumdiagonalen her!
Schriftliche Abschlußprüfung Klasse 10 (DDR)
1964
1.
Vergleichen Sie die Zahlen folgender Zahlenpaare miteinander!
3
5
4
und
;
und 0,16 ; 7 ⋅ 8 und 5⋅ 18
4
6
25
Setzen Sie jeweils das richtige Zeichen (< ; = ; >)! Geben Sie an, wie Sie zu Ihrer
Entscheidung gelangt sind!
2.
Die Zusammenarbeit im Rat für Gegenseitige Wirtschaftshilfe (RGW) trug zu einer
erheblichen Steigerung der Industrieproduktion und zu einer bedeutenden Erweiterung des
Warenaustausches innerhalb der RGW-Länder bei. Im Jahre 1958 betrug der Warenumsatz
zwischen den Mitgliedsländern des RGW 10,9 Milliarden Rubel, im Jahre 1962 bereits 18,4
Milliarden Rubel.
Drücken Sie diese Steigerung des Warenumsatzes in Prozenten aus!
3.
Ein Drittel einer Zahl ist um 3 größer als ein Viertel der gleichen Zahl. Bestimmen Sie die
gesuchte Zahl mit Hilfe einer Gleichung!
4.
Lösen Sie die Gleichung (x – 3)(x + 1) = 0
a) grafisch, indem Sie entweder die Nullstellen der entsprechenden quadratischen Punktion
zeichnerisch ermitteln oder das Bild von y = x2 mit der zugehörigen Geraden zum Schnitt
bringen!
b) Lösen Sie diese Gleichung rechnerisch!
5.
Gegeben ist eine gerade Pyramide mit quadratischer Grundfläche. Die Länge der Grundkante
beträgt 6 cm. Die Höhe der Pyramide beträgt 9 cm.
a) Berechnen Sie das Volumen dieser Pyramide!
b) Stellen Sie diese Pyramide in Grundriß und Aufriß dar (alle Eckpunkte benennen)!
6.
Drei Kreise mit Durchmessern von 60 mm, 100 mm und 40 mm
berühren einander von außen (Abbildung). Verbindet man die
Mittelpunkte der drei Kreise, so entsteht ein Dreieck.
Berechnen Sie die Innenwinkel dieses Dreiecks
(Rechenstabgenauigkeit genügt)! Überprüfen Sie Ihr Ergebnis
durch Konstruktion!
7.
Berechnen Sie an Hand der Abbildung (g1 || g2) die Größe
des Winkels γ wenn Winkel α mit 20° und Winkel β mit
60° gegeben sind! Geben Sie Ihren Lösungsweg an, und
begründen Sie Ihre Feststellung über die Größe des
Winkels γ!
M2
M1
M3
α
β
γ
g1
g2
8.
a) Kürzen Sie den Bruch
4a − 1
und geben Sie an, welchen Wert a in dem gegebenen Bruch
2a + 1
nicht annehmen darf!
b) Fassen Sie folgende Summe zusammen!
a
b
+
(a ≠ –b ; a ≠ b)
a +b a −b
Schriftliche Abschlußprüfung Klasse 10 (DDR)
1965
1.
Unsere Volkswirtschaft erzielte seit dem Bestehen unserer Republik in allen Industriezweigen
große Erfolge. Zum Beispiel wurden im VEB Automobilwerk Sachsenring, Zwickau, von
Jahr zu Jahr mehr PKW produziert.
Jahr
Anzahl produzierter Fahrzeuge
1955
7 880
1964
60 000
Der Plan für das Jahr 1965 sieht im Vergleich zum Jahre 1964 eine Steigerung der Produktion
um rund 17 % vor.
a) Ermitteln Sie, um wieviel Prozent die Produktion von 1964 gegenüber der von 1955
gesteigert wurde!
b) Bestimmen Sie die Anzahl der im Jahre 1965 zu produzierenden PKW!
2.
Ein dreieckiges Flurstück wird begrenzt von einem Wald,
einem Feldweg und einer Straße (s. Abbildung). Dieses
Feld ist für eine rationelle Bearbeitung mit modernen
81º
Landmaschinen wegen seiner Form nicht geeignet.
Deshalb soll dieses Stück künftig als Weidefläche genutzt
werden. Ein Elektrozaun soll die Weide umgeben. Es sind
zwei Leitungsdrähte vorgesehen.
a) Berechnen Sie, wieviel Meter Draht benötigt werden
b) Prüfen Sie Ihre Ergebnisse durch eine Konstruktion im Maßstab 1 : 1000!
135
m
26º
3.
π
; ohne Benutzung der Tafeln der goniometrischen
2
12
Funktionen, wenn Ihnen sin x mit
bekannt ist!
13
b) Gibt es Lösungen für 2 + cos α = 4? Begründen Sie Ihre Aussage!
a) Bestimmen Sie cos x; 0 ≤ x ≤
4.
a) Bestimmen Sie x und y aus dem Gleichungssystem
x+y=s
x – y = t ! Machen Sie die Probe!
b) Setzen Sie t = 6! Für welche Werte von s hat dieses Gleichungssystem dann ganzzahlige
Lösungen?
5.
Zeichnen Sie die Graphen folgender zwei Funktionen im Bereich von x = –2 bis x = 5!
y = x2 – 2x – 3
y = 2x – 3
(x reell)
Geben Sie die Koordinaten der Schnittpunkte dieser beiden Graphen an!
6.
Die Abbildung zeigt den Schrägriß eines
Maschinenteils (Schlittenführung).
15
a) Zeichnen Sie Grund- und Aufriß dieses Körpers
im Maßstab 1:1! Benennen Sie in beiden Rissen
alle Eckpunkte!
b) Berechnen Sie das Volumen des Maschinenteils!
20
40
60
Von den folgenden Wahlaufgaben 7.1 und 7.2 brauchen Sie nur e i n e zu lösen.
7.1
Es gilt der Satz:
"In gleichschenkligen Dreiecken sind die Winkelhalbierenden der Basiswinkel gleich lang."
Beweisen Sie den Satz! (Fertigen Sie eine Skizze an, und beweisen Sie zunächst die
Kongruenz zweier Teildreiecke!)
7.2
Eine Seite eines Rechtecks sei 6 cm lang. Verlängert man diese Seite um 4 cm und verkürzt
die andere um 1 cm, so entsteht ein Rechteck mit gleichem Flächeninhalt.
Wie lang ist die andere Seite des ursprünglichen Rechtecks?
30
100
Maßangabe in mm, nicht maßstäblich.
Schriftliche Abschlußprüfung Klasse 10 (DDR)
1966
1.
Im Jahre 1964 wurden 65 % unserer Produktion an Kalisalzen exportiert. Das sind 1,2
Millionen Tonnen Kalisalz.
a) Berechnen Sie die Gesamtproduktion der DDR an Kalisalzen im Jahre 1964! (Runden Sie
der Aufgabenstellung entsprechend!)
b) Stellen Sie den Anteil des Exports an der Gesamtproduktion in einem Kreisdiagramm dar!
Beschriften Sie das Diagramm!
2.
Vom Dreieck DEF sind bekannt: Winkel EFD = 124°; EF = 58 mm; FD = 76 mm
a) Errechnen Sie den Flächeninhalt in Quadratzentimetern!
b) Welcher Winkel ist in diesem Dreieck der kleinste? Begründen Sie Ihre Entscheidung!
c) Errechnen Sie die Länge der dritten Seite des Dreiecks in Millimetern!
3.
a) Bestimmen Sie x durch Konstruktion! 6,3 : 4,5 = 4,2 : x
b) Errechnen Sie x!
4.
Gegeben ist die Gleichung 2x2 + ax – a2 = 0. Lösen Sie diese Gleichung nach x auf! (Probe!)
5.
Gegeben sind zwei Funktionen durch die Gleichungen
y = –x + 1
5 = 2x – y
(x reell)
a) Zeichnen Sie die Graphen beider Funktionen, und geben Sie die Koordinaten des
Schnittpunktes dieser beiden Graphen an!
b) Überprüfen Sie die angegebenen Schnittpunktkoordinaten rechnerisch!
c) Für welchen Bereich von x gilt für die erste Funktion und zugleich für die zweite
Funktion, daß y nicht größer als 3 ist?
6.
a) Bestimmen Sie x in x = log2 8!
b) Lösen Sie nach c auf, und vereinfachen Sie so weit wie möglich!
1 1 1
+ =
a b c
(a ≠ b; b ≠ 0; c ≠ 0; a ≠ –b )
Von den folgenden Wahlaufgaben 7.1, 7.2 und 7.3 brauchen Sie nur e i n e zu lösen.
7.1
Zeichnet man in ein Parallelogramm die Diagonalen ein, so erhält man vier Teildreiecke.
Weisen Sie nach, daß ein Paar gegenüberliegender Teildreiecke kongruent ist!
7.2
Ein rechteckiges Stück Blech mit den Seitenlängen a und b wird zu einem Rohr
zusammengebogen, das die Form eines offenen, geraden Kreiszylinders hat. Die Länge des
Rohres sei b.
Geben Sie das Volumen des zylinderförmigen Rohres an, wenn 2a = b ist!
7.3
H
Die Abbildung stellt einen Würfel mit der Kantenlänge
50 mm dar. Konstruieren Sie die wahre Länge der
Strecke AM , und geben Sie diese in Millimeter an!
G
M
F
E
D
C
N
A
B
Schriftliche Abschlußprüfung Klasse 10 (DDR)
1967
2,80
s
2,10
1.
Im NAW wird ein 15,00 m langer Fahrradschuppen
gebaut. Die Abbildung (nicht maßstäblich) zeigt den
vereinfachten Querschnitt.
a) Berechnen Sie die Balkenlänge s!
b) Berechnen Sie den Inhalt der Dachfläche!
c) Wieviel Quadratmeter Dachpappe müssen angeliefert
werden, wenn 12 % des errechneten Flächeninhalts
zusätzlich für Überlappung zu veranschlagen sind?
3,50
2.
Zwei Beobachtungsposten P1 und P2 der Nationalen Volksarmee peilen gleichzeitig einen
Orientierungspunkt O an. P1 und P2 liegen 960 m voneinander entfernt. Der Winkel OP1P2
wird mit 86,2°, der Winkel OP2P1 mit 73,5° ermittelt.
Berechnen Sie die Entfernung des Orientierungspunktes O von P1!
3.
Von einer linearen Funktion ist folgende Wertetabelle bekannt:
x
–4
–2
0
y
0
1,5
3
(x reell)
a) Zeichnen Sie den Graph der Funktion!
b) Geben Sie die Gleichung der Funktion an, die durch die Wertetabelle gegeben ist.
c) Berechnen Sie den Anstiegswinkel, den die Gerade mit der x-Achse bildet!
4.
a) Zeichnen Sie den Graph der Funktion mit der Gleichung y = x2 – 6x + 8 ; (x reell) !
b) Von einer quadratischen Gleichung der Form x2 + px + q = 0 sind die beiden Lösungen
x1 = +3 und x2 = – 1 bekannt.
Berechnen Sie p und q!
5.
1

a) Berechnen Sie! (6a + 5b) ⋅  a − 2b 
2

5
10
b) Vereinfachen Sie! 6 ⋅10 −3
10
6.
Ein gerader Kreiskegel (r = 3,0 cm; h = 6,0 cm) wird von einer Ebene parallel zur
Grundfläche geschnitten. Der Abstand der Ebene von der Grundfläche des Kegels beträgt 2,0
cm.
a) Zeichnen Sie den so entstandenen Kegelstumpf im Grund-Aufriß-Verfahren im Maßstab
1:1!
b) Berechnen Sie die Länge des Radius der Schnittfläche! (Vergleichen Sie auch mit der
Zeichnung!)
c) Berechnen Sie das Volumen des Kegelstumpfes!
Von den folgenden Wahlaufgaben 7.1, 7.2 und 7.3 brauchen Sie nur e i n e zu lösen.
7.1
x x
Gegeben ist die Gleichung − = 1
a b
Welche Einschränkungen gelten für a und b?
Lösen Sie dazu auch die Gleichung nach x auf, und machen Sie die Probe!
7.2
Zwei Zahlen a und b verhalten sich wie 5 : 6. Addiert man zu jeder der beiden Zahlen 3, so
verhalten sich die neu entstandenen Zahlen wie 7 : 8. Ermitteln Sie a und b! (Probe!)
7.3
Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck ABC mit dem rechten Winkel bei A. Auf der Seite a
liege zwischen B und C der Punkt D.
a) Fällen Sie von D das Lot auf die Seite AB , und bezeichnen Sie den Fußpunkt des Lotes
mit E!
b) Beweisen Sie, daß das Dreieck ABC dem Dreieck EBD ähnlich ist!
Schriftliche Abschlußprüfung Klasse 10 (DDR)
1968
1.
Von einem Dreieck ABC sind die Längen der drei Seiten gegeben: Strecke AB = c = 7,0 cm;
Strecke AC = b = 6,5 cm; Strecke BC = a = 4,2 cm.
a) Konstruieren Sie das Dreieck! Messen Sie die Größe der drei Innenwinkel, und geben Sie
Ihre Meßergebnisse an!
b) Berechnen Sie die Größe der drei Winkel!
2.
"Kommunismus – das ist Sowjetmacht plus Elektrifizierung des ganzen Landes." (W. I.
Lenin) Im Jahre 1950 wurden in der UdSSR 91 Mrd. kWh Elektroenergie erzeugt. Im Jahre
1965 waren es 509 Mrd. kWh.
Um wieviel Prozent wurde die Erzeugung von Elektroenergie in diesem Zeitraum gesteigert?
3.
Berechnen Sie x und y aus dem folgenden linearen Gleichungssystem!
3ax + y = 7a (a reelle Zahl, a ≠ 0)
ax + y = 3a
(Schriftliche Probe!)
4.
Die Gleichung einer quadratischen Funktion lautet
y = (x – 2)2 – 1. (x reell)
a) Zeichnen Sie den Graph der Funktion im Bereich –1 < x < 5 !
b) Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion!
5.
a2 3 a
⋅
(a ist eine positive reelle Zahl)
9
3
b) Lösen Sie die folgende Gleichung nach t auf! s = p + p · k · t ( p ≠ 0; k ≠ 0)
1
c) Ermitteln Sie den größten Wert, den die Summe + sin x annehmen kann!
2
a) Vereinfachen Sie
3
6.
Ein gerader Pyramidenstumpf mit quadratischer Grund- und Deckfläche hat eine Körperhöhe
von
4,5 cm. Eine Grundkante ist 8,0 cm lang, eine Kante der Deckfläche ist 4,0 cm lang.
a) Berechnen Sie das Volumen des Pyramidenstumpfes!
b) Stellen Sie den Körper im Grund-Aufriß-Verfahren dar! Alle Eckpunkte sind zu
benennen.
Von den folgenden Wahlaufgaben 7.1, 7.2 und 7.3 brauchen Sie nur e i n e zu lösen.
7.1
In einem Quadrat ABCD ist M der Mittelpunkt der Strecke BC und N der Mittelpunkt der
Strecke CD .
a) Zeichnen Sie die Figur!
b) Beweisen Sie, daß die Strecke AM und die Strecke BN die gleiche Länge haben!
7.2
Für die Bearbeitung von Werkstücken stehen zwei Drehmaschinen zur Verfügung. Die erste
Maschine muß zur Bearbeitung 20 Minuten vorbereitet werden und stößt dann alle 14
Minuten ein Werkstück aus. Die zweite, modernere Maschine muß 200 Minuten vorbereitet
werden und stößt dann alle 2 Minuten ein Werkstück gleicher Art aus.
a) Wieviel Minuten werden bereits bei der Herstellung von 100 Werkstücken eingespart,
wenn die modernere Maschine eingesetzt wird!
b) Bestimmen Sie diejenige Stückzahl, zu deren Herstellung beide Maschinen die gleiche
Zeit benötigen!
7.3
In einem Dreieck ist der größte Winkel dreimal so groß wie der kleinste und der andere
Winkel zweimal so groß wie der kleinste. Die Seite, die dem größten Winkel gegenüberliegt,
ist 4,8 cm lang.
a) Bestimmen Sie die Größe der Winkel! Begründen Sie Ihr Ergebnis!
b) Berechnen Sie die Länge der kleinsten Seite des Dreiecks!
Schriftliche Abschlußprüfung Klasse 10 (DDR)
1969
1.
Im Jahre des 20. Geburtstages der DDR soll die Produktion der Landwirtschaft und der
Nahrungsgüterwirtschaft um 4,2 % gegenüber 1968 gesteigert werden. Das ist eine
Steigerung um 1,49 Milliarden Mark.
a) Berechnen Sie die Produktion für das Jahr 1968! (in Milliarden Mark)
b) Berechnen Sie die geplante Produktion für 1969! (in Milliarden Mark)
2.
Das Urlauberschiff "Völkerfreundschaft" fährt auf einem Kurs,
der als geradlinig angenommen werden kann. Zur Orientierung
wird von den Standorten A und, B des Schiffes das Funkfeuer S
angepeilt (siehe Abbildung). Man ermittelt: den Winkel BAS
mit 48,4°; den Winkel SBA mit 72,9° und die Strecke AB mit
6,4 sm.
a) Berechnen Sie die Entfernung des Schiffes im Punkt B von
S!
b) Berechnen Sie die kürzeste Entfernung (Strecke DS ), in der
das Schiff am Funkfeuer S vorbeigefahren ist!
