BE 1.0 Eine isoliert aufgestellte, positiv geladene - super-nowa

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BE
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1.0
Eine isoliert aufgestellte, positiv geladene Hohlkugel H aus Metall erzeugt in
ihrer Umgebung ein elektrisches Feld.
1.1
Skizzieren Sie das Feldlinienbild des elektrischen Feldes im Außenraum der
Hohlkugel H. Tragen Sie in Ihre Zeichnung auch Äquipotenziallinien ein.
1.2.0 In einem Versuch soll im Außenraum der felderzeugenden Hohlkugel H die
Abhängigkeit des Betrages E der elektrischen Feldstärke E von der Entfernung r vom Kugelmittelpunkt untersucht werden.
Bei der Versuchsdurchführung erhält man das folgende Messprotokoll:
Messung Nr.
r in cm
kV
E in
m
1
20,0
2
28,3
3
40,0
4
56,6
9,4
4,7
2,4
1,2
3
1.2.1 Stellen Sie den Versuchsaufbau anhand einer beschrifteten Skizze mit allen
notwendigen Geräten dar.
8
1.2.2 Ermitteln Sie durch eine geeignete grafische Auswertung der Messreihe, wie
E von r abhängt.
Geben Sie diesen Zusammenhang zwischen E und r in Form einer Gleichung an und bestimmen Sie die dabei auftretende Konstante k aus Ihrem
Diagramm.
 Mögliches Teilergebnis: k = 0,38 ⋅103 Vm 
3
1.2.3 Bestimmen Sie aus der Konstanten k der Teilaufgabe 1.2.2 die Ladung Q
der felderzeugenden Hohlkugel.
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3
1.1
3
1.2.1
r
E
Maßstab
Hohlkugel aus Metall
EFM
Q
11 V - 14 V
E
Spannungsquelle
8
1.2.2
Messung Nr.
1
1
in 2
2
r
m
1
2
3
4
25,0
12,5
6,25
3,12
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E in
kV
m
6,0
1
1
in 2
2
r
m
16,0
Im Rahmen der Mess- und Zeichengenauigkeit gilt:
1
E  2  -Diagramm ist eine Ursprungsgerade
r 
1
⇒ E∼ 2
r
1
⇒ E = k ⋅ 2 mit k = konstant
r
V
6, 0 ⋅103
E
m = 375 Vm = 0,38 ⋅103 Vm
k=
=
1
1
16 2
r2
m
3
1.2.3
1

