4000 Jahre Knobelaufgaben

4000 Jahre Knobelaufgaben
Martin Kreuzer
Universität Passau
[email protected]
Lehrerfortbildung “Geschichte(n) der Mathematik”
Universität Passau, 16.12.2015
1
Inhaltsübersicht
2
Inhaltsübersicht
1. 20000 v. Chr.
2-a
Inhaltsübersicht
1. 20000 v. Chr.
2. 1500 v. Chr.
2-b
Inhaltsübersicht
1. 20000 v. Chr.
2. 1500 v. Chr.
3. 250 v. Chr.
2-c
Inhaltsübersicht
1. 20000 v. Chr.
2. 1500 v. Chr.
3. 250 v. Chr.
4. 800 n. Chr.
2-d
Inhaltsübersicht
1. 20000 v. Chr.
2. 1500 v. Chr.
3. 250 v. Chr.
4. 800 n. Chr.
5. 1200 n. Chr.
2-e
Inhaltsübersicht
1. 20000 v. Chr.
2. 1500 v. Chr.
3. 250 v. Chr.
4. 800 n. Chr.
5. 1200 n. Chr.
6. 2000 n. Chr.
2-f
1 – 20000 v. Chr. - Der Ishango Knochen
Das Kennzeichen der Steinzeitmenschen
ist die schlaue Verwendung primitiver Werkzeuge.
3
1 – 20000 v. Chr. - Der Ishango Knochen
Das Kennzeichen der Steinzeitmenschen
ist die schlaue Verwendung primitiver Werkzeuge.
Den modernen Menschen erkennt man
an der primitiven Verwendung schlauer Werkzeuge.
3-a
1 – 20000 v. Chr. - Der Ishango Knochen
Das Kennzeichen der Steinzeitmenschen
ist die schlaue Verwendung primitiver Werkzeuge.
Den modernen Menschen erkennt man
an der primitiven Verwendung schlauer Werkzeuge.
Im Jahre 1959 wurde in der Nähe des Flusses Semliki in Kongo ein
Knochen mit Einritzungen gefunden, der später als ca. 22000 Jahre
alt datiert wurde.
3-b
1 – 20000 v. Chr. - Der Ishango Knochen
Das Kennzeichen der Steinzeitmenschen
ist die schlaue Verwendung primitiver Werkzeuge.
Den modernen Menschen erkennt man
an der primitiven Verwendung schlauer Werkzeuge.
Im Jahre 1959 wurde in der Nähe des Flusses Semliki in Kongo ein
Knochen mit Einritzungen gefunden, der später als ca. 22000 Jahre
alt datiert wurde.
Er hat auf seinen beiden Seiten Zahlen eingeritzt.
3-c
4
Bemerkungen: (a) Ganz rechts stehen die Primzahlen 11, 13, 17,
19 zwischen 10 und 20.
5
Bemerkungen: (a) Ganz rechts stehen die Primzahlen 11, 13, 17,
19 zwischen 10 und 20.
(b) Links oben stehen drei Verdopplungspaare: (3,6), (4,8), (5,10).
5-a
Bemerkungen: (a) Ganz rechts stehen die Primzahlen 11, 13, 17,
19 zwischen 10 und 20.
(b) Links oben stehen drei Verdopplungspaare: (3,6), (4,8), (5,10).
(c) Daneben stehen links noch die Zahlen 6 ± 1. Die Zahlen rechts
sind 12 ± 1 und 18 ± 1.
5-b
Bemerkungen: (a) Ganz rechts stehen die Primzahlen 11, 13, 17,
19 zwischen 10 und 20.
(b) Links oben stehen drei Verdopplungspaare: (3,6), (4,8), (5,10).
(c) Daneben stehen links noch die Zahlen 6 ± 1. Die Zahlen rechts
sind 12 ± 1 und 18 ± 1.
(d) In der Mitte stehen die Zahlen 10 ± 1 und 20 ± 1.
5-c
Bemerkungen: (a) Ganz rechts stehen die Primzahlen 11, 13, 17,
19 zwischen 10 und 20.
(b) Links oben stehen drei Verdopplungspaare: (3,6), (4,8), (5,10).
(c) Daneben stehen links noch die Zahlen 6 ± 1. Die Zahlen rechts
sind 12 ± 1 und 18 ± 1.
(d) In der Mitte stehen die Zahlen 10 ± 1 und 20 ± 1.
Der Ishango-Knochen deutet auf die Verwendung gemischter
Zahlsysteme (Basis 6/12 und Basis 10) hin, wie sie auch heute noch
in manchen Gegenden Afrikas üblich ist.
5-d
Bemerkungen: (a) Ganz rechts stehen die Primzahlen 11, 13, 17,
19 zwischen 10 und 20.
(b) Links oben stehen drei Verdopplungspaare: (3,6), (4,8), (5,10).
(c) Daneben stehen links noch die Zahlen 6 ± 1. Die Zahlen rechts
sind 12 ± 1 und 18 ± 1.
(d) In der Mitte stehen die Zahlen 10 ± 1 und 20 ± 1.
Der Ishango-Knochen deutet auf die Verwendung gemischter
Zahlsysteme (Basis 6/12 und Basis 10) hin, wie sie auch heute noch
in manchen Gegenden Afrikas üblich ist.
Aufgabe: Finde heraus, wie dieser Knochen verwendet wurde!
5-e
Der zweite Ishango-Knochen
Lange unbekannt war, dass 1959 gleichzeitig in der gleichen Schicht
ein zweiter Knochen mit Einritzungen gefunden wurde.
6
Der zweite Ishango-Knochen
Lange unbekannt war, dass 1959 gleichzeitig in der gleichen Schicht
ein zweiter Knochen mit Einritzungen gefunden wurde.
6-a