3.
Übertragen Sie die Abbildung auf
Millimeterpapier!
a) Geben Sie die Gleichung der linearen
Funktion an, die in der Abbildung durch die
Gerade g graphisch dargestellt ist!
b) Zeichnen Sie durch den Punkt P(0;5) die
Parallele zur x-Achse! Diese Parallele
schneidet die Gerade g im Punkt T.
c) Geben Sie die Koordinaten des Punktes T an!
d) Beweisen Sie, daß die Dreiecke MRS und
RTP ähnlich sind!
S
B
D
A
y
g
R
1
S
1
-1 M
-1
4.
Gegeben ist eine Funktion mit der Gleichung
7
y = x 2 − 3x −
(x reell)
4
a) Berechnen Sie die Nullstellen x1 und x2 dieser Funktion!
b) Der Graph dieser Funktion ist eine Parabel. Ermitteln Sie die Koordinaten ihres
Scheitelpunktes!
5.
a) Vereinfachen Sie so weit wie möglich!
5 k 2 − 49k 2 (k > 0, k reell)
b) Lösen Sie die folgende Gleichung nach a auf! (Die Probe wird nicht verlangt.
1 1
−
=b
( a ≠ 0; b ≠ 0; a, b reell)
a 5a
c) Ermitteln Sie die Winkel α, für die gilt: sin α = 0,9011,
0° < α < 360° !
x
6.
Eine gerade quadratische Pyramide hat eine Grundkante von 56 mm Länge und eine
Körperhöhe von 72 mm Länge.
a) Berechnen Sie das Volumen der Pyramide in Kubikzentimetern!
b) Stellen Sie die Pyramide im Grund-Aufriß-Verfahren dar! Legen Sie zweckmäßigerweise
eine Grundkante parallel zur Rißachse!
c) Ermitteln Sie die wahre Länge einer Seitenkante entweder durch Konstruktion oder durch
Rechnung, und geben Sie diese in Millimetern an!
Von den folgenden Wahlaufgaben 7.1, 7.2 und 7.3 brauchen Sie nur e i n e zu lösen.
7.1
Eine Kugel mit dem Radius r wird von einer Ebene geschnitten. Diese Ebene hat den Abstand
a vom Mittelpunkt M der Kugel.
a) Berechnen Sie für r = 5,0 cm und a = 3,0 cm das Volumen des kleineren
Kugelabschnittes, der durch den Schnitt entsteht! Benutzen Sie die Formelsammlung der
Zahlentafel!
b) Geben Sie den Radius r1, der Schnittfläche an!
c) Ermitteln Sie den Inhalt der Schnittfläche!
7.2
a) Konstruieren Sie ein gleichseitiges Dreieck mit beliebiger Seitenlänge a, und zeichnen Sie
eine Höhe h ein!
a
b) Leiten Sie die Gleichung h =
3 ohne Benutzung trigonometrischer Beziehungen her!
2
a
c) Leiten Sie die Beziehung sin 60º =
3 her!
2
7.3
Gegeben ist die Gleichung x2 – ax + c = 0. (a, c, x reell)
a) Geben Sie für diese Gleichung die Diskriminante an!
b) Geben Sie die Anzahl aller reellen Lösungen der Gleichung für folgende zwei Fälle an!
1
a2
(2) c =
(1) a = 0 und c =
5
4
Begründen Sie Ihre Aussage mit Hilfe der Diskriminante!
Schriftliche Abschlußprüfung Klasse 10 (DDR)
1970
1.
Zwei Klassen planen eine Ferienwanderung. Für gute Leistungen im polytechnischen
Unterricht erhalten sie dazu von ihrem Patenbetrieb 360 M. Dieser Betrag soll entsprechend
der Schüleranzahl auf beide Klassen aufgeteilt werden. In der einen Klasse sind 26, in der
anderen 22 Schüler.
a) Berechnen Sie den Teilbetrag, den jede Klasse erhält!
b) Wieviel Prozent der Gesamtsumme erhält die Klasse mit 26 Schülern?
2.
Gegeben sind zwei Funktionen mit den Gleichungen y = 2x und y = – x + 6 (x reell).
a) Die Graphen dieser Funktion sind Geraden. Zeichnen Sie die zwei Geraden in ein
rechtwinkliges Koordinatensystem! (Koordinateneinheit: 1 cm)
b) Die beiden Geraden schneiden die x-Achse in den Punkten P und Q. Geben Sie die
Koordinaten der Punkte P und Q an!
c) Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes S der beiden Geraden!
d) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks PQS (in Quadratzentimetern)!
3.
Ein Segelflugzeug soll einen Punkt C der Erdoberfläche in vorgeschriebener Höhe
überfliegen. Zur Kontrolle nimmt man an zwei Punkten A und B (in gleicher Höhe wie C)
Messungen vor.
a) Man ermittelt (s. Abbildung):
F
AB = c = 210 m
Winkel CAB = α = 68°
Winkel CBA = β = 74º
γ
x
C
α
A
Berechnen Sie die Länge der Strecke AC !
β
c
b) Während sich das Flugzeug senkrecht
B
über C befindet, mißt man in A den
Erhebungswinkel δ = 37º
Berechnen Sie die Höhe CF des Flugzeuges!
4.
a) Zeichnen Sie ein beliebiges Dreieck ABC! Legen Sie auf AB zwischen den Punkten A
und B einen Punkt D fest! Zeichnen Sie durch D die Parallele zu AC ; den Schnittpunkt
mit BC nennen Sie E!
Beweisen Sie, daß die Dreiecke ABC und DBE einander ähnlich sind!
b) Gegeben ist eine 10 cm lange Strecke RS . Teilen Sie RS durch Konstruktion im
Verhältnis 5:2! Der Teilpunkt T soll zwischen R und S liegen.
5.
a) Eine Quadratische Funktion habe eine Gleichung der Form y = (x + d)2 + e. (x reell)
Geben Sie für den Fall d = 0 und e = 3 die Scheitelpunktskoordinaten des Graphen der
Funktion an!
b) Die in der Abbildung dargestellte Parabel sei der Graph
y
einer weiteren quadratischen Funktion mit einer Gleichung
von der Form
1
y = (x + d)2 + e. (x reell)
(1) Ermitteln Sie unter Zuhilfenahme der nebenstehenden
0
1
x
Abbildung die Nullstellen x1 und x2 dieser Funktion!
(2) Geben Sie die Gleichung dieser speziellen
quadratischen Funktion in der Form y = (x + d)2 = + e
an!
(3) Überführen Sie nunmehr diese Gleichung der
Funktion in eine Gleichung der Form y = x2 + px + q,
S(1 ; -4)
und bestimmen Sie hieraus p und q!
6.
a) Ermitteln Sie cos 120°! Bestimmen Sie x in x = Iog5 125! Geben Sie 7 · 10-3 als
Dezimalbruch an!
4
b) Lösen Sie die folgende Gleichung nach r auf! V = πr 3 ( r > 0 )
3
c) Vereinfachen Sie die folgende Summe so weit wie möglich!
3m(m + 0,6n – 4n) + (m – 5n)2
Von den folgenden Wahlaufgaben 7.1, 7.2 und 7.3 brauchen Sie nur e i n e zu lösen.
7.1
In einem Chemiebetrieb stehen zylindrische Behälter mit 1,20 m Durchmesser und 2,00 m
Höhe (Innenmaße).
Überprüfen Sie, ob ein solcher Behälter 3000 kg Natronlauge der Dichte 1,25 g/cm3 fassen
kann! (Begründen Sie Ihre Entscheidung!)
c
D
7.2 Für den Flächeninhalt AT des in der Abbildung
dargestellten Trapezes ABCD gilt:
a2 − c2
AT =
⋅ tan α
2
E
a) Berechnen Sie AT für a = 6,3 cm; c = 5,5 cm; α = 75,3°!
α
a
A
b) Drücken Sie h durch die Variablen a, c und α aus (s.
nicht maßstäblich
Abbildung)!
c)
a2 − c2
a+c
c) Leiten Sie die Gleichung AT =
⋅ tan α her, indem Sie von AT =
⋅h
2
2
ausgehen und das in b) ermittelte Ergebnis nutzen!
C
h
B
7.3
Eine gerade Pyramide mit der Spitze S hat als Grundfläche ein regelmäßiges Sechseck
ABCDEF mit einer Seitenlänge von 25 mm; die Körperhöhe beträgt 60 mm.
a) Stellen Sie den Körper im Grund-Aufriß-Verfahren dar! Benennen Sie die Bilder aller
Eckpunkte der Pyramide!
b) Ermitteln Sie unter Verwendung Ihrer Zeichnung die wahre Länge einer Seitenkante, und
kennzeichnen Sie diese Strecke farbig!
c) Berechnen Sie außerdem die wahre Länge dieser Seitenkante!
Schriftliche Abschlußprüfung Klasse 10 (DDR)
1971
1.
Die Vietnamspende der Schüler der Ho-Chi-Minh-Oberschule in Berlin hatte bis zum Tage
der Namensverleihung eine Höhe von 14 800 M erreicht. Davon wurden 4200 M durch
Altstoffsammlungen erbracht. Der größere Teilbetrag stammte aus persönlichen Spenden der
Schüler sowie aus Spenden der Lehrer, der Eltern, der Patenbrigade usw.
a) Wieviel Prozent der Gesamtsumme stellt der größere Teilbetrag dar?
b) Durch den Erlös eines Vietnam-Basars konnte später der Betrag von 14 800 M noch um
6,5% erhöht werden. Wie hoch waren die zusätzlichen Einnahmen aus dem VietnamBasar?
2.
Von einem Dreieck ABC sind gegeben: AB = c = 95 mm; BC = a = 64 mm; AC = b = 47
mm.
a) Konstruieren Sie das Dreieck ABC!
b) Berechnen Sie den größten Winkel dieses Dreiecks!
3.
1
x ; (x reell).
2
Berechnen Sie für diese Funktion die zu den angegebenen x-Werten gehörenden y-Werte!
(Übertragen Sie diese Tabelle auf Ihr
x
–4
1
3
Arbeitsblatt!)
y
Zeichnen Sie den Graph g1 dieser Funktion in ein rechtwinkliges Koordinatensystem!
Zeichnen Sie die Gerade g2, die parallel zu g1 verläuft und durch den Punkt P1 (0 ; –3)
geht! Geben Sie die Gleichung der durch g2 dargestellten Funktion an!
Spiegeln Sie die Gerade g2 an der y-Achse, und zeichnen Sie das Spiegelbild!
Gegeben ist eine Funktion mit der Gleichung y =
a)
b)
c)
d)
4.
Zur optimalen Auslastung des Transportraumes bei der Beförderung von Speisekartoffeln
werden durch die Deutsche Reichsbahn Zielzüge eingesetzt. In einem solchen Zug laufen
zwei Wagentypen mit einer Ladefähigkeit von 20 t bzw. 24 t Speisekartoffeln. Der Zug
besteht aus 33 Waggons. Er befördert insgesamt 720 t Speisekartoffeln.
Berechnen Sie, wieviel Waggons des jeweiligen Typs in diesem Zielzug eingesetzt sind!
5.
Durch den Mittelpunkt M eines Kreises verlaufen zwei Geraden,
die miteinander einen spitzen Winkel bilden. Sie schneiden den
Kreis in den Punkten A und B bzw. C und D. Von C und D sind die
Lote auf die durch A und B verlaufende Gerade gefällt. Die
Fußpunkte der Lote seien E und P (siehe Abbildung).
a) Beweisen Sie, daß die Dreiecke MEC und MFD kongruent sind!
(Benutzen Sie dabei einen der Kongruenzsätze!)
b) Berechnen Sie die Länge der Strecke ME für MC = 13 cm und
CE = 5 cm!
D
B
A E
M
F
C
nicht maßstäblich
6.
a) Ermitteln Sie für einen Kreis mit dem Durchmesser d = 21,2 cm den Umfang und den
Flächeninhalt!
(a + c) ⋅ h
b) Formen Sie die folgende Gleichung nach a um! A =
2
c) Gegeben ist die Gleichung x2 + 4x + q = 0.
Ermitteln Sie die Lösungen dieser Gleichung für q = 3!
Geben Sie für q eine solche Zahl an, daß die Gleichung eine Doppellösung (zweifache
reelle Lösung) hat!
Von den folgenden Wahlaufgaben 7.1, 7.2 und 7.3 brauchen Sie nur e i n e zu lösen.
7.1
a) Zeichnen Sie in ein rechtwinkliges Koordinatensystem (Koordinateneinheit 1 cm) die
Graphen der Funktionen mit Gleichungen der Form y = ax2 (x reell) für (1) a = 1; (2)
1
a = ; (3) a = – 1; mindestens im Intervall – 3 < x < 3
2
b) Geben Sie den Wertebereich von Funktionen mit Gleichungen der Form y = ax (a < 0) an,
wenn der Definitionsbereich die Menge aller reellen Zahlen ist!
7.2
Gegeben ist eine natürliche Zahl n (n ≠ 0).
a) Schreiben Sie in allgemeiner Form die der Zahl n unmittelbar vorangehende natürliche
Zahl (Vorgänger) und die unmittelbar folgende natürliche Zahl (Nachfolger) auf!
b) In einem speziellen Fall sei das Produkt aus dem Vorgänger und dem Nachfolger von n
die Zahl 323. Berechnen Sie n mit Hilfe einer Gleichung!
c) Geben Sie eine natürliche Zahl zwischen 400 und 500 an, die sich, ebenfalls als Produkt
aus dem Vorgänger und dem Nachfolger einer natürlichen Zahl darstellen läßt!
7.3
H
G
Die Abbildung zeigt das Schrägbild eines geraden
E
F
Pyramidenstumpfes mit rechteckiger Grund- und
Deckfläche.
hk
AB = CD = 72 mm
D
C
BC = AD = 48 mm
EF = GH = 24 mm
A
B
FG = EH = 16 mm
nicht maßstäblich
hk = 40 mm
a) Stellen Sie diesen Pyramidenstumpf im Grund-Aufriß-Verfahren unter Verwendung der
angegebenen Originalmaße dar! Legen Sie zweckmäßigerweise eine Grundkante parallel
zur Rißachse!
b) Benennen Sie in beiden Rissen alle Eckpunkte!
c) Konstruieren Sie eine der Seitenflächen des Pyramidenstumpfes in wahrer Größe, und
kennzeichnen Sie die wahre Länge einer Seitenkante des Pyramidenstumpfes!
Schriftliche Abschlußprüfung Klasse 10 (DDR)
1972
1.
Gesucht sind zwei Zahlen. Ihre Summe ist 4. Wird das Dreifache der einen Zahl um das
Doppelte der anderen Zahl vermindert, so erhält man 52.
Berechnen Sie die beiden Zahlen! Führen Sie eine Probe durch!
2.
Die Großküche eines Kraftwerkes gab täglich 600 Gerichte mit Kartoffeln aus, wobei für
jedes Gericht 250 g Kartoffeln benötigt wurden.
a) Wieviel Tonnen Kartoffeln mußten eingelagert werden, wenn der Vorrat für genau 30
Tage reichen sollte?
b) Entsprechend den Beschlüssen des VIII. Parteitages der SED werden zur besseren
Versorgung der Werktätigen in der Nachtschicht täglich 150 Portionen bereitgestellt. Für
wieviel Tage würde der gleiche Vorrat nun reichen?
3.
C
Am 17. November 1970 landete die sowjetische Station Luna
17 auf dem Mond und setzte das erste automatische
Mondfährzeug "Lunochod 1" auf dem Erdtrabanten ab. Das
sowjetische Mondmobil fuhr zuerst von der Landestelle A nach
einem Punkt B und legte dabei 82 m zurück. In B drehte es um
91,2º
91,2° und fuhr 96 m bis zum Haltepunkt C. Die Wege sind als
A
B
geradlinig anzunehmen (siehe Abbildung).
nicht maßstäblich
Berechnen Sie die Entfernung des Mondmobils von seiner Landestelle (Strecke AU)!
4.
Gegeben sind zwei Funktionen f1 und f2 mit den Gleichungen
(1) f(x) = y = 2x + 1;
(2) f2(x) = y = x2 + 2x – 3 mit x ∈ P .
a) Zeichnen Sie den Graph der Funktion f1 in ein rechtwinkliges Koordinatensystem!
b) Berechnen Sie die Nullstelle der Funktion f2!
c) Der Graph der Funktion f2 ist eine Parabel.
Berechnen Sie die Koordinaten des Scheitels, und zeichnen Sie die Parabel in das bei Teil
a) verwendete Koordinatensystem!
d) Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion f2!
e) Die Graphen der Funktionen f1 und f2 schneiden sich in den Punkten P1 und P2. Geben Sie
die Koordinaten der Schnittpunkte an!
5.
Die Abbildung zeigt ein gerades Prisma im Grund- und Aufriß.
Die Maße des Prismas sind:
AB = a = 5,0 cm
AE = BE = s = 6,5 cm
BC = l = 14,0 cm
a) Steilen Sie diesen Körper in Kavalierperspektive, d. h. in
schräger Parallelprojektion mit α = 45 und q = 1/2 dar!
b) Berechnen Sie den Oberflächeninhalt dieses Prismas!
