Ich kann lineare Gleichungen (Formeln) in mehreren Variablen nach

Mathematik anwenden
Ich kann lineare Gleichungen (Formeln) in mehreren Variablen nach einer variablen Größe
explizieren, die gegenseitige Abhängigkeit der Größen interpretieren und erklären.
A, B, C
1
Die Oberfläche O eines Drehzylinders mit Radius r und Höhe h ist O = 2r²π + 2rπh.
a. Gib an, wie die Höhe h aus Oberfläche und Radius berechnet werden kann.
b. Untersuche, wie sich die Länge h verändert, wenn die Oberfläche gleich bleibt und der Radius
verdoppelt wird.
c. Untersuche, wie sich die Länge h verändert, wenn die Oberfläche verdoppelt wird und der Radius
gleich bleibt.
A, C
2
Der Gewinn G eines Unternehmens für ein Produkt kann im Allgemeinen mit der Formel
G = p ⋅ x − (K v + K f ) berechnet werden, wobei p den Preis des Produkts bezeichnet, x die verkaufte Menge
des Produktes und K v bzw. K f die variablen bzw. die fixen Kosten, die bei der Produktion entstehen.
a. Gib an, wie die verkaufte Stückzahl x aus den übrigen Größen berechnet werden kann.
b. Untersuche, wie sich die verkaufte Menge ändert, wenn der Preis p I. verdreifacht II. halbiert wird.
C
3
Die Geschwindigkeit eines Körpers wird durch Geschwindigkeit = Weg berechnet. Kreuze die richtigen
Zeit
Aussagen an.
a. Der gleiche Weg wird in der halben Zeit zurückgelegt. Das bedeutet, die Geschwindigkeit
A verdoppelt sich.
B halbiert sich. C bleibt gleich.
b. Die Geschwindigkeit bleibt gleich, die Zeit wird halbiert. Daraus folgt: Der zurückgelegte Weg
A verdoppelt sich.
B halbiert sich. C bleibt gleich.
c. Bei gleichbleibender Zeit wird der Weg verdreifacht. Dadurch wird die Geschwindigkeit
A verdreifacht.
B gedrittelt.
C nicht verändert.
d. Die Geschwindigkeit wird verdoppelt, die Zeit halbiert. Der zurückgelegte Weg wird
A größer.
B kleiner.
C nicht verändert.
C
4
Die Masse eines Körpers kann durch die Formel Masse = Dichte ⋅ Volumen bestimmt werden. Kreuze die
richtigen Aussagen an.
a. Bei konstanter Dichte wird die Masse halbiert. Das bedeutet, die Volumen
A verdoppelt sich.
B halbiert sich. C bleibt gleich.
b. Bei gleicher Masse wird ein Material von geringerer Dichte verwendet. Daraus folgt: Das Volumen
A wird größer.
B wird kleiner. C bleibt unverändert.
c. Masse und Volumen werden halbiert. Die Dichte wird dadurch
A verdoppelt.
B halbiert.
C nicht verändert.
d. Bei gleichbleibender Dichte wird das Volumen verzehnfacht. Dadurch
A steigt die Masse auf den zehnfachen Wert. B wird die Masse geringer. C bleibt die Masse gleich.
© Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2014 | www.oebv.at | Mathematik
Alle Rechte vorbehalten. Von dieser Druckvorlage ist die Vervielfältigung für den eigenen Unterrichtsgebrauch gestattet.
Autorin: Bettina Ponleitner
Mathematik anwenden
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explizieren, die gegenseitige Abhängigkeit der Größen interpretieren und erklären.
C, D
5
Entscheide, ob die Formel richtig nach der angegebenen Variable umgeformt wurde. Begründe deine
Entscheidung und stelle falsche Umformungen richtig.
a. s n = b 1
1− q
⇒
q=
b1 + 1
sn
b. b 2 xx T − a 2 yy T = a 2 b 2
c. A =
b−a
⋅ (a + b + 2c ) ⇒
4
d. x 2 = x 1 −
B
6
⇒
x1 − x0
⋅a ⇒
a−b
yT =
a 2 b 2 + b 2 xx T
a2 y
A
 4
c =  − a − b ⋅
2
 b−a
x 0 = −x 1 −
x2 − x1
⋅ (b − a)
a
Forme die Formel nach der angegebenen Variable um. Gib auch an, welche der durch Buchstaben
bezeichneten Zahlen dabei nicht 0 sein dürfen.
a. O = 2rπh + ρ 12 π + ρ 22 π ; r = ?