Bemerkungen: (a) 6 lange Kerben, 2 kurze um Kerbe 3
(b) 30 Kerben (24 lange, 6 kurze)
(c) 6 Kerben
(d) 18 Kerben
(e) 6 Kerben
(f ) 20 Kerben (14 lange, 6 kurze, davon je 2 um Kerbe 3 und 4)
7
Folgerungen: Die Ishango Knochen deuten auf die Verwendung
eines Zahlsystems zur Basis 6 oder 12 hin.
8
Folgerungen: Die Ishango Knochen deuten auf die Verwendung
eines Zahlsystems zur Basis 6 oder 12 hin.
Fragen: (1) Wozu wurden diese Knochen verwendet?
(Einfaches Rechnen, Mondkalender, Umrechnung zwischen den
Zahlbasen 12 und 10, Messung des Menstruationszyklus, . . . )
8-a
Folgerungen: Die Ishango Knochen deuten auf die Verwendung
eines Zahlsystems zur Basis 6 oder 12 hin.
Fragen: (1) Wozu wurden diese Knochen verwendet?
(Einfaches Rechnen, Mondkalender, Umrechnung zwischen den
Zahlbasen 12 und 10, Messung des Menstruationszyklus, . . . )
(2) Wenn die Knochen zum Rechnen dienten, wie können sie
nutzbringend eingesetzt werden?
8-b
2 – 1500 v. Chr. - Der Papyrus Rhind
Nicht einmal der größte Meister kann
auch nur einen Schritt für seinen Schüler gehen.
9
2 – 1500 v. Chr. - Der Papyrus Rhind
Nicht einmal der größte Meister kann
auch nur einen Schritt für seinen Schüler gehen.
Man selbst muss jede Phase
der geistigen Entwicklung durchleben.
(Ägyptische Sprichwort)
9-a
2 – 1500 v. Chr. - Der Papyrus Rhind
Nicht einmal der größte Meister kann
auch nur einen Schritt für seinen Schüler gehen.
Man selbst muss jede Phase
der geistigen Entwicklung durchleben.
(Ägyptische Sprichwort)
Das Papyrus Rhind wurde ca. 1550 v. Chr. von dem ägyptischen
Schreiber Ahmose angefertigt und ist eine Kopie eines über 200
Jahre älteren Manuskripts.
Es besteht aus einer über 5 Meter langen und ca. 32 cm breiten
Schriftrolle, die beidseitig beschrieben ist.
9-b
10
Der Papyrus enthält 84 Knobelaufgaben, die wie folgt eingeteilt sind:
11
Der Papyrus enthält 84 Knobelaufgaben, die wie folgt eingeteilt sind:
(a) 40 Aufgaben aus der Zahlentheorie und der Algebra. Dazu liefert
Ahmose auch die Zerlegungen von n2 als Summe von Stammbrüchen
für n ∈ {3, . . . , 101}.
11-a
Der Papyrus enthält 84 Knobelaufgaben, die wie folgt eingeteilt sind:
(a) 40 Aufgaben aus der Zahlentheorie und der Algebra. Dazu liefert
Ahmose auch die Zerlegungen von n2 als Summe von Stammbrüchen
für n ∈ {3, . . . , 101}.
(b) 20 Aufgaben aus der Geometrie.
11-b
Der Papyrus enthält 84 Knobelaufgaben, die wie folgt eingeteilt sind:
(a) 40 Aufgaben aus der Zahlentheorie und der Algebra. Dazu liefert
Ahmose auch die Zerlegungen von n2 als Summe von Stammbrüchen
für n ∈ {3, . . . , 101}.
(b) 20 Aufgaben aus der Geometrie.
(c) 24 Aufgaben aus der praktischen Mathematik
11-c
Die Tabelle des Papyrus Rhind
2
3
2
5
2
7
2
9
2
11
2
13
2
15
2
17
2
19
2
21
2
23
2
25
2
27
2
29
2
31
2
33
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
1
1
2 + 6
1
1
3 + 15
1
1
4 + 28
1
1
6 + 18
1
1
6 + 66
1
1
1
8 + 52 + 104
1
1
10 + 30
1
1
1
12 + 51 + 68
1
1
1
12 + 76 + 114
1
1
14 + 42
1
1
12 + 276
1
1
15 + 75
1
1
18 + 54
1
1
1
1
24 + 58 + 174 + 232
1
1
1
20 + 124 + 155
1
1
22 + 66
2
35
2
37
2
39
2
41
2
43
2
45
2
47
2
49
2
51
2
53
2
55
2
57
2
59
2
61
2
63
2
65
12
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
1
30
1
24
1
26
1
24
1
42
1
30
1
30
1
28
1
34
1
30
1
30
1
38
1
36
1
40
1
42
1
39
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
1
42
1
1
111 + 296
1
78
1
1
246 + 328
1
1
1
86 + 129 + 301
1
90
1
1
141 + 470
1
196
1
102
1
1
318 + 795
1
330
1
114
1
1
236 + 531
1
1
1
244 + 488 + 610
1
126
1
195
2
67
2
69
2
71
2
73
2
75
2
77
2
79
2
81
2
83
=
=
=
=
=
=
=
=
=
1
40
1
46
1
40
1
60
1
50
1
44
1
60
1
54
1
60
+
+
+
+
+
+
+
+
+
1
335
1
138
1
568
1
219
1
150
1
308
1
237
1
162
1
332
+
+
+
+
+
1
536
1
710
1
292
1
316
1
415
+
+
+
1
365
1
790
1
498
2
85
2
87
2
89
2
91
2
93
2
95
2
97
2
99
2
101
13
=
=
=
=
=
=
=
=
=
1
1
51 + 255
1
1
58 + 174
1
1
1
1
60 + 356 + 534 + 890
1
1
70 + 130
1
1
62 + 186
1
1
1
60 + 380 + 570
1
1
1
56 + 679 + 776