E’’F’’
A’’D’’
D’
A’
B’’C’’
F’
E’
C’
B’
6.
a) Berechnen Sie 12,5 % von 528 ha!
b) Ermitteln Sie alle Winkel x im Intervall 0° < x < 360°, für die gilt: sin x = 0,6600!
c) Das Produkt aus der Differenz zweier verschiedener Zahlen und einer dritten Zahl sei
gleich x. Geben Sie diesen mathematischen Sachverhalt in Form einer Gleichung mit
Hilfe von Variablen an!
1
d) Formen Sie die Gleichung für das Volumen des Kegels V = πr 2 h nach der Variablen r
3
um!
x
a
x
50
nicht maßstäblich
7.3
8(2 x + 1)
< 3x + 2
5
a) Lösen Sie diese Ungleichung im Bereich der reellen Zahlen!
b) Geben Sie folgende Mengen durch Aufzählung ihrer Elemente an!
(1) Die Lösungsmenge L1 obiger Ungleichung im Bereich der natürlichen Zahlen;
(2) die Lösungsmenge L2 obiger Ungleichung im Bereich der ganzen Zahlen mit
– 4 < x < 1;
(3) die Menge M aller Elemente, die sowohl in L1 als auch in L2 vorkommen.
Gegeben ist die lineare Ungleichung
20
b
x
7.2
Aus einem rechteckigen Blech mit den
Seitenlängen 50 cm und 20 cm soll ein oben
offener quaderförmiger Kasten entstehen.
Dazu schneidet man an den vier Ecken
Quadrate mit der Seitenlänge x cm heraus
(siehe Abbildung). Das schraffierte
Rechteck mit den Seitenlängen a cm und b
cm ist die Grundfläche des Kastens.
a) Berechnen Sie den Inhalt der Grundfläche
für x = 1,5!
b) Wie groß muß x sein, damit der Inhalt der
Grundfläche 400 cm2 beträgt? Geben Sie
für diesen Fall a und b an!
x
Von den folgenden Wahlaufgaben 7.1, 7.2 und 7.3 brauchen Sie nur e i n e zu lösen.
7.1
Beweisen Sie folgende Aussagen!
a) Die Summe von fünf beliebigen aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen ist stets durch 5
teilbar.
b) Wenn die kleinste von fünf beliebigen aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen gerade
ist, dann ist deren Summe auch durch 2 teilbar.
Schriftliche Abschlußprüfung Klasse 10 (DDR)
1973
1.
Die folgende Tabelle zeigt den erreichten bzw. den geplanten Stand des Nationaleinkommens
der DDR in den Jahren 1965, 1970 und 1975.
in Mrd. Mark
in Prozent
1905
100
1970
108
129
1975
137
a) Ermitteln Sie das Nationaleinkommen des Jahres 1965 (in Mrd. Mark)!
b) Ermitteln Sie, auf wieviel Prozent das Nationaleinkommen im Jahre 1975 steigen wird
(bezogen auf 1965)!
c) Stellen Sie die Prozentsätze in einem Streifendiagramm dar (1 % entspricht 1 mm)!
2.
Gegeben ist die Ungleichung 7(3x – 2) < 3x + 22 x ∈ P .
a) Lösen Sie diese Ungleichung! (Probe wird nicht verlangt.)
b) Geben Sie die Elemente der Lösungsmenge an, die natürliche Zahlen sind!
3.
C
Während der Hans-Beimler-Wettkämpfe erhält eine
Gruppe den Auftrag, die Breite eines Flusses zu
ermitteln. Dazu steckt sie eine Strecke AB ab, die
Fluß
im Abstand von 5,0 m parallel zum Ufer verläuft.
Von den Punkten A und B aus peilt die Gruppe einen
unmittelbar am anderen Ufer liegenden
Orientierungspunkt C an (siehe Abbildung). Es
A
D
B
werden folgende Werte ermittelt:
nicht maßstäblich
AB = 45,0 m
Winkel BAC = 42,5°
Winkel ABC = 67.3
a) Berechnen Sie die Länge der Strecke BC !
b) Berechnen Sie die Länge der Strecke CD !
c) Berechnen Sie die Breite des Flusses! (Runden Sie das Ergebnis auf volle Meter!)
4.
Die Differenz zweier natürlicher Zahlen beträgt 6. Das Produkt dieser beiden Zahlen beträgt
216.
Ermitteln Sie diese beiden natürlichen Zahlen!
5.
a) Berechnen Sie den Flächeninhalt eines Kreisringes mit den Durchmessern d1 = 4,5 cm und
d2 = 3,8 cm!
b) Gegeben ist die Funktion mit der Gleichung y = x3; x ∈ P . Berechnen Sie für diese Funktion
die in der folgenden Tabelle fehlenden Werte!
x
2
3
–1
(Übertragen Sie diese Tabelle auf Ihr
Arbeitsblatt!)
y
125
c) Skizzieren Sie den Graph der Funktion mit der Gleichung y = 2 sinx x ∈ P im Intervall
0<x<3!
Geben Sie den Wertebereich dieser Funktion an!
d)
5
Geben Sie den Wert für die Variable a an, für den der Term
nicht definiert ist!
6 − 3a
(Antwortsatz!)
6.
Gegeben ist ein Dreieck ABC mit folgenden Stücken:
AB = c = 5,0 cm; BC = a = 3,5 cm; Winkel ABC = β = 90 .
a) Konstruieren Sie dieses Dreieck!
b) Zeichnen Sie durch die Eckpunkte A und C die Parallelen zu den Gegenseiten! Ihr
Schnittpunkt sei D. Es entsteht das Rechteck ABCD.
Fällen Sie vom Mittelpunkt S der Strecke AC das Lot auf AB ! Sein Fußpunkt sei E.
c) Beweisen Sie, daß das Dreieck AES dem Dreieck ACD ähnlich ist! (Geben Sie den dabei
benutzten Ähnlichkeitssatz an!)
Von den folgenden Wahlaufgaben 7.1, 7.2 und 7.3 brauchen Sie nur e i n e zu lösen.
7.1
a) Zeichnen Sie die Punkte A(– 4 ; 1) und B(0 ; 3) in ein rechtwinkliges Koordinatensystem!
b) Zeichnen Sie durch diese beiden Punkte die Gerade g! Geben Sie die Gleichung der durch
g dargestellten Funktion an!
c) Spiegeln Sie die Gerade g an der Abszissenachse, und bezeichnen Sie das Spiegelbild mit
g’!
d) Berechnen Sie den spitzen Winkel, den die beiden Geraden g’ und g einschließen!
7.2
Gegeben ist ein gerades Prisma ABCDBFGH mit quadratischer
Grundfläche, das von einer Ebene in den Punkten I, B, C, K geschnitten wird (siehe Abbildung).
AB = BC = 5,0 cm
AE = DH = 6,0 cm
AI = DK = 4,0 cm
a) Stellen Sie das Prisma einschließlich der Schnittfigur in
Zweitafelprojektion dar!
b) Berechnen Sie die Länge der Seite IB der Schnittfigur!
c) Zeichnen Sie die Schnittfigur in wahrer Größe!
H
E
G
F
K
I
D
A
C
B
nicht maßstäblich
7.3
Ein zylinderförmiges Werkstück aus Stahl (d = h = 75 mm, ρ = 7,8 g/cm3) wird so bearbeitet,
daß daraus eine Kugel entsteht, die den gleichen Durchmesser wie der Zylinder hat.
Berechnen Sie die Masse des Abfalls, der bei dieser Bearbeitung entsteht! Geben Sie die
Masse in Gramm an!
Schriftliche Abschlußprüfung Klasse 10 (DDR)
1974
1.
Durch die Gleichung y = x2 – 2 ist eine Funktion gegeben, ihr Graph ist eine Parabel.
a) Berechnen Sie die Nullstellen dieser Funktion!
b) Geben Sie die Koordinaten des Scheitelpunktes an, und zeichnen Sie die Parabel!
c) Verschieben Sie die Parabel so, daß ihr Scheitelpunkt die Koordinaten xS = 0, yS = 3 hat!
(Zeichnen Sie die verschobene Parabel in dasselbe Koordinatensystem, das Sie bei
Teilaufgabe b) benutzt haben!)
d) Geben Sie die Gleichung der Funktion an, deren Graph durch die Verschiebung
entstanden ist!
2.
Im Stadtzentrum Berlins erscheint von einem Punkt P aus der
Fernsehturm hinter dem Hotel "Stadt Berlin" so, daß die Punkte
P, A und B auf einer Geraden liegen (siehe Abbildung). Die
Längen der Strecken betragen näherungsweise:
PH = 200 m, PF = 600 m, FB = 360 m.
a) Ermitteln Sie durch eine Zeichnung im Maßstab 1 : 10 000
die Höhe HA des Hotels! Geben Sie das Ergebnis in Metern
an!
B
A
P
H
F
nicht maßstäblich
b) Ermitteln Sie die Höhe des Hotels auch rechnerisch! Formulieren Sie einen Antwortsatz!
3.
Drei Kreise berühren einander von außen. Ihre Mittelpunkte A, B
und C sind Eckpunkte eines Dreiecks (siehe Abbildung).
Der Radius des Kreises um A sei r1 = 3,0 cm. Der Radius des Kreises
um B sei r2 = 4,0 cm. Der Radius des Kreises um C sei r3 = 2,0 cm.
a) Ermitteln Sie die Längen der Seiten AB = c, BC = a und AC =
b des Dreiecks!
b) Konstruieren Sie das Dreieck ABC!
c) Berechnen Sie den Winkel ACB = γ!
C
B
A
nicht maßstäblich
d) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks ABC!
4.
Durch den Mittelpunkt M eines Kreises verlaufen zwei Geraden g1 und g2 die nicht senkrecht
aufeinander stehen. Die Gerade g1 schneidet den Kreis in den Punkten A und B. Die Gerade
g2 schneidet den Kreis in den Punkten C und D. Verbindet man A mit C und B mit D, so
entstehen die Dreiecke MAC und MBD.
a) Entwerfen Sie eine Skizze!
b) Beweisen Sie mit Hilfe eines Kongruenzsatzes, daß die Dreiecke MAC und MBD
kongruent sind! (Geben Sie den dabei benutzten Kongruenzsatz an! )
5.
Gegeben sind die folgenden Ungleichungen:
(1) 5x + 5 < x + 25 x ∈ P ; (2) 12x – (x – 1) > 5x + 13
x∈P.
a) Lösen Sie die Ungleichung (1)! Geben Sie diejenigen Elemente der Lösungsmenge an, die
natürliche Zahlen sind!
b) Lösen Sie die Ungleichung (2)! Geben Sie diejenigen Elemente der Lösungsmenge an, die
einstellige natürliche Zahlen sind!
c) Die unter a) angegebenen natürlichen Zahlen bilden die Menge M1, die unter b)
angegebenen natürlichen Zahlen die Menge M2. Geben Sie den Durchschnitt von M1 und
M2 durch Aufzählen der Elemente an! (Proben werden nicht verlangt.)
6.
a) Berechnen Sie 17 % von 83!
b) Vereinfachen Sie folgenden Term so weit wie möglich! 3 a 6b 9 (a > 0; b > 0; a, b ∈ P )
c) Ordnen Sie die Zahlen 1,2525...; 1,2500 und 1,25 nach der Größe! Beginnen Sie mit der
kleinsten Zahl!
d) Durch die Gleichung y = 3x – 1 ist eine Funktion gegeben, ihr Graph ist eine Gerade g.
Geben Sie die Gleichung einer anderen Funktion an, deren Graph parallel zu der Geraden
g verläuft!
Von den folgenden Wahlaufgaben 7.1, 7.2 und 7.3 brauchen Sie nur e i n e zu lösen.
7.1
Gegeben sind Funktionen durch die folgenden Gleichungen:
y = sin x; y = 2 sin x; y = sin 2x.
a) Zeichnen Sie die Graphen dieser Funktionen im Intervall 0 < x < 2π ! Benutzen Sie dabei
ein und dasselbe rechtwinklige Koordinatensystem, und kennzeichnen Sie jeden Graph
durch die entsprechende Gleichung!
b) Geben Sie für y = 2 sin x alle im angegebenen Intervall auftretenden Nullstellen an!
c) Geben Sie für y = sin 2x die kleinste Periode an!
16
80
20
30
7.2
Die nebenstehende Abbildung zeigt das
Schrägbild eines Werkstückes.
a) Stellen Sie dieses Werkstück in
senkrechter Zweitafelprojektion im
Maßstab 1 : 1 dar! (Benennen der
Eckpunkte ist nicht erforderlich.)
b) Berechnen Sie den Inhalt der
schraffierten Fläche!
30
50
nicht maßstäblich
Maßangaben im mm
7.3
Beweisen Sie folgenden Satz!
Wenn von drei aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen die kleinste Zahl gerade ist, dann ist
das Produkt dieser Zahlen durch 4 teilbar.
Schriftliche Abschlußprüfung Klasse 10 (DDR)
1975
1.
Im Jahre 1973 wurden im Rahmen des Wohnungsbauprogramms in der DDR 80 700
Neubauwohnungen geschaffen.
a) Davon wurden 60 % an Arbeiterfamilien vergeben. Wieviel Wohnungen waren das?
b) Im Jahre 1972 wurden 69 500 Neubauwohnungen geschaffen. Berechnen Sie, um wieviel
Prozent die Anzahl der 1973 gebauten Wohnungen höher lag als die der 1972 gebauten!
2.
Von einem Dreieck ABC sind gegeben:
AB = c = 16,4 cm; BC = a = 19,0 cm; Winkel BAC = α = 58,0°.
a) Konstruieren Sie das Dreieck ABC im Maßstab 1 : 2!
b) Berechnen Sie, wie groß die beiden anderen Innenwinkel sind!
c) Berechnen Sie die Länge der Seite AC = b des gegebenen Dreiecks!
3.
Gegeben sind die linearen Funktionen mit den Gleichungen
(I) y = 3x – 2; (II) x + y = 4 ( x ∈ P ).
a) Stellen Sie die beiden Funktionen in ein und demselben rechtwinkligen
Koordinatensystem graphisch dar, und geben Sie die Koordinaten des Schnittpunktes ihrer
Graphen an!
b) Betrachten Sie die beiden gegebenen Gleichungen als Gleichungssystem, und lösen Sie es
rechnerisch!
51
51
4.
Ein Werkstück besteht aus einem zylinderförmigen und
einem kegelförmigen Teil (siehe Abbildung).
a) Berechnen Sie sein Volumen, und geben Sie es in
Kubikzentimetern an!
b) Das Werkstück ist aus Stahl gefertigt (ρ = 7,80
g/cm3). Berechnen Sie die Masse des Werkstücks!
nicht maßstäblich, alle Maßangaben in mm
22
5.
In einem gleichschenkligen Dreieck ABC sei AC ≅ BC . Der Mittelpunkt der Seite AC sei
D, der Mittelpunkt der Seite BC sei E.
a) Zeichnen Sie diese Figur, und benennen Sie alle Punkte!
b) Zeichnen Sie das Lot von D auf AB Der Fußpunkt sei F. Zeichnen Sie das Lot von E auf
AB ! Der Fußpunkt sei G.
c) Beweisen Sie unter Verwendung eines Kongruenzsatzes, daß die Dreiecke AFD und BGE
kongruent sind!
6.
a) Vereinfachen Sie den Term (m2n5)3 so weit wie möglich!
b) Schreiben Sie die Zahlen 628 000 000 und 0,0037 in der Darstellung mit abgetrennten Zehnerpotenzen, d. h. in der Form a
· 10 ! Dabei soll der Faktor a jeweils zwischen 1 und 10
liegen.
1
c) Skizzieren Sie den Graphen der Funktion y = sin x ( x ∈ P )
2
im Intervall 0 < x < 4π
d) Nebenstehende Abbildung zeigt zwei beliebige Geraden e und
f, die von einer Geraden g geschnitten werden. Wie müssen
die Geraden e und f zueinander liegen, damit die Winkel α und
β kongruent sind?
g
f
β
α
e
Von den folgenden Wahlaufgaben 7.1, 7.2 und 7.3 brauchen Sie nur e i n e zu lösen.
7.1
Gegeben ist die Ungleichung 2x – (8 – x) < 8(2x + 3) – 5x
( x∈P)
a) Lösen Sie diese Ungleichung! (Probe wird nicht verlangt)
b) L sei die Lösungsmenge der gegebenen Ungleichung. Geben Sie für jede der sechs Zahlen
.
1
– 8;
3;
0;
− ;
– 4; 5,2
2
an, ob sie zur Lösungsmenge L gehört oder nicht!
7.2
1
( x ∈ P ; x ≠ 0) ist eine Funktion gegeben.
x2
a) Berechnen Sie deren Funktionswerte y für die in der Tabelle vorgegebenen Argumente x!
Doppelbrüche sind in gemeine Brüche umzuformen.
