Inhaltsverzeichnis

Inhaltsverzeichnis
I
Beweisaufgaben
1
Einleitung
1 Allgemeine Grundlagen
1.1 Satz des Pythagoras . . . .
1.2 Potenzgesetze . . . . . . . .
1.3 Logarithmengesetze . . . . .
1.4 Irrationalität der Wurzel aus
1.5 Primzahlen . . . . . . . . .
1.6 Gleichungen . . . . . . . . .
1.7 Ungleichungen . . . . . . . .
1.8 Binomialkoeffizient . . . . .
1.9 Matheblüten . . . . . . . . .
2
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4
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6
7
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2 Vektoralgebra
2.1 Sinus- und Kosinussatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Skalar- und Kreuzprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Spatprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
11
11
12
3 Funktionen und Kurven
3.1 Additionstheoreme . . . . . . . .
3.2 Hyperbelfunktionen . . . . . . . .
3.3 Allgemeine Kegelschnittgleichung
3.4 Arkusfunktionen . . . . . . . . .
3.5 Areafunktionen . . . . . . . . . .
3.6 Logarithmische Darstellungen . .
13
13
13
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4 Differentialrechnung
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4.1 Ableitungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.2 Ableitungen der Grundfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.3 Ableitungen der erweiterten Grundfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5 Integralrechnung
5.1 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung .
5.2 Elementare Integrationsregeln . . . . . . . . . . .
5.3 Integrationstechniken . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Numerische Integration . . . . . . . . . . . . . . .
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6 Potenzreihenentwicklungen
30
6.1 Grenzwerte von Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
6.2 Endliche Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
6.3 Grenzwertsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Inhaltsverzeichnis
vii
6.4
6.5
6.6
6.7
Konvergenzkriterien . . . . .
Konvergenz der Taylorreihe
Unendliche Reihen . . . . .
Das Basler Problem . . . . .
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7 Komplexe Zahlen und Funktionen
43
7.1 Die Eulersche Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
7.2 Die komplexe Erweiterung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
7.3 Cardanische Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
A Beweismethoden
A.1 Direkter Beweis . . . . . . . . .
A.2 Widerspruchsbeweis . . . . . . .
A.3 Beweis durch Kontraposition . .
A.4 Vollständige Fallunterscheidung
A.5 Vollständige Induktion . . . . .
A.6 Beweis ohne Worte . . . . . . .
A.7 Gegenbeispiel . . . . . . . . . .
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B Python
52
C Lösungshinweise
53
D Lösungen
93
II Lern-Formelsammlung
210
Einleitung
211
1 Allgemeine Grundlagen
1.1 Mengenlehre . . . . . . . .
1.2 Fallunterscheidungen . . .
1.3 Fakultät . . . . . . . . . .
1.4 Potenzgesetze . . . . . . .
1.5 Logarithmengesetze . . . .
1.6 Die pq-Formel . . . . . . .
1.7 Ungleichungen . . . . . . .
1.8 Binomische Formeln . . .
1.9 Satz des Pythagoras . . .
1.10 Lineare Gleichungssysteme
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215
215
2 Vektoralgebra
2.1 Lineare Unabhängigkeit
2.2 Lineare Abhängigkeit . .
2.3 Skalarprodukt . . . . . .
2.4 Kreuzprodukt . . . . . .
2.5 Orthogonale Basis . . . .
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viii
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Inhaltsverzeichnis
3 Funktionen und Kurven
3.1 Funktion und Umkehrfunktion . . . . . .
3.2 Potenz- und Wurzelfunktionen . . . . . .
3.3 Ganzrationale Funktionen . . . . . . . .
3.4 Gebrochenrationale Funktionen . . . . .
3.5 Trigonometrische und Arkusfunktionen .
3.6 Exponential- und Logarithmusfunktionen
3.7 Logarithmische Darstellungen . . . . . .
3.8 Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . .
4 Differentialrechnung
4.1 Ableitungen von Grundfunktionen . .
4.2 Ableitungsregeln für zusammengesetzte
4.3 Linearisierung einer Funktion . . . . .
4.4 Newton-Verfahren . . . . . . . . . . . .
4.5 Kurvendiskussion . . . . . . . . . . . .
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220
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Funktionen
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221
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222
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5 Integralrechnung
224
5.1 Fundamentalsatz der Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
5.2 Partielle Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
5.3 Uneigentliche Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
6 Potenzreihenentwicklungen
226
6.1 Endliche Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
6.2 Unendliche Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
6.3 Taylorreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
7 Komplexe Zahlen und Funktionen
7.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . .
7.2 Darstellung einer komplexen Zahl
7.3 Konjugiert komplexe Zahl . . . .
7.4 Harmonische Schwingungen . . .
III Klausur-Formelsammlung
Einleitung
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230
1 Allgemeine Grundlagen
231
1.1 Allgemeine binomische Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
1.2 Transzendente Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
2 Vektoralgebra
232
2.1 Kosinussatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
2.2 Spatprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
2.3 Abstandsvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
Inhaltsverzeichnis
ix
3 Funktionen und Kurven
3.1 Satz des Pythagoras . . . . . .
3.2 Tangens und Arkustangens . . .
3.3 Kotangens und Arkuskotangens
3.4 Kegelschnitte . . . . . . . . . .
3.5 Hyperbel- und Areafunktionen .
3.6 Additionstheoreme . . . . . . .
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235
4 Differentialrechnung
4.1 Ableitungen von Grundfunktionen . . . . . .
4.2 Logarithmische Ableitung . . . . . . . . . .
4.3 Ableitung mittels Umkehrfunktion . . . . . .
4.4 Implizite Differentiation . . . . . . . . . . .
4.5 Ableitung einer in Parameterform gegebenen
4.6 Regel von L’Hospital . . . . . . . . . . . . .
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Funktion
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5 Integralrechnung
5.1 Integration durch Partialbruchzerlegung
5.2 Integration durch Substitution . . . . . .
5.3 Numerische Integration . . . . . . . . . .
5.4 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . .
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241
6 Potenzreihenentwicklungen
6.1 Konvergenzkriterien . .
6.2 Potenzreihen . . . . . .
6.3 Taylorreihen . . . . . .
6.4 Grenzwertsätze . . . .
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7 Komplexe Zahlen und Funktionen
7.1 Hauptwert einer komplexen Zahl .
7.2 Wurzelziehen . . . . . . . . . . .
7.3 Logarithmus . . . . . . . . . . . .
7.4 Cardanische Formeln . . . . . . .
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http://www.springer.com/978-3-658-13956-8