1
1
66 + 198
1
1
1
1
101 + 202 + 303 + 606
2
67
2
69
2
71
2
73
2
75
2
77
2
79
2
81
2
83
=
=
=
=
=
=
=
=
=
1
40
1
46
1
40
1
60
1
50
1
44
1
60
1
54
1
60
+
+
+
+
+
+
+
+
+
1
335
1
138
1
568
1
219
1
150
1
308
1
237
1
162
1
332
+
+
+
+
+
1
536
1
710
1
292
1
316
1
415
+
+
+
1
365
1
790
1
498
2
85
2
87
2
89
2
91
2
93
2
95
2
97
2
99
2
101
=
=
=
=
=
=
=
=
=
1
1
51 + 255
1
1
58 + 174
1
1
1
1
60 + 356 + 534 + 890
1
1
70 + 130
1
1
62 + 186
1
1
1
60 + 380 + 570
1
1
1
56 + 679 + 776
1
1
66 + 198
1
1
1
1
101 + 202 + 303 + 606
Aufgabe 1: Zeige, dass man die Zerlegungen in 3 oder 4
Stammbrüche jeweils schon durch eine Zerlegung in 2 Stammbrüche
ersetzen kann!
13-a
2
67
2
69
2
71
2
73
2
75
2
77
2
79
2
81
2
83
=
=
=
=
=
=
=
=
=
1
40
1
46
1
40
1
60
1
50
1
44
1
60
1
54
1
60
+
+
+
+
+
+
+
+
+
1
335
1
138
1
568
1
219
1
150
1
308
1
237
1
162
1
332
+
+
+
+
+
1
536
1
710
1
292
1
316
1
415
+
+
+
1
365
1
790
1
498
2
85
2
87
2
89
2
91
2
93
2
95
2
97
2
99
2
101
=
=
=
=
=
=
=
=
=
1
1
51 + 255
1
1
58 + 174
1
1
1
1
60 + 356 + 534 + 890
1
1
70 + 130
1
1
62 + 186
1
1
1
60 + 380 + 570
1
1
1
56 + 679 + 776
1
1
66 + 198
1
1
1
1
101 + 202 + 303 + 606
Aufgabe 1: Zeige, dass man die Zerlegungen in 3 oder 4
Stammbrüche jeweils schon durch eine Zerlegung in 2 Stammbrüche
ersetzen kann!
Aufgabe 2: Wie viele Zerlegungen und zwei Stammbrüche
1
1
2
=
+
n
a
b mit a < b kann man durch eine Zerlegung mit kleinerem b
verbessern?
13-b
Knobelaufgaben aus der Algebra
14
Knobelaufgaben aus der Algebra
Aufgabe 1: 700 Laib Brot sind auf vier Empfänger im Verhältnis
2
1
1
1
:
:
:
3
2
3
4 aufzuteilen. Wie viele erhält jeder?
14-a
Knobelaufgaben aus der Algebra
Aufgabe 1: 700 Laib Brot sind auf vier Empfänger im Verhältnis
2
1
1
1
:
:
:
3
2
3
4 aufzuteilen. Wie viele erhält jeder?
Aufgabe 2: (a) Wenn man zu einer Zahl zwei Drittel dieser Zahl
addiert und dann ein Drittel des Ergebnisses subtrahiert erhält man
10. Wie lautet die Zahl?
14-b
Knobelaufgaben aus der Algebra
Aufgabe 1: 700 Laib Brot sind auf vier Empfänger im Verhältnis
2
1
1
1
:
:
:
3
2
3
4 aufzuteilen. Wie viele erhält jeder?
Aufgabe 2: (a) Wenn man zu einer Zahl zwei Drittel dieser Zahl
addiert und dann ein Drittel des Ergebnisses subtrahiert erhält man
10. Wie lautet die Zahl?
(b) Wenn man zu einer Zahl zwei Drittel dieser Zahl addiert, dann
ein Drittel des Ergebnisses addiert und schließlich durch drei teilt, so
ergibt sich 10. Wie lautet die Zahl?
14-c
Knobelaufgaben aus der Geometrie
Aufgabe 1: Zeige, dass eine Kreis vom Durchmesser 9 ungefähr
dieselbe Fläche besitzt wie ein Quadrat der Seitenlänge 8.
15
Knobelaufgaben aus der Geometrie
Aufgabe 1: Zeige, dass eine Kreis vom Durchmesser 9 ungefähr
dieselbe Fläche besitzt wie ein Quadrat der Seitenlänge 8.
Tipp: Bestimme die Fläche des folgenden Achtecks:
15-a
Knobelaufgaben aus der Geometrie
Aufgabe 1: Zeige, dass eine Kreis vom Durchmesser 9 ungefähr
dieselbe Fläche besitzt wie ein Quadrat der Seitenlänge 8.
Tipp: Bestimme die Fläche des folgenden Achtecks:
Aufgabe 2: Zeige, dass hieraus ein approximativer Wert von π folgt,
der um weniger als 1% vom wahren Wert abweicht.
15-b
3 – 250 v. Chr. - Archimedes
Es gibt Dinge,
die den meisten Menschen unglaublich erscheinen,
16
3 – 250 v. Chr. - Archimedes
Es gibt Dinge,
die den meisten Menschen unglaublich erscheinen,
die nicht Mathematik studiert haben.
(Archimedes)
16-a
3 – 250 v. Chr. - Archimedes
Es gibt Dinge,
die den meisten Menschen unglaublich erscheinen,
die nicht Mathematik studiert haben.
(Archimedes)
Archimedes von Syrakus (287-212 v. Chr.) war ein bedeutender
Mathematiker, Physiker und Ingenieur.
16-b
3 – 250 v. Chr. - Archimedes
Es gibt Dinge,
die den meisten Menschen unglaublich erscheinen,
die nicht Mathematik studiert haben.
(Archimedes)
Archimedes von Syrakus (287-212 v. Chr.) war ein bedeutender
Mathematiker, Physiker und Ingenieur.
In seinem Buch der Lemmata beschäftigt er sich mit dem Problem