1
1
5
−
+
+
x
–2
–1
+1
+2
2
2
2
y
Durch y =
b) Zeichnen Sie den Graphen dieser Funktion in ein rechtwinkliges Koordinatensystem!
c) Zeichnen Sie in dasselbe Koordinatensystem den Graphen der Funktion y = x2 ( x ∈ P )!
d) Geben Sie die Koordinaten derjenigen Punkte an, die sowohl zum Graphen der Funktion
1
y = 2 als auch zu dem der Funktion y = x2 gehören!
x
E’H’
7.3
Die Abbildung zeigt einen Körper in senkrechter
Zweitafelprojektion. Die punktierten Linien stellen eine seiner
Raumdiagonalen dar. Dabei sind AB = 6,5 cm; BC = 4,2
cm; BF = 8,2 cm.
a) Stellen Sie diesen Körper in Kavalierperspektive dar, und A’D’
bezeichnen Sie alle Eckpunkte!
b) Zeichnen Sie die vorgegebene Raumdiagonale ein!
c) Berechnen Sie die Länge dieser Raumdiagonalen!
D’H’
nicht maßstäblich, alle Maßangaben in mm
A’E’
F’G’
B’C’
C’G’
B’F’
Schriftliche Abschlußprüfung Klasse 10 (DDR)
1976
1.
Im Volkswirtschaftsplan der DDR wurden im Jahre 1975 für Investitionen insgesamt 39,6
Milliarden Mark vorgesehen, davon 18,9 Milliarden Mark für Investitionen in der Industrie.
a) Berechnen Sie, wieviel Prozent der Investitionen für die Industrie bereitgestellt wurden!
b) Der Gesamtbetrag von 39,6 Milliarden Mark für 1975 stellt gegenüber dem für 1974
aufgewendeten Betrag eine Steigerung auf 104,4 % dar.
Berechnen Sie, wieviel Milliarden Mark die Investitionen im Jahre 1974 betrugen!
2.
Von einem Dreieck ABC sind gegeben:
AB = c = 4,6 cm; AC = b = 8,7 cm; Winkel CBA = p = 108,2°.
a) Konstruieren Sie das Dreieck ABC!
b) Berechnen Sie die Größe der Winkel y = Winkel ACB und α = Winkel BAC!
c) Berechnen Sie die Länge der Seite BC = a!
3.
a) Durch die Gleichung y = x2 – 6x + 5 ( x ∈ P ) ist eine Funktion bestimmt.
- Berechnen Sie die Nullstellen dieser Funktion!
- Der Graph dieser Funktion ist eine Parabel. Geben Sie die Koordinaten ihres
Scheitelpunktes an!
- Zeichnen Sie den Graph dieser Funktion mindestens im Intervall 0 < x < 6!
b) Durch die Gleichung y = x2 – 6x + q ( x ∈ P ) sind Funktionen gegeben. Ermitteln Sie alle
reellen Zahlen q, die man in die Funktionsgleichung einsetzen kann, so daß die damit
bestimmten Funktionen keine Nullstellen haben!
4.
Gegeben sei ein Trapez; ABCD mit AB || CD . Die Diagonalen AC und BD schneiden
einander im Punkt S.
a) Zeichnen Sie ein solches Trapez und seine Diagonalen!
b) Beweisen Sie, daß die Dreiecke ABS und CDS einander ähnlich sind!
c) Welche weitere Aussage können Sie über die Dreiecke ABS und CDS treffen, wenn das
Trapez ABCD ein Parallelogramm ist?
5.
Ein Tieflader transportiert zu einer Baustelle zwei Arten von Deckenplatten, kurze und lange.
Bei einer Beladung mit 5 langen Platten und 9 kurzen Platten transportiert er insgesamt eine
Masse von 40,0t. Wenn er mit 9 langen und 3 kurzen Platten beladen ist, transportiert er 39,0t.
Berechnen Sie die Masse einer langen und die einer kurzen Deckenplatte! (Führen Sie die
Probe durch!)
6.
a) Formen Sie die folgende Gleichung nach r um! A =
abc
4r
(r ≠ 0; A ≠ 0)
b) Es seien x der absolute Betrag von (– 7), y die
entgegengesetzte Zahl zu (+2,4) und, z das Reziproke von 2/5.
Ermitteln Sie x, y und z!
c) Ermitteln Sie n in n = log3 27!
d) In der nebenstehenden Abbildung sei γ = 41°. Ermitteln Sie δ.
C
r
r
δ
γ
r
A
B
nicht maßgerecht
g
Von den folgenden Wahlaufgaben 7.1, 7.2 und 7.3 brauchen Sie nur e i n e zu lösen.
7.1
Kohlereserven werden in Halden gelagert. Aus Gründen des Brandschutzes hat eine solche
Halde angenähert die Form eines geraden Pyramidenstumpfes mit quadratischer Grundfläche.
Seine Abmessungen sind:
Seitenlänge der Grundfläche a1 = 19,0 m, Höhe des Pyramidenstumpfes h = 4,5 m, Winkel
zwischen Seitenfläche und Grundfläche α = 45 .
a) Stellen Sie diesen Pyramidenstumpf in senkrechter Zweitafelprojektion in einem
geeigneten Maßstab dar!
b) Berechnen Sie die Seitenlänge a2 der Deckfläche!
c) Berechnen Sie das Volumen dieses Pyramidenstumpfes!
7.2
Gegeben ist eine natürliche Zahl n (n ≠ 0).
a) Schreiben Sie in allgemeiner Form die der Zahl n unmittelbar vorangehende natürliche
Zahl (Vorgänger) und die unmittelbar folgende natürliche Zahl (Nachfolger) auf!
b) In einem speziellen Fall sei das Produkt aus dem Vorgänger und dem Nachfolger von n
die Zahl 483. Berechnen Sie n mit Hilfe einer Gleichung!
c) Geben Sie alle natürlichen Zahlen zwischen 300 und 400 an, die sich ebenfalls als Produkt
aus dem Vorgänger und dem Nachfolger einer natürlichen Zahl darstellen lassen!
7.3
a)
y
3
Durch die Gleichung y = sin 2 x ( x ∈ P ) ist eine
3
2
Winkelfunktion gegeben.
1
- Zeichnen Sie den Graph dieser Funktion- genau im
Intervall – π < x < π, und
0 1
- geben Sie den Wertebereich dieser Funktion an!
b) In der nebenstehenden Abbildung ist eine Winkelfunktion
mit der Gleichung y = a · sin bx ( a, b, x ∈ P ) im Intervall
0 < x < 2π, dargestellt. Wie lautet die Gleichung in diesem speziellen Fall?
c)
1
Gegeben sei der Term
( x ∈ P ).
1 − sin x
Für welchen Wert von x ( 0 < x < 2π), ist dieser Term nicht definiert?
π
2π
x
Schriftliche Abschlußprüfung Klasse 10 (DDR)
1977
1.
Im Jahre 1975 wurden aus dem Staatshaushalt der DDR 5,6 Milliarden Mark für das
Bildungswesen ausgegeben. Im Jahre 1976 wurden dafür 0,6 Milliarden Mark mehr
bereitgestellt.
a) Wieviel Milliarden Mark wurden im Jahre 1976 bereitgestellt?
b) Auf wieviel Prozent konnten die Ausgaben für das Bildungswesen im Jahre 1976
gegenüber 1975 erhöht werden?
c) Stellen Sie die Ausgaben in diesen beiden Jahren in einem Diagramm dar, und beschriften
Sie dieses!
2.
Gegeben ist die Ungleichung 12 – x > 3(1 + x) + 3 ( x ∈ P )
a) Lösen Sie diese Ungleichung! (Probe wird nicht verlangt.)
b) Geben Sie drei gebrochene Zahlen an, die diese Ungleichung erfüllen!
c) Geben Sie durch Aufzählen alle natürlichen Zahlen an, die diese Ungleichung erfüllen!
3.
a) Ein Vermessungstrupp hat die Länge einer
unzugänglichen Strecke AB trigonometrisch zu
bestimmen. Er ermittelt folgende Meßwerte:
AC = b = 72,8 m,
BC = a = 45,0 m
Winkel BCA = γ = 77,0°
(siehe nebenstehende Abbildung).
Berechnen Sie AB auf Grund dieser Meßwerte!
C
A
B
nicht maßstäblich
b) Auf die gleiche Weise wurde von drei Gruppen einer Klasse 10 die Länge der Strecke AB
bestimmt. Sie fanden für AB folgende Werte:
Gruppe 1: 73,4 m;
Gruppe 2: 76,4 m;
Gruppe 3: 77,3m.
Berechnen Sie den Mittelwert (arithmetisches Mittel) dieser drei Werte.
c) Um wieviel Meter weicht dieser Mittelwert von dem Wert für AB ab, der unter a)
berechnet wurde?
4.
Gegeben sind zwei Funktionen f(x) und g(x) mit den Gleichungen
(1) f(x) = y = 2x + 1
(2) g(x) = y = x2 + 2x – 3
( x∈P)
a) Zeichnen Sie den Graph der Funktion f (x) in ein rechtwinkliges Koordinatensystem!
b) Berechnen Sie die Nullstelle der Funktion f(x)!
c) Der Graph der Funktion g(x) ist eine Parabel. Geben Sie die Koordinaten ihres
Scheitelpunktes an, und zeichnen Sie die Parabel in das bei Teil a) verwendete
Koordinatensystem!
d) Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion g(x)!
e) Die Graphen der Funktionen f(x) und g(x) schneiden einander in den Punkten P1 und P2
Geben Sie die Koordinaten der Schnittpunkte an !
5.
Im Dreieck ABC sei D der Mittelpunkt der Strecke
BC .
Ferner gelte ED || AB und FD || AC
(siehe nebenstehende Abbildung).
a) Beweisen Sie unter Benutzung eines
Kongruenzsatzes, daß die Dreiecke FBD und EDC
einander kongruent sind!
b) Was folgt aus der Kongruenz der Dreiecke FBD
und EDC für ihre Flächeninhalte?
C
E
D
A
F
B
6.
a) Ermitteln Sie den Umfang und den Flächeninhalt eines Kreises mit dem Durchmesser d =
4,85 m!
b) Berechnen Sie x!
c) Ermitteln Sie alle Winkel x im Intervall 0° < x < 180°, für die gilt: sin x = 0,7071!
a2h
(h ≠ 0) nach der Variablen a um!
d) Formen Sie die Gleichung V =
3
Von den folgenden Wahlaufgaben 7.1, 7.2 und 7.3 brauchen Sie nur e i n e zu lösen.
7.1
Gegeben ist das Gleichungssystem
(I) y = 3x + 3
(II) y = – x + 7
a) Lösen Sie dieses System rechnerisch! Führen Sie die Probe aus!
b) Betrachten Sie jede Gleichung des Systems als Gleichung einer linearen Funktion! Stellen
Sie die beiden Funktionen in ein und demselben Koordinatensystem graphisch dar
(Koordinateneinheit: 1 cm)!
c) Der Schnittpunkt der beiden Graphen sei S. Der eine Graph schneidet die x-Achse im
Punkt Q, der andere Graph schneidet die x-Achse im Punkt R. Ermitteln Sie den
Flächeninhalt des Dreiecks QRS (in Quadratzentimetern)!
3,8
E
3,8
F
C
2,9
A
5,
8
D
2,9
2,
9
7.2
Die nebenstehende Abbildung zeigt
das Schrägbild eines Walmdaches.
a) Stellen Sie das Walmdach in.
Senkrechter Zweitafelprojektion
im Maßstab 1 : 100 dar.
Bezeichnen Sie alle Eckpunkte
entsprechend der Abbildung!
b) Konstruieren Sie im Maßstab
1 : 100 die wahre Größe und
Gestalt einer dreieckigen
Seitenfläche dieses Walmdaches!
B
9,6
nicht maßstäblich, alle Maßangaben in Metern
7.3
Gegeben ist ein Dreieck ABC (siehe Abbildung).
Dabei ist Winkel BCA = γ = 90°; CD = hC = 5,2 cm;
AD = q = 3,9 cm.
a) Konstruieren Sie das Dreieck ABC! Beginnen Sie
mit dem Teildreieck ADC!
b) Berechnen Sie die Länge der Strecke AC = b
c) Berechnen Sie die Länge der Strecke BD = p
C
A
D
(nicht maßstäblich)
B
Schriftliche Abschlußprüfung Klasse 10 (DDR)
1978
1.
(2x – 5)(x + 3) = 2x2 – (3x – 4) + 9 ( x ∈ P )
Lösen Sie diese Gleichung, und führen Sie die Probe durch!
2.
Ein Küstenwachboot der Volksmarine fährt auf einem
Kurs, der als geradlinig angesehen werden kann. Zur
Orientierung wurde von den Punkten A und B des
Schiffsweges das Funkfeuer F angepeilt (siehe
nebenstehende Abbildung). Dabei wurden ermittelt:
Winkel BAF = α = 46,3°;
Winkel FBA = β = 61,4°;
AB = c = 14,6 km.
F
A
(nicht maßstäblich)
D
B
a) Berechnen Sie, in welcher Entfernung vom Funkfeuer F sich das Schiff im Punkt B
befand!
b) Berechnen Sie die kürzeste Entfernung DF , in der das Schiff am Funkfeuer
vorbeigefahren ist!
3.
a) Durch die Gleichung y = x2 – 2x – 4 ( x ∈ P ) ist eine Funktion gegeben.
- Berechnen Sie deren Nullstellen (rationale Näherungswerte)!
- Der Graph dieser Funktion ist eine Parabel. Ermitteln Sie die Koordinaten ihres
Scheitelpunktes!
- Zeichnen Sie den Graph dieser Funktion!
b) Durch die Gleichung y = – x ( x ∈ P ) ist eine weitere Funktion gegeben.
Zeichnen Sie den Graph dieser Funktion in dasselbe Koordinatensystem!
c) Die Graphen der beiden Funktionen schneiden einander in den Punkten P1 und P2
Geben Sie die Koordinaten dieser beiden Punkte an!
4.
a) n sei eine beliebige natürliche Zahl.
Geben Sie mit Hilfe von n die nächsten beiden auf n folgenden natürlichen Zahlen an!
b) Beweisen Sie folgenden Satz!
Die Summe von drei aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen ist stets durch 3 teilbar.
5.
Für die Modernisierung und Werterhaltung von Wohnungen werden Vollziegel und
Hohlziegel verwendet.
a) Ein quaderförmiger Vollziegel hat folgende Abmessungen: Länge l = 24,0 cm; Breite b =
11,5 cm; Höhe h = 7,1 cm. Die Dichte des Materials beträgt ρ = 1,80 g/cm3.
Berechnen Sie die Masse eines Vollziegels, und geben Sie diese in Kilogramm an!
b) Die Masse eines Hohlziegels beträgt 2,3 kg.
Wieviel Prozent der Masse eines Vollziegels beträgt die Masse eines Hohlziegels?
c) Ein Lastkraftwagen kann mit 2500 Vollziegeln beladen werden. Wieviel Hohlziegel kann
dieser LKW statt dessen laden, wenn die gleiche Masse transportiert werden soll?
6.
2
3
und b = . Berechnen Sie a + b und a : b!
5
7
Für die Elemente x der Menge M
gilt: 15 < x < 20 ( x ∈ N ).
Geben Sie eine Teilmenge M1 von
M an, deren Elemente Primzahlen
sind!
Zeichnen Sie einen beliebigen
Winkel α (0°< α <180°)!
Konstruieren Sie die
Figur A
Figur B
Winkelhalbierende dieses Winkels
(mit Zirkel und Lineal)!
Welche der gegebenen Figuren A,
B, C sind Parallelogramme?
a) Es seien a =
b)
c)
d)
e)
Figur C
Von den folgenden Wahlaufgaben 7.1, 7.2 und 7.3 brauchen Sie nur e i n e zu lösen.
K
I
7.1
Die nebenstehende Abbildung zeigt ein
G
Werkstück in Kavalierperspektive. Die
H
Maße des Werkstückes sind:
AB = 11,0 cm;
F
AG = 6,0 cm;
BE = 2,0 cm;
D
C
E
GH = 8,0 cm;
AD = 6,0 cm.
A
B
(Abb. nicht maßgerecht)
a) Stellen Sie dieses Werkstück in senkrechter Zweitafelprojektion im Maßstab 1 : 1 dar!
Bezeichnen Sie alle Eckpunkte entsprechend der Abbildung!
b) Berechnen Sie die Länge der Kante EH !
c) Berechnen Sie den Umfang des Fünfecks ABEHG!
d) Berechnen Sie den Flächeninhalt dieses Fünfecks!
7.2
In einem Kreis sind AB und AD zwei Durchmesser, die
aufeinander senkrecht stehen (siehe nebenstehende
Abbildung).
a) Begründen Sie, warum das Dreieck ABE rechtwinklig ist!
b) Im Viereck MBEF sei der Winkel EBM = 70°. Berechnen A
Sie die Größe des Winkels MFE!
c) Beweisen Sie, daß die Dreiecke ABE und AMP einander
ähnlich sind!
Abbildung nicht maßgerecht
D
E
F
M
C
B
7.3
Die untenstehenden Abbildungen zeigen vereinfachte Darstellungen eines Kurbelgetriebes. P
bewegt sich auf dem Kreis um M mit MP = r (r konstant), und K bewegt sich auf der Geraden g (l konstant). Es seien MP = r = 2,5 cm und KP = l = 6,5 cm.
P
P
r
r
M
a)
b)
c)
K
α
M
l
g
a
K
Zeichnen Sie das Dreieck MKP mit dem Winkel KMP = α = 90° und berechnen Sie
hierfür die Länge der Strecke MK = a1 !
Berechnen Sie die Länge der Strecke MK = a2 für den Winkel KMP = α2 = 180°!
