Mathematik-Wettbewerb Känguru 2015
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Hochschule Bremen Fachbereich E-Technik & Informatik Mathematikwettbewerb Känguru e.V. XXIII. Mathematik-Wettstreit 2014 für Schüler und Studenten Prof. Dr. Th. Risse Sinn & Zweck: In Rahmen unserer Bemühungen um die Mathematik-Ausbildung sind Schüler und Studierende (nicht nur) an der Hochschule Bremen aufgefordert, sich am Mathematik-Wettbewerb Känguru des Känguru Vereins e.V. zu beteiligen. Dieses Dokument soll – wie andere in www.weblearn.hs-bremen.de/risse/MAI/docs – Spaß machen und so der Vorbereitung und dem Training dienen. c 2015 Letzte Änderung: 21. Juni 2016 [email protected] Version 0.1 2 1. Einführung Bei Kangourou 2015 handelt es sich um einen jährlichen MathematikWettbewerb des Känguru Vereins e.V., Berlin, den es für unterschiedliche Altergruppen gibt. Die vorliegenden Aufgaben sind für Schüler der 11.–13. Klassen und für Studierende gedacht. Dieses Dokument mit meinen Lösungen (ohne Gewähr ) ist Bestandteil meiner Bemühungen, Studierende (in spe) für Mathematik zu begeistern. Wenn Ihnen dieses Dokument Spaß gemacht hat, probieren Sie doch mal die Dokumente zum Vorkurs, zur Numerik, Zahlentheorie, Kryptographie, Codierung und Wahrscheinlichkeitsrechnung usw. aus, alle unter http://www.weblearn.hs-bremen.de/risse/MAI/docs. Viel Erfolg! 3 2. Aufgaben mit Lösungen Der Quiz besteht aus 10 leichteren, 10 mittelleichten/mittelschweren und 10 schwereren Aufgaben. Beim Wettbewerb wird selbstverständlich nicht erwartet, daß Sie alle 30 gestellten Probleme in anderthalb Stunden lösen. Alle Aufgaben sind ohne weitere Hilfsmittel zu bearbeiten. Selbstverständlich sind alle Lösungsstrategien erlaubt: Natürlich dürfen Sie Fragestellungen in einem multiple choice test durch Ausschluß beantworten. Im ersten Test einfach auf die richtige Antwort clicken! Aufgabe 1. Mathematik ist (a) fun (b) cool (c) out (d) in (e) voll krass Auf die Plätze – fertig – los! Abschnitt 2: Aufgaben mit Lösungen 4 Aufgabe 1. Welche der folgenden Zahlen liegt am nächsten am Ergebnis der Rechnung 0, 2015 · 0, 5012 ? (a) 0,0001 (b) 0,001 (c) 0,01 (d) 0,1 (e) 1 2. Welche der folgenden Strecken im rechts abgebildeten Würfel ABCDEF GH ist am längsten? H E G F D C A B (a) CD (b) DE (c) DF (d) CH (e) DG 3. Andrea wurde 1997 geboren, und ihre Schwester Charlotte wurde 2001 geboren. Dann beträgt der Altersunterschied zwischen den beiden Schwestern ganz gewiss (a) weniger (b) mindes- (c) genau 4 (d) mehr als (e) nicht als 4 tens 4 Jahre 4 Jahre weniger Jahre Jahre als 3 Jahre der Strecken folgenden im rechts abgebildeten Würfel ABCDEF GH ist A2 Welche derWelche folgenden imStrecken rechts abgebildeten Würfel ABCDEF GH ist E A2 Welche derA2 folgenden rechts abgebildeten Würfel ABCDEF GH istWürfel A2 Welche derStrecken folgenden Strecken im Strecken rechts abgebildeten Würfel ABCDEF istE EGH A2 Welche im der folgenden im rechts abgebildeten ABCDEF EGH ist am längsten? als 4 Jahre. am (A) längsten? am längsten? amweniger längsten? (B) mindestens 4 Jahre. (A) CD G E (C) genau 4F Jahre. F F am längsten? Abschnitt (A) 2: Aufgaben mit Lösungen (D)CD mehr(A) alsCD 4 Jahre. nicht als CH 3 Jahre. DF (B) DE (B) DE (C) DF(E )(C) (D)weniger CH (D) (E ) DG D D D (E ) DG C (A) (B) CD DE (A)(B) DE DF (B)(C) DF CH (C)(D) CH) DG(D)(E ) DG CD(C) DE(D) DF (E CH (E ) DGC A A A B A G F D D C C A F 5 C B B B B A4 Aufeiner einer Biologie-Exkursion hat Diana in einem Waldstück 4. Biologie-Exkursion hat Diana A3 Andrea wurde 1997 geboren, undCharlotte ihreund Schwester Charlotte wurde 2001beträgt geboren. Dann beträgt der der A3 Andrea wurde 1997 geboren, und ihre Charlotte wurde 2001 geboren. Dann beträgt derDann A3 Auf Andrea wurde 1997 geboren, ihre Schwester wurde 2001 geboren. der beträgt A3 Andrea wurde 1997 geboren, undSchwester ihre Schwester Charlotte wurde 2001 geboren. Dann der beträgt A3 wurde 1997 geboren, ihre Schwester Charlotte wurde 2001 geboren. den Bestand derAndrea vierundhäufigsten Baumarten ausgezählt und ihr Dann Altersunterschied zwischen den beiden Schwestern ganz gewiss Altersunterschied zwischen den beiden Schwestern ganz gewiss Altersunterschied zwischen den beiden Schwestern ganz gewiss Altersunterschied zwischen den beiden Schwestern ganz gewiss zwischen den beiden Schwestern ganz gewiss in einem Waldstück den Bestand der findet, vier Ergebnis dann inAltersunterschied einem Säulendiagramm dargestellt. Jasper als 4(B) Jahre. (B) mindestens 4 Jahre. genau 4 Jahre. (A) für weniger alsweniger 4 Jahre. (B) mindestens 4 Jahre. (C) genau 4(C) Jahre. (A)dass weniger als Jahre. mindestens Jahre. (C) genau 