der Winkeldreiteilung: ein beliebig vorgegebener Winkel soll mit
Zirkel und Lineal in drei gleiche Winkel geteilt werden.
16-c
3 – 250 v. Chr. - Archimedes
Es gibt Dinge,
die den meisten Menschen unglaublich erscheinen,
die nicht Mathematik studiert haben.
(Archimedes)
Archimedes von Syrakus (287-212 v. Chr.) war ein bedeutender
Mathematiker, Physiker und Ingenieur.
In seinem Buch der Lemmata beschäftigt er sich mit dem Problem
der Winkeldreiteilung: ein beliebig vorgegebener Winkel soll mit
Zirkel und Lineal in drei gleiche Winkel geteilt werden.
1837 bewies Pierre Wantzel, dass dies für die meisten Winkel nicht
geht.
16-d
Die Windeldreiteilung nach Archimedes
Nach Archimedes genügt es, wenn wir auf dem Lineal zwei
Markierungen anbringen.
17
Die Windeldreiteilung nach Archimedes
Nach Archimedes genügt es, wenn wir auf dem Lineal zwei
Markierungen anbringen.
17-a
Beweis der Methode von Archimedes
18
Beweis der Methode von Archimedes
Aus 180o − 2γ = 180o − α − β und 180o − 2β = 180o − γ folgt 3β = α.
18-a
Der Winkeldreiteiler von Rene Descartes
1619 erfand Rene Descartes einen Gelenkmechanismus, der die
Winkeldreiteilung mechanisch löst.
19
Der Winkeldreiteiler von Rene Descartes
1619 erfand Rene Descartes einen Gelenkmechanismus, der die
Winkeldreiteilung mechanisch löst.
19-a
Aufgabe 1: Erkläre und beweise die Funktionsweise des
Winkeldreiteilers von Descartes.
20
Aufgabe 1: Erkläre und beweise die Funktionsweise des
Winkeldreiteilers von Descartes.
Aufgabe 2: Erkläre und beweise die Funktionsweise weiterer
Methoden zur Winkeldreiteilung, z. B.
20-a
Aufgabe 1: Erkläre und beweise die Funktionsweise des
Winkeldreiteilers von Descartes.
Aufgabe 2: Erkläre und beweise die Funktionsweise weiterer
Methoden zur Winkeldreiteilung, z. B.
(a) Origami
20-b
(b) Das Tomahawk
21
(b) Das Tomahawk
(c) endliches Lineal
21-a
Das Rinderproblem
1773 entdeckte Gotthold Ephraim Lessing einen Brief von
Archimedes aus Syrakus an Eratosthenes von Kyrene in
Alexandria, der dort die berühmte Bibliothek leitete. Dort
formulierte er in 22 Verspaaren folgendes mathematisches Problem:
22
Das Rinderproblem
1773 entdeckte Gotthold Ephraim Lessing einen Brief von
Archimedes aus Syrakus an Eratosthenes von Kyrene in
Alexandria, der dort die berühmte Bibliothek leitete. Dort
formulierte er in 22 Verspaaren folgendes mathematisches Problem:
Die Rinderherde des Sonnengotts, die einst in Sizilien graste, bestand
aus weissen, braunen, schwarzen und gefleckten Bullen (W,B,S,G)
und ebenso gefärbten Kühen (w,b,s,g). Die Anzahlen erfüllen folgende
Gleichungen:
22-a
W = ( 21 + 13 )S + B
w = ( 13 + 41 )(S + s)
S = ( 41 + 15 )G + B
s = ( 14 + 51 )(B + b)
G = ( 16 + 17 )W + B
g = ( 51 + 61 )(B + b)
b = ( 16 + 17 )(W + w)
23
W = ( 21 + 13 )S + B
w = ( 13 + 41 )(S + s)
S = ( 41 + 15 )G + B
s = ( 14 + 51 )(B + b)
G = ( 16 + 17 )W + B
g = ( 51 + 61 )(B + b)
b = ( 16 + 17 )(W + w)
Wer so weit kommt, ist nicht ungeübt oder der Zahlen unkundig, aber
er kann noch nicht zu den Weisen gezählt werden.
Archimedes gibt noch zwei Zusatzbedingungen:
(1) W + S ist eine Quadratzahl m2 .
(2) B + G ist eine Dreieckszahl
1
2
n(n + 1).
23-a
W = ( 21 + 13 )S + B
w = ( 13 + 41 )(S + s)
S = ( 41 + 15 )G + B
s = ( 14 + 51 )(B + b)
G = ( 16 + 17 )W + B
g = ( 51 + 61 )(B + b)
b = ( 16 + 17 )(W + w)
Wer so weit kommt, ist nicht ungeübt oder der Zahlen unkundig, aber
er kann noch nicht zu den Weisen gezählt werden.
Archimedes gibt noch zwei Zusatzbedingungen:
(1) W + S ist eine Quadratzahl m2 .
(2) B + G ist eine Dreieckszahl
1
2
n(n + 1).
Löst Du auch diese Bedingungen, so sollst Du mit Ruhm gekrönt und
als ein Mathematiker von perfekter Weisheit betrachtet werden.
23-b
24
Lösung des Rinderproblems
Die ersten 7 Gleichungen liefern ein diophantisches lineares
Gleichungssystem:
25
Lösung des Rinderproblems
Die ersten 7 Gleichungen liefern ein diophantisches lineares
Gleichungssystem:
 