Berechnen Sie die Größe des Winkels KMP = α3 (0° < x3 < 180°) für MK = a3 = 4,8
cm!
Schriftliche Abschlußprüfung Klasse 10 (DDR)
1979
1.
In der DDR wurden im ersten Halbjahr 1978 insgesamt 76 000 Wohnungen neu gebaut bzw.
modernisiert. Von diesen fertiggestellten Wohnungen sind 48 900 Neubauwohnungen.
a) Wieviel Prozent der insgesamt fertiggestellten Wohnungen sind
- Neubauwohnungen,
- modernisierte Wohnungen?
b) 12,5 % der Neubauwohnungen wurden als Eigenheime errichtet. Berechnen Sie, wieviel
Wohnungen das sind!
2.
Von einem Dreieck ABC sind gegeben: AB = c = 8,5 cm; AC = b = 7,2 cm, Winkel BAC =
α = 48°.
a) Konstruieren Sie dieses Dreieck!
b) Berechnen Sie die Länge der Seite BC = a!
c) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks ABC!
3.
a) Zeichnen Sie in ein rechtwinkliges Koordinatensystem den Graph der Funktion
y = f (x) = sin x ( x ∈ P ) im Intervall 0 < x < 2π !
b) Skizzieren Sie in dasselbe Koordinatensystem den Graph der Funktion
y = g(x) = 3 · sin 2x ( x ∈ P ) mindestens im Intervall 0 < x < π!
c) Geben Sie den Wertebereich der Funktion y = g(x) an!
d) Geben Sie die kleinste Periode der Funktion y = g(x) an!
7,0
S
H
G
F
E
4,5
A
B
8,0
(nicht maßstäblich, Maßangaben in cm)
5.
Die nebenstehende Abbildung zeigt zwei
Kreise mit den Mittelpunkten M1 und M2, die
einander in den Punkten A und B schneiden.
a) Beweisen Sie unter Benutzung eines
Kongruenzsatzes, daß die Dreiecke
M1AM2 und M1BM2 einander kongruent
sind!
b) Was folgt aus der Kongruenz der Dreiecke
M1AM2 und M1 BM2 für die Winkel
M2AM1 und M1BM2?
C
D
2,0
4.
Ein Körper ist aus einem Quader und einer
geraden Pyramide zusammengesetzt (siehe
nebenstehende Abbildung).
a) Berechnen Sie das Volumen dieses
zusammengesetzten Körpers!
b) Stellen Sie diesen Körper in senkrechter
Zweitafelprojektion im Maßstab 1 : 1 dar!
Bezeichnen Sie alle Eckpunkte
entsprechend der Abbildung!
B
M1
M2
A
6.
a) Ordnen Sie die Zahlen 2 ; 1,4 ; 1, 4 der Größe nach! Beginnen Sie mit der kleinsten
Zahl!
b) Lösen Sie die Gleichung x2 – 14x + 45 = 0!
c) Gegeben ist der Term 4ab – 8ac. Berechnen Sie den Wert dieses Terms für a =2,5; b =
3,0; c = 1,5!
Von den folgenden Wahlaufgaben 7.1, 7.2 und 7.3 brauchen Sie nur e i n e zu lösen.
7.1
Ein künstlicher Erdsatellit S führt eine Spezialkamera mit. Damit soll der von S aus sichtbare
Teil der Erdoberfläche mit einer Aufnahme erfaßt werden (siehe Abbildung). Erdradius
r = 6370 km; Flughöhe h = 320 km.
a) Berechnen Sie die Länge der Strecke
MS !
b) Berechnen Sie im rechtwinkligen Dreieck
MSQ die Größe des Winkels QSM = γ !
Geben Sie die Größe des
Aufnahmewinkels 2γ an!
c) Die Länge des zum Winkel α gehörenden
Kreisbogens b = PQ gibt die Entfernung
zwischen den Punkten P und Q auf der
Erdoberfläche an. Berechnen Sie diese
Entfernung!
S
γ
h
Q
P
r
r
α
M
nicht maßstäblich
7.2
Gegeben sind die Ungleichungen
3(5 x − 8)
(1)
< 5x − 2 ( x ∈ P )
(2) 15x – 3 < 14 + n ( n, x ∈ P )
2
a) Lösen Sie die Ungleichung (1)! Geben Sie diejenigen Elemente der Lösungsmenge an, die
natürliche Zahlen sind!
b) Formen Sie die Ungleichung (2) nach x um!
c) Bestimmen Sie n so, daß die Ungleichung (2) die gleiche Lösungsmenge wie die
Ungleichung (1) hat!
(Proben werden nicht verlangt.)
7.3
a) Zeichnen Sie in ein rechtwinkliges: Koordinatensystem mit dem Koordinatenursprung 0
die Gerade g1 mit der Gleichung y = x!
b) Tragen Sie in dasselbe Koordinatensystem die Punkte A(2;2) und B(0;-2) ein, und
zeichnen Sie die Gerade g2, die durch diese Punkte verläuft!
c) Geben Sie für die Gerade g2 die Gleichung der zugehörigen Funktion an!
d) Zeichnen Sie die Gerade g3 die durch den Punkt C(0;-6) geht und parallel zu g2 verläuft!
e) Wie groß ist der Streckungsfaktor k bei einer zentrischen Streckung mit dem
Streckungszentrum 0, wenn OC die Bildstrecke von OB ist?
Schriftliche Abschlußprüfung Klasse 10 (DDR)
1980
1.
In der sowjetischen Weltraumstation Salut 6 arbeiteten bisher drei Stammbesatzungen, die
jeweils Weltrekorde im Langzeitflug aufstellten. Der Flug der ersten Stammbesatzung dauerte
96 Tage. Der Flug der zweiten Stammbesatzung, mit der auch unser Kosmonaut Sigmund
Jähn zusammenarbeitete, dauerte 140 Tage.
a) Um wieviel Prozent überbot die zweite Stammbesatzung die Flugzeit der ersten?
b) Nach internationaler Festlegung muß die Dauer eines Weltraumfluges mindestens 10 %
über der bisherigen Rekordzeit liegen, um als neuer Weltrekord anerkannt zu werden.
Nach wieviel Tagen ihres Fluges hatte die dritte Stammbesatzung diese Bedingung
erfüllt?
2.
Zwei Straßen schneiden einander im Punkt A. Durch Punkt B auf der einen Straße wird eine
Rohrleitung gelegt, welche die andere Straße im Punkt C schneidet (siehe nebenstehende
Abbildung). Bei der Vermessung wurden folgende Werte ermittelt: AB = c = 4,7 km; Winkel
BAC = α = 35°; Winkel CBA = β = 85°.
a) Konstruieren Sie das Dreieck ABC in einem geeigneten
C
γ
Maßstab!
b) Berechnen Sie die Größe des Winkels ACB = γ!
a
b
c) Berechnen Sie die Länge a des Abschnitts BC der
Rohrleitung!
β
α
d) Um einen Näherungswert aN für die Länge des Abschnitts
c
A
B
BC zu erhalten, wurde für den Winkel CBA = β der
Näherungswert 90° verwendet. Die Werte für AB = c und
nicht maßstäblich
Winkle BAC = α blieben unverändert. Berechnen Sie den
Näherungswert aN. Geben Sie den absoluten Fehler aN – a
an!
3.
Gegeben ist das Gleichungssystem
(1) y = – x + 5
(2) 3y = 4x – 6.
a) Lösen Sie dieses Gleichungssystem rechnerisch!
b) Betrachten Sie jede Gleichung des Systems als Gleichung einer linearen Funktion! Stellen
Sie die beiden Funktionen in ein und demselben Koordinatensystem graphisch dar!
c) Bezeichnen Sie den Schnittpunkt beider Graphen mit S! Geben Sie die Koordinaten von S
an, und vergleichen Sie mit dem Ergebnis von a)!
40
40
60
20
4.
Die nebenstehende Abbildung zeigt
ein quaderförmiges Werkstück mit
zwei durchgehenden
zylinderförmigen Bohrungen.
a) Berechnen Sie das Volumen des
Werkstücks, und geben Sie es in
Kubikzentimetern an!
b) Das Werkstück besteht aus Stahl
(ρ = 7,8 g/cm3). Berechnen Sie
seine Masse!
120
nicht maßstäblich, alle Maßangaben in mm
5.
a) Für alle natürlichen Zahlen gilt folgende Aussage:
"Wenn die kleinste von fünf aufeinanderfolgenden Zahlen gerade ist, so ist deren Summe
durch 10 teilbar."
Geben Sie mit Hilfe von Variablen fünf derartige Zahlen an! Beweisen Sie, daß die
obenstehende Aussage wahr ist!
b) Zeigen Sie, daß folgende Aussage falsch ist:
"Die Summe von fünf aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen ist immer durch 10
teilbar."
6.
a) Gegeben ist die Ungleichung 3x < 9,6 ( x ∈ P ).
- Lösen Sie diese Ungleichung!
- Geben Sie alle ungeraden natürlichen Zahlen an, die diese Ungleichung erfüllen!
b) Zeichnen Sie eine beliebige Strecke CD , und konstruieren Sie mit Zirkel und Lineal die
Mittelsenkrechte dieser Strecke!
c) Gegeben ist cos x = 0,6782 (0° < x < 360°).
d) Geben Sie alle Lösungen im vorgegebenen Intervall an!
1,2 ⋅107 ⋅ 4,5 ⋅10 −2
e) Berechnen Sie x! x =
3,6 ⋅103
Von den folgenden Wahlaufgaben 7.1, 7.2 und 7.3 brauchen Sie nur e i n e zu lösen.
7.1
a) Durch y = x2 – 2 ( x ∈ P ) ist eine Funktion gegeben. Zeichnen Sie den Graph der
Funktion in ein rechtwinkliges Koordinatensystem mindestens im Intervall – 3 < x < +3!
- Geben Sie die Koordinaten des Scheitelpunktes S dieses Graphen an!
- Geben Sie den Wertebereich dieser Funktion an!
1
b) Durch die Gleichung y = x 2 ( x ∈ P ) ist eine weitere Funktion gegeben.
2
- Zeichnen Sie den Graph dieser Funktion in dasselbe Koordinatensystem mindestens im
Intervall – 3 < x < +3!
- Berechnen Sie alle Werte x dieser Funktion, für die der Funktionswert y = 4,5 ist!
c) Die Graphen beider Funktionen schneiden einander in zwei Punkten. Geben Sie die
Koordinaten des Schnittpunktes an, der im II. Quadranten liegt!
7.2
Ein Dreieck PQR soll zentrisch gestreckt werden.
a) Zeichnen Sie in ein Koordinatensystem auf Millimeterpapier (Koordinateneinheit: 1 cm)
das Dreieck PQR mit P(2;1), Q(5;1) und R(2;3)!
b) Zeichnen Sie das Dreieck P'Q'R', das bei der zentrischen Streckung des Dreiecks PQR mit
dem Streckungszentrum Z(0;0) und dem Streckungsfaktor k = 2 entsteht!
c) Berechnen Sie den Flächeninhalt A des Dreiecks PQR!
d) Es sei A' der Flächeninhalt des Dreiecks P'Q'R'. Geben Sie das Verhältnis A' : A an!
7.3
Gegeben ist ein Quader, der von einer Ebene in den
Punkten P, Q, R, S geschnitten wird (siehe
nebenstehende Abbildung).
AB = BC = 6,0 cm; AE = 7.0 cm;
AP = DQ = 5,0 cm; ES = HR = 2,0 cm.
a) Stellen Sie den Quader einschließlich der
Schnittfigur in senkrechter Zweitafelprojektion
(auf unliniiertem Papier) dar!
b) Konstruieren Sie die Schnittfigur in wahrer Größe
und Gestalt!
c) Berechnen Sie die Länge der Strecke PS !
R
H
G
S
E
F
Q
D
A
P
nicht maßstäblich
B
C
Schriftliche Abschlußprüfung Klasse 10 (DDR)
1981
1.
Im Jahr 1975 standen in der DDR 715 000 Hortplätze zur Verfügung; 1980 waren es 760 000
Hortplätze.
a) Wieviel Hortplätze gab es im Jahr 1980 mehr als im Jahr 1975?
b) Berechnen Sie, um wieviel Prozent die Anzahl der Hortplätze gegenüber 1975 erhöht
wurde!
c) Stellen Sie die Anzahl der Hortplätze im Jahr 1975 und die der Hortplätze im Jahr 1980 in
einem Diagramm dar!
2.
Lösen Sie das folgende Gleichungssystem!
(1) 2x + y = 10 ( x, y ∈ P )
(2) 6x + 2y = 34 (Führen Sie eine Probe durch!)
3.
Von einer Radarstation R in Rostock-Warnemünde wurden zwei Schiffe A und B geortet
(siehe nebenstehende Abbildung). Dabei wurden ermittelt:
RA = 9,5 sm; RB = 11,5 sm; Winkel ARE = 26,0°.
B
a) Ermitteln Sie zeichnerisch die Entfernung
AB der Schiffe voneinander! Geben Sie
diese Entfernung unter Verwendung der
Einheit "Seemeile" an!
b) Ermitteln Sie AB auch rechnerisch!
c) Rechnen Sie diese Entfernung in
R
A
Kilometer um (1 sm = 1,852 km)!
nicht maßstäblich
4.
Durch die Gleichung y = x2 – 8x + 12 ( x ∈ P ) ist eine Funktion gegeben.
a) Berechnen Sie die Nullstellen dieser Funktion!
b) Der Graph dieser Funktion ist eine Parabel! Ermitteln Sie die Koordinaten ihres
Scheitelpunktes!
c) Zeichnen Sie diese Parabel mindestens im Intervall 1 < x < 7!
5.
Gegeben ist ein gleichschenkliges Dreieck ABC mit der Basis AB . Der Mittelpunkt des
Schenkels BC sei D, der Mittelpunkt des Schenkels AC sei E.
a) Fertigen Sie hierzu eine Skizze an, und verbinden Sie A mit D und B mit E!
b) Beweisen Sie, daß die Dreiecke ABD und BAE zueinander kongruent sind!
6.
a) Ermitteln Sie den Umfang und den Flächeninhalt eines Kreises mit dem Durchmesser
d = 5,35m!
y
b)
1
Gegeben ist die Gleichung 10 x =
( x∈P )
3
1000
Ermitteln Sie x!
2
c) In der nebenstehenden Abbildung ist eine Funktion
1
mit der Gleichung y = a sin bx ( a, b ∈ P ) im
Intervall 2 < x < 2π dargestellt. Geben Sie für diese
0 1
π
2π x
Funktion a und b an!
d) Formen Sie die folgende Gleichung nach h um!
1
V = πr 2 h (r ≠ 0)
3
Von den folgenden Wahlaufgaben 7.1, 7.2 und 7.3 brauchen Sie nur e i n e zu lösen.
7.1
In einem VEB ist ein Bauteil in großer Stückzahl zu bearbeiten.
a) Für 200 dieser Bauteile entstehen Kosten von 2600 Mark. Berechnen Sie daraus die
Kosten für die Bearbeitung eines solchen Teiles!
b) Ein Neuerervorschlag sieht den Einbau einer Vorrichtung vor. Dadurch können die
Kosten für die Bearbeitung eines Teiles auf 9,00 Mark gesenkt werden. Es entstehen aber
einmalige Kosten von 250,00 M für den Einbau der Vorrichtung.
- Wieviel Mark werden bei der Bearbeitung eines Teiles eingespart, wenn die
Vorrichtung eingebaut ist?
- Berechnen Sie die Gesamtkosten für den Einbau der Vorrichtung von 200 solcher Teile
nach dem Neuerervorschlag!
c) Berechnen Sie, um wieviel Prozent die Gesamtkosten für den Einbau der Vorrichtung und
die Bearbeitung von 200 solcher Teile geringer sind als die Kosten im Fall a)!
d) Wieviel Teile müssen mindestens bearbeitet werden, damit die erzielte Einsparung größer
ist als die einmaligen Kosten für den Einbau der Vorrichtung?
7.2
P
In bergigem Gelände wird eine Straße von A
nach E projektiert. Sie soll gleichmäßig
E
ansteigen. (Die nebenstehende Abbildung
D
zeigt einen Geländeschnitt.) Bekannt sind:
AC = 180 m; CE = 20 m;
α
AB = 162 m; BP = 21 m.
A
B
C
a) Berechnen Sie die Länge der Strecke
nicht maßstäblich
BD !
b) Wieviel Meter liegt der Punkt D der projektierten Straße unter dem Geländepunkt P?
c) Berechnen Sie die Größe des Anstiegswinkels α!
d) Die Steigung einer Straße ist das Verhältnis von Höhenunterschied h zur zugehörigen
Straßenlänge 1. Sie wird gewöhnlich in Prozent angegeben und nach der Formel s = v ·
100 % berechnet. Berechnen Sie die Steigung s dieser Straße!
Zeichnung nicht maßstäblich,
alle Maßangaben in Metern
3,00
4,80
6,00
2,40
7.3
In der nebenstehenden Abbildung ist ein Betonkörper,
der die Form eines vierseitigen Prismas hat, in Grundund Aufriß dargestellt.
a) Stellen Sie dieses Prisma in Kavalierperspektive im
Maßstab 1 : 100 dar!
b) Die Vorderansicht des Betonkörpers ist ein Trapez.