4(C) Jahre. (A) weniger als Jahre. (B) 4 mindestens Jahre. genau 4(C) Jahre. (A)4weniger als 4 Jahre. (B)4mindestens 4 Jahre. genau 4 Jahre. die4(A) Darstellung ein Kreisdiagramm besser geeignet wäre. häufigsten Baumarten ausgezählt und (D) mehr als 4 Jahre. (E ) nicht weniger als 3ihr Jahre. (D) mehr als 4 Jahre. (E ) nicht weniger als 3 Jahre. (D)Wie mehrkönnte als(D) 4 Jahre. ) nicht weniger als 3weniger Jahre. mehr als(D) 4 Jahre. (E ) nicht als 3weniger Jahre. mehr(Eals 4 Jahre. (E ) nicht als 3 Jahre. dieses Kreisdiagramm aussehen? dann in Säulendiagramm dargestellt. Jasper finA4 einer hat Diana in einem Waldstück A4 einer Auf Biologie-Exkursion hat Diana in einem Waldstück A4 Ergebnis Auf Biologie-Exkursion hateinem Diana in einem Waldstück A4 einer Auf Auf einer Biologie-Exkursion hat Diana in Waldstück A4 AufBiologie-Exkursion einer Biologie-Exkursion hateinem Diana in einem Waldstück Bestand der Baumarten vier der häufigsten Baumarten ausgezählt und ihrund ihr den Bestand der vier Baumarten ausgezählt und ihr den Bestand derden vier häufigsten ausgezählt und ihr den Bestand derhäufigsten vier häufigsten ausgezählt und ihr den Bestand vierBaumarten häufigsten Baumarten ausgezählt det, dass für die Darstellung ein Kreisdiagramm besser geeignet Ergebnis dann in einem dargestellt. Jasper findet, findet, Ergebnis dann indann einem Säulendiagramm Jasper findet, Ergebnis dann in einem Säulendiagramm dargestellt. Jasper findet, Ergebnis in einem Säulendiagramm dargestellt. Jasper findet,Jasper Ergebnis dann inSäulendiagramm einemdargestellt. Säulendiagramm dargestellt. fürDarstellung dieKreisdiagramm Darstellung einbesser Kreisdiagramm besser geeignet wäre. wäre. dass diedass Darstellung ein die Kreisdiagramm besser geeignet wäre. dass für diefür Darstellung ein geeignet wäre. dass für die ein Kreisdiagramm besser geeignet wäre. dass für Darstellung ein Kreisdiagramm besser geeignet wäre. Wie könnte dieses Kreisdiagramm aussehen? (A) (B) (C) (D) (E ) Wie könnte Kreisdiagramm aussehen? Wie könnte dieses Kreisdiagramm aussehen? Wie könnte dieses Kreisdiagramm aussehen? Wie könnte dieses Kreisdiagramm aussehen? Wie dieses könnte dieses Kreisdiagramm aussehen? A5 Die Summe der 31 natürlichen Zahlen von 2001 bis 2031 wird durch 31 dividiert. Was ist das Ergebnis? (A) 2012 (B) 2013 (C) 2015 (D) 2016 (E ) 2019 (A) (B) (B) (B)(C) (B) (C) (E ) (E ) (E(e) (A) (A) (A) (A)(B) (E ) (D) (D) ) (E ) (b) (c)(C) (C)(D) (C)(D) (D)(d) (a) A6 Matti ist für die Windlichter beim Gartenfest zuständig. Er will ein altes Glas, das die A5 Die31 Summe der 31 natürlichen Zahlen von 2001 bis 2031 wird durch 31das dividiert. Was ist das Ergebnis? A5 Die 31 Summe der natürlichen Zahlen von 2001 bisdurch 2031 wird durch 31 dividiert. Was istWas das ist Ergebnis? A5 Die Summe der natürlichen Zahlen von 2001 bis 2031 wird 31 dividiert. Was ist das Ergebnis? A5 Die Summe der 31 natürlichen Zahlen von 2001 bis 2031 wird durch 31 dividiert. Was ist Ergebnis? A5 Die Summe der 31 natürlichen Zahlen von 2001 bis 2031 wird durch 31 dividiert. das2031 Ergebnis? 5. Die Form Summe der 31hat,natürlichen Zahlen von 2001mitbis wird eines Kegelstumpfs von außen vollständig und ohne Überlappungen farbigem (A) (B) (C) 2015 (E ) 2019 (A) (A) 2012 (B) 2013 (C) 2015 (D) 2016 (E ) muss 2019 (A)Transparentpapier 2012 (B) 2013 (C) 2015 (D) 2016 (E2016 ) (D) 2019 (A) 2012 (B)2012 2013 (C)2013 2015 (D) 2016 (E2016 ) 2019 2012 (B) 2013 (C) 2015 (D) (E ) 2019 bekleben, wobei der Boden frei bleiben soll. Welche Form dieses durch 31 dividiert. Was ist das Ergebnis? Stück Transparentpapier haben? A6 Matti ist Windlichter für die Gartenfest Windlichter beimEr Gartenfest zuständig. Ereinwill ein die altesdie Glas, das die A6für Matti ist die beim Gartenfest zuständig. willEr ein Glas, das A6 Matti ist Windlichter beim Gartenfest zuständig. willzuständig. altes Glas, das die A6 Matti istdiefür diefür Windlichter beim zuständig. EreinwillEr ein altes Glas, das A6 Matti ist für Windlichter die beim Gartenfest willaltes altes Glas, das die Form eines Kegelstumpfs von außen vollständig und ohne Überlappungen mit farbigem FormForm eineseines Kegelstumpfs hat,außen von vollständig und ohne mit farbigem Form Form eines Kegelstumpfs hat, von außen vollständig und ohne Überlappungen mit farbigem eines Kegelstumpfs hat, von vollständig und ohne Überlappungen mit farbigem Kegelstumpfs hat,außen vonhat, außen vollständig und Überlappungen ohne Überlappungen mit farbigem (a) 2012 (b) 2013 (c) 2015 (d) 2016 (e) 2019 Transparentpapier bekleben, wobei der Boden frei bleiben soll. Welche Form muss Transparentpapier bekleben, wobei der bleiben Boden frei soll. Welche Form muss Transparentpapier bekleben, wobei der Boden frei soll.bleiben Welche Form muss dieses Transparentpapier bekleben, wobei der Boden frei Boden bleiben soll.bleiben Welche Form muss Form diesesdieses Transparentpapier wobei der frei soll. Welche muss diesesdieses (B)bekleben, (C) (D) (E ) (A)Stück Stück Transparentpapier haben? Transparentpapier haben? StückStück Transparentpapier haben? Transparentpapier haben? haben? 