W
 
−6
6
0
0
0
0
0
0
S

 

 0
  
20
−20
9
0
0
0
0

 B 

  
−13 0 −42 42
  
0
0
0
0

 G

  
=0
 0
−7
0
0
12 −7
0
0 · 

 w

  
0
0
−9
0
20
0
−9  
 0

 s

 0


0 −11 0
0
0 −11 30   


b
−13 0
0
0 −13 0
42
0
g
25-a
Mit einem Computeralgebrasystem findet man leicht die Lösungen
W = 10 366 482 · k
w = 7 206 360 · k
S = 7 460 514 · k
s = 4 893 246 · k
B = 4 149 387 · k
b = 5 439 213 · k
G = 7 358 060 · k
g = 3 515 820 · k
und somit R = 50 389 082 · k mit k ≥ 1.
26
Mit einem Computeralgebrasystem findet man leicht die Lösungen
W = 10 366 482 · k
w = 7 206 360 · k
S = 7 460 514 · k
s = 4 893 246 · k
B = 4 149 387 · k
b = 5 439 213 · k
G = 7 358 060 · k
g = 3 515 820 · k
und somit R = 50 389 082 · k mit k ≥ 1.
Die beiden Zusatzbedingungen liefern dann m = 2 · 3 · 11 · 29 · m̃ und
2 · 3 · 7 · 11 · 29 · 353 · m̃2 = n(n + 1).
Hieraus kann man entweder eine Pellsche Gleichung x2 − dy 2 = 1
mit d = 4 729 494 ableiten oder ein System von 64 quadratischen
Gleichungen der Form pu2 + 1 = qv 2 .
26-a
In jedem Fall ergibt sich als kleinste Lösung des Rinderproblems eine
Zahl
R ≈ 7, 76 · 10206 544
27
In jedem Fall ergibt sich als kleinste Lösung des Rinderproblems eine
Zahl
R ≈ 7, 76 · 10206 544
Diese Zahl konnte erstmals 1965 mit dem Computer berechnet
werden, was 7 Stunden und 49 Minuten dauerte.
Heutzutage geht es mit der verbesserten Lösungsmethode und einem
schnellen PC in wenigen Sekunden.
27-a
4 – 800 n. Chr. - Alkuin von York
28
4 – 800 n. Chr. - Alkuin von York
Der Mensch denkt,
Gott lenkt
(Alkuin von York)
28-a
4 – 800 n. Chr. - Alkuin von York
Der Mensch denkt,
Gott lenkt
(Alkuin von York)
Der Gelehrte Alkuin von York (735-804 n. Chr.) war der
wichtigste Berater Karls des Großen. Er leitete ab 782 die
Hofschule in Aachen und schrieb 799 das Buch
Propositiones ad Acuendos Juvenes
(Aufgaben zur Schärfung des Geistes der Jugend)
das 53 (oder nach manchen Quellen 56) Knobelaufgaben enthielt.
Unter anderem enthält es die ersten publizierten Aufgaben zur
diskreten Optimierung.
28-b
Flußüberquerungsaufgaben
Aufgabe 1: Ein Mann muss mit einem Wolf, einer Ziege und einem
Kohlkopf einen Fluss überqueren. Das einzige Boot kann aber neben
ihm nur einen weiteren Passagier tragen. Wie kann er den Fluss
überqueren, ohne dass dabei der Wolf die Ziege oder die Ziege den
Kohl frisst?
29
Flußüberquerungsaufgaben
Aufgabe 1: Ein Mann muss mit einem Wolf, einer Ziege und einem
Kohlkopf einen Fluss überqueren. Das einzige Boot kann aber neben
ihm nur einen weiteren Passagier tragen. Wie kann er den Fluss
überqueren, ohne dass dabei der Wolf die Ziege oder die Ziege den
Kohl frisst?
Lösung:
29-a
Aufgabe 2: Drei Männer kommen mit ihren unverheirateten
Schwestern an einen Fluss. Jeder Mann begehrte die Schwester seines
Freundes. Wie können sie den Fluss in einem Zweierboot überqueren,
ohne dass eine der Frauen befürchten muss, in Abwesenheit ihres
Bruders von einem anderen Mann geschändet zu werden?
30
Aufgabe 2: Drei Männer kommen mit ihren unverheirateten
Schwestern an einen Fluss. Jeder Mann begehrte die Schwester seines
Freundes. Wie können sie den Fluss in einem Zweierboot überqueren,
ohne dass eine der Frauen befürchten muss, in Abwesenheit ihres
Bruders von einem anderen Mann geschändet zu werden?
Aufgabe 3: Ein Mann und eine Frau haben jeweils das Gewicht
eines beladenen Karrens. Sie haben zwei Kinder, die jeweils einen
halben Karren schwer sind. Alle vier wollen einen Fluss überqueren,
doch das Boot trägt nur das Gewicht eines Karrens. Finde einen
Weg, wie die Familie übersetzen kann, ohne zu sinken.
30-a
Wüstendurchquerungen
Dieser Aufgabentyp heißt heute manchmal auch Jeep Probleme.