Berechnen Sie dessen Flächeninhalt!
c) Berechnen Sie das Volumen des Betonkörpers!
Schriftliche Abschlußprüfung Klasse 10 (DDR)
1982
1.
Ein LKW hat einen Normverbrauch von 25,0 l Kraftstoff auf 100 km.
a) Berechnen Sie daraus den Kraftstoffverbrauch für eine monatliche Fahrstrecke von 8000
km!
b) Durch eine kraftstoffsparende Fahrweise werden je 100 km durchschnittlich nur 23,8 l
Kraftstoff verbraucht. Wieviel Liter Kraftstoff werden je 100 km eingespart?
c) Wieviel Prozent Kraftstoff werden auf diese Weise eingespart?
d) Wieviel Liter Kraftstoff können dadurch bei der monatlichen Fahrstrecke von 8000 km
eingespart werden?
2.
1
x − 3 ( x ∈ P ).
2
Zeichnen Sie den Graph dieser Funktion, und bezeichnen Sie ihn mit g1!
Berechnen Sie die Nullstelle dieser Funktion!
Zeichnen Sie die Gerade g2, die durch den Punkt P(0;2) geht und parallel zu g1 verläuft!
Die Gerade g2 schneidet die x-Achse im Punkt Q. Geben Sie dis Koordinaten von Q an!
Geben Sie die Gleichung der durch g2 dargestellten Funktion an!
Eine Funktion ist gegeben durch y =
a)
b)
c)
d)
e)
3.
Von einem Dreieck ABC sind gegeben:
AB = c = 8,7 cm; AC = b = 9,6 cm; BC = a = 7,1 cm.
a) Konstruieren Sie dieses Dreieck! Messen Sie die Größe des Winkels ACB = γ, und geben
Sie diesen Meßwert an!
b) Berechnen Sie die Größe des Winkels γ!
c) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks ABC!
4.
Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck ABC mit dem Winkel BAC = γ = 90°.
a) Zeichnen Sie ein solches Dreieck! Zeichnen Sie in dieses Dreieck die Höhe h ein!
Bezeichnen Sie den Fußpunkt der Höhe mit D!
b) Beweisen Sie, daß die Dreiecke ABC und ABD einander ähnlich sind!
5.
Gegeben ist ein gerades Prisma ABCDEF (siehe
nebenstehende Abbildung).
AB = DC = 6,2 cm; AD = BC = EF = 8,5 cm;
Winkel BAE = Winkel EBA = 56°.
a) Stellen Sie das Prisma in senkrechter
Zweitafelprojektion dar! Bezeichnen Sie alle
Eckpunkte entsprechend der Skizze!
b) Konstruieren Sie die Fläche BCFE in wahrer
Größe und Gestalt!
F
E
D
A
C
B
nicht maßstäblich
6.
a)
Vereinfachen Sie den folgenden Term soweit wie
möglich!
5a – (3a – 2b) + 2(4b – 5a) – 10b
b)
30a
Gegeben ist der Term
b−2
- Berechnen Sie den Wert des Terms für a = 4 und b = 7!
- Geben Sie denjenigen Wert von b an, für den der Term
nicht definiert ist!
c) Geben Sie alle Lösungen der Gleichung x2 – 6x = 0 an!
d) Die nebenstehende Abbildung zeigt die Winkel γ und δ .
Geben Sie die Größe von δ an, wenn γ = 38° ist!
γ
δ
M
A
B
nicht maßstäblich
Von den folgenden Wahlaufgaben 7.1, 7.2 und 7.3 brauchen Sie nur e i n e zu lösen.
7.1
Auf einer Baustelle ist ein Kieshaufen in Form eines
h
α
geraden Kreiskegels aufgeschüttet worden. Er ist 4,0
m hoch und hat einen Schüttwinkel α = 30º. Die
r
nebenstehende Abbildung zeigt den Achsenschnitt
nicht maßstäblich
eines solchen Kegels.
a) Berechnen Sie den Radius r der Grundfläche dieses Kegels
b) Berechnen Sie das Volumen dieses Kegels!
c) Berechnen Sie die Masse des aufgeschütteten Kieses! (ρ= 2,2 t/m3)
d) Ein zweiter kegelförmiger Kieshaufen habe den gleichen Schüttwinkel, sei aber doppelt
so hoch wie der erste. In welchem Verhältnis stehen
- die Radien,
- die Volumen dieser beiden Kegel?
7.2
Während der Getreideernte wird neben dem Mähdrescher
E 512 immer häufiger der leistungsfähigere Typ E 516 eingesetzt. In der ersten Schicht
ernteten 9 Mähdrescher vom Typ E 512 und 3 vom Typ E 516 zusammen eine Fläche von
180 ha ab. In der zweiten Schicht ernteten 6 Mähdrescher vom Typ E 512 und 5 vom Typ E
516 unter sonst gleichen Bedingungen zusammen 192 ha ab.
a) Berechnen Sie die Größe der Fläche, die von einem E 512 und die Größe der Fläche, die
von einem E 516 unter diesen Bedingungen in einer Schicht abgeerntet wurde! (Probe!)
b) Wieviel Hektar könnte ein Mähdrescher E 516 in einer Schicht von 8 Stunden abernten,
wenn er ohne Unterbrechung mit einer durchschnittlichen Arbeitsgeschwindigkeit von 7,0
km/h fahren und seine volle Arbeitsbreite von 6,60 m ausnutzen würde?
7.3
Die untenstehende Abbildung zeigt das Konstruktionsschema eines Dachbinders.
AB = BC = CD = 2,40 m; DH = 3,00 m.
a) Berechnen Sie die Längen der Strecken
BE und CF !
F
b) Berechnen Sie die Länge der Strecke AH .
E
α2
c) Berechnen Sie die Größe des Winkels α1!
d) Begründen Sie, daß das Dreieck ACE
α1
A
B
C
gleichschenklig ist!
(nicht
maßstäblich)
Begründen Sie, daß α2 = 2 α1, ist!
H
D
Schriftliche Abschlußprüfung Klasse 10 (DDR)
1983
1.
a) Im Jahre 1980 wurden in der DDR 98,8 Mrd. kWh Elektroenergie erzeugt. 1985 sollen
13,0 % mehr Elektroenergie erzeugt werden als 1980. Berechnen Sie diese Steigerung!
(Angabe in Mrd. kWh) Wieviel Elektroenergie soll 1985 insgesamt erzeugt werden?
b) 1980 wurden von den insgesamt erzeugten 98,8 Mrd. kWh Elektroenergie 77,2 Mrd. kWh
aus Rohbraunkohle gewonnen. Wieviel Prozent der Elektroenergie wurden aus
Rohbraunkohle erzeugt?
Stellen Sie diesen Anteil in einem Kreisdiagramm dar! (Schraffieren Sie den
entsprechenden Sektor!)
2.
Gegeben ist die Ungleichung 15 – 3x > 5(x – 1) ( x ∈ P ).
a) Lösen Sie diese Ungleichung! (Probe wird nicht verlangt.)
27
b) Geben Sie von den Zahlen – 4 ; 2,5 ;
; 0,05 diejenigen an, die diese Ungleichung
10
erfüllen!
c) Die Ungleichung hat die Lösungsmenge L, die Menge der natürlichen Zahlen sei N.
Geben Sie alle Elemente des Durchschnitts der Mengen L und N an!
3.
C
Eine Pionierkompanie der NVA erhielt den
Befehl, über einen Fluß einen Übergang vom
Punkt D zum Punkt C zu schaffen (siehe
nebenstehende Abbildung). Durch Messung
wurden ermittelt:
D
AB = c = 85 m
α
β
Winkel CAB = α = 106°
B
A
Winkel ABC = β = 28°
nicht maßstäblich
AD = d = 12m
a) Konstruieren Sie das Dreieck ABC in einem geeigneten Maßstab! Tragen Sie den Punkt
D ein, und ermitteln Sie die Länge des Flußüberganges DC mit Hilfe der Konstruktion!
b) Berechnen Sie die Größe des Winkels BCA = γ!
c) Berechnen Sie die Länge der Strecke AG = b! Berechnen Sie die Länge des
Flußüberganges DC !
4.
9
( x ∈ P ) ist eine Funktion gegeben.
4
a) Vervollständigen Sie die zu dieser Funktion gehörende Wertetabelle!
x
0
5
y
Durch die Gleichung y = x 2 - 5x +
b) Berechnen Sie die Nullstellen dieser Funktion!
c) Der Graph dieser Funktion ist eine Parabel. Ermitteln Sie die Koordinaten ihres
Scheitelpunktes!
d) Zeichnen Sie diese Parabel mindestens im Intervall 0 < x < 5!
5.
Vermindert man das Quadrat einer ungeraden natürlichen Zahl um 1, so ist diese Differenz
stets durch 4 teilbar.
a) Wählen Sie eine ungerade Zahl, und zeigen Sie, daß die Aussage für diese Zahl gültig ist!
b) Geben Sie unter Verwendung der Variablen n ( x ∈ N ) eine allgemeine Darstellung einer
ungeraden natürlichen Zahl an!
c) Beweisen Sie, daß obenstehende Aussage für jede ungerade natürliche Zahl gültig ist!
6.
a) Berechnen Sie 1,44 ⋅10 4
b) Ermitteln Sie sin 118° und cos 118°!
c) Welche der Winkel α, β, γ und δ (siehe Abbildung unten links) bilden ein Paar von
Wechselwinkeln? Geben Sie eine Bedingung dafür an, daß Wechselwinkel kongruent
zueinander sind!
h
g
α
D
C
β
Z
γ
δ
f
AC||BD
A
B
nicht maßstäblich
d) Gegeben sind: ZA = 3 cm; ZB = 12 cm; ZC = 5 cm. Berechnen Sie die Länge von ZD !
(siehe Abbildung oben rechts)
Von den folgenden Wahlaufgaben 7.1, 7.2 und 7.3 brauchen Sie nur e i n e zu lösen.
7.1
Eine Feldbaubrigade erntete mit 6 Kartoffelvollerntemaschinen gleichen Typs in 40 Stunden
ein 48 ha großes Feld ab.
a) Insgesamt wurden dabei 9600 dt Kartoffeln geerntet. Berechnen Sie den Ertrag pro
Hektar!
b) Berechnen Sie die Größe der Fläche, die von einer Maschine in einer Stunde abgeerntet
wurde!
c) Welche Zeit hätte man beim Einsatz von 8 solcher Maschinen gebraucht?
d) In welcher Gesamtzeit hätte dieses Feld abgeerntet werden können, wenn man nach einem
15stündigen Einsatz dieser 8 Maschinen noch 2 solcher Maschinen zusätzlich eingesetzt
hätte?
7.2
Ein gerader Kreiszylinder mit der Höhe h und dem Durchmesser d stehe auf seiner
Grundfläche. Auf seiner Deckfläche sei eine Halbkugel mit dem gleichen Durchmesser
aufgesetzt.
a) Zeichnen Sie den Aufriß eines solchen zusammengesetzten Körpers für d = h = 4,4
cm!
b) Berechnen Sie das Volumen dieses Körpers für d = h = 4,4 cm!
c) Bei einem anderen so zusammengesetzten Körper soll das Volumen des Zylinders
genau so groß wie das der Halbkugel sein. Berechnen Sie die Höhe dieses Zylinders
für d = 4,4 cm!
7.3
Von einem Punkt P, der außerhalb eines Kreises um
den Punkt M liegt, sind die Tangenten an diesen Kreis
gezeichnet. Sie berühren den Kreis in den Punkten B1
bzw. B2 (siehe nebenstehende Abbildung)
MB1 = MB2 = r = 4,0 cm
Winkel B2PB1 = 2α = 50°
B1
M
α
α
B2
P
a) Berechnen Sie die Länge der Strecke PM =e!
nicht maßstäblich
b) Berechnen Sie die Länge des Tangentenabschnitts PB = t!
1
c) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Vierecks PB1MB2!
d) Die Verlängerung von PM über M hinaus schneide den Kreis im Punkt Q. Berechnen
Sie die Größe des Winkels B1QB2!
Schriftliche Abschlußprüfung Klasse 10 (DDR)
1984
1.
In einem Maschinenbaubetrieb wird ein Schweißroboter eingesetzt.
a) Die bisherige Tagesproduktion von 425 Teilen konnte dadurch um 84,0 % gesteigert
werden.
Wieviel Teile werden nun täglich gefertigt?
b) Die Herstellungskosten je Stück sanken dadurch von ursprünglich 8,60 M auf 6,90 M.
Auf wieviel Prozent wurden die Herstellungskosten gesenkt?
2.
Lösen Sie folgende Gleichung! (Probe!) 3(5x + 3) = 3x – (6x - 18) ( x ∈ P )
3.
a) Durch die Gleichung y = x3 ( x ∈ P ) ist eine Funktion gegeben. Zeichnen Sie den Graph
dieser Funktion in ein rechtwinkliges Koordinatensystem!
1
b) Durch die Gleichung y =
( x ∈ P , x ≠ 0) ist eine weitere Funktion gegeben.
x
Übertragen Sie die zu dieser Funktion gehörende Tabelle auf Ihr Arbeitsblatt, und
vervollständigen Sie die Tabelle!
1
x
–4 –3 –2 −
4
2
y
–2
4
2
1
Zeichnen Sie den Graph dieser Funktion in dasselbe Koordinatensystem!
c) Die Graphen der beiden Funktionen schneiden einander in den Punkten P1 und P2. Geben
Sie von jenem der beiden Punkte die Koordinaten an!
4.
Ein Schwimmkran hat die Auflagebreite
AB = 31 m. Sein schwenkbarer Ausleger hat
die Länge BC = 24 m.(siehe nebenstehende
stark vereinfachte Abbildung).
Berechnen Sie für den Neigungswinkel
LBC = δ = 60°
a) Die Arbeitsweite BL ,
b) Die Länge AC des Spannseiles!
C
A
B
δ
L
nicht maßstäblich
5.
Gegeben sei ein Kreis mit einer Sehne AB , die nicht durch den Mittelpunkt des Kreises verläuft. Ferner seien AC und BD Durchmesser des Kreises.
a) Zeichnen Sie eine entsprechende Planfigur, und tragen Sie die Strecken AD und BC ein!
b) Bestimmen Sie die Größe des Winkels BAD und die des Winkels CBA unter Verwendung
eines geeigneten Satzes! Welchen Satz haben Sie benutzt?
c) Beweisen Sie, daß die Dreiecke ABC und ABD zueinander kongruent sind!
C
6.
a)
Für ein Dreieck ABC mit AC = BC (siehe nebenstehende
Abbildung) sei α = 50º. Geben Sie die Größe von γ an!
b) Ermitteln Sie das Volumen eines Würfels mit der Kantenlänge
a = 3,35 m!
γ
α
A
nicht maßstäblich
c) Berechnen Sie (3x + 5y) !
d) Durch die Gleichung y = 2x – 4 ( x ∈ P ) ist eine Funktion
gegeben. Zeichnen Sie den Graph dieser Funktion! Berechnen
Sie deren Nullstelle!
e) Nebenstehende Abbildung zeigt den Graph einer quadratischen
Funktion! Geben Sie deren Gleichung an!
B
y
1
-1 0
-1
x
1
Von den folgenden Wahlaufgaben 7.1, 7.2 und 7.3 brauchen Sie nur e i n e zu lösen.
7.1
a) Durch die Gleichung y = 3 · sin 2x ist eine Winkelfunktion gegeben.
Skizzieren Sie den Graph dieser Funktion mindestens im Intervall 0 < x < 2π!
b) Von einer Funktion y = a · sin bx (a,b > 0; x ∈ P ) sind bekannt:
Wertebereich: –1,5 < y < 1,5; kleinste Periode: 4π . Wie lautet die Gleichung dieser
Funktion?
Geben Sie die Nullstellen dieser Funktion im Intervall 0 < x < 2π an!
c) Zur Beschreibung harmonischer Schwingungsvorgänge wird die Gleichung
 2π 
y = f (t ) = ymax ⋅ sin 
⋅ t  verwendet.
 T 
Skizzieren Sie in einem geeigneten Koordinatensystem den zeitlichen Verlauf einer vollen
Schwingung für den Fall ymax = 6 cm und T = 2 s!
38
x
7.3
Zur Herstellung oben offener quaderförmiger Kästen
stehen gleich große rechteckige Blechplatten mit 62 cm
Länge und 38 cm Breite zur Verfügung. Von ihnen
werden an den Ecken quadratische Flächen mit der
Seitenlänge x cm herausgeschnitten. Der schraffierte
rechteckige Teil wird zur Grundfläche des Kastens (siehe
nebenstehende Abbildung).
x
7.2
Das Dach eines Turmes hat die Form einer geraden Pyramide. Ihre Grundfläche ist ein
Quadrat mit der Seitenlänge a = 4,4 m. Die Höhe h der Pyramide beträgt 6,1 m.
a) Stellen Sie diese Pyramide im Maßstab 1 : 100 in Kavalierperspektive dar!
b) Zeichnen Sie die Höhe h der Pyramide und die Höhe h einer Seitenfläche ein!
c) Das Dach dieses Turmes soll neu gedeckt werden. Für 1 m2 Dachfläche sind 54 Ziegel zu
planen.
d) Berechnen Sie, wieviel Dachziegel insgesamt bereitgestellt werden müssen!
x
x
62
nicht maßstäblich,
alle Maßangaben in cm
a) Es sei x = 2,5. Berechnen Sie für diesen Fall das Volumen des Kastens!
b) Der Inhalt der Grundfläche des Kastens betrage 1 300 cm. Berechnen Sie für diesen Fall
den Wert von x! Berechnen Sie das Volumen dieses Kastens.
