Grundwissen Stochastik Leistungskurs

GYMNASIUM MIT SCHÜLERHEIM PEGNITZ
WILHELM-VON-HUMBOLDT-STRASSE 7
91257 PEGNITZ
FERNRUF 09241/48333
FAX 09241/2564
math.-technolog. u. sprachl. Gymnasium
Grundwissen Stochastik Leistungskurs
1. Erklären Sie die stochastischen Begriffe
|
10. Februar 2008
Lösung
(a) Ergebnis,
(a) Ein Ergebnis ist der mögliche Ausgang eines stochastischen Experimentes.
(b) Ergebnisraum sowie
(b) Alle möglichen Ergebnisse werden zu einer Menge Ω
(genannt Ergebnisraum) zusammengefasst.
(c) Mächtigkeit des Ergebnisraumes
(c) Die Anzahl der Elemente |Ω| heißt Mächtigkeit des Ergebnisraumes.
und geben Sie ein Zufallsexperiment, an dem Sie
die Begriffe verdeutlichen können.
Beispiel: Einfacher Würfelwurf
• Beobachtungsgegenstand: Oberseite des Würfels
•
—
Ω
|Ω|
=
=
{1; 2; 3; 4; 5; 6}
6
—
2. Erkläre an einem Beispiel die Begriffe
|
—
Lösung Ω = {1, 2, 3}
(a) Ereignisraum:
{∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}
| {z }
(a) Ereignisraum
(b) Elementarereignisse
Ω
(b) Elementarereignisse: ω1 = {1}, ω2 = {2}, ω3 = {3}
(c) sicheres Ereignis
(c) sicheres Ereignisse: Ω
(d) unmögliches Ereignis
(d) unmögliches Ereignisse: ∅
(e) Gegenereignis
(e) Gegenereignis E zu einem Ereignis E:
E = {3} ⇒ E := Ω \ E = {1, 2}
—
—
3. Erkläre an einem Beispiel mit zwei Ereignissen A
und B die mengenalgebraischen Begriffe
(a) A oder B.
|
—
Lösung Ω = {1, 2, 3, 4}, A = {2, 3}, B = {2, 4}.
(a)
B
B
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
A ...
...
...
... ...
...
...
...
...
...
A ...
Ω
A ∪ B = {2, 3, 4}
(b)
B
B
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
A ...
...
... ...
...
...
...
...
...
...
A ...
Ω
A ∪ B = {2, 3, 4}
(c)
A
A
(b) Mindestens eines der Ereignisse A oder B.
(c) Weder A noch B.
(d) Entweder A oder B.
BB
(d)
...
...
...
...
...
...
...
A ∩ B = A ∪ B = {1}
Ω
B ...
B
...
...
...
...
A ...
...
...
...
...
...
...
...
A ...
Ω
(A ∩ B) ∪ (A ∩ B) = {3, 4}
—
—
4.(a) Was versteht man unter der relativen Häufigkeit eines Ereignisses A?
|
—
Lösung
(a) Tritt ein Ereignis A bei n Versuchen genau k-mal ein,
k
so heißt hn (A) := n
die relative Häufigkeit von A in
dieser Versuchsfolge.
(b) Welche Eigenschaften besitzt die relative
Häufigkeit (wenn man sie als Funktion betrachtet)? Beispiele!
(b) • 0 ≤ hn (A) ≤ 1, hn (∅) = 0 und hn (Ω) = 1.
• Die relative Häufigkeit hn (A) eines möglichen Ereignisses A ist gleich der Summe der rel. Häufigkeiten
der zugehörigen Elementarereignisse ω.
(c) Welche Eigenschaften besitzt das Wahrscheinlichkeitsmaß P über einem Ergebnisraum Ω?
Beispiele!
• hn (A ∪ B) = hn (A) + hn (B) − hn (A ∩ B)
• Für disjunkte Ereignisse A und B gilt
hn (A ∪ B) = hn (A) + hn (B)
• hn (A) = 1 − hn (A)
(c) Die gleichen wie die relative Häufigkeit. Ersetze also in
der Lösung von Teilaufgabe (b) jedes hn durch P.
—
—
5. Welche Gesetzmäßigkeiten an Wahrscheinlichkeitsbäumen gibt es? Beispiele!
|
—
Lösung
• Die Summe der Wahrscheinlichkeiten auf den Ästen,
die von einem Verzweigungspunkt ausgehen, ist stets
1.
• Die Wahrscheinlichkeit eines Elementarereignisses ist
gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten auf dem
zugehörigen Pfad (1. Pfadregel).
• Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich
der Summe der Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen
(vollständigen) Pfade (2. Pfadregel).
—
—
6.(a) Was ist eine Laplace’sche Wahrscheinlichkeitsverteilung?
(b) Welche Eigenschaft besitzt sie?
|
—
Lösung
(a) Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, bei der jedes Elementarereignis mit der gleichen Wahrscheinlichkeit
vorkommt,
heißt
Laplace’sche
Wahrscheinlichkeitsverteilung.
(b) • Für jedes Elementarereignis ω gilt P (ω) =
1
.
|Ω|
• Für jedes Ereignis A gilt
P (A) =
|A|
Anzahl der für A günstigen Ereignisse
=
.
|Ω|
Anzahl der möglichen Ereignisse
—
—
7. Erkläre, was man unter dem Zählprinzip versteht.
Anwendungsbeipiele!
|
—
Lösung
Ist ein Zufallsexperiment z.B. in 5 Stufen zerlegbar und
gibt es für die einzelnen Stufen 10, 8, 6, 4 und 2 mögliche
Ausgänge, dann gibt es für das gesamte Zufallsexperiment
10 · 8 · 6 · 4 · 2 mögliche Ausgänge.
Beim 4-fachen Würfelwurf gibt es z.B. 64 mögliche
Ausgänge, 6 verschiedene Buchstaben kann man zu 6! verschiedenen Wörtern zusammenfügen.
—
—
8.(a) Wie lauten die Bezeichnungen der vier grundlegenden Auswahlverfahren?
|
Lösung
Bezeichnung
Urnenmodell
Verteilungsmodell
(b) Wie können sie im Urnenmodell beschrieben
werden?
mit Wied.
mit Zurückl.
M-fachbel. zul.
ohne Wied.
ohne Zurückl.
M-fachbel. verb.
(c) Wie können sie im Verteilungsmodell beschrieben werden?
(d) Wie lautet jeweils die Formel für die Anzahl
der Auswahlmöglichkeiten?
Variationen
m.B.d.R
Kugeln n. id.
Kombinationen
o.B.d.R
Kugeln id.
nk
³n + k − 1´
k
n!
(n − k)!
³n´
k
—
|
Lösung
m. Wied.
9. Nenne für jede der vier grundlegenden Auswahlverfahren stochastische Beispiele, die nicht direkt
in das Urnen- oder das Verteilungsmodell übertragen werden können.
—
o. Wied.
—
—
Variationen
Kombinationen
Anzahl der möglichen
Tupel beim mehrfachen Würfelwurf
Anzahl der möglichen
ungerechten Verteilungen von k id. Bonbons
auf n Kinder
Anzahl der Belegungen der ersten drei
Plätze beim 100-mLauf; Anzahl möglicher Tanzpaare bei n
Männern und k Frauen
Anzahl der möglichen
Blätter beim Schafkopf
—
—
10.(a) Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für
das Ziehen von s schwarzen Kugeln aus einer
Urne mit insgesamt N Kugeln von denen S
schwarz sind wenn insgesamt n Kugeln ohne
Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge gezogen werden?
|
Lösung
(a)
P(X = s) =
¡S¢ ¡N−S¢
· n−s
s
¡N¢
n
(b) Aus dem Wort MISSISSIPPI lassen sich
¡ 11 ¢
11!
Anagramme bilden.
= 1!·4!·4!·2!
1,4,4,2
Urne mit 11 Kugeln, 1M, 4S, 4I, 2P, Ziehen ohne
Zurücklegen, BG: Folge der Kugeln.
1M-, 4S-, 4I-, 2P- Kugeln werden auf 11 nummerierte
Fächer ohne Mehrfachbelegung verteilt, BG: Folge der
Kugeln in den Fächern.
(b) Erkläre an einem Beispiel wozu der Multinomialkoeffizient gut ist. Gib auch ein passendens
Urnen- und Verteilungsmodell an
—
—
—
11.(a) Was versteht man unter der bedingten Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A unter der Bedingung B? Beispiel!
|
—
Lösung
(a) PB (A) :=
P (A∩B)
P (B)
falls P (B) 6= 0.
(b) Zwei Ereignisse A und B in Ω heißen (stochastisch)
unabhängig, wenn
(b) Wann heißen zwei bzw drei Ereignisse stochastisch unabhängig?
P (A) · P (B) = P (A ∩ B).
(c) Wie kann man die Unabhängigkeit am schnellsten überprüfen?