31
Wüstendurchquerungen
Dieser Aufgabentyp heißt heute manchmal auch Jeep Probleme.
Aufgabe 4: Ein Familienoberhaupt befahl, 90 Beutel Getreide von
einem seiner Häuser in ein anderes bringen zu lassen, das 30 Meilen
entfernt war. Wenn das Kamel 30 Beutel tragen kann und einen
Beutel Getreide pro Meile frisst, wie viele Beutel kommen in dem
anderen Haus an?
31-a
Wüstendurchquerungen
Dieser Aufgabentyp heißt heute manchmal auch Jeep Probleme.
Aufgabe 4: Ein Familienoberhaupt befahl, 90 Beutel Getreide von
einem seiner Häuser in ein anderes bringen zu lassen, das 30 Meilen
entfernt war. Wenn das Kamel 30 Beutel tragen kann und einen
Beutel Getreide pro Meile frisst, wie viele Beutel kommen in dem
anderen Haus an?
Lösung: Der Trick ist, dass man unterwegs ein oder mehrere
Zwischenlager anlegen kann. Alkuin schlägt folgende Lösung vor: ein
Zwischenlager sei x Meilen vom ersten Haus. Das Kamel verbraucht
bis dahin 3x Beutel. Gilt 90 − 3x ≤ 30, so kann es die restlichen
30 − x Meilen alles auf einmal tragen und es kommen 60 − 2x Beutel
an. Also ist x = 20 optimal und 20 Beutel kommen an.
31-b
Die Lösung von Alkuin ist aber nicht optimal, da man mit zwei
Zwischenlagern noch mehr abliefern kann.
32
Die Lösung von Alkuin ist aber nicht optimal, da man mit zwei
Zwischenlagern noch mehr abliefern kann.
Das erste Zwischenlager sei wieder nach x Meilen. Es kommen
90 − 3x Beutel dort an. Das zweite Zwischenlager sei nach weiteren y
Meilen. Dorthin sollte das Kamel zwei Transporte machen, so dass
90 − 3x − 2y Beutel ankommen.
32-a
Die Lösung von Alkuin ist aber nicht optimal, da man mit zwei
Zwischenlagern noch mehr abliefern kann.
Das erste Zwischenlager sei wieder nach x Meilen. Es kommen
90 − 3x Beutel dort an. Das zweite Zwischenlager sei nach weiteren y
Meilen. Dorthin sollte das Kamel zwei Transporte machen, so dass
90 − 3x − 2y Beutel ankommen.
Nun folgt leicht, dass 60 − 2x − y Beutel am zweiten Haus ankommen
und dass x ≥ 10 sowie y ≥ 15 gelten muss. Bei optimaler Wahl der
Zwischenlager kommen also 25 Beutel im zweiten Haus an.
32-b
5 – 1200 n. Chr. - Leonardo von Pisa
33
5 – 1200 n. Chr. - Leonardo von Pisa
Die vollen Erkenntnisse der Algebra
können nicht vermittelt werden
ohne etwas Geometrie zu verwenden.
(Fibonacci)
33-a
5 – 1200 n. Chr. - Leonardo von Pisa
Die vollen Erkenntnisse der Algebra
können nicht vermittelt werden
ohne etwas Geometrie zu verwenden.
(Fibonacci)
Der italienische Mathematiker Leonardo von Pisa (ca. 1170 - 1250
n. Chr.), auch bekannt als Fibonacci, schrieb 1202 das wichtigste
Mathematikbuch des Mittelalters:
Liber Abbaci (Das Buch der Berechnungen)
Es enthält nicht nur die Beschreibung der Zahlen und
Grundrechenarten mittels hindu-arabischer Ziffern, sondern auch eine
riesige Sammlung von Knobelaufgaben.
33-b
34
Symbolische Berechnungen
Fibonacci verwendet u.a. die direkte Methode des arabischen
Mathematikers Muhammad ibm Musa al-Khwarizmi. Die
Unbekannte wird mit das Ding (lat. res) bezeichnet. Durch
Umformen der Gleichung(en) löst man nach dieser Unbekannten auf
(arab. al-jabr und al-muqabala).
35
Symbolische Berechnungen
Fibonacci verwendet u.a. die direkte Methode des arabischen
Mathematikers Muhammad ibm Musa al-Khwarizmi. Die
Unbekannte wird mit das Ding (lat. res) bezeichnet. Durch
Umformen der Gleichung(en) löst man nach dieser Unbekannten auf
(arab. al-jabr und al-muqabala).
Aufgabe 1: Ein Händler fuhr mit drei Perlen nach Konstantinopel
um sie zu verkaufen. Die zweite war doppelt so wertvoll wie die erste,
und die dritte war doppelt so wertvoll wie die zweite minus ein