Schriftliche Abschlußprüfung Klasse 10 (DDR)
1985
1.
Im Jahre 1975 wurden aus dem Staatshaushalt der DDR für das Bildungswesen
(einschließlich Hoch- und Fachschulen) 8,3 Mrd. Mark ausgegeben.
a) 1980 waren die Ausgaben um 18 % höher als 1975. Berechnen Sie die Ausgaben für
1980!
b) 1983 betrugen die Ausgaben 11,1 Mrd. Mark.
Auf wieviel Prozent stiegen sie gegenüber 1975?
c) Stellen Sie die Ausgaben für 1975, 1980 und 1983 in einem Diagramm dar!
(Beschriftung!)
2.
Gegeben ist das Gleichungssystem
(I)
y
= – 2x + 7
(II)
3y – 6 = 9x
( x, y ∈ P )
a) Lösen Sie dieses Gleichungssystem rechnerisch!
b) Betrachten Sie jede Gleichung des Systems als Gleichung einer linearen Funktion! Stellen
Sie die beiden Funktionen in ein und demselben Koordinatensystem dar!
Geben Sie die Koordinaten des Schnittpunktes S der beiden Graphen an!
3.
Von einem Dreieck ABC sind gegeben:
AB = c = 8,9 cm; AC = b = 6,7 cm; BC = a = 9,7 cm.
a) Konstruieren Sie dieses Dreieck!
b) Messen Sie die Größe des Winkels BAC = α und geben Sie diesen Meßwert an!
c) Berechnen Sie die Größe des Winkels α!
4.
Die nebenstehende Abbildung zeigt ein Werkstück
aus Stahl (ρ = 7,8 g/cm3), das aus einem
quaderförmigen und einem zylinderförmigen Teil
besteht.
a) Berechnen Sie die Masse des Werkstücks!
b) Stellen Sie das Werkstück in senkrechter
Zweitafelprojektion im Maßstab 1:1 dar!
(Benennung der Eckpunkte ist nicht
erforderlich.)
40
30
20
50
50
5.
a) Geben sie unter Verwendung der Variablen n ( n ∈ N ) drei aufeinanderfolgende natürliche
Zahlen an, deren kleinste ungerade ist!
b) Beweisen Sie, daß folgende Aussage wahr ist!
"Wenn die kleinste von drei aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen ungerade ist, so ist
deren Summe durch 6 teilbar."
c) Zeigen Sie, daß die Summe von drei aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen nicht
immer durch 6 teilbar ist!
6.
a)
b)
c)
d)
e)
A
Berechnen Sie 42a2b : (– 7a) (a ≠ 0) !
2
Stellen Sie die Formel AO = 4πr nach r um (r ≠ 0) !
Ermitteln Sie x in der Gleichung 3X = 81!
Lösen Sie die Ungleichung 5x – 3 < 6 ( n ∈ P ) !
(Probe wird nicht verlangt.)
64º
β
Geben Sie alle natürlichen Zahlen an, die diese
B
M
C
nicht maßstäblich
Ungleichung erfüllen!
Ein Dreieck ABC ist einem Halbkreis einbeschrieben (siehe Abbildung oben). Geben Sie
die Größe des Winkels β an!
Von den folgenden Wahlaufgaben 7.1, 7.2 und 7.3 brauchen Sie nur e i n e zu lösen.
7.1
Die Abraumhalde der Schachtanlage "Bernard Koenen" im Mansfelder Bergbaurevier hat
angenähert die Form eines Körpers, der aus einem halben geraden Kreiskegel und einer
Pyramide zusammengesetzt ist (siehe Abbildung unten). Bekannt sind:
AC = d = 310 m; MS = h = 115 m; BS = l = 380 m.
a) Berechnen Sie das Volumen des halben Kreiskegels!
S
b) Berechnen Sie die Länge
der Strecke BM !
C
c) Berechnen Sie das
Volumen der Pyramide!
In wieviel Jahren ist diese
M
Halde entstanden, wenn
B
auf ihr jährlich etwa
300 000 m3 Abraum
A
abgelagert wurden?
nicht maßstäblich
7.2
Beim Bau eines Schornsteins wird zur Ermittlung der
jeweils erreichten Höhe von B aus der Winkel ABD = α
gemessen (siehe nebenstehende Abbildung). Bekannt sind
ferner: BC = a = 78,2 m; Winkel CBA = β = 57,6°.
a) Berechnen Sie die Länge der Strecke AB = c!
b) An einem bestimmten Tag mißt man ε = 84,3°.
Berechnen Sie die zu diesem Zeitpunkt erreichte
Schornsteinhöhe AD = h!
nicht maßstäblich
D
δ
h
B
ε
β
c
a
C
A
50m
140m
7.3
Ein Hubschrauber fliegt mit konstanter Geschwindigkeit auf einer geradlinigen Bahn von A
nach C (siehe nebenstehende Abbildung).
C
a) Berechnen Sie den Anstiegswinkel α dieser
Flugbahn!
b) Von A nach B benötigt der Hubschrauber 7,5 s. Wie
lange braucht er von A nach C?
B
c) Berechnen Sie die Fluggeschwindigkeit des
Hubschraubers auf der Strecke AC ! Geben Sie
diese Geschwindigkeit in Kilometer je Stunde an!
A
nicht maßstäblich
D 170m
Schriftliche Abschlußprüfung Klasse 10 (DDR)
E
1986
1.
In der DDR werden jährlich erhebliche Mittel aus dem Staatshaushalt zur Sicherung stabiler
und niedriger Preise für Waren des Grundbedarfs bereitgestellt.
a) Im Jahre 1982 betrugen die Gesamtausgaben des Staatshaushalts der DDR 182 Milliarden
Mark. Davon wurden 11,7 Milliarden Mark zur Stützung von Lebensmittelpreisen
ausgegeben. Wieviel Prozent der Gesamtausgaben sind das?
b) Für das Jahr 1983 wurde der Betrag von 11,7 Milliarden Mark um 3,4 Prozent erhöht.
c) Wieviel Milliarden Mark wurden 1983 zur Stützung von Lebensmittelpreisen
ausgegeben?
2.
a) Lösen Sie die Ungleichung 2(3x + 5) > 9x – (5 – 2x) ( n ∈ P ) ! (Probe wird nicht
verlangt.)
37
b) Geben Sie von den vier Zahlen –3, 01 ; 0 ; 3 ;
diejenigen an, die diese Ungleichung
10
erfüllen!
3.
Durch die Gleichung y = x2 + 2x – 1,25 ( n ∈ P ) ist eine Funktion gegeben.
a) Berechnen Sie die Nullstellen dieser Funktion!
b) Der Graph dieser Funktion ist eine Parabel. Ihr Scheitelpunkt sei S. Ermitteln Sie
rechnerisch die Koordinaten von S!
c) Zeichnen Sie die Parabel mindestens im Intervall –3 < x < 1!
d) Welche Zahl ist in die Gleichung y = x + 2x + q für q einzusetzen, damit die dadurch
gegebene Funktion genau eine Nullstelle hat?
4.
Um die Höhe CF eines Turmes zu ermitteln, dessen Fußpunkt F unzugänglich ist, kann man
wie folgt vorgehen:
Man steckt eine Standlinie AB so ab, daß A, B und F auf einer Geraden liegen, und mißt die
Erhebungswinkel BAC und FBC (siehe Abbildung unten).
C
Bei einer solchen Messung ermittelte man folgende
Werte: AB = c = 65,0 m; Winkel BAC = α = 35,0 ;
γ
Winkel PBC = β = 62,0°.
a)
Ermitteln Sie mit Hilfe einer maßstäblichen
Konstruktion die Turmhöhe CF = h! (Geben Sie
diese Höhe in Metern an!)
b) Berechnen Sie die Größe des Winkels AGB = γ;
die Länge der Strecke BC = a; die Turmhöhe
CF = h!
h
a
β
α
A
c
δ
B
F
nicht maßstäblich
5.
Gegeben ist ein spitzwinkliges Dreieck ABC mit den Höhen hc = CD und ha = AE .
a) Zeichnen Sie eine entsprechende Planfigur!
b) Beweisen Sie, daß die Dreiecke ABE und DBC einander ähnlich sind!
6.
a) Schreiben Sie die Zahlen 625 000 und 0,074 in der Darstellung mit abgetrennten
Zehnerpotenzen (d. h. in der Form a · 10m mit a ∈ R ; 1 < a < 10; m ∈ G )!
b) Die nebenstehende Abbildung zeigt den
y
Graph einer Funktion mit der Gleichung
3,2
y = a · sin bx im Intervall 0 < x < 4π.
Geben Sie für diese Funktion a und b an!
c) Geben Sie denjenigen Wert von x an, für
0
2π
4π
den der Term
5
nicht definiert ist.
-3,2
3x − 6
x
d) Ein Kreis hat einen Umfang von 17,0 m. Wie groß ist sein Durchmesser?
Von den folgenden Wahlaufgaben 7.1, 7.2 und 7.3 brauchen Sie nur e i n e zu lösen.
7.1
1
Gegeben ist die Funktion y = 2 ( x ∈ P ; x ≠ 0)
x
a) Übertragen Sie die folgende Tabelle auf Ihr Arbeitsblatt! Berechnen Sie die fehlenden
Funktionswerte!
1
1
−
x
–3
–2
–1
1
2
3
2
2
y
7.2
Aus einem zylinderförmigen Rundstahl mit
dem Durchmesser d = 60 mm und der Länge
l = 150 mm soll ein Werkstück hergestellt
werden, das aus einer Halbkugel, einem
Zylinder und einem Kegel besteht (siehe
nebenstehende Abbildung).
Wieviel Prozent beträgt der Materialabfall, der
bei der Herstellung des Werkstücks entsteht?
60
b) Tragen Sie die so erhaltenen Wertepaare in ein rechtwinkliges Koordinatensystem ein,
und zeichnen Sie den Graph dieser Funktion!
1 

c) Zeigen Sie, daß das Zahlenpaar  50 ;  zur Funktion gehört!
50 

d) Geben Sie e i n e n Wert für x an, so daß für den zugehörigen y-Wert gilt: y > 4!
e) Geben Sie a l l e positiven Werte für x an, so daß für die zugehörigen y-Werte gilt:
1
y<
100
30
30
150
nicht maßstäblich, alle Maßangaben in mm
7.3
Bei der Rekonstruktion eines Altbaus wird das Dach erneuert. Die rechteckige Grundfläche
ABCD dieses Daches hat die Abmessungen AB = 16,0 m; BC = 10,0 m. Der Dachfirst EF
ist 6,0 m lang und liegt 5,0 m über der Grundfläche. Gegenüberliegende Seitenflächen des
Daches sind kongruent (siehe Abbildung unten).
a) Stellen Sie dieses Dach in
E
F
senkrechter Zweitafelprojektion im
Maßstab 1 : 200 dar! Bezeichnen Sie
die Eckpunkte entsprechend der
Abbildung!
D
C
b) Konstruieren Sie die wahre Größe
und Gestalt der trapezförmigen
Seitenfläche ABFE ebenfalls im
A
B
Maßstab 1 : 200!
nicht maßstäblich
c) Berechnen Sie die Länge des Dachbalkens BF !
Schriftliche Abschlußprüfung Klasse 10 (DDR)
1987
1.
Im Jahre 1984 wurden im Papierwerk Schwedt 165 000 t Altpapier verarbeitet; 1985 waren es
12 500 t mehr.
a) Auf wieviel Prozent stieg der Einsatz von Altpapier in Schwedt im Jahre 1985 gegenüber
1984?
b) 62,5 t Altpapier liefern ebensoviel Rohstoff für die Papierherstellung wie 500
siebzigjährige Fichten.
c) Wieviel solcher Fichten bleiben allein durch den zusätzlichen Einsatz von 12 500 t
Altpapier erhalten?
2.
1
x + 2 ( x ∈ P ).
2
Zeichnen Sie den Graph dieser Funktion, und bezeichnen Sie ihn mit g1!
Berechnen Sie die Nullstelle dieser Funktion!
Untersuchen Sie, ob das Zahlenpaar (50; 26) zu dieser Funktion gehört!
Zeichnen Sie die Gerade g2, die durch den Punkt A(0; – 3) geht und parallel zu g1
verläuft!
Geben Sie die Gleichung der durch g2 dargestellten Funktion an!
Eine Funktion ist gegeben durch y =
a)
b)
c)
d)
3.
F
Bei einem Wettbewerb überfliegt ein Segelflugzeug P
die Ziellinie AB . Seine Flughöhe DF soll ermittelt
werden. Dazu werden von den Punkten A und B aus die
Entfernungen zum Flugzeug gemessen (siehe
nebenstehende Abbildung).
AB = 1,20 km; AF = 1,30 km; BF = 1,10 km.
a) Ermitteln Sie mit Hilfe einer maßstäblichen
A
D
B
Konstruktion die Flughöhe DF , und geben Sie diese
nicht maßstäblich
Höhe in Kilometern an (empfohlener Maßstab:
1 km = 10 cm)!
b) Berechnen Sie (ohne zeichnerisch ermittelte Werte zu benutzen) die Größe des Winkels
BAF = α und die Flughöhe DF !
4.
Ein Gewächshaus hat die Gestalt eines fünfseitigen Prismas
(siehe nebenstehende Abbildung).
AB = 7,5 m; AE = BF = 2,0 m;
AD = BC = 18,0 m; IM = 3,5 m; AI = IB .
a) Stellen Sie dieses Prisma in Kavalierperspektive im
Maßstab 1 : 100 dar! (Bezeichnung der Eckpunkte ist nicht
erforderlich. )
b) In diesem Gewächshaus sollen Gurken angebaut werden.
Berechnen Sie die dafür nutzbare Fläche, wenn 15m2 der
überdachten Fläche auf Wege entfallen!
c) Für eine Ernteperiode ist ein Ertrag von 17,5 kg Gurken je
Quadratmeter geplant.
Wieviel Kilogramm Gurken sieht der Plan für dieses
Gewächshaus vor?
M’’N’’
E’’H’’
A’’D’’
F’’G’’
I’’ K’’
B’’C’’
K’ N’
D’H’
C’G’
A’E’
B’F’
I’M’
nicht maßstäblich
5.
Durch den Mittelpunkt M einer Strecke AB verlaufe die
Gerade g. Die Lote von den Punkten A und B auf diese
Gerade g haben die Fußpunkte C und D (siehe nebenstehende A
Abbildung).
Beweisen Sie, daß die Dreiecke AMC und BMD zueinander
kongruent sind!
C
M
B
D
g
6
3,2 ⋅109 ⋅ 4,2 ⋅10 −3
1,6 ⋅10 4
b) Ermitteln Sie alle Nullstellen der Funktion y = x2 – 4 ( x ∈ P ) !
1
c) Stellen Sie die Formel A = bc ⋅ sin α nach sin α um!
2
d) Berechnen Sie! (2a + 5x) · (4a – 3x) Fassen Sie soweit wie möglich zusammen!
a) Berechnen Sie!
Von den folgenden Wahlaufgaben 7.1, 7.2 und 7.3 brauchen Sie nur e i n e zu lösen.
7.1
Der mit Wasser zu füllende Teil eines Schwimmbeckens hat die Form eines geraden Prismas.
Die Grundfläche des Prismas ist das Trapez ABCD (siehe Abbildung unten). Zum Füllen des
Beckens werden 1,5 m3 Wasser je Minute eingelassen.
AD = 2,60 m; BC = 1,40 m; DC = 50,0 m; CG = 22,5 m.
H
G
a) Wieviel Stunden würde das vollständige
Füllen des leeren Beckens dauern?
b) Um wieviel tiefer liegt der Wasserspiegel D
C
gegenüber dem vollständig gefüllten
F
Becken, wenn nur 20 Stunden lang
E
Wasser eingelassen wurde?
B
nicht maßstäblich
A
7.2
Zwei gerade Eisenbahngleise bilden den Winkel γ.
Sie sollen durch ein Gleis verbunden werden, das die
Form eines Kreisbogens hat. Dazu benötigt man die
Entfernungen der Punkte T1 T2 und S vom Punkt C
(siehe nebenstehende Abbildung).
MT1 = MT2 = r = 550 m; Winkel T1CT2 = γ = 100,0°;
Winkel MT1C = Winkel MT2C = 90°.
a) Berechnen Sie die Länge der Strecke CT1 !
b) Berechnen Sie die Länge der Strecke CS !
c) Berechnen Sie die Länge des Kreisbogens T1T2!
nicht maßstäblich
T1
r
C
S
γ
M
r
T2
7.3
Die Dresdener Standseilbahn fährt von der Station K am Körnerplatz hinauf zur Station L an
der Gaststätte Luisenhof. Dabei überwindet sie auf einer Gesamtstrecke von 544 m einen
Höhenunterschied von 95,0 m. Die Fahrzeit beträgt 5,0 min. (Die Strecke werde als geradlinig
und die Geschwindigkeit als konstant angenommen.)
a) Fertigen Sie eine Skizze an und berechnen Sie die Größe des Anstiegswinkels!
b) Welchen Höhenunterschied überwindet die Bahn in 2,0 min Fahrzeit?
c) Berechnen Sie die Fahrgeschwindigkeit dieser Bahn!
d) Geben Sie diese Geschwindigkeit in Kilometer je Stunde an!
e) In welcher Länge erscheint die Strecke KL auf einer Landkarte, deren Maßstab 1 : 1000
ist?