Drei Ereignisse A, B und C in Ω heißen unabhängig,
wenn je zwei von ihnen unabhängig sind und wenn
P (A) · P (B) · P (C) = P (A ∩ B ∩ C).
(c) Die Vierfelder-Tafel bzw. die 8-Felder-Tafel muss eine
Multiplikationstafel sein.
—
—
12.(a) Erkläre an einem Bespiel, wie man den Erwartungswert, die Varianz (letztere auf zwei Arten) und die Standdardabweichung berechnen
kann.
(b) Wie kann man den Erwartungswert geometrisch darstellen?
(c) Welche Information über eine Zufallsgröße gibt
die Varianz?
|
—
Lösung
(a)
x
W(x)
−4
0, 1
0
0, 1
2
0
3
0, 8
EX = µ
=
−4 · 0, 1 + 0 + 0 + 3 · 0, 8 = 2
Var(X)
=
E(X − µ)2 = EX 2 − µ2
Var(X)
=
36 · 0, 1 + 4 · 0, 1 + 0 + 1 · 0, 8 = 4, 8
Var(X)
=
σX
=
16 · 0, 1 + 9 · 0, 8 + 0 − 4 = 4, 8
p
Var(X) ≈ 2, 19.
(b) Im Histogramm ist der Erwartungswert die zur y-Achse
parallele Schwerlinie der Verteilung.
(c) Die Varianz gibt die Streuung einer Zufallsgröße an. Je
mehr “Gewicht“ weit vom Erwartungswert entfernt ist,
desto größer ist die Varianz der Zufallsverteilung.
—
—
13. Wie lautet die Tschebyschow-Ungleichung und
welche Information erhält man durch sie über die
Zufallsgröße?
|
—
Lösung P (|X − µ| ≥ a) ≤
Das Tyschebyschow-Risiko
ist also eine obere Schranke für das wahre Risiko P (|X − µ| ≥ a).
Wenn a ein Vielfaches von σ ist, also a = kσ gilt, erhält
man
P (|X − µ| ≥ kσ) ≤
1
1
bzw. P (|X − µ| < kσ) ≥ 1 − 2 .
k2
k
Das bedeutet z.B.
, dass im Inneren
des
Intervalls
[µ − 2σ; µ + 2σ] mehr
als 75% der gesamten
Verteilung liegt, und
zwar
unabhängig
davon, um welche
Zufallsgröße es sich
handelt.
—
Var(X)
.
a2
Var(X)
rT =
a2
a
a
z. . . . }|
{Nz
}|
{
..................
.............................................
.............................................
.............................................
.............................................
.......................
...................................................................
.............................................
.............................................
.............................................
.............................................
.......................
...................................................................
.............................................
.............................................
≥ 75%
µ − 2σ
•
µ
—
14.(a) Was ist ein Bernoulli-Experiment?
|
—
Lösung
(a) Ein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsexperiment,
das genau zwei verschiedene Ausgänge besitzt (z.B. TN, 1-0, z-w). Die Wahrscheinlichkeit für T sei p.
(b) Was ist eine Bernoulli-Kette?
(c) Gib ein Beispiel für eine Bernoulli-Kette
und benenne die auftretenden mathematischen
Größen.
—
(b) Eine Bernoulli-Kette der Länge n ist das n-malige
Ausführen eines bestimmten Bernoulli-Experiments.
(c) 7-maliges Werfen eines Laplace-Würfels.
BG: Folge der Ereignisse 6 6;
Treffer: 6
n=7
p = 16
—
15.(a) Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für
das Auftreten von k Treffern in einer BernoulliKette?
(b) Wie kann man das kurz ausdrücken?
(c) Wie findet man häufig auftretende Werte für
B-verteilte Zufallsgrößen?
(d) Wie groß sind Erwartungswert und Standardabweichung einer Binomialverteilung?
I
µ + 2σ x
|
—
Lösung
³n´
pk · qn−k , q = 1 − p.
k
(b) Man sagt, die Wahrscheinlichkeit einer Bernoulli-Kette
ist binomial verteilt und schreibt
P(X = k) = B(n; p; k).
(a) P(X = k) =
(c) im Tafelwerk
√
npq
(d) µ = np, σ =
—
—
16.(a) Wie lautet die Gauß’sche Dichtefunktion?
|
(b) Welche Eigenschaften besitzt sie?
—
Lösung
(a) ϕ(z) =
√1
2π
e−
z2
2
D = R.