Drittel einer Goldmünze. Die Gebühren in Konstantinopel sind ein
Zehntel des Gesamtwerts für die Aufbewahrung und die Abwicklung
des Handels. Nachdem der Händler die erste Perle verkauft und die
gesamten Gebühren entrichtet hatte, blieben ihm 18 des Werts der
zweiten Perle plus 21 13
30 Goldmünzen. Wieviel waren die Perlen wert?
35-a
Lösung: Nenne den Wert der ersten Perle p. Dann sind die Perlen p,
2p und 4p − 13 Goldmünzen wert und die Händlergebühr ist
1
(7p − 13 ). Wir erhalten die Gleichung
h = 10
p−h = p−
1
10
(7p − 13 ) =
deren Auflösung p = 428 ergibt.
36
1
8
13
(2p) + 21 30
Lösung: Nenne den Wert der ersten Perle p. Dann sind die Perlen p,
2p und 4p − 13 Goldmünzen wert und die Händlergebühr ist
1
(7p − 13 ). Wir erhalten die Gleichung
h = 10
p−h = p−
1
10
(7p − 13 ) =
1
8
13
(2p) + 21 30
deren Auflösung p = 428 ergibt.
Aufgabe 2: Ein Mann kauft 30 Vögel, und zwar Rebhühner,
Tauben und Spatzen, für 30 Dinare. Ein Rebhuhn kostet drei Dinare,
eine Taube zwei, und ein Spatz einen halben. Wie viele Vögel jeder
Sorte hat er gekauft?
36-a
Lösung: Sei x die Zahl der Rebhühner, y die Zahl der Tauben und z
die Zahl der Spatzen. Dann gilt
x + y + z = 30
und
3x + 2y + 21 z = 30
Multipliziert man die zweite Gleichung mit 2 und subtrahiert man die
erste, so wird z eliminiert und es gilt 5x + 3y = 30. Also ist y durch 5
teilbar. Wegen x ≥ 1 muss y = 5 gelten und somit x = 3 und z = 22.
37
Lösung: Sei x die Zahl der Rebhühner, y die Zahl der Tauben und z
die Zahl der Spatzen. Dann gilt
x + y + z = 30
und
3x + 2y + 21 z = 30
Multipliziert man die zweite Gleichung mit 2 und subtrahiert man die
erste, so wird z eliminiert und es gilt 5x + 3y = 30. Also ist y durch 5
teilbar. Wegen x ≥ 1 muss y = 5 gelten und somit x = 3 und z = 22.
Aufgabe 3: Zuerst teile ich 10 in zwei Teile. Dividiere ich den
größeren durch den kleineren und dann den kleineren durch den
größeren, und addiere ich die Ergebnisse, so erhalte ich die Wurzel
aus 5. Wie groß sind die beiden Teile?
37-a
Lösung: Seien x und y die beiden Teile. Dann gilt
√
y
x
x + y = 10
und
5
y + x =
38
Lösung: Seien x und y die beiden Teile. Dann gilt
√
y
x
x + y = 10
und
5
y + x =
Quadrieren der ersten Gleichung liefert x2 + y 2 + 2xy = 100 und
√
2
2
Ausmultiplizieren der zweiten Gleichung ergibt x + y = 5 xy.
38-a
Lösung: Seien x und y die beiden Teile. Dann gilt
√
y
x
x + y = 10
und
5
y + x =
Quadrieren der ersten Gleichung liefert x2 + y 2 + 2xy = 100 und
√
2
2
Ausmultiplizieren der zweiten Gleichung ergibt x + y = 5 xy.
√
Aus der Differenz erhalten wir ( 5 + 2) xy = 100, und wenn wir nun
y = 10 − x einsetzen, so folgt
x2 − 10x +
√100
5+2
38-b
= 0
Lösung: Seien x und y die beiden Teile. Dann gilt
√
y
x
x + y = 10
und
5
y + x =
Quadrieren der ersten Gleichung liefert x2 + y 2 + 2xy = 100 und
√
2
2
Ausmultiplizieren der zweiten Gleichung ergibt x + y = 5 xy.
√
Aus der Differenz erhalten wir ( 5 + 2) xy = 100, und wenn wir nun
y = 10 − x einsetzen, so folgt
x2 − 10x +
√100
5+2
= 0
Die Lösungen dieser quadratischen Gleichung ergeben zusammen
√
√
mit x > y das Ergebnis x = 125 − 5 und y = 15 − 125.
38-c
Wiegeaufgaben
Aufgabe: Wie viele Gewichte braucht man, um auf einer
Balkenwaage jedes Gewichte von 1 Pfund bis 40 Pfund abwiegen zu
können, und wie schwer müssen diese Gewichte sein?
39
Wiegeaufgaben
Aufgabe: Wie viele Gewichte braucht man, um auf einer
Balkenwaage jedes Gewichte von 1 Pfund bis 40 Pfund abwiegen zu
können, und wie schwer müssen diese Gewichte sein?
Lösung: Um ein Objekt auf der rechten Seite zu wiegen kann man
ein 1-Pfund-Gewicht links platzieren (Beitrag +1), rechts platzieren