Schriftliche Abschlußprüfung Klasse 10 (DDR)
1988
1.
Gegeben ist die Ungleichung
3(2 x + 4)
12 − x >
( x ∈ P)
2
a) Lösen Sie diese Ungleichung! (Probe wird nicht verlangt.)
b) Geben Sie alle natürlichen Zahlen an, die diese Ungleichung erfüllen!
c) Nennen Sie von den folgenden Zahlen diejenigen, die diese Ungleichung erfüllen!
11
; 1,5 ; – 0,3 ; 5 ; 1,69
5
2.
In einem Betriebsteil werden Bauelemente hergestellt.
a) Die tägliche Warenproduktion konnte in diesem Bereich durch Verbesserung der
Arbeitsorganisation von 75000 Mark auf 78000 Mark erhöht werden.
Um wieviel Prozent stieg diese Produktion?
b) Eine bestimmte Serie von Bauelementen wird von 12 Automaten mit gleicher Leistung in
35 Stunden hergestellt. Wie lange würde die Fertigung dieser Serie nur dauern, wenn statt
dessen 15 solcher Automaten zum Einsatz kämen?
3.
Ein Waldstück, das die Form eines Dreiecks hat,
wurde vermessen (siehe Skizze!). Dabei wurden
ermittelt:
RS = t = 850m
Winkel SRT = δ = 55º
Winkel TSR = ε = 42º
a) Konstruieren Sie dieses Dreieck in einem
geeigneten Maßstab!
T
γ
δ
R
ε
t
S
nicht maßstäblich
b) Berechnen Sie den Flächeninhalt dieses Waldstücks aus den gegebenen Stücken, und
geben Sie ihn in Hektar an!
4.
a) Durch die Gleichung y = x2 – 6x + 7 ( x ∈ P) ist eine Funktion gegeben.
- Berechnen Sie deren Nullstellen!
- Der Graph dieser Funktion ist eine Parabel. Geben Sie die Koordinaten ihres
Scheitelpunktes an, und zeichnen Sie die Parabel!
b) Eine weitere Funktion hat die Gleichung y = x – 3
( x ∈ P) .
Zeichnen Sie den Graph dieser Funktion in dasselbe Koordinatensystem!
c) Die Graphen der beiden Funktionen schneiden einander in den Punkten A und B.
Geben Sie die Koordinaten von A und B an!
5.
a) Beweisen Sie, daß folgende Aussage wahr ist!
"Die Summe von' drei aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen ist stets durch 3 teilbar."
b) Zeigen Sie, daß die folgende Aussage falsch ist!
"Die Summe von drei aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen ist stets durch 2 teilbar."
6.
a)
Ein Rechteck ist 8 cm lang und 6 cm breit.
Berechnen Sie die Länge seiner Diagonalen!
b) Berechnen Sie den Wert des Terms a2 + ab + ac
für a = 3,5; b = 1,5; c = – 3!
c) Die nebenstehende Skizze zeigt einen Kreis mit dem
Mittelpunkt M.
Geben Sie die Größe von γ an. wenn δ = 142,2° wäre!
d) Durch die Gleichung y = 3 sin x ( x ∈ P) ist eine
Funktion gegeben.
- Skizzieren Sie den Graph dieser Funktion mindestens im
Intervall 0 < x < 2π
- Geben Sie den Wertebereich dieser Funktion an!
C
γ
A
δ
M
B
Von den folgenden Wahlaufgaben 7.1, 7.2 und 7.3 brauchen Sie nur e i n e zu lösen.
7.1
Um den Bedarf an Leder für die Produktion von Fußbällen zu berechnen, kann man einen
Fußball als eine Kugel auffassen, die einen Umfang von 68 cm hat.
a) Berechnen Sie den Oberflächeninhalt einer solchen Kugel!
b) Bei der Anfertigung von Fußbällen müssen 35 % mehr Material (für Nähte, Verschnitt
usw.) bereitgestellt werden, als der Oberflächeninhalt der Kugel beträgt. Wieviel
Quadratmeter Leder werden für die Herstellung von 100 solcher Fußbälle benötigt?
c) Der Durchmesser des Fußballs ist a-mal so groß wie der eines Tischtennisballs.
Der Oberflächeninhalt des Fußballs ist a-mal so groß wie der des Tischtennisballs.
Das Volumen des Fußballs ist b-mal so groß wie das des Tischtennisballs. Geben Sie a
und b an!
7.2.
Gegeben ist ein Trapez ABCD mit AB || CD . Die Diagonalen AC und BD schneiden
einander im Punkt S (siehe Skizze!).
Skizze (nicht maßstäblich)
D
C
a) Beweisen Sie, daß die Dreiecke ABS und CDS einander
ähnlich sind!
S
b) Berechnen Sie die Länge von SB für
SA = 20 cm,
A
B
SC = 12 cm,
Skizze nicht maßstäblich
SD = 3 cm!
c) - Begründen Sie, daß die Dreiecke ABD und ABC einander flächengleich sind!
- Entscheiden Sie, ob die Dreiecke ASD und CSB einander flächengleich sind!
Begründen Sie Ihre Entscheidung!
7.3.
Ein Würfel habe die Kantenlänge a. Seine Grundfläche sei mit ABCD, seine Deckfläche
mit EFGH bezeichnet.
Dabei liege E über A, F über B, G über C und H über D. Auf der Kante AB liege ein Punkt I,
a
auf der Kante EF liege ein Punkt K, so daß gilt IB = KF = .
3
Dieser Würfel werde von einer Ebene, die durch die Punkte ICGK geht, geschnitten.
a) Stellen Sie einen solchen Würfel einschließlich der Schnittfigur für a = 6 cm
- in Kavalierperspektive und
- in senkrechter Zweitafelprojektion dar!
b) Zeigen Sie, daß das Volumen des Körpers IBCGKF für jede beliebige Kantenlänge a
1
genau
des Würfelvolumens ist!
6
Schriftliche Abschlußprüfung Klasse 10 (DDR)
1989
1.
Eine LPG bewirtschaftet 3450 ha landwirtschaftliche Nutzfläche.
Im Jahre 1988 wurden davon auf 1 820 ha Getreide, auf 625 ha Hackfrüchte und auf 145 ha
Gemüse angebaut. Der Rest sind Wiesen.
a) Wieviel Hektar wurden für Wiesen genutzt?
b) Wieviel Prozent der landwirtschaftlichen Nutzfläche entfielen auf jede der vier
angegebenen Kulturen?
Geben Sie die Prozentsätze auf eine Dezimalstelle genau an!
c) Diese Anteile sollen in einem Kreisdiagramm dargestellt werden.
- Geben Sie die dafür benötigten Winkelgrößen an!
- Zeichnen Sie ein solches Diagramm!
2.
Gegeben ist das Gleichungssystem
(I)
y =–x + 7
(II)
– 6x + 2y = 6
a) Lösen Sie das System rechnerisch!
b) Jede der Gleichungen beschreibt eine Gerade.
- Stellen Sie diese Geraden graphisch dar!
- Geben Sie die Koordinaten ihres Schnittpunktes an!
3.
Von einer Küstenstation K aus wird ein Schiff beobachtet, das sich
von Q nach R geradlinig bewegt.
Der Punkt Q befindet sich genau nördlich von K (siehe Skizze!).
Dabei wurden gemessen:
KQ = r = 9,8 km,
KR = q = 6,9 km,
Winkel RKQ = γ = 125°.
a) Ermitteln Sie durch eine maßstäbliche Konstruktion den
Winkel RQK = α, um den der Kurs des Schiffes von der NordSüd-Richtung abweicht, und geben Sie seine Größe an!
b) Berechnen Sie den zurückgelegten Weg des Schiffes und die
Größe des
Winkels α!
Q
α
r
k
γ
K
q
R
nicht maßstäblich
4.
In einem Betrieb werden Behälter verwendet, die nachstehende Form haben (siehe Skizze !).
Ein solcher Behälter kann als Körper aufgefaßt werden, der aus einem Zylinder und zwei
Halbkugeln besteht. Der Zylinder hat eine Höhe von 3,55 m, die Durchmesser des Zylinders
und der Halbkugel betragen 1,46 m. (Die Wandstärke des. Behälters bleibt unberücksichtigt.)
a) Berechnen Sie das Volumen des Behälters!
b) Um den Materialbedarf für einen äußeren Farbanstrich zu ermitteln, benötigt man seinen
Oberflächeninhalt. Berechnen Sie diesen!
5.
Gegeben sei ein Kreis mit dem Mittelpunkt M.
Ein Punkt A dieses Kreises sei Endpunkt zweier gleich langer Sehnen AB und AC .
a) Zeichnen Sie eine entsprechende Planfigur!
b) Beweisen Sie unter Verwendung eines Kongruenzsatzes, daß die Dreiecke ABM und
AMC zueinander kongruent sind!
6.
a)
Berechnen Sie
– 1,2y5 : (– 4y3)
(y ≠ 0)!
b)
2,25 ⋅ 47,28
Berechnen Sie
!
6,74 − 14,62
c) Übertragen Sie die folgende Tabelle auf Ihr
Arbeitsblatt, und vervollständigen Sie diese (siehe
Skizze!)!
Bezeichnung Winkelpaar
Nebenwinkel
(β ; γ)
d) Geben Sie alle Lösungen der Gleichung an!
x(x – 3,5) =0
f
α
β
g
γ
δ
h
Von den folgenden Wahlaufgaben 7.1, 7.2 und 7.3 brauchen Sie nur e i n e zu lösen.
7.1
a) Geben Sie das Produkt aus dem Vorgänger und dem Nachfolger einer beliebigen
natürlichen Zahl n an (n ≠ 0)!
b) In einem speziellen Fall sei das Doppelte des Produktes aus dem Vorgänger und dem
Nachfolger einer natürlichen Zahl n um 68 größer als das Vierfache dieser Zahl n.
Berechnen Sie für diesen Fall die natürliche Zahl n! (Probe!)
7.2
H
G
Die Skizze zeigt ein Schrägbild eines geraden
quadratischen Pyramidenstumpfes
E
F
ABCDEFGH.
AB = a = 7.2 cm
h
D
C
EF = b = 2,8 cm
h = 4,5 cm
α
a) Stellen Sie diesen Pyramidenstumpf in
senkrechter Zweitafelprojektion dar!
(Bezeichnen Sie die Eckpunkte!)
A
B
b) Konstruieren Sie die wahre Länge der
Skizze (nicht maßstäblich)
Seitenkante BF dieses Pyramidenstumpfes,
und geben Sie diese Länge an!
c) Berechnen Sie die Größe des Neigungswinkels a einer Seitenfläche gegen die
Grundfläche (siehe Skizze!)! Runden Sie auf volle Grad!
7.3.
a) Durch die Gleichung y = f(x) = x2 + 2x – 2 ist eine Funktion gegeben.
- Geben Sie ihren Wertebereich an!
- Zeichnen Sie den Graph dieser Funktion mindestens im Intervall – 4 < x < 2!
1
b) Durch die Gleichung y = g ( x ) = 3 x = x 3
(x > 0) ist eine weitere Funktion gegeben.
- Übertragen Sie die folgende Tabelle auf Ihr Arbeitsblatt, und berechnen Sie die
fehlenden Werte!
x
0
0,2
0,7
1,5
2
4
0,9
- Zeichnen Sie den Graph dieser Funktion in dasselbe Koordinatensystem!
c) Die Graphen schneiden einander in P (xp; yp).
- Geben Sie die Koordinaten von P an!
- überprüfen Sie rechnerisch, ob das von Ihnen angegebene Zahlenpaar zu beiden
Funktionen gehört! (Antwortsatz!)
g ( x) = 3 x
Schriftliche Abschlußprüfung Klasse 10 (DDR)
1990
1.
Die folgende Tabelle zeigt die Entwicklung des Agrarfluges am Beispiel eines
agrochemischen Zentrums:
Jahr
betreute Fläche in Hektar
1978
7400
1983
8300
1988
9 600
a) Stellen Sie diese Entwicklung anhand der Angaben in einem Diagramm dar!
b) Auf wieviel Prozent erhöhte sich die Größe der im Jahre 1988 betreuten Fläche gegenüber
1978?
c) Für eine Weidefläche waren bisher 25 Überflüge von je 28 m Arbeitsbreite notwendig.
Durch eine verbesserte Technologie beträgt die Arbeitsbreite jetzt 32 m.
Wie viele Überflüge sind nun für diese Weidefläche notwendig?
2.
Die Summe zweier Zahlen ist 5.
Wird das Dreifache der ersten Zahl um 2,2 vermindert, so erhält man die zweite Zahl.
Ermitteln Sie diese Zahlen! (Probe!)
3.
Ein Waldstück, das die Form eines
Dreiecks hat, wurde vermessen (siehe
Skizze!).
DE = g = 660 m
EG = d = 970 m
GD = e = 580 m
G
γ
δ
ε
D
E
Skizze (nicht maßstäblich)
a)
Konstruieren Sie dieses Dreieck in einem geeigneten Maßstab, und geben Sie den
gewählten Maßstab an!
b) Berechnen Sie aus den gegebenen Seitenlängen den Flächeninhalt des Waldstücks, und
geben Sie ihn in Hektar an!
4.
In einem gleichseitigen Dreieck ABC sei D ein beliebiger Punkt
zwischen B und C.
Die Fußpunkte der Lote von D auf die Seiten AB bzw. AC
seinen E bzw. F (siehe Skizze!).
C
F
D
A
E
B
a) Beweisen Sie, daß die Dreiecke DEB und DFC einander ähnlich sind.
b) Geben Sie eine Bedingung für die Lage des Punktes D an, so daß die Dreiecke DEB und
DFC zueinander kongruent sind!
c) Begründen Sie, daß der Winkel FDE für jede Lage von D zwischen B und C die gleiche
Größe hat!
5.
Gegeben sind die Punkte A (– 4 ; 0), B (0 ; 2) und C (– 2 ; 5).
a) Tragen Sie in ein Koordinatensystem mit dem Koordinatenursprung 0 die Punkte A, B
und C ein! (Koordinateneinheit: 1 cm)
b) Berechnen Sie die Länge der Strecke AB, und runden Sie auf ganze Millimeter!
c) Berechnen Sie die Größe des Winkels OAB, und runden Sie auf ganze Grad!
d) Geben Sie die Funktionsgleichung der Geraden an, die durch die Punkte B und C verläuft!
6.
1,5 ⋅1012 ⋅ 5,2 ⋅10 −2
a) Berechnen Sie
2,6 ⋅106
2 4
b) Geben Sie die Summe + als gemeinen Bruch an!
3 7
c) Gegeben ist die Gleichung sin x = 0,36
(0° < x < 360º).
Ermitteln Sie alle Lösungen im angegebenen
Intervall auf zehntel Grad!
d) Stellen Sie die folgende Gleichung nach b um!
a+b
c≠0
=d
33º
c
e) Geben Sie die Größe des Winkels γ an
Skizze (nicht maßstäblich)
(siehe Skizze!)
γ
82º
Von den folgenden Wahlaufgaben 7.1, 7.2 und 7.3 brauchen Sie nur e i n e zu lösen.
7.1
Gegeben seien vier beliebige aufeinanderfolgende natürliche Zahlen.
a) Beweisen Sie, daß die Summe aus der ersten und der letzten dieser Zahlen stets gleich der
Summe aus den beiden anderen Zahlen ist!
b) Es seien
S1 die Summe aus den Quadraten der ersten und der letzten Zahl und
S2 die Summe aus den Quadraten der beiden anderen Zahlen.
- Untersuchen Sie, ob S1 stets gleich S2 ist!
- Beweisen Sie, daß die Differenz S1 – S2 konstant ist!
7.2
Gegeben ist ein Quader ABCDEFGH.
Durch die Punkte A, C und H wird ein ebener Schnitt
gelegt, der diesen in zwei Teilkörper zerlegt.
E
AB = 8,4 cm
BC = 5,3 cm
AE = 3,6 cm
A
H
G
F
D
C
B
Skizze (nicht maßstäblich)
a) Stellen Sie den Teilkörper ACDH in senkrechter Zweitafelprojektion dar! Bezeichnen Sie
die Punkte entsprechend der Skizze!
b) Ermitteln Sie den Anteil des Volumens des Teilkörpers ACDH am Volumen des
Quaders!
7.3
Die Skizze zeigt den Querschnitt einer Rinne.
Ihr parabelförmiger Bogen kann durch die
Gleichung
1
y = f ( x) = x 2 − 9 beschrieben werden.
4
(Koordinateneinheit: 1 cm)
a) Geben Sie die Tiefe OT an!
b) Berechnen Sie die Breite AB !
c) Zwischen O und B liegt ein Punkt P.
In welchem Abstand PB vom Rand der
Rinne beträgt deren Tiefe PQ 5 cm?
y
A
O
P
B
x
Q
T