6. Matti ist Stück fürTransparentpapier die Windlichter beim Gartenfest zuständig. Er ein altes Glas, das(D)die (B) (A) (B) (C) (D) Form (B) will (C) (E ) (D) (A) (A) (A) (A) (B) (C) (E ) (E ) (E ) (E ) (B) (C)(D) (C) (D) eines Kegelstumpfs hat, von außen vollständig und ohne Überlappungen mit farbigem Transparentpapier bekleben, wobei der Boden frei bleiben soll. Welche Form muss dieses Stück Transparentpapier haben? Abschnitt 2: Aufgaben mit Lösungen (a) (b) (c) 6 (d) (e) 7. Bauer Meckes Kühe haben 2 Beine weniger Känguruinsgesamt 2015 — Klassenstufen 11 bis als 13 Bauer Meckes Enten. Dann hat Bauer Mecke (a) weniger (b) halb so (c) genauso (d) doppelt (e) mehr als n insgesamt 2 Beine weniger als Bauer Meckes Enten. Dann hat Bauer Mecke als halb viele viele so viele doppelt o viele Kühe wie (B) halb so vieleKühe Kühe wie Enten. so Enten. viele Kühe Kühe so viele wiedoppelt so viele wie Kühe wie Enten. wie Kühe e wie Enten. Kühe (D) wieEnten. Enten Enten Enten wie so viele Kühe wie Enten Enten 8. (a − b)3 + (b − a)3 = 3 3 3 3 3 2 3 2 ) 2(a − b)(a) − 2b 2b3 3 (d) (E b +(e) 6ab6ab(a+b) 0 (C) 2a(b) 2(a − b)3(D) (c)2a2a+ −2b 2a)3 6a +2b 9. der DerSeitenlänge graue Teil Quadrats mit der drats mit 2 cmdes ist von einem Halbkreisbogen Seitenlänge 2 cm ist von einem Halbn begrenzt. Welchen Flächeninhalt hat die graue Fläche? π kreisbogen und zwei Viertelkreisbögen becm2 (C) π cm2Welchen (D) 1Flächeninhalt cm2 (E ) hat + 1 die cm2 grenzt. 2 graue Fläche? π 2 22x = 4x+1 ?2 erfüllen die (a)Gleichung (b) 2 cm 2 cm ) eine (C) zwei (c) π cm2 (D) drei (d) 1 cm2 (e) π 2 + 1 cm2 (E ) unendlich viele Abschnitt 2: Aufgaben mit Lösungen 7 10. Wie viele reelle Zahlen x erfüllen die Gleichung 22x = 4x+1 ? (a) keine (b) eine (c) zwei (d) drei (e) ∞ viele 11. Ein quadratisches Blatt Papier wird entlang der gestrichelten Linien zusammengefaltet, die Reihenfolge spielt keine Rolle. Dem entstandenen Quadrat wird eine seiner Ecken abgeschnitten. Wie viele Löcher hat das Blatt Papier, wenn es wieder auseinandergefaltet wird? ⇓ (a) 0 (b) 1 (c) 4 (d) 9 (e) Es hängt davon ab, welche Ecke abgeschnitten wird. p 12. (2015 + 2015) + (2015 − 2015) + (2015 · 2015) + (2015/2015) = √ (a) 2015 (b) 2015 (c) 2016 (d) 2017 (e) 4030 13. Die Koordinatenebene wird durch die x-Achse, die y-Achse und die Graphen der beiden Funktionen f (x) = 2 − x2 und g(x) = x2 − 1 in mehrere Gebiete zerlegt. Wie viele Gebiete sind das? (a) 8 (b) 11 (c) 12 (d) 14 (e) 15 Abschnitt 2: Aufgaben mit Lösungen 14. In jeden der acht Kreise soll eine Zahl so eingetragen werden, dass jede der Zahlen die Summe der beiden zu ihr benachbarten Zahlen ist. Zwei Zahlen sind bereits eingetragen. Was trifft dann zu? 8 3 5 x (a) x = −5 (b) x = −16 (c) x = −8 (d) x = −3 (e) Eine solche Belegung gibt es nicht. 15. Von fünf verschiedenen positiven ganzen Zahlen a, b, c, d, e ist bekannt, dass c/e = b, a + b = d und e − d = a gilt. Welche der fünf Zahlen ist die größte? guru 2015 — Klassenstufen 11 bis 13 (a) a (b) b (c) c (d) d (e) e 3 zwei zuidentische Spielwürfel zu sehts sind16. zweiRechts identischesind Spielwürfel sehen, bei denen sich die Augenzahlen gegenüberliegenden Seiten jeweils zu 7 addieren. Welche Augenzahl hen, bei denen sich die Augenzahlen aufbefindet geauf der rechten Seite des rechten Würfels? genüberliegenden Seiten jeweils zu 7 addieren. A) 1 (B) 2 Augenzahl (C) 3 befindet (D) sich 5 ) 1rechoder 3 Welche auf (E der ten Seite des rechten Würfels? Mittelalterfest auf Burg Rabenstein soll es im Vorhof entlang der Festungsmauer nebeneinander (a) je1 einen für einen (b) Schmied, 2 (c)Töpfer 3 und einen (d)Schneider 5 (e)einen 1 oder Stände geben: einen sowie mit 3 gen Speisen und einen mit Wein. Die Stände der drei Handwerker sollen nebeneinander stehen ebenso die beiden Stände mit Essen und Getränken. Wie viele Möglichkeiten gibt es für die 3 Känguru 2015 2: — Klassenstufen 11 bis 13 Abschnitt Aufgaben mit Lösungen 9 17. sind Zum BurgbeiRabenstein soll es im B6 Rechts zweiMittelalterfest identische Spielwürfelauf zu sehen, denen sich die Augenzahlen B8 (A) 12 (B) 24 (C) 36 (D) 48 18. Über den Seiten eines rechtwinkligen DreiÜber den Seitensind eines rechtwinkligen Dreiecks sind Halbkreise errichtet (s. Abb.). ecks Halbkreise errichtet (s. Abb.). Ihre Ihre Flächeninhalte betragen X cm2 , Y cm2 und Z cm2 .2Was gilt dann 2 sicher? Flächeninhalte betragen X √ √ √ √ cm , Y cm und √ (B) X + Y = Z (C) X + Y = Z (A) X + Y2 = Z Z cm . Was gilt dann sicher? 