(b) • Der Graph, Gauß’sche Glockenkurve genannt, ist
achsensymmetrisch zur y-Achse,
1
• E( 0 | √
) ist das einzige Maximum,
2π
| {z }
≈0,4
•
lim ϕ(z) = 0 und
z→±∞
Z
∞
ϕ(z) = 1.
•
−∞
—
17. Wie kann man für eine binomialverteilte Zufallsgröße X die Wahrscheinlichkeit P(X = k)
annähern? Beispiel!
—
—
|
Lösung Durch die lokale Näherungsformel von Moivre
und Laplace:
Falls σ > 3 so gilt
³
´
1
P(X = k) ≈ · ϕ k−µ
σ
σ
Z.B. n = 10000, p = 0, 1 ⇒ µ = 1000, σ = 30 > 3
somit
¡
¢
1
1
P(X = 985) ≈
· ϕ 985−1000
=
· ϕ(0, 5) ≈ 2, 6%
30
30
30
—
—
18.(a) Wie lautet die Gauß’sche Integralfunktion?
(b) Welche Eigenschaften besitzt sie?
|
—
Lösung
(a) Φ(z) =
Rz
ϕ(t) dt D = R
−∞
(b) •
lim Φ(z) = 1
z→∞
lim Φ(z) = 0
z→−∞
• Der Graph ist punktsymmetrisch zu T( 0 | 0, 5 ) also
Φ(−z) = 1 − Φ(z)
—
—
19. Welche Näherungsformeln gibt es für binomialverteilte Zufallsgrößen?
|
—
Lösung
³
• P(X ≤ k) ≈ Φ
k+0,5−µ
σ
´
³
³
´
´
• P(a ≤ X ≤ b) ≈ Φ b+0,5−µ
− Φ a−0,5−µ
σ
σ
³
´
• P(|X − µ| ≤ a) ≈ 2Φ a+0,5
−1
σ
—
20. Erkläre an einem Beispiel die Begriffe
—
—
|
Lösung Gegeben sind zwei Güteklassen für Glühbirnen.
Alternativen: A: p=0,90; B: p=0,70. Eine Stichprobe der
Länge 20 soll Aufschluss geben, um welche Güteklasse es
sich bei einer Lieferung
handelt.
½
¾ Festlegeung der
½ Entschei¾
X ≥ 17:
für A
dungsregel: Falls
Entscheidung
.
X ≤ 16:
für B
Zufallsbedingt könnte die Stichprobe aber nicht repräsentativ für eine der Alternativen ausfallen. So erhält man
die Fehlerwahrscheinlichkeiten P(FA ) und P(FB ) dafür,
dass man fälschlicherweise aufgrund der Stichprobe an die
falsche Alternative glaubt.
A : p = 0, 9
B : p = 0, 7
• Alternativ-Test,
• Entscheidungsregel,
• Fehlerwahrscheinlichkeit.
X ≥ 17
X ≤ 16
••
°
^
FA
FB
••
°
^
P(FA ) = P0,9 (X ≤ 16) = {wenn B-Exp.,TW} = 13, 4%
P(FB ) = P0,7 (X ≥ 17) = {wenn B-Exp.,TW} = 10, 7%
—
21. Erkläre an einem Beispiel, wie man bei einem
zweiseitigen Hypothesentest eine Entscheidungsregel zu einem vorgegebenen Signifikanzniveau
bestimmt. Unterscheide dabei die Fälle: (1) Der
Annahmebereich soll symmetrisch zu µ sein und
(2) die Fehlerwahrscheinlichkeit links und rechts
vom Annahmebereich soll maximal α2 sein.
—
—
|
Lösung Eine Firma liefert angeblich Transistoren mit
einer Ausfallrate von 10%. Diese Nullhypthese H0 soll auf
dem Signifikanzviveau α = 5% mit einer Stichprobe der
Länge 200 getestet werden.
H0 : p = 0, 1
(1):
|X − µ| ≤ k
(2):
(1):
a≤X≤b
|X − µ| > k
(2):
X <a∧X >b
H0 : p 6= 0, 1
••
°
^
FI
FII
••
°
^
(1) Z.B. mit Normalverteilung:
√
P(FI ) = 1 − P0,1 (|X − µ| ≤ k) ≈ 2 − 2Φ( k+0,5
) ≤ 0, 05.
18
| {z }
α
(2) Z.B. mit Binomialverteilung:
P0,1 (X < a) =≤ 0, 025 und 1 − P0,1 (X ≤ b) =≤ 0, 025
Erg: (1) A = {12 . . . 28}, (2) A = {10 . . . 28}