(Beitrag -1) oder gar nicht verwenden (Beitrag 0). Man muss also
alle Zahlen in 1, 2, . . . , 40 im Dreiersystem darstellen können. Dazu
braucht man vier Gewichte mit 1,3,9 und 27 Pfund.
39-a
6 – 2000 n. Chr. - Moderne Knobelaufgaben
Zu jeder Knobelaufgabe gibt es
eine einfache Lösung:
40
6 – 2000 n. Chr. - Moderne Knobelaufgaben
Zu jeder Knobelaufgabe gibt es
eine einfache Lösung:
hübsch, plausibel und falsch.
40-a
6 – 2000 n. Chr. - Moderne Knobelaufgaben
Zu jeder Knobelaufgabe gibt es
eine einfache Lösung:
hübsch, plausibel und falsch.
Aufgabe 1: (Hans Freudenthal, 1969)
Der Lehrer sagt zu Peter und Sam: “Ich habe mir zwei Zahlen
zwischen 1 und 100 ausgedacht und Peter ihr Produkt sowie Sam ihre
Summe mitgeteilt.”
40-b
6 – 2000 n. Chr. - Moderne Knobelaufgaben
Zu jeder Knobelaufgabe gibt es
eine einfache Lösung:
hübsch, plausibel und falsch.
Aufgabe 1: (Hans Freudenthal, 1969)
Der Lehrer sagt zu Peter und Sam: “Ich habe mir zwei Zahlen
zwischen 1 und 100 ausgedacht und Peter ihr Produkt sowie Sam ihre
Summe mitgeteilt.”
Peter: “Ich kenne die Zahlen nicht.”
Sam: “Das wusste ich schon.”
Peter: “Dann weiss ich die Zahlen jetzt.”
Sam: “Ich auch.”
Wie lauten die beiden Zahlen?
40-c
Aufgabe 2: (Noga Alon, Douglas B. West, 1986)
Zwei Diebe erbeuten eine wertvolle Halskette, die aus Perlen besteht
welche jeweils eine von t möglichen Farben haben. Die Zahl ai der
Perlen der i-ten Farbe sei jeweils gerade. In wieviele Teile muss man
die Kette zerschneiden, damit jeder Dieb von jeder Farbe gleich viele
Perlen erhält?
41
Aufgabe 2: (Noga Alon, Douglas B. West, 1986)
Zwei Diebe erbeuten eine wertvolle Halskette, die aus Perlen besteht
welche jeweils eine von t möglichen Farben haben. Die Zahl ai der
Perlen der i-ten Farbe sei jeweils gerade. In wieviele Teile muss man
die Kette zerschneiden, damit jeder Dieb von jeder Farbe gleich viele
Perlen erhält?
Lösung: Man kann beweisen, dass es immer mit t Schnitten geht
und dass diese Zahl optimal ist.
41-a
Aufgabe 3: (Tom Cover, 1986)
Paula wählt zwei verschiedene ganze Zahlen, schreibt jeweils eine auf
einen Zettel und verbirgt jeweils einen Zettel in einer Hand. Viktor
wählt eine der beiden Hände, sieht sich die Zahl an und rät dann, ob
es die größere oder kleinere der beiden Zahlen ist.
42
Aufgabe 3: (Tom Cover, 1986)
Paula wählt zwei verschiedene ganze Zahlen, schreibt jeweils eine auf
einen Zettel und verbirgt jeweils einen Zettel in einer Hand. Viktor
wählt eine der beiden Hände, sieht sich die Zahl an und rät dann, ob
es die größere oder kleinere der beiden Zahlen ist.
Wie kann Viktor in mehr als 50 Prozent der Fälle richtig raten?
42-a
Aufgabe 3: (Tom Cover, 1986)
Paula wählt zwei verschiedene ganze Zahlen, schreibt jeweils eine auf
einen Zettel und verbirgt jeweils einen Zettel in einer Hand. Viktor
wählt eine der beiden Hände, sieht sich die Zahl an und rät dann, ob
es die größere oder kleinere der beiden Zahlen ist.
Wie kann Viktor in mehr als 50 Prozent der Fälle richtig raten?
Lösung: Viktor wählt eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf 12 + Z
bei der jeder Wert eine positive Wahrscheinlichkeit hat. Damit wählt
eine Schranke s ∈ 12 + Z und sieht sich die Zahl z in einer zufällig
bestimmten Hand an. Ist s > z, so tippt er, dass die andere Zahl
größer ist, sonst kleiner. Ist s größer oder kleiner als beide Zahlen, so
gewinnt er in 50% der Fälle. Ist s dazwischen, so gewinnt er immer.
42-b
THE END
43
THE END
Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit!
43-a
THE END
Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit!
In the end, everything is a gag.
(Charlie Chaplin)
43-b