2 2 2 (D) X + Y = Z (E ) X + Y = Z √ √ √ (E ) 60 Yc m2 B7 Vorhof entlang je einen für einen Schmied, einen Töpfer und einen Schneider sowie einen mit (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 5 (E ) 1 oder 3 deftigen Speisen und einen mit Wein. Die Stände der drei HandZum Mittelalterfest auf Burgnebeneinander Rabenstein soll es imstehen Vorhof entlang Festungsmauer nebeneinander werker sollen undder ebenso die beiden Stände fünf Stände geben: je einen für einen Schmied, einen Töpfer und einen Schneider sowie einen mit mit Essen und Getränken. Wie viele Möglichkeiten gibt es für die deftigen Speisen und einen mit Wein. Die Stände der drei Handwerker sollen nebeneinander stehen Anordnung der fünf Stände? und ebenso die beiden Stände mit Essen und Getränken. Wie viele Möglichkeiten gibt es für die Anordnung der fünf Stände? (a) 12 (b) 24 (c) 36 (d) 48 (e) 60 auf gegenüberliegenden Seiten jeweilsnebeneinander zu 7 addieren. Welchefünf Augenzahl befindet der Festungsmauer Stände geben: sich auf der rechten Seite des rechten Würfels? Xc m2 Z cm2 √ 2 B9 Als geometrisches n positiven wird X die+Y n-te=Wurzel ausX+Y dem Produkt dieserXZahlen (a) X +Mittel Y von (b) X + Zahlen Y (c) Z (d) = Z 2 (e) +Y 2 bezeichnet. Wenn das geometrische√Mittel von drei Zahlen 3 und von drei anderen Zahlen 12 ist, =Z = Z =Z was ist dann das geometrische Mittel aller sechs Zahlen? 15 Zahlen wird die n-te 15 19. Als geometrisches Mittel von n positiven (D) (E ) 36 (A) 4 (B) 6 (C) 2 6 Wurzel aus dem Produkt dieser Zahlen bezeichnet. Wenn das geometrische Mittel von drei Zahlen 3 und von drei anderen Zahlen schneiden sich im Mittelpunkt der drei Kreise. Die drei grau markierten Felder B10 Die senkrechte und die waagerechte Linie auf der abgebildeten Zielscheibe haben denselben Flächeninhalt. Der Radius des kleinsten der drei Kreise ist 1. isches Mittel von n positiven Zahlen wird die n-te Wurzel aus dem Produkt dieser Zahlen 2: Aufgaben WennAbschnitt das geometrische Mittelmit vonLösungen drei Zahlen 3 und von drei anderen Zahlen 12 ist, 10 das geometrische Mittel aller sechs Zahlen? 12 ist, was ist dann das geometrische Mittel aller sechs Zahlen? 15 15 (D) (E ) 36(e) 36 (B) (a) 64 (b)(C) 6 2 (c) 15/2 6 (d) 15/6 20. die Diewaagerechte senkrechteLinie undauf dieder waagerechte auf hte und abgebildeten Linie Zielscheibe der abgebildeten Zielscheibe schneiden sichFelder im ch im Mittelpunkt der drei Kreise. Die drei grau markierten elben Flächeninhalt. Der Radius drei drei Kreise grau ist 1. Mittelpunkt der des dreikleinsten Kreise.derDie der Radiusmarkierten des größten der drei Kreise? Felder haben denselben Flächenin√ √ Der Radius des kleinsten 3 3 der drei √ halt. (B) 2 2 (C) 3 (D) 6 (E ) Kreise 2 des größten der ist 1. Wie groß ist der Radius drei√Kreise? √ √ √ 3 (b) 2 2 (c) 3 (d) 3 3/2 (e) 6 21. Diegomithat Spielwürfel Augenzahlen 1, trägt 2, 3,die4, 5, inen Spielwürfel deneinen Augenzahlen 1, 2, 3, 4,mit 5, 6.den Philipps „Spezialwürfel“ n 2, 2, 2, 5, 5, Jeder der beiden würfelt mit seinem Wer die höhere2,Augenzahl 6.5.Philipps ’Spezialwürfel’ trägt Würfel. die Augenzahlen 2, 2, 5, 5, innt. Bei gleicher Augenzahl gewinnt keiner von beiden. Wie großWürfel. ist die Wahrscheinlichkeit, 5. Jeder der beiden würfelt mit seinem Wer die höhere gewinnt? Augenzahl würfelt, gewinnt. Bei gleicher Augenzahl gewinnt kei7 5 1 11 ner von beiden.(C) Wie groß ist dieWahrscheinlichkeit, (B) (D) (E ) dass Philipp 18 12 2 18 gewinnt? zt einen Antiquitätenladen. Gestern hat sie zwei wertvolle Uhren verkauft. Für die große (b) 7/18 (c)bezahlt 5/12 hat. Für (d)die1/2 (e) 11/18 t sie 40 % (a) mehr1/3 Geld bekommen, als sie dafür goldene Armbanduhr r 60 %22. mehr Geld bekommen, als sieAntiquitätenladen. dafür bezahlt hat. Für Gestern beide Uhren zusammen Penny besitzt einen hat sie zweihat wert- kte-Aufgaben (a) ehr Geld bekommen, als sie für beide zusammen bezahlt hat. Die Standuhr hat Penny Abschnitt 2: Aufgaben mit Lösungen 11 volle Uhren verkauft. Für die große Standuhr hat sie 40% mehr Geld bekommen, als sie dafür bezahlt hat. Für die goldene Armbanduhr hat sie sogar 60% mehr Geld bekommen, als sie dafür bezahlt hat. Für beide Uhren zusammen hat sie 54% mehr Geld bekommen, als sie für beide zusammen bezahlt hat. Die Standuhr hat Penny für 120e gekauft. Wie viel hat Penny für die Armbanduhr