Übungen zur Vorlesung Klassische Mechanik WS 2003/04 Prof. Dr

Übungen zur Vorlesung Klassische Mechanik
WS 2003/04
Prof. Dr. G. Mahler
Blatt 11
d) Berechnen Sie die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten auf der Oberfläche
eines Zylinders.
(2 Punkte)
Aufgabe 44. Kontrollfragen
Aufgabe 46. Trägheitsmomente
a) Was besagt das Hamiltonsche Prinzip?
a) Berechnen Sie die Hauptträgheitsmomente von Molekülen:
b) Inwiefern ist das Modell des starren Körpers eine Näherung?
(schriftlich)
1. Zweiatomiges Molekül (m1 6= m2 , Abstand d).
c) Unter welcher Bedingung lässt sich die gesamte kinetische Energie eines starren
Körpers (im Laborsystem) als Summe eines translatorischen und eines rotatorischen
Anteils schreiben?
d) Was versteht man unter einem Trägheitstensor? Wann repräsentiert dieser eine
konstante Materialeigenschaft?
2. Dreiatomiges Molekül in Form eines gleichschenkligen Dreiecks
(m1 = m2 6= m3 ).
3. Vieratomiges Molekül (m1 = m2 = m3 = m, m4 = µ). Die Massen m1 , m2 und
m3 bilden ein gleichschenkliges Dreieck, welches die Grundfläche einer geraden
Pyramide darstellt. Wie sieht der Sonderfall eines tetraedrischen Moleküls mit
m = µ aus?
Aufgabe 45. Variationsrechnung
(3 Punkte)
Aus der Extremaleigenschaft von
S=
folgt
Z
t2
L(q,
t1
b) Berechnen Sie die Hauptträgheitsmomente von homogenen Körpern:
dq
, t) dt
dt
1. Dünner Stab der Länge l.
d ∂L ∂L
−
= 0.
dt ∂ q̇
∂q
2. Kugel mit Radius R.
3. Kreiszylinder mit Radius R und Höhe h.
a) Zeigen Sie, dass falls L(q, q̇) nicht explizit von der Zeit abhängt, sich darüber
hinaus folgende Beziehung ergibt:
(1 Punkt)
L̃ = L − q̇
∂L
= const = α.
∂ q̇
Lösen Sie die folgenden Extremalprobleme unter Verwendung dieses Ergebnisses;
beachten Sie, dass S, L, q, t andere Bedeutungen haben dürfen.
4. Kreiskegel mit Höhe h und dem Radius R der Grundfläche.
0
bezüglich eines Achsensystems
Hinweis: Berechnen Sie zuerst den Tensor Ijk
mit dem Nullpunkt im Scheitel des Kegels. Die Hauptträgheitsmomente erhalten Sie schließlich mithilfe des Steinerschen Satzes.
(3 Punkte)
b) Ein Massenpunkt bewegt sich im homogenen Gravitationsfeld in y-Richtung reibungsfrei vom Punkt P1 zum Punkt P2 . Gesucht ist die Kurve, für die die benötigte
Zeit minimal ist.
Hinweis: Dieses Problem nennt man Brachistochronen-Problem, es wurde 1696 von
J. Bernoulli gestellt und stand am Anfang der Variationsrechnung.
(3 Punkte)
c) Bestimmen Sie die Minimalfläche einer Seifenhaut, die zwischen zwei Kreisen
eingespannt ist.
(2 Punkte)
P1
y
x
PSfrag replacements
PSfrag replacements
x1
P2
y
x2
x
Bitte wenden. . .
Aufgabe 47. Hohlzylinder auf schiefer Ebene
a) Berechnen Sie das Trägheitsmoment eines Hohlzylinders (Außenradius Ra , Innenradius Ri , homogene Massenverteilung) um seine Symmetrieachse. Was ergibt
sich für Ri = 0 (Vollzylinder) und Ri → Ra (dünnwandiges Rohr)?
(1 Punkt)
b) Der Hohlzylinder rolle im homogenen Gravitationsfeld eine um den Winkel α
gegen die Horizontale geneigte schiefe Ebene hinunter. Die Haftreibungszahl µ H sei
groß genug, um ein Gleiten zu verhindern. Stellen Sie die Bewegungsgleichungen
mithilfe des Lagrangeformalismus auf.
(1 Punkt)
c) Geben Sie alle auf den Zylinder wirkenden Kräfte an, und leiten Sie die Bewegungsgleichungen aus b) mithilfe der Newtonschen Gleichung und des Drehimpulssatzes ab. Welcher Körper (Vollzylinder oder Rohr) wird stärker beschleunigt?
(1 Punkt)
d) Welche Beziehung muss zwischen der Haftreibungszahl µH und dem Winkel α
bestehen, damit die reine Rollbewegung möglich ist?
(1 Punkt)
Anmerkungen zur Haft- und Gleitreibung
Ein Körper ruhe auf einer ebenen Fläche. Es wirke eine Kraft senkrecht zur Oberfläche (K ⊥ ) und eine Kraft parallel zur Oberfläche (K k ). Die Haftreibungskraft ist
dann
K H = −K k ,
solange
¯ ¯
¯K k ¯ < µH |K ⊥ | .
Ist diese Ungleichung nicht mehr erfüllt, so setzt sich der Körper in Bewegung, und
es wirkt die Gleitreibungskraft
K G = −µG |K ⊥ |
v
,
|v|
also immer entgegengesetzt zur Bewegungsrichtung und proportional zum Betrag
der Normalkraft |K ⊥ |. Im Allgemeinen ist 0 < µG < µH .