2

r
1
Q
E=
⋅ 2
4 π ⋅ ε 0 r 
E =k⋅
⇒ k⋅
1
1
Q
=
⋅ 2
2
r 4π ⋅ ε 0 r
Q = k ⋅ 4 π ⋅ ε 0 = 0,38 ⋅103 Vm ⋅ 4 π ⋅ 8,85 ⋅10−12
⇒
As
= 4, 2 ⋅10−8 As
Vm
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2
3.0
Eine isoliert gelagerte Metallkugel K1 mit 10 cm Durchmesser trägt die positive Ladung Q1 = 1, 0 μC .
3.1
Skizzieren Sie das Feldlinienbild des elektrischen Feldes in der Umgebung
der Kugel K1.
3.2.0 Ein kleiner Probekörper mit der Masse 2,0 g trägt die positive Ladung
q = 1, 0 ⋅10 − 8 C .
5
3.2.1 Berechnen Sie den Betrag Fel der auf die Probeladung einwirkenden elektrischen Kraft Fel , wenn sich die Probeladung in einem Punkt eines konzentrisch zur Kugelmitte M1 von K1 liegenden waagrechten Kreises mit Radius
r = 25 cm befindet. Berechnen Sie auch den Betrag der elektrischen Feldstärke an der Stelle, an der sich die Probeladung - wie beschrieben - befindet.
Begründen Sie, welche Arbeit nötig ist, um den Probekörper auf diesem Kreis
zu verschieben.
Teilergebnis: Fel = 1, 4 ⋅10 − 3 N 
6
3.2.2 Der genannte Probekörper hängt an einem sehr dünnen isolierenden Faden.
Der Aufhängepunkt befindet sich lotrecht über M1. Ermitteln Sie, in welcher
Höhe h über M1 der Aufhängepunkt des Fadens befestigt sein muss, damit der
Probekörper sich auf dem in 3.2.1 beschriebenen Kreis befindet.
3.3.0 In der Entfernung s = 2, 0 m von M1 befindet sich nun die Mitte M2 einer
weiteren Kugel K2, welche die positive Ladung Q2 = 1, 0 ⋅10 − 7 C trägt.
5
3.3.1 Berechnen Sie, in welcher Entfernung von M1 sich die elektrischen Kraftwirkungen des von Q1 und Q2 erzeugten Gesamtfeldes gegenseitig kompensieren.
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2
5
3.1
3.2.1
1
q ⋅ Q1
1
1, 0 ⋅10 − 8 As ⋅1, 0 ⋅10 − 6 As
Fel =
⋅
=
⋅
=
2
As
4π ⋅ ε 0 r 2
( 0, 25 m )
4 π ⋅ 8,85 ⋅10 −12
Vm
−3
= 1, 4 ⋅10 N
Fel 1, 4 ⋅10 − 3 N
V
E=
=
= 1, 4 ⋅105
−8
q 1, 0 ⋅10 As
m
W = Fel ⋅ s = Fel ⋅ s ⋅ cos 90° = 0
6
3.2.2
h
r
h FG
=
r Fel
h=
5
3.3.1
FG
m⋅ g
⋅r =
⋅r =
Fel
Fel
m
⋅ 0, 25 m
s2
= 3,5 m
1, 4 ⋅10 − 3 N
2, 0 ⋅10 − 3 kg ⋅ 9,81
1
q ⋅Q
1
q ⋅ Q2
⋅ 21=
⋅
4π ⋅ ε 0 r
4π ⋅ ε 0 ( s − r )2
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Q1
Q2
=
2
2
r
(s − r)
(s − r)
r
2
=
2
Q2
Q1
2
 s  Q2
 − 1 =
Q1
r 
s>r ⇒
s
Q2
−1 =
r
Q1
s
Q2
= 1+
r
Q1
r=
s
Q2
1+
Q1
=
2, 0 m
1, 0 ⋅10 − 7 As
1+
1, 0 ⋅10 − 6 As
= 1,5 m
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3. 0
Das elektrische Potenzial des Feldes einer positiv geladenen Kugel wird mit Hilfe
einer Flammensonde untersucht.
Dabei ergeben sich mit Bezugspunkt „im Unendlichen“ in verschiedenen Entfernungen vom Kugelmittelpunkt folgende Messwerte für das Potenzial .
in cm
12
20
28
35
45
in kV
1,67
1,00
0,71
0,57
0,44
3
3.1
Stellen Sie den Potenzialverlauf in Abhängigkeit von
4
3.2
Berechnen Sie die Ladung der Kugel mit Hilfe eines Wertepaares.
4
3.3
Die Kugel besitzt einen Durchmesser von 16 cm.
Bestimmen Sie das Potenzial o an der Kugeloberfläche und ergänzen Sie Ihr Diagramm von 1.1 bis zur Kugeloberfläche.
3
3.4
Erläutern Sie den Begriff „Äquipotenzialfläche“ und geben Sie an, welche Form die
Äquipotenzialflächen im vorliegenden Fall besitzen.
3
3.5
In der Entfernung r = 20 cm vom Kugelmittelpunkt befindet sich die positive Ladung
Q2 = 1,6 · 10–12 C. Diese Ladung soll vollständig aus dem elektrischen Feld der Kugel
entfernt werden.
Berechnen Sie den Betrag der dazu nötigen Verschiebungsarbeit.
grafisch dar.
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3
3.1
4
3.2
ϕ (r) =
1
Q
⋅
⇒ Q = 4π ⋅ ε 0 ⋅ r ⋅ ϕ
4π ⋅ ε 0 r
Nr.
r in cm
ϕ in kV
Q in 10 − 8 As
1
12
1,67
2,2
2
20
1,00
2,2
3
28
0,71
2,2
4
35
0,57
2,2
5
45
0,44
2.2
Es genügt die Berechnung eines Q -Wertes:
(2)
As
Q = 4π ⋅ ε 0 ⋅ r ⋅ ϕ = 4π ⋅ 8,85 ⋅10 −12
⋅ 0, 20 m ⋅1, 00 ⋅103 V = 2, 2 ⋅10 − 8 As
Vm
4
3.3
ϕ0 ⋅ r0 = ϕ 2 ⋅ r2 ⇒ ϕ0 =
ϕ0 = ϕ ( 8, 0 cm ) =
3
3.4
3
3.5
r2
20 cm
⋅ ϕ2 =
⋅1, 00 kV = 2,5 kV
8, 0 cm
r0
1
Q
1
2, 2 ⋅10 − 8 As
⋅ =
⋅
= 2, 5 kV
0, 080 m
4 π ⋅ ε 0 r 4 π ⋅ 8,85 ⋅10 −12 As
Vm
Äquipotenzialflächen sind Flächen, die alle Punkte gleichen Potenzials bezüglich eines festen Bezugspunktes enthalten.
Im vorliegenden Fall sind dies zum Kugelmittelpunkt konzentrische Kugelschalen.
Wr →∞ = Q2 ⋅ Δϕ = 1, 6 ⋅10 −12 As ⋅ ( 0 V − 1, 00 ⋅103 V ) = 1, 6 ⋅10 − 9 J
1
1
1
1 1 
⋅ Q1 ⋅ Q2 ⋅  −  = −
⋅ Q1 ⋅ Q2 ⋅
4π ⋅ ε 0
4π ⋅ ε 0
r
r ∞
1
1
1
2, 2 ⋅10 − 8 As ⋅1, 6 ⋅10 −12 As
=
⋅ Q1 ⋅ Q2 ⋅ =
⋅
=
4π ⋅ ε 0
r 4π ⋅ 8,85 ⋅10 −12 As
0, 20 m
Vm
−9
= 1, 6 ⋅10 J
Wr →∞ = −
Wr →∞