bezahlt? (a) 156e (b) 162e (c) 180e (d) 240e (e) 280e 23. A, B, C, D und E sind Aussagen. In der Reihenfolge A, B, C, D, E, welches ist die erste wahre Aussage? (a) C ist (b) A ist (c) E ist (d) B ist (e) E = wahr. wahr. falsch. falsch. ’1+1=2’ 24. Wie viele 3-stellige natürliche Zahlen sind die Summe von genau neun verschiedenen Potenzen von 2, d.h. von Zahlen der Form 2k , wobei k eine nichtnegative ganze Zahl ist? (a) 1 (b) 2 (c) 3 (d) 4 (e) 5 d. h. von Zahlen der Form 2k , wobei k eine nichtnegative ganze Zahl ist? Abschnitt(A) 2:1 Aufgaben (B) mit2 Lösungen(C) 3 (D) 4 (E ) 5 12 Rechteck ABCD ist M1 der Mittelpunkt CD, M2 der MittelM1 25. C5 ImImRechteck 2(ABCD) ist Mvon 1 der MittelD C punkt von AM1 , M3 der Mittelpunkt von BM2 und M4 der Mittelpunkt punkt CD, Mittelpunkt von von CMvon Wie M groß der Anteil der Fläche des Vierecks 2 istder M2 3 (s. Abb.). M4 M1 M2 M3 M4 am Flächeninhalt des Rechtecks ABCD ? AM von9 BM2 und 1, M 3 der Mittelpunkt M3 3 7 1 7 A B (B) (C) (D) (E ) M4 (A) der16Mittelpunkt von 16 32 CM3 (s. 32 Abb.). 5 Wie groß und istTimo derhaben Anteil Fläche des Vierecks M1 M M3Ziffern M4 am C6 Christopher jeder dieder Buchstaben im englischen Wort KANGAROO so 2durch ersetzt, dass jeder eine Zahl erhalten hat. Jeder der beiden Flächeninhalt des8-stellige Rechtecks 2(ABCD) ? hat gleiche Buchstaben durch gleiche Ziffern ersetzt und verschiedene Buchstaben durch verschiedene Ziffern. Christopher hat die 11 teilbare Timo die kleinstmögliche teilbare Zahl. (a)größtmögliche 7/16 durch (b) 3/16 Zahl erhalten (c) und 7/32 (d) 9/32 durch 11(e) 1/5 Einen der Buchstaben haben beide durch die gleiche Ziffer ersetzt. Welche Ziffer ist das? 26. Christopher und(B)Timo haben die Buchstaben im (A) 5 0 (C) jeder 4 (D) 6 (E ) 3 englischen Wort KANGAROO so durch Ziffern ersetzt, dass jeder eine 8e C7 Die Abbildung zeigt fünf Geraden und eine sogenannte stellige Zahl erhalten hat. Jeder der (x beiden hat gleiche Buchstaben d algebraische Kurve, die aus genau denjenigen Punkten , y) 3 besteht,gleiche welche die Gleichung + y 3 = 2x y erfüllen. Eine der durch Ziffernx ersetzt und verschiedene Buchstaben durch fünf Geraden ist die x -Achse des Koordinatensystems. Welche? verschiedene Ziffern. Christopher hat die größtmögliche durch 11 (A) a (B) b (C) c (D) d (E ) e a teilbare Zahl erhalten und Timo die kleinstmögliche b durchc11 teilEs liegen 192 Kugeln im Kreis, Reihe nach mit 1 bishaben 192 nummeriert. Ein Roboter den gleiche Kreis C8 bare Zahl. Einen derderBuchstaben beide durchläuft die ab und entfernt der Reihe nach jede zweite Kugel, beginnend mit 2, 4, 6 usw. Er läuft solange weiter Ziffer ersetzt. istKugel das? und entfernt Kugeln,Welche bis nur nochZiffer eine einzige übrig ist. Welche Nummer hat diese Kugel? (C) 65 (D) (E(e) ) 191 3 (a) (A) 5 1 (b)(B)0 17 (c) 4 (d)1296 C9 Wie viele Dreiecke ABC mit ganzzahligen Seitenlängen gibt es, die bei B einen rechten Winkel haben und deren Seite AB die Länge 20 hat? (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E ) 6 C10 Malou und Ana haben über Nacht Erbsen eingeweicht und sich rote, grüne, blaue und schwarze Holz- gleiche Ziffern ersetzt und verschiedene Buchstaben durch verschiedene Ziffern. Christopher hat die größtmögliche durch 11 teilbare Zahl erhalten und Timo die kleinstmögliche durch 11 teilbare Zahl. Einen der Buchstaben haben beide durch die gleiche Ziffer ersetzt. Welche Ziffer ist das? Abschnitt 2: Aufgaben mit Lösungen (A) 5 (B) 0 (C) 4 (D) 6 13 (E ) 3 27. Die Abbildung zeigt fünf Geraden und e C7 Die Abbildung zeigt fünf Geraden und eine sogenannte eine sogenannte algebraische Kurve, d algebraische Kurve, die aus genau denjenigen Punkten die (x , y ) besteht, welche die Gleichung x + y = 2x y erfüllen. Eine der aus genaufünf denjenigen Punkten (x, y) beGeraden ist die x -Achse des Koordinatensystems. Welche? 3 steht, welche + yd 3 =(E2xy (A) adie Gleichung (B) b (C) c x (D) )e c b erfüllen. Eine der fünf Geraden ist die x- a C8 Es liegen 192 Kugeln im Kreis, der Reihe nach mit 1 bis 192 nummeriert. Ein Roboter läuft den Kreis Achse desabKoordinatensystems. und entfernt der Reihe nach jede zweiteWelche? Kugel, beginnend mit 2, 4, 6 usw. Er läuft solange weiter und entfernt Kugeln, bis nur noch eine einzige Kugel übrig ist. Welche Nummer hat diese Kugel? (a) a (b) b (c) c (d) d (e) e 3 (A) 1 (B) 17 3 (C) 65 (D) 129 (E ) 191 28. Es liegen Kugeln immitKreis, der Reihegibtnach mit 1 bis 192 numC9 192 Wie viele Dreiecke ABC ganzzahligen Seitenlängen es, die bei B einen rechten Winkel haben und deren Seite AB die Länge 20 hat? meriert. Ein Roboter läuft den Kreis ab und entfernt der Reihe (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E ) 6 nach jede zweite Kugel, beginnend mit 2, 4, 6 usw. Er läuft soC10 Malou und Ana haben über Nacht Erbsen eingeweicht und sich rote, grüne, blaue und schwarze Holzlange weiter und entfernt Kugeln, bis noch eine einzige Kugel stäbchen besorgt. Mit 8 Erbsen für die Ecken und nur 12 Holzstäbchen für die Kanten hat Malou flink Würfel zusammengesteckt, bei dem jede Seitenfläche von einer roten, einer grünen, einer blauen übrig ist. einen Welche Nummer hat diese Kugel? und einer schwarzen Kante begrenzt wird. Auch Ana will auf diese Weise einen Würfel bauen, bei dem jede Seitenfläche verschiedenfarbige Kanten hat. Ihr Würfel soll jedoch, egal wie sie ihn dreht und (a) 1 (b) 17 (c) 65 (d) 129 (e) 191 wendet, von Malous Würfel verschieden sein. Wie viele Möglichkeiten gibt es für Anas Würfel? (A) 0 (B) 1 5 (D) 11 Seitenlängen (E ) 23 29. Wie viele Dreiecke ∆(ABC) mit(C)ganzzahligen gibt es, die bei B einen rechten Winkel haben und deren Seite AB die Länge 20 hat? (a) 1 (b) 2 (c) 3 (d) 4 (e) 6 Abschnitt 2: Aufgaben mit Lösungen 14 30. Malou und Ana haben über Nacht Erbsen eingeweicht und sich rote, grüne, blaue und schwarze Holzstäbchen besorgt. Mit 8 Erbsen für die Ecken und 12 Holzstäbchen für die Kanten hat Malou flink einen Würfel zusammengesteckt, bei dem jede Seitenfläche von einer roten, einer grünen, einer blauen und einer schwarzen Kante begrenzt wird. Auch Ana will auf diese Weise einen Würfel bauen, bei dem jede Seitenfläche verschiedenfarbige Kanten hat. Ihr Würfel soll jedoch, egal wie sie ihn dreht und wendet, von Malous Würfel verschieden sein. Wie viele Möglichkeiten gibt es für Anas Würfel? (a) 0 (b) 1 (c) 5 (d) 11 (e) 23 15 Lösungen der Aufgaben Lösung zu Aufgabe: Wegen eigener Befangenheit hier nur ein paar Hinweise auf Literatur, die die Bibliothek und/oder ich gern auch leihweise zur Verfügung stellen: • Albrecht Beutelspacher: Mathematik für die Westentasche; Piper Verlag 2001 120 S. 9.90 e und viele weitere Titel • P.J. Davis, Reuben Hersh: Erfahrung Mathematik; Birkhäuser 1985 ISBN 3-7643-1359-5 • Udo Hebisch: Bücher über Mathematik – umfangreiche (link) list; www.mathe.tu-freiberg.de/~hebisch/cafe/cafebuecher.html • John A. Paulos: Innumeracy – Mathematical Illiteracy and its Consequences; Penguin 1988 ISBN 0-14-012255-9 • Wilhelm Sternemann: Neue Fraktale aus platonischen Körpern; Spektrum der Wissenschaft 11/2000, www.wissenschaft-online.de/abo/spektrum/archi Weitere Literatur-Hinweise finden sich in den oben genannten Dokumenten, s.a. www.weblearn.hs-bremen.de/risse/MAI/docs. Test beenden Lösungen der Aufgaben 16 Lösung zu Aufgabe: 0, 2015 · 0, 5012 ≈ 0, 2 · 0, 5 = (d). 2 5 10 10 = 10 100 = 1 10 = 0, 1, also Antwort Test beenden Lösungen der Aufgaben 17 Lösung zu Aufgabe: Die einzige Raum-Diagonale DF ist am längsten, also Antwort (c). Test beenden Lösungen der Aufgaben 18 Lösung zu Aufgabe: Es gibt die beiden Extreme Charlotte *31.12.2001 Andrea * 1.1.1997 Differenz < 5a d.h. 3a < Differenz < 5a, also Antwort (e). Charlotte *1.1.2001 Andrea * 31.12.1997 Differenz > 3a Test beenden Lösungen der Aufgaben 19 Lösung zu Aufgabe: Die Häufigkeiten verhalten sich etwa wie 1 (schwarz) zu 2 (dunkelgrau) zu 3 (weiß) zu 4 (hellgrau) und machen zusammen 100% aus. Es gilt also ungefähr: 1 schwarz ∝ 10 , dunkelgrau ∝ 2 10 = 15 , weiß ∝ 3 10 , hellgrau ∝ 4 10 = 2 5 (A) ist ausgeschlossen, weil in (A) schwarz = hellgrau oder weil in (A) weiß = 50%. (B) ist ausgeschlossen, weil in (B) weiß = 25%. (C) ist ausgeschlossen, weil in (C) weiß = hellgrau oder weil weiß 6= 50%. (D) ist ausgeschlossen, weil in (D) hellgrau > 50%. Es bleibt also nur Antwort (e). Test beenden Lösungen der Aufgaben 20 Lösung zu Aufgabe: Man berechnet das arithmetische Mittel, den Durchschnitt s̄ der 31 natürlichen Zahlen von 2001 bis 2031 zu 2031 31 31 1 X 1 X 1 X s̄ = i= (2000 + i) = 2000 + i 31 i=2001 31 i=1 31 i=1 1 31 · 32 = 2000 + 16 = 2016 31 2 Also trifft Antwort (d) zu. = 2000 + Test beenden Lösungen der Aufgaben 21 Lösung zu Aufgabe: Mantelflächen von Kegeln sind Kreis-Sektoren; Mantelflächen von KegelStümpfen sind Kreis-Ring-Sektoren, also Antwort (b). Test beenden Lösungen der Aufgaben 22 Lösung zu Aufgabe: Sei k die Anzahl der Kuh-Beine und e die Anzahl der Entenbeine. Sei K die Anzahl der Kühe und E die Anzahl der Enten. Dann gilt k = 4K, e = 2E und k = e − 2, d.h. 4K = 2E − 2 oder 2K = E − 1 oder K = 21 E − 21 , d.h. die Anzahl der Kühe ist kleiner als die Hälfte der Anzahl der Enten, also Antwort (a). Test beenden Lösungen der Aufgaben 23 Lösung zu Aufgabe: (a − b)3 + (b − a)3 = a3 − 3a2 b + 3ab2 − b3 + (b3 − 3b2 a + 3ba2 − a3 ) = 0 oder viel besser (a − b)3 + (b − a)3 = (a − b)3 + (−1)(a − b) also Antwort (a). 