(
)
b. V =
hπ 2
r1 + r1r2 + r22 ; h = ?
3
c. x =
k1 −k2
; k 1 = ?; k 2 = ?
1 + k 1 ⋅k 2
d. d =
n 1 (p 1 − x 1 ) + n 2 (p 2 − x 2 )
; x 1 = ?; p 2 = ?; n 2 = ?
n
e. m h =
3
1
x1
+ x1 + x1
2
; x2 = ?
3
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Lösungen zu:
Ich kann lineare Gleichungen (Formeln) in mehreren Variablen nach einer variablen Größe
explizieren, die gegenseitige Abhängigkeit der Größen interpretieren und erklären.
1
a.
h=
O − 2r 2 π
O
=
−r
2rπ
2rπ
O − 2r 2 π
O
=
− r ist, wird die Höhe h kleiner, wenn bei gleichbleibender Oberfläche O der
2rπ
2rπ
Radius verdoppelt wird.
b. Da h =
O − 2r 2 π
O
=
− r ist, wird die Höhe h größer, wenn die Oberfläche verdoppelt wird und der
2rπ
2rπ
Radius gleich bleibt.
G +Kv +Kf
a. x =
p
b. I. Die verkaufte Menge x wird gedrittelt, wenn der Preis p verdreifacht wird.
II. Die verkaufte Menge x wird verdoppelt, wenn der Preis p halbiert wird.
c. Da h =
2
3
a. A Die Geschwindigkeit verdoppelt sich.
b. B Der zurückgelegte Weg halbiert sich.
c. A Die Geschwindigkeit wird verdreifacht.
d. C Der zurückgelegte Weg wird nicht verändert.
4
a. B Das Volumen wird halbiert.
b. A Das Volumen wird größer.
c. C Die Dichte wird nicht verändert.
d. A Die Masse steigt auf den zehnfachen Wert.
5
a. Die Umformung ist falsch, da der Zähler des Bruches nicht korrekt ist. Eine richtige Umformung ist:
b
s − b1
.
q = 1− 1 = n
sn
sn
b. Die Umformung ist falsch, da die Vorzeichen im Zähler des Bruchs nicht stimmen. Eine richtige
b 2 xx T − a 2 b 2
.
Umformung ist: y T =
a2 y
c. Die Umformung ist falsch, da alle Elemente in der Klammer durch 2 dividiert werden müssen, nicht nur
4
nicht korrekt herausgehoben. Eine richtige Umformung ist
A. Außerdem wurde der Ausdruck
b−a
 1
 4A
c=
− a − b ⋅ .
 2
b−a
d. Die Umformung ist falsch, da das Vorzeichen von x 1 nicht korrekt ist. Eine richtige Umformung ist:
x0 = x1 −
x2 − x1
x − x1
⋅ (b − a) = x 1 + 2
⋅ (a − b ) .
a
a
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6
Forme die Formel nach der angegebenen Variable um. Gib auch an, welche der durch Buchstaben
bezeichneten Zahlen dabei nicht 0 sein dürfen.
a. r =
b. h =
O − ρ 12 π − ρ 22 π
;
2πh
π⋅
3V
(
r12
+ r1r2 + r22
h≠0
r12 + r1r2 + r22 ≠ 0
);
c. k 1 =
−k 2 − x
;
k2 ⋅x −1
k2 ⋅x −1 ≠ 0
k2 =
k1 − x
;
k1 ⋅x + 1
k1 ⋅x + 1 ≠ 0
d. x 1 = p 1 −
d ⋅ n − n 2 (p 2 − x 2 )
;
n1
p2 = x2 +
n2 =
e. x 2 =
d ⋅ n − n 1 (p 1 − x 1 )
;
n2
d ⋅ n − n 1 (p 1 − x 1 )
;
p2 − x2
1
3
mh
n1 ≠ 0
− x1 − x1
1
;
n2 ≠ 0
p2 − x2 ≠ 0
m h ≠ 0; x 1 ≠ 0; x 3 ≠ 0;
3
mh
− x1 − x1 ≠ 0
1
3
3
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