3 = (a − b)3 − (a − b)3 = 0, Test beenden Lösungen der Aufgaben 24 Lösung zu Aufgabe: Das Quadrat hat den Flächeninhalt 4 cm2 . Man kann nun die graue Spitze halbieren und die beiden Hälften jeweils an den oberen Halbkreis anfügen. Halbkreis und die beiden Hälften füllen dann gerade die obere Hälfte des Quadrates aus, also Antwort (b). Test beenden Lösungen der Aufgaben 25 Lösung zu Aufgabe: Falls es überhaupt eine Lösung gibt, gilt 22x = (22 )x = 4x = 4 · 4x = 4x+1 Wegen 4x > 0 liefert Division durch 4x den Widerspruch 1 = 4. Es kann keine Lösung geben, also Antwort (a). Test beenden Lösungen der Aufgaben 26 Lösung zu Aufgabe: Egal, ob das Papier vertikal gemäß /\/ oder //\ mit einem eingeklappten Drittel (der zweite /) und dann horizontal gemäß /\/ oder //\ mit einem eingeklappten Drittel (der zweite /) gefaltet wird, in jedem Fall werden an jeder Ecke des gefalteten, kleinen Quadrates adjazente Drittel gefaltet, so daß – egal welche Ecke abgeschnitten wird – immer genau ein Loch entsteht, also Antwort (b). Test beenden Lösungen der Aufgaben 27 Lösung zu Aufgabe: p Aus (2015+2015) + (2015−2015) + (2015 · 2015) + (2015/2015) = p √ √ 2015(2 + 2015) + 1 = 2015 · 2017 + 1 = 4064256 = 2016 ergibt sich Antwort (c). Alternativ läßt sich der Radikand natürlich auch als Binom identifiziep ren: (2015 + 2015) + (2015 p − 2015) + (2015 · 2015) + (2015/2015) = √ 2 2015 + 2 · 2015 + 1 = (2015 + 1)2 = 2016, also Antwort (c). Test beenden Lösungen der Aufgaben 28 Lösung zu Aufgabe: Wegen der Symmetrie von f und g ist die Anzahl gerade. f und g haben verschiedene Nullstellen; ihre Graphen schneiden sich nicht auf den Koordinaten-Achsen, aber oberhalb der x-Achse. Ohne die Koordinaten-Achsen zerlegen die beiden Graphen die Ebene in fünf Gebiete: ein beschränktes und vier unbeschränkte. Die Koordinatenachsen zerlegen das beschränkte in vier Gebiete, die unbeschränkten in je zwei Gebiete, und teilen zwei neue beschränkte Gebiete ab, also Antwort (d). y x Test beenden Lösungen der Aufgaben 29 Lösung zu Aufgabe: Ausfüllen liefert 8 3 5 -5 -3 -8 -8 Allerdings ist einerseits −5 + x = −8 für x = −3 und andererseits −3 + x = −8 für x = −5, so daß kein label x existiert, das der Forderung entspricht, also Antwort (e). Test beenden Lösungen der Aufgaben 30 Lösung zu Aufgabe: 0 < a, b, c, d, e ∈ Z, d.h. a, b, c, d, e ∈ N. c = be ⇒ c > b, e d = a + b ⇒ d > a, b e = a + d ⇒ e > a, d impliziert c > b, e > b, a, d > a, b, so daß c maximal, also Antwort (c). Test beenden Lösungen der Aufgaben 31 Lösung zu Aufgabe: Der linke Würfel trägt auf der rechten Seite 4, auf der hinteren Seite 6 und am Boden 5. Also sind 4 und 6 adjazente Seiten. Wenn der rechte Würfel oben 6 und vorne 4 zeigt, dann trägt er auf der linken Seite 2 und auf der rechten Seite 5, also Antwort (d). Test beenden Lösungen der Aufgaben 32 Lösung zu Aufgabe: Es gibt 3! = 6 Anordnungen der drei Handwerker. Es gibt 2! = 2 Anordnungen der beiden Verpflegungsstände. Es gibt 2! = 2 Anordnungen von Handwerkern und Marketendern. Insgesamt also 2 · 2 · 6 = 24 Anordnungen, also Antwort (b). Test beenden Lösungen der Aufgaben 33 Lösung zu Aufgabe: Zu X gehöre die Seite a, zu Y die Seite b und zu Z die Seite c. Pythagoras liefert a2 + b2 = c2 und damit X + Y = π2 a2 + π2 b2 = π 2 Test beenden 2 c = Z, also Antwort (c). Lösungen der Aufgaben Lösung zu Aufgabe: 34 √ Für die ersten drei Zahlen a, b, c gilt 3 √ abc = 3. 3 Für die zweiten drei Zahlen d, e, f gilt q def = 12. p√ √ √ √ √ 3 6 3 Dann gilt abcdef = abcdef = abc · 3 def = 3 · 12 = √ 36 = 6, also Antwort (b). Test beenden Lösungen der Aufgaben 35 Lösung zu Aufgabe: Für den Sektor S1 des innersten Kreises mit Radius r1 = 1 gilt |S1 | = π 4. Für den mittleren Kreis-Ring-Sektor S2 gilt |S2 | = π4 r22 − π4 = π4 , also √ r22 − 1 = 1, was r2 = 2 impliziert. Für den äußeren Kreis-Ring-Sektor S3 gilt |S3 | = π4 r32 − π2 = π4 , also √ r32 − 2 = 1, was r3 = 3 impliziert und damit Antwort (a). Test beenden Lösungen der Aufgaben Lösung zu Aufgabe: Einerseits gilt P (WD = i) = und andererseits P (WP = 2) = 21 = P (WP = 5). 36 1 6 für i = 1, . . . , 6 Im folgenden sei das Ereignis WD = i, WP = j mit (i, j) abgekürzt. Dann gilt: 5 P (Philipp gewinnt) = P (1, 2), (1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5) = 5 16 12 = 12 , also Antwort (c). Test beenden Lösungen der Aufgaben 37 Lösung zu Aufgabe: S = 120 sei der ursprüngliche Preis der Standuhr, A der ursprüngliche Preis der Armbanduhr. Aus 1.4 S + 1.6 A = 1.4 · 120 + 1.6 A = 1.54(S + A) = 1.54 · 120 + 1.54 A 1680 folgt 0.06 A = 0.14 · 120 oder A = 100 6 (12 + 4.80) = 6 = 280, also Antwort (e). Test beenden Lösungen der Aufgaben 38 Lösung zu Aufgabe: E ist wahr. Damit ist C falsch. Damit ist A falsch. Damit ist B falsch. Damit ist D wahr. A = falsch, B = falsch, C falsch, D wahr, E wahr, also Antwort (d). Test beenden Lösungen der Aufgaben 39 Lösung zu Aufgabe: 2o + 21 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 = 511 < 1000, 2o + 21 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 29 = 512 + 256 − 1 = 767 < 1000, P8 i=0 P7 i=0 2i = 1−29 1−2 2i + 29 = = 29 − 1 = 1−28 1−2 + 29 = P6 2o + 21 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 28 + 29 = i=0 2i + 28 + 29 = 7 1−2 8 9 1−2 + 2 + 2 = 512 + 256 + 128 − 1 = 995 < 1000, P5 2o + 21 + 22 + 23 + 24 + 25 + 25 + 27 + 28 + 29 = i=0 2i + 27 + 28 + 29 = 1−26 7 8 9 1−2 + 2 + 2 + 2 = 512 + 256 + 128 + 64 − 1 = 1059 > 1000, also Antwort (c). Test beenden tnegative ganze Zahl ist? Lösungen der Aufgaben 40 (D) 4 (E ) 5 Lösung zu Aufgabe: Mit a = |AB|, b = |BC| ist |2(ABCD)| = ab. n CD, M2 der MittelM1 D C nd M4 der Mittelpunkt r Fläche des Vierecks M2 M4 BCD ? M3 9 1 A B (E ) 32 5 Offensichtlich gilt |∆(AM1 D)| = 14 ab und |∆(ABM2 )| = 12 a 2b = 41 ab, en imSei englischen KANGAROO so durch Ziffern A = (0,Wort 0) der Ursprung eines Koordinatensystems. Dann gilt a a b hat. B Jeder der0), beiden hat( 2gleiche durchM3 = 12 (B + M2 ) = = (a, M1 = , b), MBuchstaben 2 = ( 4 , 2 ) und 5 bverschiedene 5 b 3 aben 1durch Ziffern. Christopher1 hat die5 2 ( 4 a, 2 ) = ( 8 a, 4 ), also |∆(BCM3 )| = 2 b(a − 8 a) = 16 ab. Mit M4 = 1 1 13 5 13 5 nd Timo die kleinstmögliche durch 11 teilbare Zahl. 2 (C + M3 ) = 2 ( 8 a, 4 b) = ( 16 a, 8 b) gilt endlich |∆(CM1 M4 )| = 1 a 5 3 iche Ziffer Welche Ziffer ist das? (b −ersetzt. 2 2 8 b) = 32 ab. Sei F der Flächeninhalt des Vierecks (D)1 6 1 (E ) 3 M1 M2 M3 M4 . Zusammen ergibt 3 3 ab− 4 ab− 4 ab− 16 ab− 32 ab 9 7 F = 12 − 32 = 32 , also Antwort (c). sich ab = ab Test beenden e sogenannte d unkten (x , y ) üllen. Eine der Lösungen der Aufgaben 41 Lösung zu Aufgabe: n ∈ N ist genau dann durch 11Pteilbar, wenn ∞ die alternierende Quersumme verschwindet, d.h. n = i=0 zi 10i mit endlich vielen nicht-verschwindenden P∞ Ziffern zi ∈ {0, 1, ..., 9} ist durch P∞ z = 11 teilbar, wenn 2i i=0 z2i+1 (vgl. http:\www.weblearn. i=0 hs-bremen.de/risse/MAI/docs/puzzles.pdf). Die Zahl n = KAN GAROO ist also durch 11 teilbar ⇐⇒ K + N + A + O = A + G + R + O ⇐⇒ K + N = G + R. n ist maximal für K = 9 und A = 8 mit K +N = 9+3 = 7+5 = G+R, also KAN GAROO = 98378544. n ist minimal für K = 1 und A = 2 mit K +N = 1+7 = 3+5 = G+R, also KAN GAROO = 12732544. Beide haben O durch 4 ersetzt, also Antwort (c). Test beenden Lösungen der Aufgaben 42 Lösung zu Aufgabe: Sei C = {(x, y) : x3 + y 3 = 2xy} 3 (1, 1), (0, 0) während (−1, −1), (−1, 1), (1, −1) 6∈ C. C hat genau zwei Schnittpunkte (0, 0) und (1, 1) mit der Winkelhalbierenden y = x, weil 2x3 = x3 + x3 = x3 + y 3 = 2xy = 2x2 ⇒ x3 − x2 = x2 (x − 1) = 0 ⇒ x ∈ {0, 1}. x3 + 0 = 0 ⇒ x = 0, also ist der Koordinatenursprung der einzige Schnittpunkt von C mit der x-Achse. Damit scheiden b und e aus. 0 + y 3 = 0 ⇒ y = 0, also ist der Koordinatenursprung der einzige Schnittpunkt von C mit der y-Achse. Damit scheidet d aus. c scheidet aus, weil dann (−1, −1) ∈ C gälte, also Antwort (a). Test beenden Lösungen der Aufgaben 43 Lösung zu Aufgabe: Stand nach der ersten ’Runde’: 1,3,5,. . . ,191 (1 mod 2), nach der zweiten ’Runde’: 3,7,11,. . . ,191 (3 mod 4), nach der dritten ’Runde’: 7,15,23,. . . ,191 (7 mod 8), nach der vierten ’Runde’: 15,31,47,. . . ,191 (15 mod 16), nach der fünften ’Runde’: 31,63,95,. . . ,191 (31 mod 32), nach der sechsten ’Runde’: 63,127,191 (63 mod 64), ??? also Antwort (e). Test beenden Lösungen der Aufgaben 44 Lösung zu Aufgabe: Laut Pythagoras muß dann |AB|2 + |BC|2 = 400 + |BC|2 eine Quadratzahl, nämlich |AC|2 sein. Beispielsweise gilt 400 + 152 = 625 = 252 oder 400 + 212 = 841 = 292 oder 400 + 482 = 2704 = 522 oder 400 + 992 = 10201 = 1012 . Nun lassen sich aufgrund der Formel von Euler alle Pythagoräischen Tripel1 (a, b, c), d.h. alle Tripel (a, b, c) ∈ N3 mit a2 + b2 = c2 durch a = k(m2 − n2 ), b = k2mn und c = k(m2 + n2 ) für k, m, n ∈ N mit teilerfremden m > n aufzählen. Sei also b = k2mn = 20. Dann ergeben sich genau obige vier Fälle. k 1 1 2 5 m 5 10 5 2 n 2 1 1 1 a 21 99 48 15 b 20 20 20 20 c 29 101 52 25 insgesamt also Antwort (d). 1 https://de.wikipedia.org/wiki/Pythagoreisches Tripel Test beenden Lösungen der Aufgaben 45 Lösung zu Aufgabe: Wieviele Isomorphie-Klassen des gefärbten Graphen gibt es? ??? 30 ???, also Antwort (). Test beenden
